ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση ƒ(χ)=χ-ημχ είναι γνησίως αύξουσα στο R 2. Εστω η συνάρτηση ƒ με ƒ 0 0,11,2 και ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [0,2]. Να δείξετε ότι η ƒ είναι γνησίως αύξουσα στο [0,2] 3. Αν ƒ 0 ά 1,4 ƒ 1 0 ενώ ƒ(4)=0 να δειχθεί ότι ƒ 0 ά 1,4 4. Να μελετήσετε ως προς η μονοτονία τη συνάρτηση ƒ με τύπο ƒ 1 με λr 5. Δίνεται η συνάρτηση ƒ: 0,10 1, παραγωγίσιμη στο [0,10] τέτοια ώστε ƒ 0 ά 0,10 και επιπλέον ƒ(1)=0. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την ƒ ƒ 6. Δίνεται η συνάρτηση ƒ: παραγωγίσιμη στο R, καθώς και η συνάρτηση g με τύπο ώστε να ισχύει ƒ ƒ. 1 για κάθε χr. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση g 7. Ι. Να αποδείξετε ότι ln 1 για κάθε χ(-,-1)υ(0,+ ) ιι. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f(χ)=1 για κάθε, 10, ιιι. Να δειχθεί ότι ln(x+2)>x+1-8. Mια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R έχει την ιδιότητα 1 για κάθε χr 1. Να αποδειχθεί ότι f(0)=0 2. Να εκφραστεί η ως συνάρτηση της f 3. Να βρεθεί η μονοτονία των f και 4. Να αποδειχθεί ότι 9. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,] με 0<f(χ)<1 και 0. Να αποδείξετε

2 ότι υπάρχει μοναδικό ξ(1,) τέτοιο ώστε να ισχύει f(ξ)+ξlnξ=ξ 12. Έστω η συνάρτηση f με τύπο 2 11 Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία να λύσετε την εξίσωση f(χ)=0 και να βρείτε το πρόσημό της 13 Δίνεται η συνάρτηση f(χ)= 2 μονοτονία και να λύσετε την εξίσωση Να μελετήσετε την f ως την 3 2 4 3 3 6 14. Έστω συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύουν f(0)=0 και 2 για κάθε χr 1. Να δείξετε ότι f(χ)> για κάθε χ <0 2. Να λύσετε την εξίσωση f(χ)= 3. Να βρείτε το lim

3 MONOTONIA AKΡOTATA 1. Αν για κάθε χ(1,+ ) ισχύουν όπου f,g συνεχείς και παραγωγίσιμες στο [1,+ ) με f(1)=g(1) να δειχθεί ότι για κάθε x>1 2. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ; Α. Να δειχθεί ότι α(-,-2)υ(0,+ ) 23 με ρίζες Β. Να δειχθεί ότι η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο και τοπικό μέγιστο στα σημεία, αντίστοιχα και (1+ 1 1 3. Δίνεται η συνάρτηση f:(0,+ ) R με f(x)=. Aν η εφαπτομένη της στο (α,, 0 τέμνει τους άξονες και στα σημεία Β,Γ αντίστοιχα, να βρεθεί η τιμή του α ώστε το άθροισμα ΟΒ +ΟΓ να γίνεται ελάχιστο 4. Να δειχθεί ότι για κάθε χ(0,+ ) 5. Να μελετηθεί η συνάρτηση f(χ)= -χ,0<α<1 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατακαι κατόπιν να βρεθούν οι τιμές του λr που ικανοποιούντην σχέση 42 6. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με 0 στο [α,β]. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f αν η συνάρτηση g με g(χ)=f(χ)- παρουσιάζει στο σημείο με τετμημένη τοπικό ακρότατο

4 7. H αξία μιας μηχανής που τυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο t σύμφωνα με τη συνάρτηση f(t)=, t 0 όπου Α ένας θετικός αριθμός. Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους Κ(t) από την πώληση βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη μηχανή δίνεται από τη συνάρτηση, t 0 και υποθέτουμε ότι Κ(0)=0 Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή έτσι ώστε το συνολικό κέρδος P(t) από τα βιβλία που πουλήθηκαν συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο 8.Ένας γεωργός προσθέτει Χ μονάδες λιπάσματος σε μια αγροτική καλλιέργεια και συλλέγει g(χ) μονάδες του παραγόμενου προϊόντος Αν g(χ)= 1, χ 0, οπου,, είναι θετικές σταθερές να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος ως συνάρτηση του g(χ). Ποια είναι η σημασία της σταθεράς 9. Την χρονική στιγμή t=0 χορηγείται σε έναν ασθενή φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση f(t)=, 0 όπου α,β θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετράται σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι 15 μονάδες και επιτυγχάνεται σε 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου. Α. Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β Β. Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον 12 μονάδες να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά

5 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 1. Θεωρούμε τη συνάρτηση ƒ με πεδίο ορισμού το ανοιχτό διάστημα Δ, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ, τέτοια ώστε να ισχύει 2 ƒ 40 για κάθε χδ Να αποδείξετε ότι η ƒ δεν έχει σημείο καμπης 2. Εστω ότι ƒ 0 για κάθε χ[0,α] και ƒ(α)>0 και ƒ(0)=0. Να δείξετε ότι για κάθε χ(ο,α) ισχύει ƒ ƒ 3. Έστω ƒ συνάρτησηδύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με ƒ(χ)>0 σε κάθε σημείο του Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο g(χ)=lnƒ(x) είναι κυρτή στο Δ αν και μόνο αν ισχύει ƒƒ ƒ 4. Έστω ότι η συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα Δ =(α,β) και στο σημείο, υπάρχει η τρίτη παράγωγος και ισχύουν ƒ 0 ƒ 0. Να δείξετε ότι η ƒ παρουσιάζει καμπή για χ=. 5. Αν η συνάρτηση ƒ είναι συνεχής στο [0,+ ) και κυρτή, είναι δε ƒ(0)=0 να δείξετε ότι η συνάρτηση g(χ)= ƒ είναι γνησίως αύξουσα στο(0,+ ) 6. Έστω μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν

6 1. ƒ 0 ά 2. ƒ 0 ά 3. ƒ( R )=R Να αποδείξετε ότι 1. Υπάρχει η ƒ ί ί ί ί 2. Υ πάρχει η ƒ και να βρεθεί 3. Η ƒ στρέφει τα κοίλα κάτω στο R ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Απαραίτητη προϋπόθεση για να υπάρχει η παράγωγος της αντίστροφης είναι ένα από τα παρακάτω 1. Η ƒ παραγωγίσιμη και γνησίως μονότονη 2. Η ƒ παραγωγίσιμη και ƒ 0 εσωτερικό του Δ 7. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση ƒ με τύπο ƒ(χ)=3 2 στρέφει τα κοίλα κάτω στο (0,+ ) 8. Έστω μία συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ƒ(χ)= ƒ με το χr 1. Αν είναι θέση του σημείου καμπής τότε υπάρχει περιοιχή κοντά στο στην οποία η ƒ είναι γνησίως αύξουσα 2. Αν το σημείο είναι κρίσιμο σημείο της ƒ τότε είναι τοπικό μέγιστο 9. Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιμη στο Δ και κυρτή στο Δ 1. Αν α,βδ με α<β να δειχθεί ότι ƒ(α)+ƒ(β)>2ƒ( (ανίσωση Jensen) 2. Να δειχθεί ότι 1. Η g(χ)=χlnx είναι κυρτή στο (0,+ ) 2. 10. Δίνεται η συνάρτηση ƒ(χ)=, κ,λr με κ<λ. Να αποδείξετε ότι

7 1. ƒ ƒ 2. Η συνάρτηση g(χ)=ln ƒ(x) στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα (κ,λ) 11. Έστω ƒ μία συνάρτηση η οποία είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν για κάθε χr ισχύει ƒ ƒ να δειχθεί ότι η ƒ δεν έχει σημείο καμπής. 12. Δίνεται η συνάρτηση ƒ με τύπο ƒ(χ)=, όπου αr 1. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία καμπής 2. Αν είναι θέση του σημείου καμπής να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ(,ƒ όταν το α διατρέχει το R 13. Αν η συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και στο εσωτερικό του Δ έχει τοπικό μέγιστο να αποδειχθεί ότι το δεν είναι θέση σημείου καμπής 14. Έστω μία συνάρτηση με την δεύτερη παράγωγο γνησίως αύξουσα στο R. Αν α είναι θέση τοπικού ελαχίστου της ƒ και β θέση τοπικού μεγίστου της ƒ με α<β και στο διάστημα (α,β) είναι ƒ 0 να δειχθεί ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε το σημείο Μ(,ƒ να είναι σημείο καμπής της ƒ και μάλιστα μοναδικό 15. Αν η συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με ƒ(2)=0 και στρέφει τα κοίλα κάτω στο [-2,5] να δειχθεί ότι 4ƒ(5)+3ƒ(-2)<0