Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19
Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των µεροµόρφων f : M C συναρτήσεων της. Εστω P ένα σηµείο της M. Θεωρούµε ένα χάρτη U M, φ : U C, φ(p) = 0. Μια µερόµορφη συνάρτηση έχει ένα ανάπτυγµα Laurent γύρω από το 0: f(φ 1 (z)) = z a ( a ν z ν ), a 0 0 ν=0 Ο αριθµός a Z είναι ανεξάρτητος της επιλογής του χάρτη. Αν a > 0 ϑα λέµε ότι η συνάρτηση f έχει ϱίζα στο P. Αν a < 0 ϑα λέµε ότι η συνάρτηση f έχει πόλο στο P., 2/19
Πόλοι και ϱίζες Μία µερόµορφη συνάρτηση έχει τόσους πόλους όσες και ϱίζες (αν υπολογίσουµε και την πολ/τα τους). Ενας divisor πάνω σε µια επιφάνεια Riemann είναι ένα τυπικό άθροισµα σηµείων µε συντελεστές στο Z. Παράδειγµα: D = 3P 4Q + 7R, P, Q, R σηµεία πάνω στην επιφάνεια M. Κάθε µερόµορφη συνάρτηση f οδηγεί στην κατασκευή ενός divisor div(f) ο οποίος ορίζεται ως το άθροισµα των πόλων και των ϱιζών της f. Ο ϐαθµός deg(d) ενός divisor είναι το άθροισµα των συντελεστών που εµφανίζονται στον divisor D. Ισχύει ότι deg(div(f)) = 0. deg(3p 4Q + 7R) = 3 4 + 7 = 6., 3/19
ιανυσµατικοί χώροι από divisors. Εστω D ένας divisor. Θεωρούµε το σύνολο L(D) = {f : div(f) + D 0} {0}. Γράφουµε D = D 0 D, D 0, D > 0, όπου D 0, D divisors πόλων και ϱιζών του D. Αν D 0 = n P P και D = m Q Q, τότε ο L(D) περιέχει συναρτήσεις που έχουν πόλο στα σηµεία P το πολύ τάξης n P και ϱίζα στα σηµεία Q τουλάχιστον m Q. Μάλιστα οι χώροι L(D) είναι διανυσµατικοί χώροι πεπερασµένης διάστασης., 4/19
Παράδειγµα: Θεωρούµε την συµπαγή επιφάνεια Riemann P 1 (C). Το σώµα συναρτήσεων της είναι το C(x). Ποιος είναι ο χώρος L(n ); Είναι ο χώρος των πολυωνύµων ϐαθµού το πολύ n. Ο χώρος αυτός έχει διάσταση n + 1., 5/19
Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Μας δίνει ένα τρόπο να υπολογίσουµε διαστάσεις χώρων L(D). dim L(D) = deg(d) + 1 g + dim L(K D). Ο divisor K είναι ένας ειδικός divisor ο οποίος ονοµάζεται ο «κανονικός» divisor, και για τον οποίο ισχύει: deg(k) = 2g 2 L(K) = g. Ο αριθµός g είναι το γένος της επιφάνειας Riemann και είναι το πλήθος από «τρύπες» που έχει η επιφάνεια., 6/19
Παραδείγµατα Στην περίπτωση που το g = 0 έχουµε ότι L(D) = deg(d) + 1., 7/19
Ελλειπτικές Καµπύλες Καµπύλες γένους 1 πάνω από αλγεβρικά κλειστά σώµατα: Εστω E µια καµπύλη γένους 1 και O στην E. Τότε 1. Υπάροχυν συναρτήσεις x, y K(E) ώστε φ : E P 2 : φ(x, y) = [x, y, 1] να δίνει έναν ισοµορφισµό της E/K µε µία καµπύλη C : Y 2 + a 1 XY + a 3 Y = X 3 + a 2 X 2 + a 4 X + a 6 µε a i K. 2. Για κάθε δύο εξισώσεις του Weierstrass της E υπάρχει µετασχηµατισµός (X, Y) (u 2 X + r, u 3 Y + su 2 X + t) από την µία µορφή στην άλλη, µε r, s, t στο K και u στο K 3. Κάθε λεία κυβική καµπύλη C µε εξίσωση Weierstrass που έχει συντελεστές στο K είναι nonsingular κυβική καµπύλη γένους 1., 8/19
Ελλειπτικές Καµπύλες Θεωρούµε τους divisors n(o) και τους χώρους L(n(O)). Το ϑεώρηµα Riemann-Roch δίνει, για g = 1 l(n(o)) = diml(n(o)) = n για κάθε n 1. Μπορούµε να διαλέξουµε x, y συναρτήσεις στο K(E) ώστε οι 1, x να είναι ϐάση του L(2(O)) και οι 1, x, y να είναι ϐάση του L(3(O)). Αυτό σηµαίνει πως η x έχει πόλο τάξης 2 στο O και η y έχει πόλο τάξης 3 στο O. Τότε, ο L(6(O)) περιέχει τα εφτά στοιχεία 1, x, y, x 2, xy, y 2, x 3 και έχει διάσταση 6. Αυτό σηµαίνει πως υπάρχει µια γραµµική εξάρτηση των στοιχείων του λ 1 + λ 2 x + λ 3 y + λ 4 x 2 + λ 5 xy + λ 6 y 2 + λ 7 x 3 = 0 όπου λ i ανήκουν στο K. Επειδή η x έχει πόλο στο O ακριβώς 2 και η y ακριβώς 3. έπεται ότι λ 6 λ 7 0, άρα, αντικαθιστώντας το x µε λ 6 λ 7 x, το y µε λ 6 λ 2 7 y και διαιρώντας µε λ3 6 λ4 7 παίρνουµε µια µορφή Weierstrass της καµπύλης., 9/19
Ελλειπτικές Καµπύλες Εστω x, y, x, y δύο διαφορετικά Ϲεύγη συναρτήσεων όπως στο α) για την E. Τότε τα σύνολα 1, x,1, x είναι και τα δύο ϐάσεις του L(2(O)), όπως και τα 1, x, y,1, x, y του L(3(O)). Αρα υπάρχουν u 1, u 2 µονάδες του K και r, s 2, t στο K τέτοια ώστε x = u 1 x + r y = u 2 y + s 2 x + t Αφού οι (x, y), (x, y ) ικανοποιούν εξισώσεις Weierstrass που έχουν µεγιστοβάθµιους συντελεστές 1, παίρνουµε u 3 1 = u2 2. Θέτουµε u = u 2 /u 1 και s = s 2 /u 2, και έχουµε το Ϲητούµενο., 10/19
Μορφή Weierstrass Εστω K ένα τέλειο σώµα. Στο P 2 ( K) ϑεωρούµε την εξίσωση: Y 2 Z + a 1 XYZ + a 3 YZ 2 = X 3 + a 2 X 2 Z + a 4 XZ 2 + a 6 Z 3 όπου a 1,..., a 6 K. Μια κυβική καµπύλη (cubic curve) E είναι το σύνολο των λύσεων µιας τέτοιας εξίσωσης. Το σηµείο O = [0, 1, 0] λέγεται base point της καµπύλης. Η παραπάνω εξίσωση λέγεται εξίσωση ή µορφή Weierstrass της καµπύλης., 11/19
Απλούστευση εξίσωσης Αν char(k) 2, ο µετασχηµατισµός ϕέρνει την E στην µορφή y 1 2 (y a 1x a 3 ) E : y 2 = 4x 3 + b 2 x 2 + 2b 4 x + b 6 όπου b 2 = a 1 2 + 4a 4, b 4 = 2a 4 + a 1 a 3 και b 6 = a 2 3 + 4a 6 Αν επιπλέον ισχύει ότι char(k) 2, 3 τότε οι µετασχηµατισµοί ϕέρνουν την E στην µορφή x x 3b 2, y y 36 108 E : y 2 = x 3 27c 4 x 54c 6 = x 3 + Ax + B, 12/19
Αναλλοίωτες Ελλειπτικής Καµπύλης Εστω µια κυβική καµπύλη στην µορφή Weierstrass. Ορίζουµε: b 8 = a 1 2 a 6 + 4a 2 a 6 a 1 a 3 a 4 + a 2 a 2 3 c 4 = b 2 2 24b 4 c 6 = b 3 2 + 36b 2 b 4 216b 6 = b 2 2 b 8 8b 3 4 27b 2 6 + 9b 2 b 4 b 6 j = c 3 4/ καθώς και το διαφορικό dx dy w = = 2y + a 1 x + a 3 3x 2 + 2a 2 x + a 4 a 1 y Η ποσότητα λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης Weierstrass, η j λέγεται j-invariant (j-αναλλοίωτη) της καµπύλης και το ω λέγεται invariant (αναλλοίωτο) διαφορικό της εξίσωσης. Συχνά ϑα συµβολίζουµε µε j E, E και ω E τις αντίστοιχες ποσότητες της καµπύλης E. Παρατηρείστε ότι η j E της E ορίζεται αν και µόνο αν E 0., 13/19
Ιδιοµορφίες Εστω P ένα σηµείο της καµπύλης E. Αν f(x, y) = y 2 + a 1 xy + a 3 y x 3 a 2 x 2 a 4 x a 6 και το P είναι singular point της E, έπεται ότι: f x (P) = f y (P) = 0 Τότε, αν P = (x 0, y 0 ), έπεται ότι υπάρχουν α, β K τέτοια ώστε f(x, y) f(x 0, y 0 ) = ((y y 0 ) α(x x 0 ))((y y 0 ) β(x x 0 )) (x x 0 ) 3, 14/19
Ιδιοµορφίες ιακρίνουµε δύο περιπτώσεισ: 1. Αν α β το P λέγεται node σηµείο της E. Τότε, η καµπύλη E έχει δύο εφαπτόµενες στο σηµείο P, τισ: και y = a(x x 0 ) + y 0 y = b(x x 0 ) + y 0 2. Αν α = β το P λέγεται cusp σηµείο της E. Τότε η καµπύλη E έχει µία εφαπτόµενη στο σηµείο P, την y = a(x x 0 ) + y 0., 15/19
Ελλειπτικές Καµπύλες Αν η κυβική καµπύλη E δεν έχει singular point, τότε η E ονοµάζεται ελλειπτική καµπύλη (elliptic curve). Παρατηρούµε οτι αν char(k) 2, 3 τότε, όπως είξαµε και προηγουµένως, η E µια εξίσωση Weierstrass της µορφής E : y 2 = x 3 + Ax + B = g(x) που είναι η απλούστερη δυνατή µορφή στην οποία µπορούµε εν γένει να ϕέρουµε µια κυβική καµπύλη. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απλό να δει κανείς ότι η E είναι ελλειπτική αν και µόνο αν το g(x) δεν έχει διπλή ϱίζα σε µία αλγεβρική κλειστότητα του σώµατος ορισµού., 16/19
Ελλειπτικές Καµπύλες Εστω char(k) 2, 3. Τότε, ϑεωρώντας την καµπύλη στην απλοποιηµένη κανονική µορφή Weierstrass E : y 2 = x 3 + Ax + B έχουµε = 16(4A 3 + 27B 2 ) και j = 1728 (4A)3 Σ αυτήν την περίπτωση, ϑα δείξουµε ότι η µόνη αλλαγή µεταβλητών που διατηρεί την (1) είναι η: (x, y) (u 2 x, u 3 y ) όπου u K. Ε χουµε A = u 4 A, B = u 6 B, = u 1 2, 17/19
Ελλειπτικές Καµπύλες 1. Η E είναι ελλειπτική καµπύλη ( nonsingular) αν και µόνο αν 0 2. Η καµπύλη έχει node αν και µόνο εαν = 0 και c 4 0 3. Η καµπύλη έχει cusp αν και µόνο εάν = 0 και c 4 = 0 4. Αν η E έχει singular σηµείο, αυτό είναι µοναδικό., 18/19
Ελλειπτικές Καµπύλες 1. ύο ελλειπτικές καµπύλες E 1, E 2 είναι ισόµορφες υπεράνω του K αν και µόνο αν j E1 = j E2 2. Αν j 0 K τότε υπάρχει ελλειπτική καµπύλη E υπεράνω του K(j0 ) µε j E = j 0 E : y 2 + xy = x 3 36 j 0 1728 x 1 j 0 1728 Αν j 0 = 0, τότε µπορούµε να διαλέξουµε την καµπύλη και αν j 0 = 1728 διαλέγουµε την E : y 2 + y = x 3 E : y 2 = x 3 + x, 19/19