Περίληψη Κεφάλαιο 5 Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Επαναληπτικά συνδυαστικά κυκλώµατα υαδικός Αθροιστής Μισός και Πλήρης Αθροιστής Κυµατικό κρατούµενο και Προ-υπολογιτέο κρατούµενο υαδική Αφαίρεση υαδικοί Αφαιρετές υαδικοί αριθµοί µεπρόσηµο Πρόσθεση αφαίρεση αριθµών µεπρόσηµο Υπερχείλιση υαδικός Πολλαπλασιασµός Άλλες δυαδικές συναρτήσεις hapter 5 hapter 5 Επαναληπτικά συνδυαστικά κυκλώµατα (Iterative ombinational ircuits) Αριθµητικές Συναρτήσεις Χειρίζονται δυαδικά δυανίσµατα Εφαρµόζουν την ίδια συνάρτηση σε κάθε σειρά των bits Μπορούµενασχεδιάσουµε µονάδες συναρτήσεων για κάθε υποσυνάρτηση και επαναχρησιµοποιούµε την µονάδα για να σχεδιάζουµεκύκλωµαγιατη συνάρτηση Κελί (ell) µονάδα υποσυνάρτηση (subfunction block) Επαναληπτικός Πίνακας (Iterative array) ένας πίνακας συνδεδεµένων κελιών Ο επαναληπτικός πίνακας µπορεί να είναι µίας (D) ή πολλαπλών διαστάσεων hapter 5 ιάγραµµαενόςd επαναληπτικού πίνακα A n- B n- n- n ell n- n- ell n n- Παράδειγµα: n = Αριθµός εισόδων =? Γραµµές του Πίνακα Αληθείας =? Συναρτήσεις? µε µεταβλητές εισόδου Συναρτήσεις µε πολλούς όρους Σχεδίαση µη-πραχτική! Ο επαναληπτικός πίνακας εκµεταλλεύεται την ιδιοµορφία για να κάνει πραχτική την σχεδίαση A B A 0 B 0 ell 0 0 0 0 hapter 5 4 Συναρτησιακές Μονάδες: Αθροιστής (Functional Blocks: Addition) Στον Υ/Ηγίνεταισυχνήχρήσητηςδυαδικής πρόσθεσης Σταδιακή Ανάπτυξη Αθροιστή : Μισός Αθροιστής (Half-Adder -HA), -bit εισόδων συναρτησιακή µονάδα πρόσθεσης Πλήρης Αθροιστής (Full-Adder -FA), -bit εισόδων συναρτησιακή µονάδα πρόσθεσης Αθροιστής κυµατικού κρατουµένου (Ripple arry Adder), επαναληπτικός πίνακας διεξαγωγής δυαδικής πρόσθεσης Αθροιστής µε Προ-υπολογιτέο κρατούµε (arry-look- Ahead Adder LA), ένα ιεραρχικό κύκλωµα µε βελτιωµένη απόδοση. Συναρτησιακή Μονάδα: Μισός Αθροιστής (Half-Adder ΗΑ) υαδικός αθροιστής µε -εισόδους του ενός bit οοποίος εκτελεί τις ακόλουθους υπολογισµούς: 0 0 + + 0 + + 0 + 0 0 0 0 0 Ο ΗΑ προσθέτει δυο bits γιαναπαράξειτοδυο-bit άθροισµά τους Το άθροισµα εκφράζεταιως 0 0 0 0 bit άθροισµα (sum bit), 0 0 και το κρατούµενο (carry bit), 0 0 Πίνακας αλήθειας του Μισού αθροιστή για το και 0 hapter 5 5 hapter 5 6
Λογική Απλοποίηση: Half-Adder Το K-Map για, είναι: Πάρα πολύ απλός πίνακας! Συναρτήσεις: = + = = ( + ) ( + ) και = = (( ) ) Αυτές οι εξισώσεις οδηγούν σε πολλές υλοποιήσεις. 0 0 Πέντε Σχέδια Κυκλώµατος: Half-Adder Αυτές οι συναρτήσεις ισχύουν για ένα µισό Αθροιστή: (a) = + (d) = ( + ) = (b) = ( + ) ( + ) (e) = = ( ) = = + (c) = ( + ) = (a), (b), είναι (e) είναι OP, PO, και OR υλοποιήσεις για το. hapter 5 7 hapter 5 8 Implementations: Half-Adder Πλήρης Αθροιστής: Full-Adder Ηποιοσυνηθισµένη υλοποίηση είναι : (e) = = Με πύλες NAND µόνο είναι: = ( + ) = (( ) ) hapter 5 9 Οπλήρηςαθροιστήςείναιπαρόµοιος µετονµισό, όµως περιέχει ένα κρατούµε bit εισόδου (carry-in) από τα προηγούµενα στάδια. Ο FA υπολογίζει το άθροισµα και και το κρατούµενο bit,. Εάν το κρατούµενο (Z) είναι 0, τότε FA είναι το ίδιο µετοηα: Όταν το κρατούµενο (Z) είναι : Z 0 0 0 0 0 0 + + 0 + + 0 + 0 0 0 0 0 Z 0 0 + + 0 + + 0 + 0 0 0 hapter 5 0 Λογική Απλοποίηση : Full-Adder Συναρτήσεις: Full-Adder Πίνακας Αλήθειας Full-Adder: Full-Adder K-Map: Z 0 4 5 7 6 Z 0 4 5 7 6 Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 hapter 5 Από τον πίνακα K-Map, έχουµε: = Z + Z + Z + Z = + Z + Z Ησυνάρτηση είναι -bit OR συνάρτηση (Odd Function): = Z Το κρατούµενο (arry) bit είναι εάν και είναι (άθροισµα είναι), ήόταντοάθροισµα είναι και το προηγούµενο κρατούµενο (carry-in - Z) είναι. Το µπορεί να γραφτεί σαν : = + ( ) Z Οόρος παράγει το κρατούµενο (carry generate). Οόρος µεταδίδει το κρατούµενο (carry propagate) hapter 5
Υλοποίηση: Full Adder υαδικοί Αθροιστές ιάγραµµα Full Adder Οι µεταβλητές,, Z, και (στις συναρτήσεις) έχουν ονοµαστεί A, B, i και o, αντίστοιχα. Επίσης, G = generate και P = propagate. Το κύκλωµα είναι συνδυασµός ενός -bit περιττής συνάρτησης (το ) και κυκλώµατος του κρατούµενου ( o ): G i i+ A i B i P i i (G = Generate) OR (P =Propagate AND i = arry In) o = G + P i i Για την πρόσθεση πολλών bits ενώνουµεταbits σε διανύσµατα και χρησιµοποιούµεσυναρτησιακές µονάδες οι οποίες παρατούν στα διανύσµατα Παράδειγµα: 4-bit αθροιστής µεκυµατικό κρατούµενο (ripple carry adder): Προσθέτει τα διανύσµατα εισόδου A(:0) και B(:0) και το αποτέλεσµα είναιτο διάνυσµα (:0) Description ubscript 0 Name arry In 0 0 i Augend 0 A i Addend 0 0 B i um 0 i arry out 0 0 i+ Το κρατούµενο του κελί i µεταφέρεται ως κρατούµενο εισόδου (carry in) στο κελί of cell i + hapter 5 hapter 5 4 4-bit Ripple-arry Binary Adder 4-bit αθροιστής Ripple arry από 4 πλήρης αθροιστές ενός bit. B A FA B A B A FA FA B 0 A 0 FA 0 Απόσταση και Καθηστέριση του Κρατούµενου (arry Propagation & Delay) Ένα πρόβληµα µε την πρόσθεση είναι ο χρόνος µετάδοσης του κρατούµενου από το πιο ασήµαντο bit στο πιο σηµαντικό bit. Το σχήµα δείχνειτηνδιαδροµή-από-πύλες του κρατούµενου στον αθροιστή του προηγουµένου παραδείγµατος: A A A 0 A B B B B 0 0 4 0 4 hapter 5 5 0 Η µεγάλη διαδροµή είναιαπότο A 0 ή B 0 έως το. Το κρατούµενο περνά από n+ πύλες. hapter 5 6 Προ-υπολογισµός κρατούµενου (arry Προ-υπολογισµός κρατούµενου (arry Στο στάδιο i του Full Adder, ξέρουµε ότιθαπαραχθεί κρατούµενο (carry generated) όταν A i = B i = "", ανεξάρτητα από την τιµή που έχει το κρατούµενο εισόδου (carry-in). Εναλλακτικά, θα υπάρχει µετάδοση κρατούµενου (carry propagated) εάν το «µισό άθροισµα» είναι και το κρατούµενο από το προηγούµενο στάδιο είναι. Παραγωγή κρατούµενου συµβολίζεται µε G i (generate) και η µετάδοση µε P i (propagate), στο κύκλωµα: G i A i B i P i i Στο κύκλωµα ripple carry adder: Gi, Pi, και i είναι τοπικά σε κάθε συναρτησιακή µονάδα i είναιεπίσηςσεκάθεκελί Στο carry lookahead adder, για να µειωθεί η αλυσιδωτή µετάδοση του κρατούµενου, το i µετατρέπεται σε µια γενική συνάρτηση µεεµβέλεια πολλών κελιών. Συναρτήσεις του πλήρη αθροιστή µε µεταβλητές P i και G i : P i = Ai Bi Gi = Ai Bi i = Pi i i+ = Gi + Pi i i+ i hapter 5 7 hapter 5 8
Προ-υπολογισµός κρατούµενου (arry Ανάπτυξη του arry Lookahead i+ µπορεί να αναιρεθεί από τα κελιά και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την δηµιουργία εξισώσεων κρατούµενου για τα µπροστινά κελιά. Εξισώσεις για το κάθε κρατούµενο 0 : = G 0 + P 0 0 = G + P = G + P (G 0 + P 0 0 ) = G + P G 0 + P P 0 0 = G + P = G + P (G + P G 0 + P P 0 0 ) = G + P G + P P G 0 + P P P 0 0 4 = G + P = G + P G + P P G + P P P G 0 + P P P P 0 0 hapter 5 9 hapter 5 0 Προ-υπολογισµός κρατούµενου (arry Προ-υπολογισµός κρατούµενου (arry OR: χρόνος µετάδοσης δυο πυλών ( gate time delay) 4 bit RA: n + 4 bit LA: µετάδοση σε 6 πύλες (gate delay). Το P 0, P, P έχουν από gate delay το καθένα 6 bit: 4 vs 0 64 bit: 0 vs 4 hapter 5 hapter 5 Κύκλωµα γιαgroup arry Lookahead Παράδειγµα 6 bit arry Lookahead Το προηγούµενο κύκλωµα δείχνει τις συναρτήσεις για 4 bit αθροιστή. Αυτό το κύκλωµα µπορεί να επεκταθεί για περισσότερα bits. Λόγω του περιορισµού εισόδων σε µια πύλη (fan-in), η επέκτασητουίδιου κυκλώµατος δεν είναι εφικτή. Επεκτείνουµε τοκύκλωµα µε ένα άλλο επίπεδο παράγοντας τις συναρτήσεις group generate (G 0- ) και group propagate (P 0- ) : G0 = G + P G + P P G + P P P P0 G0 P0 = P P P P0 Με αυτές τις εξισώσεις µπορούµε ναενώσουµε 4 αθροιστές των 4 bit κάνοντας χρήση της ίδιας λογικής υπολογισµού κρατούµενου, για να σχεδιάσουµε ένα γρήγορο αθροιστή των 6 bit. 4 = G0 + P0 0 Προδιαγραφές: 6-bit LA LA LA LA LA Delays: LA NOT = OR = Isolated AND = AND-OR = Τελική καθηστέριση: Ripple carry adder* = + 5 + = 6 LA = + + = hapter 5 *ee slide 6 hapter 5 4 4
Αφαίρεση χωρίς πρόσηµο Αφαίρεση χωρίς πρόσηµο Αλγόριθµος: Αφαίρα τον αριθµό Ναπότοναριθµό Μ Αν δεν δανειζόµαστε από το πιο σηµαντικό ψηφίο, τότε M N, και το αποτέλεσµα είναι ένας θετικός αριθµός, και είναι σωστό. Εάν δανειζόµαστε από το πιο σηµαντικό ψηφίο, τότε N > M και ο αριθµός M N + n αναιρείτε από το n, και βάζουµετο πρόσηµο στο αποτέλεσµα. Παράδειγµα: 0 00 000 0 0 000 0 0000 0 ( ) 00 hapter 5 5 Ηαφαίρεση, n N, χρησιµοποίει το συµπλήρωµατου s του N Το κύκλωµα που κάνει πρόσθεση και αφαίρεση A χωρίς πρόσηµο : Πολύ Πολύπλοκο! Borrow Binary adder Στόχος: Χρήση του ιδίου κυκλώµατος για πρόσθεση και αφαίρεση. elective omplement Γίνεται χρήση συµπληρωµάτων των 0 ubtract/add Quadruple -to- multiplexer δυαδικών αριθµών. Result B Binary subtractor 's complementer hapter 5 6 υαδικό Συµπλήρωµα (omplements) Τα συµπληρώµατα του δύο (Two complements): Μειωµένο Συµπλήρωµα ΒάσηςΝ(Diminished Radix omplement of N) Γενικά: (r ) s συµπλήρωµα γιαβάσηr s συµπλήρωµα γιαβάση Ορίζεται: (r n ) Ν Συµπλήρωµα Βάσης(Radix omplement) Γενικά: r s συµπλήρωµα γιαβάσηr s συµπλήρωµα σε δυαδικό (complement in binary) Ορίζεται: r n N Αφαίρεση µετατρέπεται σε πρόσθεση του συµπληρώµατος του αφαιρετέου (Ν) Αν το αποτέλεσµαείναιαρνητικό, παίρνει το s συµπλήρωµα Το συµπλήρωµα του-ς( Binary 's omplement) Για r =, N = 000, n = 8 (8 ψηφία): (r n ) = 56 - = 55 0 or Το συµπλήρωµα 's του 000 είναι: 000 00000 Εφόσον ο όρος n είναι µόνο 's και 0 = και = 0, το συµπλήρωµα του ενός βγαίνει από τη µετατροπή του κάθε bit. (bitwise NOT). hapter 5 7 hapter 5 8 Το συµπλήρωµα του (Binary 's omplement) Για r =, N = 000, n = 8 (8 ψηφία), έχουµε: (r n ) = 56 0 or 00000000 Το συµπλήρωµατουδύο('s) του 000 είναι: 00000000 000 0000 Το αποτέλεσµαείναιτοσυµπλήρωµα του ενός συν ένα (). Χρήσιµο για τη σχεδίαση υλικού. n Ν = [( n ) N] + Εναλλακτικός Τρόπος Εύρεσης Συµπληρώµατος του. Είσοδος: n-bit δυαδικός αριθµός. Ξεκίνα από το πιο ασήµαντο bit έως το πιο σηµαντικό και: Αντέγραψε όλα τα ασήµαντα γειτονικά µηδενικά (0) Αντέγραψε το πρώτο Μετέτρεψε (συµπλήρωσε) όλα τα bit που ακολουθούν. Παράδειγµα s Συµπληρώµατος : 00000 Αντέγραψε τα ασήµαντα 0 έως το πρώτο : 00 Μετέτρεψε τα bits στα αριστερά: 0000 hapter 5 9 hapter 5 0 5
Αφαίρεση µε τοσυµπλήρωµα του Για n-ψηφία, αριθµούς χωρίς πρόσηµο M και N, βρες το M N στη βάση : Πρόσθεσε το συµπλήρωµα του δύο του Ν στο Μ. Το αποτέλεσµα είναι: M + ( n N) = M N + n Αν M > N, η πρόσθεση παράγει ένα τελικό κρατούµενο n το οποίο το αγνοούµε. Το αποτέλεσµα παραµένει M N. Αν M < N, η πρόσθεσηδενπαράγειτελικό κρατούµενο, και είναι ίσον µε n ( N M ), το συµπλήρωµα του δύο του ( N M ). Γιαναπάρουµε τελικό αποτέλεσµα (N M), υπολογίζουµετοσυµπλήρωµα του δύο της πρόσθεσης και βάζουµετοπρόσηµο στα αριστερά του. hapter 5 Παράδειγµα : Unsigned s omplement ubtraction Βρές 00000 00000 00000 00000 00000 s comp + 00 000000 Το τελικό κρατούµενο το αγνοούµεκαι το τελικό αποτέλεσµαείναισωστό. hapter 5 Παράδειγµα : Unsigned s omplement ubtraction Βρες 00000 00000 0 00000 00000 00000 s comp + 0000 0 000000 Το κρατούµενο 0 δείχνει ότι πρέπει να διορθώσουµε τοαποτέλεσµα της πρόσθεσης. Τελικό αποτέλεσµα = (000000) s comp hapter 5 Αφαίρεση µεμειωµένο ΣυµπλήρωµαΒάσης Για n-ψηφία, αριθµούς χωρίς πρόσηµο M και N, βρες το M N στη βάση : Πρόσθεσε το συµπλήρωµα 's του Ν στο Μ : M + ( n N) = M N + n Αν M > N, το αποτέλεσµα υπερβαίνει κατά n. Το τελευταίο κρατούµενο n όταν το καταργούµε, αφαιρεί το n, και το αποτέλεσµα είναιµικρότερο κατά. Για να γίνει διόρθωση, όποτε έχουµε κρατούµενο στο τέλος της πρόσθεσης, προσθέτουµε τοαριθµό στοτελικόαποτέλεσµα. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται «επιστροφή» κρατούµενου (end-around carry). Αν M < N, το άθροισµα δεν παράγει τελικό κρατούµενο και, από την εξίσωση είναι ίσον µε n ( N M ), δηλαδή, το συµπλήρωµα 's του ( N M ). Γιαναπάρουµε τοτελικόαποτέλεσµα (N M), γράφουµε το συµπλήρωµα του's του αθροίσµατος και βάζουµε τοπρόσηµο στο αποτέλεσµα. hapter 5 4 Παράδειγµα : Αφαίρεση µεμειωµένο ΣυµπλήρωµαΒάσης Βρές 00000 00000 00000 00000 00000 s comp + 000 0000000 + 000000 Έχουµε επιστροφή του κρατούµενου από το τέλος στη αρχή. (The end-around carry occurs.) Παράδειγµα : Αφαίρεση µεμειωµένο Συµπλήρωµα Βάσης Βρές 00000 00000 00000 0 00000 00000 s comp + 000 00 000000 Το κρατούµενο 0 δείχνει ότι το τελικό αποτέλεσµαπρέπειναδιορθωθεί. Τελικό αποτέλεσµα = (000000) s comp hapter 5 5 hapter 5 6 6
Κύκλωµα Πρόσθεσης/Αφαίρεσης του συµπληρώµατος του Ηαφαίρεσηµετατρέπεται σε πρόσθεση του συµπληρώµατος του.. Συµπλήρωσε (κάθε bit ('s omplement.). Πρόσθεσε στο αποτέλεσµα. Το κύκλωµα υλοποιείa + B and A B: Για =, αφαίρεση, B το συµπλήρωµα του A B A B A B 0 A 0 του B βγαίνει από τις ORs, δηλ. το συµπλήρωµα του s και προσθέτει µέσω του 0. Για = 0, πρόσθεση, FA FA FA FA B µεταδίδετε χωρίς καµιά αλλαγή. 4 0 0 hapter 5 7 Ακέραιοι µεπρόσηµο (igned Integer) Οι θετικοί αριθµοί και το µηδέν σχηµατίζονται από ένα αριθµό n-ψηφίων, χωρίς πρόσηµο, στη βάση r. Χρειαζόµαστε επίσης αναπαράσταση αρνητικών αριθµών. Για την αναπαράσταση του πρόσηµου (+ ή -) χρειαζόµαστε µόνο ένα bit ( bit διακρίνει = στοιχειά). Επειδή οι υπολογιστές χρησιµοποιούν δυαδικούς αριθµούς, έχει συµφωνεί να γίνει χρήση του πιο σηµαντικού bit ως πρόσηµο: s a n a a a 0 όπου: s = 0 για θετικούς αριθµούς s = για αρνητικούς αριθµούς και a i = 0 ή δείχνει τη διάσταση (magnitude) hapter 5 8 Αναπαράσταση Ακέραιων µε Πρόσηµο Αναπαράσταση Ακέραιων µε Πρόσηµο ιάσταση µεπρόσηµο (igned-magnitude) τα n ψηφία ερµηνεύονται ως θετική διάσταση Συµπλήρωµα µεπρόσηµο (igned-omplement) τα ψηφία ερµηνεύονται ως το συµπλήρωµατου αριθµού. Υπάρχουν δύο πιθανά σενάρια: igned 's omplement Κάνει αριθµητική µε τοσυµπλήρωµα του's igned 's omplement Κάνει αριθµητική µε τοσυµπλήρωµα του's hapter 5 9 hapter 5 40 Αριθµητική µε ΠρόσηµοκαιΣυµπλήρωµα (igned-omplement Arithmetic) Πρόσθεση:. Πρόσθεσε τους αριθµούς συµπεριλαµβανοµένου και του πρόσηµου, αγνοώντας το τελικό κρατούµενο (πχ. ('s omplement) ήτηµεταφορά του κρατούµενου (πχ. 's omplement).. Αν το πρόσηµο ήταντοίδιοκαιστουςδυοαριθµούς καιτοτελικόαποτέλεσµα έχει διαφορετικό πρόσηµο, τότε έχει συµβεί υπερχείλιση.. Το πρόσηµο του αποτελέσµατος έχει υπολογιστεί στο βήµα. Αφαίρεση: Σχηµάτισε το συµπλήρωµα τουαριθµού που θα αφαιρεθεί και ακολούθα τους κανόνες για την πρόσθεση (±A)-(+B) = (±A)+(-B) (±A)-(-B) = (±A)+(+B) hapter 5 4 Παράδειγµα igned s omplement Example : +6 000000 + 00000 +9 00000 Example : -6 00 -(-) -00 +7 00-6 00 + 00000 +7 00000 00 + 00000 00000 +6 000000-00 -7 00-6 00-00 -9 00 +6 000000 -(-) -00 +9 hapter 5 4 7
Εντοπισµός Υπερχείλισης (Overflow Detection) Υπερχείλιση συµβαίνει όταν απαιτούνται n + bits για να αποθηκευόσουν το αποτέλεσµα τηςπρόσθεσηςή αφαίρεσης δυο αριθµών των n-bit Υπερχείλιση µπορεί να συµβεί όταν: Προσθέτουµε αριθµούς µε τοίδιοπρόσηµο Αφαιρούµε αριθµούς µε διαφορετικό πρόσηµο Παράδειγµα + 70 0 0000 + 80 0 00000 +50 0000-70 000-80 00000-50 0 000 Οεντοπισµός µπορεί να γίνει µε την σύγκριση του κρατούµενου (carry-in) στη πρόσθεση του πρόσηµου και του τελικού κρατούµενου της πρόσθεσης (carry-out). Εντοπισµός Υπερχείλισης (Overflow Detection) Κύκλωµα εντοπισµού υπερχείλισης hapter 5 4 hapter 5 44 8