Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2, s 2, t 2 [Flight(x 1, d 1, a 1, s 1, t 1 ) Flight(x 2, d 2, a 2, s 2, t 2 ) (x 1 = x 2 )] (d 1 = d 2 ) (a 1 = a 2 ) (s 1 = s 2 ) (t 1 = t 2 ) Επεξήγηση: Κάθε δύο πτήσεις που έχουν τον ίδιο αριθμό είναι ταυτόσημες. (β) Οποιεσδήποτε δύο διαδοχικές πτήσεις του αεροπλάνου με αναγνωριστικό Α είναι τέτοιες ώστε το σημείο προορισμού της πρώτης πτήσης είναι το ίδιο με το σημείο εκκίνησης της δεύτερης πτήσης. m, x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2, s 2, t 2 [Plane(m, A, x 1 ) Plane(m, A, x 2 ) Flight(x 1, d 1, a 1, s 1, t 1 ) Flight(x 2, d 2, a 2, s 2, t 2 ) ( x 3,d 3, a 3, s 3, t 3 Plane(m, A, x 3 ) Flight(x 3, d 3, a 3, s 3, t 3 ) a 1 < d 3 < d 2 )] (t 1 = s 2 ) Επεξήγηση: Αν οι Flight(x 1, d 1, a 1, s 1, t 1 ) και Flight(x 2, d 2, a 2, s 2, t 2 ) είναι δύο πτήσεις του ίδιου αεροπλάνου και δεν υπάρχει τρίτη πτήση του ίδιου αεροπλάνου που να μεσολαβεί των δύο πτήσεων, τότε το σημείο προορισμού της πρώτης πτήσης (t 1 ) είναι το ίδιο με το σημείο εκκίνησης της δεύτερης πτήσης (s 2 ) (γ) Οποιαδήποτε δύο αεροδρόμια συνδέονται με τουλάχιστον μία πτήση που προσφέρει θέσεις πρώτης κατηγορίας. (Να υποθέσετε ότι ένα αεροπλάνο προσφέρει θέσεις πρώτης κατηγορίας αν το μοντέλο του ξεκινά με τη συμβολοσειρά 747.) s 1 s 2 [(Airport(s 1 ) Airport(s 2 )) m, id, x, d, a Plane(m, id, x) Flight(x, d, a, s 1, s 2 ) (m = 747 s)] Επεξήγηση: Χρησιμοποιήσαμε το καινούριο κατηγόρημα Airport(x) που παίρνει την τιμή true αν το x είναι αεροδρόμιο. Βάσει αυτού η πρόταση εκφράζει ότι, αν τα s 1 και s 2 είναι αεροδρόμια, τότε υπάρχει πτήση που τα συνδέει η οποία σχετίζεται με αεροπλάνο του οποίου το μοντέλο ξεκινά με τη ζητούμενη συμβολοσειρά. (δ) Υπάρχει διαδρομή που αποτελείται από το πολύ 3 πτήσεις η οποία ξεκινά από τη Λάρνακα και καταλήγει στο Σίδνεϊ και ο χρόνος αναμονής σε κάθε ένα από τους ενδιάμεσους σταθμούς είναι τουλάχιστον 90 λεπτά. x 1, t, d 1, a 1, x 2, d 2, a 2 [Flight(x 1, d 1, a 1, Λάρνακα, t) Flight(x 2, d 2, a 2, t, Σίδνεϊ) d 2 a 1 > 90] x 1, t 1, d 1, a 1, x 2, t 2, a 2, t 2, x 3, d 3, a 3 x, d, a [Flight(x 1, d 1, a 1, Λάρνακα, t 1 ) Flight(x 2, d 2, a 2, t 1, t 2 ) Flight(x 3, a 3, d 3, t 2, Σίδνεϊ) s 2 t 1 > 90 s 3 t 2 > 90] Flight(x, d, a, Λάρνακα, Σίδνεϊ) Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 1

(ε) Υπάρχει ακριβώς μια διαδρομή που αποτελείται από 2 πτήσεις η οποία ξεκινά από τη Λάρνακα και καταλήγει στο Σίδνεϊ. x 1, d 1, a 1, t, x 2, d 2, a 2 [Flight(x 1, d 1, a 1, Λάρνακα, t) Flight(x 2, d 2, a 2, t, Σίδνεϊ, s 2 ) x 3, d 3, a 3, t, x 4, d 4, a 4 (Flight(x 3, d 3, a 3, Λάρνακα, t 3 ) Flight(x 4, d 4, a 4, t 3, Σίδνεϊ) (x 3 = x 1 x 4 = x 2 ))] (στ) Όλες οι πτήσεις με αναγνωριστικό < 50 εξυπηρετούν πτήσεις χρονικής διάρκειας μικρότερης των 3 ωρών. m, id, x, d, a, s, t Άσκηση 2 [(Plane(m, id, x) Flight(x, d, a, s, t) (id < 50)) (a d < 180)] (α) x (P(x) y Q(y)) ( x)ρ(x) ( y) Q(y) 1. x (P(x) y Q(y)) προϋπόθεση 2. ( x)ρ(x) πρ. υπόθεση 3. x 0 4. P(x 0 ) πρ. υπόθεση 5. P(x 0 ) y Q(y)) x e 1 [x 0 /x] 6. y Q(y) MP 5, 4 7. y Q(y) y 2 3-6 8. ( x)ρ(x) ( y) Q(y) i 2-7 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 2

(β) x [P(x) ( y)(q(y) R(x,y))], x [P(x) ( y)(s(y) R(x,y))] x(q(x) S(x)) 1. x [P(x) ( y)(q(y) R(x,y))] προϋπόθεση 2. x [P(x) ( y)(s(y) R(x,y))] προϋπόθεση 3. x 0 4. Q(x 0 ) προσ. υπόθεση 5. x 1 P(x 1 ) ( y)(q(y) R(x 1,y)) προσ. υπόθεση 6. P(x 1 ) e 1 5 7. ( y)(q(y) R(x 1,y)) e 2 5 8. Q(x 0 ) R(x 1,x 0 ) y e 7 9. R(x 1,x 0 ) MP 8, 4 10. P(x 1 ) ( y)(s(y) R(x 1,y)) y e 2 11. ( y)(s(y) R(x 1,y)) MP 10, 6 12. S(x 0 ) R(x 1,x 0 ) y e 11 13. S(x 0 ) MT 12, 9 14. S(x 0 ) x e 1, 5-13 15. Q(x 0 ) S(x 0 ) i 4-14 16. x(q(x) S(x)) x i 3-15 (γ) x [P(x) Q(x)] x [( y)(p(y) R(x,y)) ( z)(q(z) R(x,z))] 1. x [P(x) Q(x)] προϋπόθεση 2. x 0 3. ( y)(p(y) R(x 0,y)) προσωρινή υπόθεση 4. y 0 P(y 0 ) R(x 0,y 0 ) προσωρινή υπόθεση 5. P(y 0 ) Q(y 0 ) x e 1 6. P(y 0 ) e 1 4 7. Q(y 0 ) MP 5, 6 8. R(x 0,y 0 ) e 2 4 9. Q(y 0 ) R(x 0,y 0 ) i 7,8 10. ( z)(q(z) R(x 0,z)) z i 9 11. ( z)(q(z) R(x 0,z)) y e 3, 4-10 12. ( y)(p(y) R(x 0,y)) ( z)(q(z) R(x 0,z)) i 3-11 13. x [( y)(p(y) R(x,y)) ( z)(q(z) R(x,z))] x i 2-12 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 3

(δ) x [ (P(x) Q(x)) R(x)], x R(x) x P(x) 1. x [ (P(x) Q(x)) R(x)] προϋπόθεση 2. x R(x) προϋπόθεση 3. x 0 4. P(x 0 ) προσωρινή υπόθεση 5. P(x 0 ) Q(x 0 ) i 4 6. (P(x 0 ) Q(x 0 )) R(x 0 ) x e 1 7. R(x 0 ) MP 6, 5 8. R(x 0 ) x e 2 9. e 7, 8 10. P(x 0 ) i 4-9 11. x P(x) x i 3-10 (ε) x [K(x,a) L(x,b)], x [K(x,a) ( F(x) L(x,b))] K(b,a) F(b) 1. x [K(x,a) L(x,b)] προϋπόθεση 2. x [K(x,a) ( F(x) L(x,b))] προϋπόθεση 3. K(b,a) προσωρινή υπόθεση 4. K(b,a) ( F(b) L(b,b)) x e 2 5. F(b) L(b,b) ΜΡ 3, 4 6. F(b) προσωρινή υπόθεση 7. L(b,b) MP 5, 6 8. K(b,a) L(b,b) i 3, 7 9. x [K(x,a) L(x,b)] x i 8 10. e 1, 9 11. F(b) RAA 6-10 12. K(b,a) F(b) i 3-11 Άσκηση 3 (α) x y ((A(x) B(x,y)) A(y)) Η πρόταση αυτή είναι ικανοποιήσιμη αλλά όχι έγκυρη. Ας θεωρήσουμε το μοντέλο: Σύμπαν = το σύνολο των ακεραίων Α(x) = το x είναι άρτιος Β(x,y) = το x είναι διαιρέτης του y Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 4

Τότε η πρόταση είναι αληθής αφού αν o x είναι άρτιος και διαιρέτης του y τότε και ο y είναι άρτιος. Εντούτοις, αν θέσουμε Σύμπαν = το σύνολο των ακεραίων Α(x) = το x είναι περιττός Β(x,y) = το x είναι διαιρέτης του y τότε η πρόταση είναι ψευδής αφού υπάρχουν άρτιοι αριθμοί που έχουν περιττούς διαιρέτες. (β) x y ((A(x) B(x,b) A(y))) Β(a,b) Η πρόταση είναι έγκυρη. Υποθέτουμε, για να φτάσουμε σε αντίφαση, ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη. Τότε, για κάποιο μοντέλο Μ Μ x y ((A(x) B(x,b) A(y))) (1) και Μ Β(a,b) (2) Από το (1) συμπεραίνουμε ότι για x = a Μ y ((A(a) B(a,b) A(y))) (3) και από το (3) ότι για y = b Μ A(a) B(a,b) A(b) (4) Επομένως, Μ Β(a,b) (5) Από τα (2) και (5) οδηγούμαστε σε αντίφαση. Συνεπώς η αρχική πρόταση είναι έγκυρη. (γ) [ x ( (P(x) Q(x)) R(x)) x R(x)] x P(x) Η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη. Σύμπαν: Α = {1,2,3} Ρ = {1,2,3} Q = {2} R = {1} Από τον ορισμό του P, ισχύει ότι x P(x), και επομένως ολόκληρη η πρόταση, η οποία έχει τη μορφή φ x P(x), είναι αληθής ανεξάρτητα από το αν η φ είναι ή όχι αληθής. Η πρόταση δεν είναι έγκυρη αφού δεν ικανοποιείται στο πιο κάτω μοντέλο. Σύμπαν: Α = {1,2,3} Ρ = Q = R = {} Άσκηση 4 Επιστρέφετε στο σπίτι ένα βράδυ και βρίσκετε το συγκάτοικό σας σε κατάσταση ευφορίας γιατί κατάφερε να αποδείξει ότι υπάρχει κάποιος πρώτος αριθμός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από το 2 και είναι άρτιος. Συγκεκριμένα, έχει κατασκευάσει απόδειξη της πρότασης φ = x ((Π(x) (x > 2)) A(x)), για το πεδίο των φυσικών αριθμών και όπου Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 5

Π(x) το κατηγόρημα ο αριθμός x είναι πρώτος και Α(x) το κατηγόρημα ο αριθμός x είναι άρτιος. Καθώς αυτός γιορτάζει τη μεγάλη του αυτή μαθηματική ανακάλυψη εσείς σκέφτεστε... (α)... και ανακαλύπτετε ότι η πρόταση φ είναι πράγματι αληθής για τη συγκεκριμένη ερμηνεία. Εξηγήστε το λόγο για τον οποίο είναι αληθής χρησιμοποιώντας τη σημασιολογία του Κατηγορηματικού Λογισμού (Αλήθεια του Tarski). Η πρόταση είναι πράγματι αληθής αφού σύμφωνα με την αλήθεια του Tarski υπάρχει ακέραιος που ικανοποιεί την πρόταση ((Π(x) (x > 2)) A(x)). Για παράδειγμα, για x = 4 έχουμε ((Π(4) (x > 4)) A(4)) = (F F T) = (F T) = T. (β) Είναι αληθής η πρόταση αν το σύμπαν περιέχει μόνο τους φυσικού αριθμούς που είναι μικρότεροι ή ίσοι με το 2; Εξηγήστε γιατί/γιατί όχι. Ναι, η πρόταση είναι και πάλι αληθής αφού για οποιοδήποτε στοιχείου του σύμπαντος έχουμε (Π(x) (F)) A(x) = (F A(x)) = True (γ) Είναι αληθής η πρόταση αν θεωρήσουμε ότι το σύμπαν είναι το κενό σύνολο. Εξηγήστε γιατί/γιατί όχι. H πρόταση παύει να είναι αληθής αφού δεν είναι δυνατό να εντοπίσουμε x που να ικανοποιεί την ιδιότητα. (δ) Χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματά σας από το σκέλος (α), εξηγήστε γιατί ο συγκάτοικός σας δεν έχει αποδείξει ότι υπάρχει κάποιος άρτιος, πρώτος αριθμός μεγαλύτερος από το 2. Προσδιορίστε σωστά την πρόταση του Κατηγορηματικού Λογισμού που συλλαμβάνει ότι υπάρχει κάποιος πρώτος αριθμός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από το 2 και είναι άρτιος. Η πρόταση που πρότεινε ο συγκάτοικός σας εκφράζει ότι υπάρχει ένας αριθμός ο οποίος ΑΝ είναι πρώτος και μεγαλύτερος του 2 τότε είναι άρτιος. Στη συνεπαγωγή αυτή, ψ ψ, αν η ψ είναι ψευδής τότε η πρόταση είναι ακριβής. Με άλλα λόγια, όπως δείξαμε στο μέρος (α), οποιοσδήποτε αριθμός δεν είναι πρώτος ή δεν είναι μεγαλύτερος του 2 ικανοποιεί την πρόταση. Άρα η πρόταση φ δεν συλλαμβάνει ορθά τη ζητούμενη έννοια. Η σωστή διατύπωση της έννοιας αυτής δίνεται από την πρόταση που ακολουθεί: φ' = x ((Π(x) (x > 2)) A(x)), Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 6