Τηλ 106176-7 /10600 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x 8 + 6 8 6 6 i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x 6 + + 6 6 6 i i Αν x - - 7 και 7 - να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α x + - x 7 7 7 7 ( 7)( 7 ) Αντικαθιστούµε τo x και στην Α και έχουµε : A 7 + 7 + + + ( + 16 7 7+ 7 ) ( 1) ( + 7) + ( 7 8 7+ 16) ( 16 7 ) ( 7) + 7 + + ( 8 7) ( 16 7) 7+ 8 7+ 16 + 8 7 9 7+ 8 7 + 16+ 8 7 18 8 α + β α - β Να αποδειχθεί ότι : - α β Βγάζουµε την µεγάλη παρένθεση υψώνοντας αριθµητή και παρονοµαστή στη δευτέρα. α+β α β α + αβ+β α αβ+β Θα έχουµε : αβ αβ οµώνυµα α + αβ+β α + αβ β Να βρεθούν τα αναπτύγµατα ( α ) +β+γ Με βάση την προσεταιριστική ιδιότητα : α+β+γ α+β +γα+ β+γ έχουµε : όρ ( α+β ) + γ ( α+β ) + ( α+β) γ+γ α + αβ+β + ( αγ+βγ ) +γ 1 όρ α +β +γ + αβ+ βγ+ αγ Μαθηματικός Τηλ 106176-7 /10600 1
( α ) β+γ όρ ( α β ) + γ ( α β ) + ( α β) γ+γ α αβ+β + ( αγ βγ ) +γ 1 όρ ( α ) +β γ α +β +γ αβ βγ+ αγ όρ ( α+β) γ ( α+β) ( α+β) γ+γ α + αβ+β ( αγ+βγ ) +γ 1 όρ ( α ) β γ ( α β) γ 1 όρ όρ α +β +γ + αβ βγ αγ Να αποδείξετε ότι : α β α β γ+γ α αβ+β αγ βγ +γ α +β +γ αβ+ βγ αγ α β γ + α+β γ α β+γ α+β+γ 8αγ Με βάση την άσκηση αποδείξαµε ότι: α β γ α +β +γ αβ αγ+ βγ α+β γ α +β +γ + αβ αγ βγ α β+γ α +β +γ αβ+ αγ βα α+β+γ α +β +γ + αβ+ αγ+ βα Ά ρα θα έχουµε : α +β +γ αβ αγ+ βγ +α +β +γ + αβ αγ βγ ( ) ( ) α +β +γ αβ+ αγ βα α +β +γ + αβ+ αγ+ βα α + β + γ αγ α β γ + αβ αγ+ βα α β γ αβ αγ βα α + β + γ α β γ 8 αγ αγ αγ Μαθηματικός Τηλ 106176-7 /10600
6 Αν + να βρείτε την τιµή της παράστασης i) Α + και ii) Β i) Θα υψώσουµε την δοσµένη σχέση στο τετράγωνο. Έτσι θα έχουµε: + + + 1 Άρα Α + 1 + 16 + + 16 + 16 Έχουµε ii) Β - 7 Nα βρεθούν τα αναπτύγµατα : + + + 1 8 α + α α + α α + α α + α 1 όρ όρ α + α α + α α + α 6 6 9 7α + 9 α α + 16 α α + 6α 7α + 108α + 1α + 6α 6 + + 6 9 7α + 108α + 1α + 6α 6 7 7 9 1 + + όρ 1 όρ ( x ) x ( ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( x ) 8 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : ( x ) ( x ) + ( ) x + x x 8 x + 16 x 6 x 9 6 6 9 6 6 8 8 x + 96 x 6 x Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα α β ( α + β ) α - β 1 όρ όρ ΕΞΥΠΝΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ!!! ο ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τον 1 όρο µας τον δείχνει η παρένθεση της διαφοράς ( α β). α β β α Άρα : x ( )( ) α β β α x 9x 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 α+ β β α α+ β β α β α β α 9β α 9β + α ( α+β ) ( α β) ( α β ) ( α+β) ( β+α ) ( β ( α) ) Μαθηματικός Τηλ 106176-7 /10600
9 Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις : 8 6 1 16x x [ ] Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα : α - β α - β α + β ιαφορά Τετραγώνων 1 Για αριθµούς χρησιµοποιούµε τον ορισµό της ρίζας. Άρα : 16, Για τις µεταβλητές διαιρούµε τον εκθέτη µε το 8 6 8 6 Άρα : x x x, 1 1 6 x x x, 8 6 1 8 6 1 6 Την παράσταση 16x x την γράφουµε:16x x x x 1 όρ όρ M ε βάση την παραπάνω ταυτότητα έχουµε : 16x x x x x x x + x 1 όρ όρ 8 6 1 6 6 6 10 Να αποδείξετε ότι : ( α β ) ( α 1 +β 1 ) ( α +β ) ( α 6 β 6 ) + ( α 1 β 1 ) ( β α 1 β 1 ) Θα ξεκινήσουµε από το 1 µέλ για να καταλήξουµε στο. Θα οµαδοποιήσουµε τις παρενθέσεις σε αύξουσα σειρά των δυνάµεων Έτσι θα έχουµε: ο 6 6 1 1 1 1 α β α +β α β α +β + α β ιαφορά Τετραγώνων α β α+β α β 6 6 1 1 1 1 α β α β α +β + α β 6 6 6 6 1 1 1 1 α β α +β α +β + α β 6 6 6 6 1 1 1 1 6 6 1 1 1 1 α β α +β α +β + α β α β α +β + α β ιαφορά Τετραγώνων α β α+β α β Μαθηματικός Τηλ 106176-7 /10600 ο ( α β ) α αβ+β 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 α β α +β + α β α β + α β ιαφορά Τετραγώνων α β α+β α β ( 1 1) 1 1 α β +α α β +β α β α β +β + α Τετράγωνο ιαφοράς 1 1 1 1 α β +β β α β
11 Να µετατραπούν τα παρακάτω κλάσµατα σε ρητούς παρονοµαστές. 8 1 10 i) ii) iii) iv) 8+ 6 7 + 7 Για να έχουµε σε ένα κλάσµα ρητό παρονοµαστή πρέπει να µην υπάρχουν ρίζες. Την απαλοιφή τους θα την καταφέρουµε πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή πάρασταση όπως µας δείχνει ο παρακάτω πίνακας. Μορφή Συζυγή Αποτέλεσµα α+β α β α β α β α+β α β α+ β α β α β α β α+ β α β κ α+β κ α β κα β κ α β κ α+β κα β κ α+λ β κ α λ β κα λβ κ α λ β κ α+λ β κα λβ **** Ιδιότητα ριζών : α α *** Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα ΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ : α β α+β α β α 8 i) ( ) ( + ) [ πρόσηµο] 8 8 ( + ) 8 ( + ) ( ) ( )( + ) ( ) της η οποία είναι η. Αλλάζουµε απλά το ( + ) ( ) [ πρόσηµο] 1 1 ( 8 ) 1 ( 8 ) ( 8+ ) ( 8+ )( 8 ) ( ) 8 ( + ) 8 + ( ) 16 11 1 ii) 8+ της 8 η οποία είναι η 8. Αλλάζουµε απλά το 1 ( 8 ) 1 8 ( 8) 8 17 Μαθηματικός Τηλ 106176-7 /10600
iii) 6 7 ( ) ( + ) [ πρόσηµο] ( 6 7+ ) ( 6 7+ ) ( 6 7 ) ( 6 7 )( 6 7+ ) της 6 7 η οποία είναι η 6 7. Αλλάζουµε απλά το 6 7+ 7+ 1 70 70 ( ) ( ) 6 8 ( 7+ ) ( 7+ ) 10 iv) + 7 70 ( + ) ( ) [ πρόσηµο] 10 10 ( 7 ) 10 ( 7 ) ( + 7 ) ( + 7 )( 7 ) της 7 η οποία είναι η 7. Αλλάζουµε απλά το 18 6 7+ 10 7 10 7 70 1 1 Αν x να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: x 1 1 1 1 i) x + ii) x iii) x ( 1+ x) + 1, x 0 x 8x x x Θα χησιµοποιήσουµε τις εξής ταυτότητες: ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΙΑΦΟΡΑΣ : α β α αβ+β ΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒ ΩΝ : α β ( α β)( α +αβ+β ) 18 7 ( ) ( ) ΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ!!!! : Άθροισµα Κύβων α +β α+β α αβ+β 6 7+ 6 7+ 6 8 9 88 18 10 7 10 7 9 9 98 1 i) Θα υψώσουµε την ισότητα x στο τετράγωνο και τα µέλη. x 1 Άρα θα έχουµε: x x x x 1 x + 16+ 1 1 x + 17 x x 1 x 1 1 + 16 x 1+ 16 x x Μαθηματικός Τηλ 106176-7 /10600 6
1 1 1 1 1 Άρα θα έχουµε: x x x x + x + 8x x x x x 1 όρ όρ ii) Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα ΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ : α β α β α +αβ+β 1 1 1 x x + 1 1 1 x + x 17 x + + + 70 x x x ίσο µε ίσο µε 17 iii) Eφαρµόζουµε την Επιµεριστική Ιδιότητα 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x ( 1+ x) + 1 x 1+ x x + 1 x + x + x + + x x x x x x x x x x 17+ 70 87 17 70 1 Να αποδείξετε ότι : 1+ + 7 8 + 11 6 + 7 8 Σε τέτοιου είδους ασκήσεις προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε Ταυτότητες του τετραγώνου της µορφής : ( α± β ) ( α ) ± α β+ ( β) Έ χουµε : 1+ + 7 8 + 11 6 + 7+ 7 + 7 8 + 8+ 6 + 7 + 7 + 7 8 + 8 + 6 + 7 + 7 + 7 8 + 8 + ( α+β) + 7 + 7 + 7 8 + 8 + 8 ( 7) ( 7) ( 8 ) ( 8 ) ( α β) ( α β) + + + ( 7) ( 8 ) ( 7) ( 8 ) + + Μαθηματικός Τηλ 106176-7 /10600 7