Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής
Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό ποιες συνθήκες είναι δυνατή η ανάπτυξη ενός σήματος, x(t), σ' ένα άπειρο αλλά αριθμήσιμο άθροισμα απλών συχνοτήτων. Ένα τέτοιο ανάπτυγμα σε άθροισμα στοιχειωδών συναρτήσεων μας θυμίζει το ανάπτυγμα ενός διανύσματος στα διανύσματα βάσης που παράγουν τον αντίστοιχο διανυσματικό χώρο. Πράγματι, όπως θα διαπιστώσουμε αμέσως παρακάτω, υπάρχει άμεση σχέση μεταξύ σημάτων και διανυσμάτων
Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Θεωρούμε το σύνολο των συναρτήσεων x(t) στο διάστημα [α, b] με καλή συμπεριφορά (συνεχείς ή τουλάχιστον τμηματικά συνεχείς) και το υποσύνολο Φ ι (t), Φ (t),... με την ιδιότητα Τέτοιες συναρτήσεις, Φ n( t), ονομάζονται ορθοκανονικές. Όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω, συναρτήσεις που ικανοποιούν την (.84) υπάρχουν και μάλιστα είναι άπειρες στο πλήθος. Θεωρούμε μια ακολουθία τέτοιων συναρτήσεων και έστω ότι η σειρά συγκλίνει σε μια συνάρτηση x(t) στο διάστημα [α, b], δηλαδή Τότε οι συντελεστές α n ικανοποιούν τη σχέση
Τριγωνομετρική Σειρά Fourier Έστω x(t) μια συνάρτηση στο διάστημα [t,t +] και ας υποθέσουμε ότι υπάρχει το ανάπτυγμα (.88) () = + ( cos Ω + sin Ω ) = + ( cos Ω ) + ( sin Ω ) x t a a n t b n t a a n t b n t n n n n n= 1 n= 1 n= 1 όπου Ω = π. Τότε ισχύει ότι 1 to + a = x() t dt t to + an = x() t cos n tdt, Ω t n= 1,,... to + bn = x() t sin n tdt, Ω t n= 1,,... (.89) (.9) (.91)
Τριγωνομετρική Σειρά Fourier Όπως και στην περίπτωση των μετασχηματισμών Fourier, το ανάπτυγμα (.88) δεν υπάρχει πάντα. Αποδεικνύεται ότι ένα σύνολο ικανών συνθηκών είναι και πάλι οι τρεις συνθήκες Dirichlet, δηλαδή : 1. Η x(t) είναι συνεχής ή έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών πεπερασμένου ύψους.. Η x(t) είναι φραγμένης κύμανσης στο διάστημα [t, t +]. to + 3. H x(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη, δηλαδή () t xt dt <
Τριγωνομετρική Σειρά Fourier Τότε η (.88) υπάρχει και έχει νόημα. Η συνθήκη3 εξασφαλίζει ότι τα α n, b n είναι πεπερασμένα. Πράγματι, για n >, a o n = x () t cos n Ω tdt x () t dt < to+ t + (.9) t t Στη (.88) η ισότητα ισχύει για κάθε χρονική στιγμή εάν η x(t) είναι συνεχής. Όπως και στην περίπτωση του MF, στα σημεία ασυνέχειας, t i, η σειρά στο δεξιό μέρος της (.88) συγκλίνει στο σημείο : 1 xˆ t i lim x t lim x t + t ti t ti ( ) = () + () (.93)
Τριγωνομετρική Σειρά Fourier
Εκθετική Σειρά Fourier Κάτω από τις ίδιες (ικανές) συνθήκες Dirichlet, μια συνάρτηση, x(t), στο διάστημα [t, t +] αναπτύσσεται σε άθροισμα στοιχειωδών εκθετικών συναρτήσεων = n t (.94) n= jnω () c e x t όπου π Ω = Τ και n 1 o Ω () t + jn t c = x t e dt (.95) Τ t
Εκθετική Σειρά Fourier Η απόδειξη ακολουθεί τα ίδια βήματα όπως και προηγουμένως. ΗσχέσηEuler που συνδέει την εκθετική με την τριγωνομετρική σειρά υπαγορεύει τη σχέση που συνδέει τα α n, b n με τα c n. Από τις (.89), (.9), (.91) και τις (.94), (.95) έπεται ότι: a = c a = c + c n n n ( ) b = j c c n n n 1 cn = ( an jbn), n = 1,,... (.96) (.97) (.98) (.99) Από τις εξισώσεις (.96)-(.98) προκύπτει ότι για τις πραγματικές συναρτήσεις x(t) (δηλαδή α n, b n πραγματικά) είναι: 1 cn =Σ υζυγ ής μιγαδικός cn = ( an + jbn) = c n (.1) Το παραπάνω είναι το αντίστοιχο αυτού που ισχύει για το MF, δηλαδή Χ * (Ω) = Χ(-Ω).
Σειρές Fourier Περιοδικών Συναρτήσεων Μέχρι στιγμής ορίσαμε το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier μιας συνάρτησης x(t) σ ένα διάστημα [α, b]. Εκτός του διαστήματος αυτού η σειρά Fourier δεν συγκλίνει κατ ανάγκη στη x(t), δεδομένου ότι η ορθογωνιότητα των συναρτήσεων του αναπτύγματος ισχύει στο συγκεκριμένο διάστημα. Ας δούμε όμως τι γίνεται εάν η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ, εάν δηλαδή x( t) = x( t+ ). Το ανάπτυγμα Fourier της x(t) σ ένα διάστημα μήκους Τ ίσο με την περίοδο είναι: jn t () c e Ω, x t = n n= π Ω = Τ Αλλά jn t jn ( t ) e Ω = e Ω +
Σειρές Fourier Περιοδικών Συναρτήσεων Με άλλα λόγια η σειρά Fourier είναι επίσης περιοδική με την ίδια περίοδο Τ, άρα συγκλίνει στη x(t) σε όλο το διάστημα < t <. Το ίδιο ισχύει και για την τριγωνομετρική σειρά. Ανακεφαλαιώνοντας, έχουμε ότι, εάν τότε για ισχύει: ( ) ( ), x t = x t+ < t < () x t = n= c e n π jn t ήισοδύναμα π π x () t = a + ancos n t + bnsin n t n= 1
Σειρές Fourier Περιοδικών Συναρτήσεων π π x () t = a + ancos n t + bnsin n t n= 1 Τα α n, b n και c n δίνονται από τις (.89)-(.91) και (.95), αντίστοιχα. Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι προφανώς ανεξάρτητο του t και αρκεί το διάστημα ολοκλήρωσης να καλύπτει μια περίοδο. Οι συχνότητες των ημιτόνων και των συνημίτονων είναι ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας Ω = π που αντιστοιχεί στην περίοδο Τ. Για το λόγο αυτόν, οι συνιστώσες (και οι συχνότητες) αυτές είναι γνωστές ως αρμονικές του περιοδικού σήματος. 1 o t + jnω t cn = x t e dt Τ Σημείωση: () t (.95)
Σειρές Fourier Περιοδικών Συναρτήσεων Παράδειγμα.15: Να υπολογιστεί η τριγωνομετρική σειρά Fourier της περιοδικής συνάρτησης x(t) που ορίζεται ως () x t 1, < t < = 1, < t < ( ) = ( + ). x t x t και Η μορφή της φαίνεται στο Σχήμα.14.
Σειρές Fourier Περιοδικών Συναρτήσεων Ω = π. Λύση: ΗπερίοδοςείναιΤ, άρα Από τις εξισώσεις (.89)-(.91) έχουμε 1 a = x t dt = () και για n=1,, an = x() t cos n tdt Ω = cos cos = nω tdt+ nω tdt 1 to + a = x() t dt t to + an = x() t cos n tdt, Ω t n= 1,,... to + bn = x() t sin n tdt, Ω t n= 1,,... (.89) (.9) (.91)
Σειρές Fourier Περιοδικών Συναρτήσεων και 1 1 1 a sin n = nω t sin n t (sin n ( ) + Ω = Ω nω nω nω 1 1 π 1 π + sin nω ( ) = (sin n ( ) + sin n ( ) = nω nω nω 1 1 = (sin( nπ) + sin( nπ) = nω nω bn = x () t sin n tdt sin n tdt sin n tdt Ω = Ω + Ω = ( π ) = cosnω t cosnω t = 1 cosn = nω nπ =, n : άρτιος 4, n : περιττός nπ
Σειρές Fourier Περιοδικών Συναρτήσεων Άρα 4 1 1 x() t = sin Ω t+ sin 3Ω t+ sin5 Ω t+... π 3 5 Η σύγκλιση της σειράς Fourier στο δοσμένο περιοδικό σήμα φαίνεται στο Σχήμα.15 όπου δίνονται τα αθροίσματα των Ν = 1,5,11,31 πρώτων αρμονικών. Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση γίνεται όλο και καλύτερη καθώς αυξάνεται το Ν.
Σειρές Fourier Περιοδικών Συναρτήσεων
Ασκήσεις 5. Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της συνάρτησης:, < t < x () t = Asin Ω t, < t < x t x t () = ( + ) η οποία φαίνεται στο Σχήμα. (ημιανόρθωση).
Ασκήσεις 1 to + a = x() t dt t to + an = x() t cos n tdt, Ω t n= 1,,... to + bn = x() t sin n tdt, Ω t n= 1,,... Λύση: Εφαρμόζοντας τους σχετικούς τύπους του τριγωνομετρικού π, αναπτύγματος έχουμε, με Ω = 1 A a = Asin ( t) dt Ω = π για n> an = Asin ( t) cos( n t) dt Ω Ω για n=1 a και για n=,3, A = { sin ( 1 n) ( ) } t sin 1 n t dt + Ω + Ω a n A = sin( Ω t) dt= 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A cos 1+ n Ω t cos 1 n Ω t = n n 1+ Ω 1 Ω
Ασκήσεις 1 to + a = x() t dt t to + an = x() t cos n tdt, Ω t n= 1,,... to + bn = x() t sin n tdt, Ω t n= 1,,... a n, : cos ( 1 ) cos ( 1 ) n περιττός A + n Ω t n Ωt = = Α ( 1 n) ( 1 n), : n άρτιος + Ω Ω ( n 1)( n+ 1) π Παρόμοια, για τους συντελεστές b n έχουμε: bn = Asin ( t) sin ( n t) dt Ω Ω A = { cos ( 1+ n) Ω ( ) } t cos 1 n Ωt dt Για n=1 A A A b = 1 cos( t) dt dt Ω =
Ασκήσεις Για n=,3, b n ( ) ( ) ( ) ( ) A sin 1 n Ω t sin 1+ n Ω t = = 1 n Ω 1+ n Ω Άρατελικάείναι: A A A 1 1 x() t = + sin ( Ωt) cos( Ω t) + cos( 4 Ω t) +... π π 3 15
Ασκήσεις 6. Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης Λύση: Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα Euler, e sin nθ = jnθ e j jnθ Έτσι η δοσμένη συνάρτηση γράφεται: 5 ( ) = x t jnθ e = cos nθ + jsin nθ, () x t jt jt e e = j 5 sin t. έχουμε ότι Χρησιμοποιώντας τώρα το διωνυμικό τύπο για την ύψωση σε δύναμη ενός αθροίσματος, * έχουμε: 1 j5t j3t jt jt j3t j5t 5 5 1 x() t = ( e 5e + 1e 1e + 5e e ) = sin t sin 3t+ sin 5t 3 j 8 16 16 Άρα το ανάπτυγμα της χ(t) σε τριγωνομετρική σειρά Fourier αποτελείται από τρεις όρους μόνο. n + = a k = k ( a β) n n k n k β.
Ασκήσεις 7. Να αναπτυχθεί σε εκθετική σειρά Fourier η συνάρτηση () = sin π, < < 1, ( + 1) = ( ) x t A t t x t x t Η συνάρτηση φαίνεται και στο Σχήμα.1 (πλήρης ανόρθωση). Λύση: Εφόσον Τ=1, συνεπάγεται ότι Ω =π. Το ανάπτυγμα θα έχει τη μορφή j () x t = n= c e π n nt Ω = π,
Ασκήσεις όπου 1 1 1 1 = () sin ( ) = π = = j jπnt jπnt jπt jπt jπnt cn x t e dt A te dt A e e e dt ( ) ( ) jπ n 1 t jπ n+ 1 t A e e = j jπ ( n 1) jπ n+ 1 ( ) 1 Χρησιμοποιώντας το ότι e jπn =1 και ότι e jπ =e jπ παίρνουμε: c n = π A ( 4n 1) Τελικά A 1 π j () = e x t n= 4n 1 π nt
Σειρά Fourier για Άρτια και Περιττή Συμμετρία
Θεώρημα Parseval
Σχέση Σειράς Fourier - ΜF