ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από τον Φοιτητή: Φεβρουαρίου 6 Οι πρώτες ασκήσεις της ης εργασίας είναι επαναληπτικές του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Γραµµική Άλγεβρα» των Μ. Χατζηνικολάου και Γρ. Καµβύσα, ενώ οι υπόλοιπες ασκήσεις της εργασίας αναφέρονται στα θέµατα : Κεφάλαιο (Συναρτήσεις Ακολουθίες Όρια) Κεφάλαιο (Σειρές) του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Λογισµός Μιας Μεταβλητής» του Γ. άσιου. Βοηθητικό υλικό: Για την εργασία µπορείτε να συµβουλευθείτε το υλικό που υπάρχει στη διεύθυνση http://edu.eap.gr/pli/pli/studets.htm Από το ΣΕY: Ακολουθίες, Σειρές. Άσκηση. ( µονάδες). α) Για ποιές τιµές της παραµέτρου a το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση, άπειρες λύσεις ή καµία λύση; x y + z x + ay + z a ax + y z Για τις τιµές εκείνες για τις οποίες το σύστηµα έχει λύση, να βρείτε την (ή τις) λύση(εις) του. 4 4 β) ίνεται η γραµµική απεικόνιση f : R R µε f ( x, y, z, w) ( x y+ w, x+ z+ w, x+ y+ zw, x+ y+ 5 z+ w) Να βρεθεί µια βάση του πυρήνα Kerf και µια βάση της εικόνας Im f.
Λύση: α) Υπολογίζουµε την ορίζουσα του πίνακα a. a Είναι a ( a+ a ). Εποµένως, αν a ο πίνακας a a αντιστρέφεται και το σύστηµα έχει µοναδική λύση A X, όπου X a. Είναι A a+ a+ a+ a+ a ( a+ ) ( a+ ) ( a+ ) και εποµένως A X, δηλαδή x, y, z. Αν τώρα a το σύστηµα γίνεται x y+ z x y+ z x + y z σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το Παρατηρούµε ότι οι δύο πρώτες γραµµές είναι ίσες. Άρα το εξίσωση x y+ z x y z+. Άρα οι άπειρες λύσεις του συστήµατος είναι οι τριάδες x y+ z που και αυτό είναι ισοδύναµο µε την x + y z ( xyz,, ) ( y z+, yz, ) (,,) + y(,,) + z(,,), όπου yz, R. β) Βρίσκουµε τον πυρήνα. Έχουµε το σύστηµα x y+ w x + z + w x + y + z w x+ y+ 5z+ w
Παίρνουµε τον πίνακα του συστήµατος και κάνουµε 5 γραµµοπράξεις Γ Γ + Γ Γ ΓΓ Γ Γ Γ Γ 4 4Γ 5 5 Οι δύο τελευταίες γραµµές είναι ίσες και συνεπώς µπορούµε να δουλέψουµε µε τον πίνακα Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ + Γ 6 6 4 4 6 6 Γ Γ+Γ Γ Γ + Γ 6 4 6 Το σύστηµα γίνεται x w 6 x w 6 y w y w 6 6 4 4 z+ w z 6 w 6 Εποµένως το τυχαίο στοιχείο ( x, yzw,, ) του πυρήνα γράφεται 4 4 ( xyzw,,, ) ( w, w, ww, ) w(,,,), όπου w R. Το µονοσύνολο 6 6 6 6 6 6 5 {(,,,)} αποτελεί βάση του Kerf. Εφόσον dimkerf, έπεται ότι R. 4 dim Im f dim dim Kerf 4
Ο πίνακας τώρα της f είναι ο. Οι στήλες του αποτελούν 5 γεννήτορες της εικόνας. Παρατηρούµε ότι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει αν διαγράψουµε την τελευταία γραµµή και την τελευταία στήλη είναι 6. Άρα οι τρεις πρώτες στήλες είναι γραµµικώς ανεξάρτητες και εποµένως αποτελούν βάση της εικόνας. 4
Άσκηση. ( µονάδες) ίνεται ο πίνακας A α όπου α πραγµατικός αριθµός. α) Ελέγξτε αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος και βρέστε τις ιδιοτιµές του για κάθε α. β) Για α 4 να βρεθεί ορθοµοναδιαίος πίνακας P τέτοιος ώστε A PDP όπου D είναι διαγώνιος πίνακας µε διαγώνια στοιχεία του τις ιδιοτιµές του Α. T γ) ιερευνήστε αν για κάποιες τιµές του α > η τετραγωνική µορφή x Ax (στην κανονική βάση) είναι θετικά (ή αρνητικά) ορισµένη, θετικά (ή αρνητικά) ηµιορισµένη ή αόριστη (δηλ. τίποτε από αυτά) Υπόδειξη: βλ. παράγρ..7, σελ. 7 του βιβλίου. Λύση. α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι το παρακάτω: s det ( si A) det s α s ( ) ( 8) ( ) ( 8) s a s a s + + ( ) s s + a s+ a Παρατηρούµε µια από τις ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι το s και συνεπώς δεν είναι αντιστρέψιµος. Οι υπόλοιπες ιδιοτιµές είναι οι λύσεις της δευτεροβάθµιας εξίσωσης s + a s+ a 8 ( ) ( ) δηλαδή οι ( a ) ± ( a ) 4( a 8) a + ± a 4a + 6 s a + ± ( a ) + (β) Για α4 οι ιδιοτιµές θα είναι : 4+ ± 4 4 4+ 6 6± 6 6 s, s Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στον πίνακα Α είναι αντίστοιχα : Για s 5
x x y z x 4 y y y y + z z z z και άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι τα,. Για s6 6 x z x x 6 4 y y z y z 6 z z z και άρα έχουµε το ιδιοδιάνυσµα :. Ο πίνακας P ο οποίος αναζητούµε είναι ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα των δεξιών ιδιοδιανυσµάτων : P 5 6 και 4 6 A P Σηµείωση. Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές 6 και είναι ορθογώνια µεταξύ τους επειδή ο πίνακας είναι συµµετρικός. εν ισχύει όµως το ίδιο για τα δύο ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στο, τα οποία δεν είναι µεταξύ τους ορθογώνια. Θα µπορούσαν όµως να γίνουν µε την µέθοδο Gram-Schmidt : D P 6
v v i 5 ή v 5 5 5 i v v v v 5 5 ενώ στην ιδιοτιµή s6 αντιστοιχεί το κανονικό ιδιοδιάνυσµα u u 6 Συνεπώς σχηµατίζουµε τον ορθογώνιο πίνακα που έχει ως στήλες τα παραπάνω ιδιοδιανύσµατα και έχουµε 5 6 P 5 6 5 6 T PDP A (γ) Απαραίτητη προϋπόθεση για να είναι η τετραγωνική µορφή T T x Ax θετικά (αρνητικά) ορισµένη είναι να έχει όλες τις ιδιοτιµές της θετικές (αρνητικές), πράγµα που δεν συµβαίνει στον πίνακα Α εφόσον διαθέτει µια µηδενική ιδιοτιµή. η 7
τετραγωνική µορφή T x Ax θα ήταν θετικά (αρνητικά) ηµιορισµένη αν οι ιδιοτιµές της είναι θετικές (αρνητικές) ή µηδέν. Συνεπώς θα ελέγξουµε το πρόσηµο των ιδιοτιµών του πίνακα Α δηλ. s a + ± ( a ) + Η ιδιοτιµή s a + + ( a ) + T είναι πάντα θετική εφόσον α> και άρα η τετραγωνική µορφή x Ax δεν µπορεί να είναι αρνητικά ηµιορισµένη. Η ιδιοτιµή είναι θετική αν a + ( a ) + s a + ( a ) + a + ( a ) + ( a + ) ( a ) + a + 4a + 4 a 4a + 4+ Άρα η τετραγωνική µορφή αόριστη για 4a 4a + 8a a 4 T x Ax θα είναι θετικά ηµιορισµένη για ενώ θα είναι a < 4. Παρακάτω δίνουµε µια γραφική παράσταση του γεωµετρικού τόπου των ιδιοτιµών του πίνακα Α για a. a 4 8
Οι ιδιοτιµές ξεκινούν για α από τα σηµεία µε το σηµάδι x και παριστάνονται µε διαφορετικά χρώµατα (πράσινη η µια και κόκκινη η άλλη). Η µια ιδιοτιµή είναι στο µονίµως ενώ οι άλλες δύο ξεκινούν για α από τα σηµεία a + ( a ) + a + + ( a ) + lima και lima 4 και καθώς αυξάνεται το α η µεν πρώτη καταλήγει στο a + ( a ) + lima + ενώ η άλλη στο lim a + a + + ( a ) + + άπειρο. Για α4 έχουµε a + ( a ) + lima 4 και a 4 όλες είναι θετικές ή µηδέν. Για a θα έχουµε αντίστοιχα a + + ( a ) + lima 4 6 και για Όπου η µια ιδιοτιµή θα είναι αρνητική (πράσινη γραµµή), η µια και η άλλη θετική (κόκκινη γραµµή). 9
Άσκηση. (5 µονάδες) Για τις παρακάτω ακολουθίες να υπολογίσετε το όριο αν υπάρχει. Στην αντίθετη περίπτωση αποδείξτε ότι δεν υπάρχει όριο. α) + lim + + β) lim + ( + ) + γ) lim + + 4 δ) lim + + ε) lim +. 4 + Υπόδειξη : Για την (γ) να λάβετε υπόψιν σας ότι lim e + +. Για την (ε) υπολογίστε όρια όταν για ακολουθίες µορφής a, και για a > (βλέπε a παράδειγµα 5, σελίδα 5, ΣΕΥ). + + + Λύση: α) lim lim lim + + + + + + + lim lim + + +. lim + lim + + + ( + ) ( ) β) lim ( + ( + ) ) lim + + + + + + + + lim lim lim + + + + + + + +. + + + + γ) lim lim + + + + + + + lim lim lim + + + +. + lim e + +
+ + + + + + Ακόµη, lim lim lim + lim e e + + + + + + + + + Άρα lim + + + ee e lim e + + δ) ιαιρούµε µε και παίρνουµε 4 4 4 lim lim 5. + + + + ε) lim lim 4 4 + 4 +. Επειδή < < και < < + + 4 4 4 έχουµε lim lim + 4. + 4 ( + ) + ( ) Ακόµη, lim + lim <. Άρα lim (βλέπε + + + παράδειγµα 5, σελίδα 5, ΣΕΥ). Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι lim. Άρα + + 4 4 + lim lim + 4 +. + + + 4 + 4
Άσκηση 4. (5 µονάδες) (α) ( µονάδες) (i) Βρείτε ένα άνω φράγµα για την ακολουθία µε γενικό όρο α + + + a, a ριζικά (ii) είξτε ότι η ακολουθία ( α ) είναι αύξουσα και εποµένως συγκλίνει. Υπολογίστε το όριό της. (β) ( µονάδες) ίνεται η παρακάτω αναδροµική ακολουθία : a,, a a a a Να υπολογίσετε τον -οστό όρο της ακολουθίας, και στη συνέχεια να υπολογίσετε το όριο της ακολουθίας. Υπόδειξη. Βήµα. Γράψτε την παραπάνω ακολουθία ως εξής : a?? a a a, X?? a a X Βήµα. Υπολογίστε την τιµή του αναδροµικά δηλ. X AX A( AX ) A X X A X X Βήµα. Εφόσον υπολογίσετε το, θα έχετε υπολογίσει και τον -οστό όρο της ακολουθίας a. (γ) (5 µονάδες) Το πλήθος των συγκρίσεων στον αλγόριθµο εύρεσης υπολογισµού του µεγίστουελαχίστου, > αριθµών δίνεται από την αναδροµική ακολουθία: T( ) T +, > Να υπολογίσετε τον γενικό τύπο της ακολουθίας T( ). Υπόδειξη. Χρησιµοποιείστε τη σχέση T( ) T + όπως στο παράδειγµα της σελίδας του ΣΕΥ (ακολουθίες).. Λύση: (Α) (i) Παρατηρούµε ότι α + + + + + α ριζικά ριζικά για κάθε >. Αν s > είναι ένα άνω φράγµα της ( α ), τότε θα έχουµε: α < s + α < + s α + α < +s. Αρκεί να επιλέξουµε το s έτσι ώστε ( )( + s s s s s+ s). Επειδή το s είναι θετικός
αριθµός, αρκεί s. Το µας κάνει. Θα δείξουµε λοιπόν ότι α < για κάθε,, Για έχουµε α <. Έστω ότι α <. Τότε α + < 4 α+ α + <. Η σχέση α < ισχύει λοιπόν για κάθε,, (ii) α α + α α ( α α ) ( α )( α + ) > γιατί < α <. Άρα α > α α > α, γιατί οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί. Εποµένως η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Έστω x lim α. Τότε x lim α lim + α + lim α + x. + Άρα x x x. (Β) Βήµα. x a a a, X a X X A + + + Βήµα. X AX A( AX ) A X A X ( ) A X ιαγωνοποιούµε τον πίνακα Α και βρίσκουµε 5 6 5 5 6 6 A Εποµένως, 5 6 5 5 6 6 5 6 5 5 5 6 5 6 5 6 6 6 ( 5 6 ) ( 6 5 5 6 ) 6 5 5 6 5 + 6 ( 5 6 ) ( 6 5 5 6 ) Βήµα. X A X 6 5 5 6 5 + 6 ( 4 5 + 5 6 ) ( 44 5 + 5 6 ) Εποµένως, ( 4 5 + 5 6 ) και το όριο είναι a U J U
lim a lim ( 4 5 + 5 6 ) (Γ) 5 6 lim 4 + 5 4 + 5 T () T( ) T() + Έχουµε τις σχέσεις: T( ) T( ) + T( ) T( ) + Πολλαπλασιάζουµε την προτελευταία σχέση επί, την αµέσως προηγούµενη επί κ.ο.κ. µέχρι την η, την οποία πολλαπλασιάζουµε επί. T () T ( ) T () + Παίρνουµε τις σχέσεις: T ( ) T ( ) + T( ) T( ) + Με πρόσθεση και διαγραφή των ίσων όρων και από τα δύο µέλη παίρνουµε T ( ) + + + + + ( + + + + ) + + Θα µπορούσαµε επίσης να ακολουθήσουµε την παρακάτω µέθοδο : T( ) T T T + + + + + T... + + + T + + + + T () + + + + + + + + ( ) + + + + + + +, 4
Άσκηση 5. (8 µονάδες) Να υπολογισθούν τα αθροίσµατα των παρακάτω σειρών : α) β) 5 ( )( + ) Υπόδειξη. ιαβάστε από το βιβλίο τα Κεφάλαια. και., και από το Σ.Ε.Υ. τα Κεφάλαια. και.. Λύση: α) 5 5 5 (γεωµετρικές σειρές) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 β) (τηλεσκοπική σειρά) ( )( + ) A B ( A+ B) + ( A B) + ( )( + ) ( ) ( + ) ( )( + ) A+ B ( + B) + B 4B + B / A B A + B A + B A / / ( )( + ) ( ) ( + ) a lim a lim ( ) ( ) 5
Άσκηση 6. (4 µονάδες) Ποια από τις παρακάτω σειρές συγκλίνει και ποια αποκλίνει; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. α) ( + ) β) γ) 4 + + + e δ) ε) στ) 4 + / + ( + ) ( ) Λύση: α) + + + + + +. Η σειρά απειρίζεται θετικά και εποµένως και η σειρά ( + ) απειρίζεται θετικά. β) Χρησιµοποιούµε το γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης µε τη σειρά + (βλέπε ΣΕΥ, σελίδα 7). lim lim + >. Εφόσον η + + + σειρά απειρίζεται θετικά, τότε και η σειρά απειρίζεται θετικά. + γ) Χρησιµοποιούµε το γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης µε τη σειρά <+ 4 lim lim + 4 4 >. Εφόσον η σειρά + + + συγκλίνει θα συγκλίνει και η σειρά. 4 + + + δ) lim +. Άρα η σειρά αποκλίνει. 4 + 4 4 + + + ε) Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου. lim + lim <. Άρα η + + σειρά συγκλίνει. στ) Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου. e Άρα η σειρά αποκλίνει. + e ( + ) lim e lim e >. + e + ( + ) 6
Άσκηση 7. (8 µονάδες) (α) Για ποια από τις τιµές του x συγκλίνει η σειρά : x + (β) ίνεται η παρακάτω σειρά : ( ) ( + ) π. Προσπαθήστε η οποία έχει αποδειχθεί από τον Euler ότι συγκλίνει στον αριθµό να υπολογίσετε το πλήθος + των όρων της σειράς που πρέπει να πάρουµε ώστε να π προσεγγίσουµε το (και συνεπώς και το π) µε ακρίβεια 6 e. Μπορείτε να υπολογίσετε το άθροισµα των + πρώτων όρων και κατά συνέπεια να εκτιµήσετε το π ; Υπόδειξη. Πρώτα αποδείξτε ότι έχουµε µια εναλλάσσουσα σειρά π.χ. ( ) a όπου ( a ) είναι θετική, φθίνουσα και µε όριο το µηδέν (Κεφ..4 από Σ.Ε.Υ.) και στη συνέχεια κάντε χρήση της ανισότητας S ( ) a a + ώστε να υπολογίσετε το πλήθος των όρων που θα πρέπει να πάρουµε ώστε να υπολογίσουµε 6 το άθροισµα S. Θα πρέπει να έχουµε S ( ) a. Λύση: (Α) Εφαρµόζουµε το κριτήριο ρίζας: lim + x x + x + x + lim. Η γεωµετρική σειρά συγκλίνει για + + < x < < x <. Για x ± η σειρά γίνεται η οποία αποκλίνει. Τελικά το διάστηµα στο οποίο η σειρά συγκλίνει είναι το < x < (Β) Έστω a >. Παρατηρούµε ότι ( + ) a+ ( ( + ) + ) ( + ) ( + ) < (γιατί ο παρονοµαστής a ( ( + ) + ) ( + ) ( + ) είναι µεγαλύτερος του αριθµητή). Άρα a+ < a+ < a και εποµένως η ( a ) είναι γνησίως φθίνουσα. a 7
Επίσης lim a lim. Άρα η + + ( + ) ( ) συγκλίνει. ( + ) ( ) S 6 ( ) 6 + ( + ) ( + ) 48.5 + Αρκεί να πάρουµε 49, οπότε + 5. 5 ( ) π ( ),968947 π,968947,459 ( + ) ------------------------------------------ 8