ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών

Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών {X(t) : t T}, όπου t είναι µία παράµετρος που παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλα ορισµένο σύνολο T.

Παραδείγµατα 1. Προβλήµατα Ανάπτυξης Πληθυσµών. Η ανάπτυξη ενός πληθυσµού εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, όπως η αλλαγή των καιρικών συνθηκών, ασθένειες, διατροφή κ.ο.κ. X(t) : Ο αριθµός των ατόµων ενός πληθυσµού στον χρόνο t. {X(t) : t 0} είναι µια στοχαστική διαδικασία. Η τιµή της X(t) εξαρτάται, προφανώς από το αρχικό µέγεθος του πληθυσµού τη χρονική στιγµή t = 0, όπως και από τον αριθµό των γεννήσεων και ϑανάτων στο χρονικό διάστηµα (0, t).

Παραδείγµατα 2. Προβλήµατα Οικολογικών Αντιπαραθέσεων. Εχουµε δύο πληθυσµούς Α και Β. Ενα µέλος του Α εξοντώνει ένα µέλος του Β µε πιθανότητα p. Ενα µέλος του Β εξοντώνει ένα µέλος του Α µε πιθανότητα q. X n : Το πλήθος των επιζώντων µελών του πληθυσµού Α µετά την n-οστή αντιπαράθεση. {X n : n = 0, 1, 2,...} είναι µια στοχαστική διαδικασία. Y n : Το πλήθος των επιζώντων µελών του πληθυσµού Β µετά την n-οστή αντιπαράθεση. {Y n : n = 0, 1, 2,...} είναι µια στοχαστική διαδικασία. Επιπλέον, αν: C n : Το πλήθος των γεννήσεων ανάµεσα στην n 1 και n αντιπαράθεση. D n : Το πλήθος των ϑανάτων ανάµεσα στην n 1 και n αντιπαράθεση. Z n = { 0, µε πιθανότητα p. 1, µε πιθανότητα q. X n = X n 1 + C n D n + Z n

Παραδείγµατα 3. Προβλήµατα Ελέγχου Αποθεµάτων. Μια ϐιοµηχανία παράγει ένα προϊόν Α. X n : Η ποσότητα του προϊόντος που µένει αποθηκευµένο στο τέλος της n-οστής χρονικής περιόδου (ηµέρα, µήνα κ.ο.κ.) {X n : n = 0, 1, 2,...} είναι µια στοχαστική διαδικασία. Επιπλέον, αν: P n : Η παραγωγή του προϊόντος κατά την n-οστή περίοδο. Z n : Η Ϲήτηση του προϊόντος κατά την n-οστή περίοδο. X n = max{0, X n 1 + P n Z n }.

Παραδείγµατα 4. Προβλήµατα Ελέγχου και Αντικατάστασης Εξαρτηµάτων. Θεωρούµε ότι το εξάρτηµα µιας µηχανής επιθεωρείται ανά τακτά χρονικά διαστήµατα και του οποίου η κατάσταση χαρακτηρίζεται ως, ικανοποιητική 1 µη ικανοποιητική 2 έπαψε να λειτουργεί 3 X n : Η κατάσταση του εξαρτήµατος κατά την n-οστή επιθεώρηση (1 ή 2 ή 3.) {X n : n = 0, 1, 2,...} είναι µια στοχαστική διαδικασία. Παρατήρηση Για να είναι η στοχαστική διαδικασία πλήρως γνωστή, ϑα πρέπει να γνωρίζουµε τις πιθανότητες µετάβασης, p ij = P(X n = j X n 1 = i), i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. p 21 = p 31 = p 32 = 0.

Παραδείγµατα 5. Προβλήµατα Συστηµάτων Εξυπηρέτησης. X(t) : ο αριθµός των αναχωρήσεων στο χρονικό διάστηµα (0, t). {X(t), t 0} είναι µια στοχαστική διαδικασία. Y n : το πλήθος των πελατών µέσα στο σύστηµα κατά τη στιγµή της n-οστής αναχώρησης. {Y n : n = 0, 1, 2,...} είναι µια στοχαστική διαδικασία.

Κατάταξη Στοχαστικών ιαδικασιών Αν t [0, a), έχουµε στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. Αν t = 0, 1, 2,..., έχουµε στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο. Εστω Ε το πεδίο τιµών της τ.µ. X(t) (ή X n ), τότε το Ε ονοµάζεται χώρος καταστάσεων. Αν Ε είναι ένα πεπερασµένο ή αριθµήσιµο σύνολο, έχουµε στοχαστική διαδικασία µε διακριτό χώρο καταστάσεων. Αν Ε είναι ένα διάστηµα ή το R, έχουµε στοχαστική διαδικασία µε συνεχή χώρο καταστάσεων.

Τυχαίος Περίπατος Θεωρούµε ένα σωµατίδιο το οποίο κινείται κατά µήκος του άξονα των πραγµατικών αριθµών. Τη χρονική στιγµή t = 0, το σωµατίδιο ϐρίσκεται στη ϑέση X 0 και από κει και πέρα για κάθε ακέραια χρονική µονάδα κάνει ένα ϐήµα προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά ή παραµένει στη ϑέση του. Οπότε αν το σωµατίδιο τη χρονική στιγµή n 1, ϐρίσκεται στην κατάσταση X n 1, τότε τη χρονική στιγµή n ϑα ϐρίσκεται στην κατάσταση X n = X n 1 + Z n, n = 1, 2, 3,... όπου Z i είναι µια ακολουθία από ανεξάρτητες τ.µ. µε κατανοµές F i (x), i = 1, 2, 3,... p, x = 1 q, x = 1 Αν f i (x) = P(Z i = x) = 1 p q, x = 0 0, διαφορετικά τότε η διαδικασία ονοµάζεται Απλός Τυχαίος Περίπατος.

Τυχαίος Περίπατος Αν το σωµατίδιο µπορεί να κινείται ελεύθερα στον άξονα και να µπορεί να καταλαµβάνει οποιαδήποτε ϑέση πάνω σ αυτόν, τότε ο τυχαίος περίπατος ονοµάζεται ελεύθερος. Αν το σωµατίδιο ϕτάσει ένα ϕράγµα και πλέον δεν µπορεί να ξεφύγει και η κίνησή του τελειώνει, τότε έχουµε ϕράγµα απορρόφησης. Αν το σωµατίδιο ϕτάσει σ ένα ϕράγµα, όπου µπορεί να ξεφύγει προς µία συγκεκριµένη κατεύθυνση, τότε έχουµε ϕράγµα ανακλάσεως.

Εφαρµογές Τυχαίου Περίπατου 1. Οργάνωση Ασφαλιστικής Εταιρείας Θεωρούµε µια ασφαλιστική εταιρεία, η οποία ξεκινάει τις εργασίες της τη χρονική στιγµή 0, µε ένα αρχικό κεφάλαιο X 0. Κατά τη διάρκεια των περιόδων 1, 2,,... (µέρες ή µήνες...) η εταιρεία λαµβάνει από τους ασφαλισµένους χρηµατικά ποσά Y 1, Y 2,... και πληρώνει για Ϲηµιές ποσά W 1, W 2,... Τότε το κεφάλαιο της εταιρείας στο τέλος n οστής χρονικής περιόδου ϑα είναι, X n = X 0 +(Y 1 W 1)+...+(Y n W n). Αν X n < 0 τότε η εταιρεία παύει να λειτουργεί. Αν Z r = Y r W r, r = 1, 2,... αποτελούν ισόνοµες και ανεξάρτητες τ.µ., τότε η X n συµπεριφέρεται σαν ένας τυχαίος περίπατος που ξεκινάει από τη ϑέση X 0 και κάνει ϐήµατα µήκους Z r. Επιπλέον έχουµε ένα ϕράγµα απορρόφησης (το 0), οπότε, { Xn 1 + Z n, X n 1 > 0, X n 1 + Z n > 0 X n = 0, διαφορετικά

Εφαρµογές Τυχαίου Περίπατου 2. Οργάνωση Λειτουργίας Φράγµατος Θεωρείστε ένα ϕράγµα στο οποίο µαζεύονται τα νερά της ϐροχής ή κάποιου ποταµού και χρησιµοποιούνται για την άρδευση καλλιεργειών ή για την παραγωγή του ηλεκτρικού ϱεύµατος. Y n : οι µονάδες νερού που πέφτουν µέσα στο ϕράγµα κατά τη διάρκεια της n οστής χρονικής περιόδου (π.χ. ηµέρας). Το νερό ελευθερώνεται από το ϕράγµα ανοίγοντας κατάλληλες πόρτες σύµφωνα µε τον ακόλουθο κανόνα, Αν X n µετράει το ποσό του νερού µέσα στο ϕράγµα στο τέλος της n οστής χρονικής περιόδου και X n 1 + Y n > a(γνωστό) Τότε απελευθερώνονται a µονάδες κατά τη διάρκεια της n ηµέρας.

Εφαρµογές Τυχαίου Περίπατου 2. Οργάνωση Λειτουργίας Φράγµατος Επίσης, αν b είναι η χωρητικότητα του ϕράγµατος σε νερό, τότε έχουµε µια απώλεια νερού b (X n 1 + Y n a) µονάδες νερού κατά την n οστή ηµέρα. X n 1 + Z n, 0 < X n 1 + Z n < b Άρα X n = 0, X n 1 + Z n 0 b, X n 1 + Z n b όπου Z n = Y n a µετράει την αλλαγή του περιεχοµένου του ϕράγµατος κατά την n οστή ηµέρα. Αν το ϕράγµα γεµίσει εντελώς σε κάποια ηµέρα, τότε αυτό παραµένει γεµάτο µέχρι το Z n < 0. Αν το ϕράγµα αδειάσει εντελώς, τότε αυτό παραµένει άδειο µέχρι Z n > 0. ηλαδή, έχουµε ένα τυχαίο περίπατο µε δύο ϕράγµατα ανακλάσεως, ένα στην κατάσταση 0 και ένα στην κατάσταση b. (E = [0, b]).

Ελεύθερος Απλός Τυχαίος Περίπατος Το σωµατίδιο κινείται ελεύθερα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση και ϑεωρούµε τη χρονική στιγµή n = 0 ϐρίσκεται στην αρχή των αξόνων (X 0 = 0). Ποια είναι η πιθανότητα το σωµατίδιο τη χρονική στιγµή n να ϐρίσκεται στην κατάσταση k; Αν έχω r 1 ϑετικά ϐήµατα r 2 αρνητικά ϐήµατα r 3 µηδενικά ϐήµατα P(X n = k) = r 1 r 2 = k r 1 + r 2 + r 3 = n n! r 1!r 2!r 3! pr1 q r2 (1 p q) r3.

Στιγµές Τερµατισµού Θεωρούµε τη στοχαστική διαδικασία {X n : n = 1, 2, 3,...} Υποθέτουµε ότι παρατηρούµε τη διαδικασία για τις πρώτες n χρονικές στιγµές. Τότε η πληροφορία που ϑα πάρουµε για την µελλοντική συµπεριφορά της διαδικασίας, ϑα ϐασίζεται στη γνώση των τ.µ. X 1, X 2,...,X n. Η τυχαία χρονική στιγµή n, ουσιαστικά είναι η τιµή µιας τ.µ. N Z + και ονοµάζεται στιγµή τερµατισµού της διαδικασίας.

Ταυτότητα του Wald Αν X 1, X 2,... ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. µε EX i <, i = 1, 2,... και N είναι τ.µ. που αναπαριστά τη στιγµή τερµατισµού της ακολουθίας των τ.µ. τότε, N E( X i ) = (EX)(EN) i=1 όπου X είναι τ.µ. ισόνοµη µε τις X 1, X 2,... Παράδειγµα 1 X n : µετράει την K στην n ϱίψη του νοµίσµατος. N = min{n : X 1 + X 2 +...+X n = 10} P(X n = 1) = P(X n = 0) = 1 2 EX n = 0 P(X n = 0)+1 P(X n = 1) = 1 2, τότε N E( X i ) = (EX)(EN) 10 = 1 EN EN = 20 2 i=1