Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211

2

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί......................................... 1 1.2 Προβλήματα αρχικών τιμών.............................. 8 1.3 Πεδία διευθύνσεων και σχεδίαση με ισοκλινείς καμπύλες.............. 1 2 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 15 2.1 Διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών................... 15 2.2 Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις............................. 17 2.3 Ολοκληρωτικοί παράγοντες.............................. 22 2.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις............................ 25 2.5 Επίλυση με αντικατάσταση............................... 28 2.5.1 Ομογενείς εξισώσεις.............................. 28 2.5.2 Η διαφορική εξίσωση Bernoulli........................ 31 2.5.3 Η διαφορική εξίσωση Ricca.......................... 32 2.5.4 Η διαφορική εξίσωση y = f(ax + by).................... 33 2.5.5 Εξισώσεις με πολυωνυμικούς συντελεστές α βαθμού............ 34 2.6 Εφαρμογή: ορθογώνιες τροχιές............................ 37 3 Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης 39 3.1 Ειδικές περιπτώσεις................................... 39 3.1.1 Διαφορικές εξισώσεις y (n) = f(x)....................... 39 3.1.2 Η διαφορική εξίσωση F (x, y, y ) =.................... 4 3.1.3 Η διαφορική εξίσωση F (y, y, y ) =.................... 41 3.2 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις............................ 42 3.3 Επίλυση ομογενών γραμμικών εξισώσεων....................... 43 3.3.1 Το θεμελιώδες σύνολο λύσεων και η ορίζουσα του Wronski......... 44 3.3.2 Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές......... 48 3.3.3 Η μέθοδος του υποβιβασμού τάξης...................... 53 3.3.4 Εξισώσεις Euler................................. 54 3.4 Μη ομογενείς γραμμικές εξισώσεις.......................... 56 3.4.1 Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών................ 57 3.4.2 Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων.................... 6 4 Ο μετασχηματισμός Laplace 65 4.1 Ορισμός και ιδιότητες.................................. 65 4.1.1 Ορισμός και μετασχηματισμοί βασικών συναρτήσεων............ 65 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.1.2 Βασικές ιδιότητες................................ 67 4.1.3 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace................... 71 4.2 Βηματική συνάρτηση.................................. 72 4.3 Η συνάρτηση δέλτα του Dirac.............................. 75 4.4 Συνέλιξη......................................... 77 4.5 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με το μετασχηματισμό Laplace........... 78 5 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη χρήση σειρών 85 5.1 Γενικά για δυναμοσειρές................................ 85 5.2 Επίλυση εξισώσεων σε ομαλά σημεία......................... 87 5.3 Επίλυση εξισώσεων σε ιδιάζοντα σημεία....................... 94 6 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων 11 6.1 Εισαγωγικά....................................... 11 6.2 Υποβιβασμός γραμμικής εξίσωσης σε σύστημα εξισώσεων α τάξης......... 14 6.3 Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο της απαλοιφής.................. 15 6.4 Επίλυση ομογενών γραμμικών συστημάτων με σταθερούς συντελεστές....... 16 6.4.1 Απλές ιδιοτιμές................................. 17 6.4.2 Μιγαδικές ιδιοτιμές.............................. 19 6.4.3 Πολλαπλές ιδιοτιμές.............................. 111 6.5 Μη ομογενή γραμμικά συστήματα........................... 114 6.5.1 Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών................ 114 6.5.2 Επίλυση με μετασχηματισμό Laplace..................... 115 4

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Το αντικείμενο των Διαφορικών Εξισώσεων αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους τομείς της επιστημονικής περιοχής των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Είναι, άλλωστε, χαρακτηριστικό πως πολλοί φυσικοί νόμοι εκφράζονται μέσω διαφορικών εξισώσεων, αφού συνδέουν φυσικά μεγέθη με τους ρυθμούς μεταβολής αυτών. Έτσι, είναι αναμενόμενο οι διαφορικές εξισώσεις να βρίσκουν ευρύτατες εφαρμογές στην επιστήμη του Μηχανικού. Γενικά, η μοντελοποίηση των μεταβολών μεγεθών όπως η θερμοκρασία, η πίεση, η μετατόπιση, η ταχύτητα κ.α., συναρτήσει του χρόνου ή της θέσης, ουσιαστικά οδηγεί σε διαφορικές εξισώσεις. Φυσικά, σε αντίστοιχα αποτελέσματα καταλήγει η μελέτη της μεταβολής ενός οποιουδήποτε μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο. Στα πλαίσια της επιστημονικής διερεύνησης διαφόρων φαινομένων, μαθηματικά μοντέλα αξιοποιούνται για να δώσουν αξιόπιστες ποσοτικές περιγραφές και να οδηγήσουν σε αριθμητικά συμπεράσματα. Σε γενικές γραμμές, η μαθηματική μοντελοποίηση ενός προβλήματος είναι η περιγραφή του με τη βοήθεια μαθηματικών εξισώσεων, οι οποίες βασίζονται σε δεδομένα που προέρχονται από παρατήρηση. Συνήθως, επιχειρείται η μελέτη μιας μόνο πτυχής ενός προβλήματος, αποφεύγοντας τη δυσκολότερη ή και πολλές φορές αδύνατη εύρεση μια πλήρους αναπαράστασης για το πρόβλημα στο σύνολό του. Η επίλυση αυτών των εξισώσεων οδηγεί στον προσδιορισμό συναρτήσεων, οπότε η μελέτη του προβλήματος ανάγεται στη μελέτη της λύσης που έχει προσδιοριστεί¹. Επομένως, γίνεται αντιληπτό ότι είναι ύψιστης σημασίας για τους μηχανικούς όχι μόνο η δυνατότητα μοντελοποίησης φαινομένων και προβλημάτων μέσω μαθηματικών εξισώσεων, αλλά και η δυνατότητα επίλυσης των τελευταίων. Στο κεφάλαιο αυτό αναφέρονται βασικοί ορισμοί και κατηγορίες των διαφορικών εξισώσεων και απαντώνται θεμελιώδη ερωτήματα, όπως είναι αυτά που σχετίζονται με την ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων. Επιπλέον, περιγράφεται η γεωμετρική ερμηνεία για συγκεκριμένες κατηγορίες εξισώσεων, οδηγώντας ουσιαστικά σε έναν τρόπο μελέτης βασικών τους χαρακτηριστικών, χωρίς να είναι απαραίτητη η πλήρης επίλυσή τους. 1.1 Ορισμοί Γενικά, ως διαφορική εξίσωση ορίζεται κάθε εξίσωση που περιέχει μία ή περισσότερες συναρτήσεις και τις παραγώγους τους ως προς μία ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές. Εδώ θα μας απασχολήσει μια συγκεκριμένη κατηγορία διαφορικών εξισώσεων, οι συνήθεις: Ορισμός 1.1 Συνήθης διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση, η οποία συσχετίζει μια άγνωστη συνάρτηση μίας μεταβλητής y = y(x) με την ανεξάρτητη μεταβλητή x και με μία ή περισσότερες ¹Είναι φανερό πως αν δεν μπορεί να βρεθεί λύση για το μοντέλο ενός προβλήματος που είναι γνωστό πως έχει λύση, τότε ή τα δεδομένα των παρατηρήσεων εμπεριέχουν σφάλματα, ή οι εξισώσεις που έχουν υιοθετηθεί είναι λανθασμένες. 1

1. Εισαγωγή παραγώγους² της, δηλαδή είναι της μορφής ( F x, y, dy ) dx, d2 y dx 2,..., dn y dx n = όπου F μία συνάρτηση n + 2 μεταβλητών. Παρακάτω αναφέρουμε ορισμένα αντιπροσωπευτικά προβλήματα, των οποίων η περιγραφή οδηγεί αναπόφευκτα σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Θεωρούμε αρχικά το πρόβλημα της ελεύθερης πτώσης ενός σώματος μάζας m. Οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό είναι το βάρος του mg (g η επιτάχυνση της βαρύτητας) και η αντίσταση του αέρα, η οποία θεωρείται ανάλογη της ταχύτητας του σώματος (= kv). Εφαρμόζοντας το γνωστό νόμο του Νεύτωνα, σύμφωνα με τον οποίο η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα ισούται με m dv/dt, καταλήγουμε στη διαφορική εξίσωση dv dt + k m v = g Έστω ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελούμενο από μια ωμική αντίσταση R, πηνίο αυτεπαγωγής L και πυκνωτή χωρητικότητας C, με όλα τα στοιχεία συνδεδεμένα σε σειρά. Αν το κύκλωμα διεγείρεται από πηγή τάσης V (t), η εφαρμογή του δεύτερου κανόνα του Kirchhoff οδηγεί στην εξίσωση d 2 q dt 2 + R dq L dt + 1 LC q = 1 L V (t) όπου η μεταβλητή q παριστάνει το ηλεκτρικό φορτίο. Έστω ένα σώμα θερμοκρασίας T, μέσα σε περιβάλλον σταθερής θερμοκρασίας T. Ο ρυθμός με τον οποίο ελαττώνεται η θερμοκρασία του σώματος είναι ανάλογος της διαφοράς θερμοκρασίας σε σχέση με το περιβάλλον, γεγονός που οδηγεί στη διαφορική εξίσωση dt dt = k(t T ) Στην πιο απλή περίπτωση, μια συνήθης διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή όπου είναι φανερό πως κάθε αντιπαράγωγος³ της ϕ(x), y(x) = ϕ(x) dx dy = ϕ(x) (1.1) dx ²Υπενθυμίζεται πως η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης y = y(x) συμβολίζεται με έναν από τους παρακάτω τρόπους: y dy, dx, ẏ ενώ για τη δεύτερη παράγωγο χρησιμοποιούνται οι συμβολισμοί y, d 2 y dx 2, κ.ο.κ. ³Προφανώς δε μπορεί να είναι μοναδική η ζητούμενη συνάρτηση, καθώς κάθε συνάρτηση της μορφή F (x) +c, όπου F (x) = ϕ(x) και c R ικανοποιεί τη συγκεκριμένη διαφορική εξίσωση. 2 ÿ

1.1 Ορισμοί επαληθεύει την (1.1). Αν η άγνωστη συνάρτηση στη διαφορική εξίσωση εξαρτάται από δύο ή περισσότερες μεταβλητές, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται οι μερικές παράγωγοι αυτής, τότε η εξίσωση ανήκει στην κατηγορία των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Μερικά τέτοια παραδείγματα είναι: η εξίσωση Laplace, 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y 2 + 2 ϕ z 2 = όπου η ϕ είναι συνάρτηση των x, y, z, η εξίσωση κύματος σε μία χωρική διάσταση, 2 u x 2 1 2 u v 2 t 2 = όπου η συνάρτηση u εξαρτάται από τις μεταβλητές x, t και η εξίσωση διάχυσης σε μία χωρική διάσταση, u t = u α 2 x 2 Ορισμός 1.2 Μια συνήθης διαφορική εξίσωση λέγεται πως είναι τάξης n, αν η μεγαλύτερης τάξης παράγωγος που εμφανίζεται σε αυτήν είναι η n-οστή. Παράδειγμα 1.1: Οι διαφορικές εξισώσεις dy + 2y = x3 dx ( ) dy 3 5 dy dx dx + x2 y = e x είναι πρώτης τάξης, ενώ οι cos x d2 y dy sin x dx2 dx + 4y = ( d 2 ) 2 y dx 2 + d2 y dx 2 x dy dx = x2 + 1 είναι δεύτερης τάξης. Ορισμός 1.3 Ο βαθμός μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η δύναμη στην οποία υψώνεται η παράγωγος που καθορίζει την τάξη της εξίσωσης, όταν η τελευταία γράφεται με πολυωνυμική μορφή ως προς τις παραγώγους. Παράδειγμα 1.2: γράφεται ως οπότε είναι δευτέρου βαθμού. Η διαφορική εξίσωση dy dx = 2 dy dx + y x2 ( ) dy 2 2 dy dx dx y = x2 3

1. Εισαγωγή Η μορφή F ( x, y, y, y,..., y (n)) = αποτελεί την πεπλεγμένη μορφή της συγκεκριμένης διαφορικής εξίσωσης. Αν η τελευταία μπορεί να γραφεί ως y (n) = g (x, y, y,..., y (n 1)) τότε αυτή αποτελεί την κανονική ή λυμένη μορφή της εξίσωσης. Ορισμός 1.4 Μια συνήθης διαφορική εξίσωση ονομάζεται γραμμική, αν είναι της μορφής a n (x) dn y dx n + a n 1(x) dn 1 y dx n 1 +... + a 1(x) dy dx + a (x)y = f(x) (1.2) όπου οι συναρτήσεις a i (x), i = 1,..., n και f(x) είναι γνωστές. Είναι φανερό από τον ορισμό πως η γραμμικότητα αναφέρεται στην εξαρτημένη μεταβλητή μόνο και όχι στην ανεξάρτητη. Ειδικότερα, οι γραμμικές εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης που θα μας απασχολήσουν ιδιαίτερα έχουν τη μορφή a 1 (x)y + a (x)y = f(x) a 2 (x)y + a 1 (x)y + a (x)y = f(x) αντίστοιχα. Σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση ο βαθμός της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από 1. Επιπλέον, κάθε συντελεστής a i εξαρτάται μόνο από την ανεξάρτητη μεταβλητή x. Μια γραμμική εξίσωση χαρακτηρίζεται ως εξίσωση με σταθερούς ή μεταβλητούς συντελεστές, ανάλογα με το αν οι συντελεστές a i έχουν τις αντίστοιχες ιδιότητες. Οποιαδήποτε εξίσωση δεν έχει τη μορφή (1.2) ονομάζεται μη γραμμική. Μερικά παραδείγματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων είναι τα παρακάτω: y dy dx y2 = e 2x, d 4 y dx 4 4 cos y = Ειδικότερα, στην περίπτωση που ισχύει f(x) =, η γραμμική εξίσωση (1.2) χαρακτηρίζεται ως ομογενής⁴. Ορισμός 1.5 Κάθε συνάρτηση y = ϕ(x) με παραγώγους μέχρι και n τάξης που ικανοποιεί τη συνήθη διαφορική εξίσωση F ( x, y, y, y,..., y (n)) = για κάθε x (a, b), δηλαδή F ( ) x, ϕ(x), ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x) = αποτελεί λύση ή ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης στο διάστημα (a, b). Το αν μια συνάρτηση αποτελεί λύση κάποια διαφορική εξίσωσης μπορεί να επαληθευτεί με απλή αντικατάσταση. Παράδειγμα 1.3: Θα επαληθεύσουμε ότι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης y 2y + y = ⁴Χρειάζεται προσοχή στη χρησιμοποίηση του όρου ομογενής εξίσωση, διότι, όπως θα φανεί στο επόμενο κεφάλαιο, αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί με εντελώς διαφορετική σημασία. 4

1.1 Ορισμοί είναι η συνάρτηση ϕ(x) = xe x. Όντως, διαπιστώνεται πως ϕ (x) = e x + xe x και ϕ (x) = 2e x + xe x με αποτέλεσμα ϕ (x) 2ϕ (x) + ϕ(x) = 2e x + xe x 2(e x + xe x ) + xe x = Είναι δυνατό μια συνάρτηση να ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, ωστόσο να αποτελεί λύση κάποιας διαφορικής εξίσωσης μόνο σε ένα τμήμα του διαστήματος αυτού. Για παράδειγμα, η συνάρτηση ϕ(x) = x ορίζεται για κάθε x R. Είναι προφανές ότι αυτή η συνάρτηση είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης y 1 = στο διάστημα (, + ), όπως και της y + 1 = στο διάστημα (, ). Ωστόσο, δεν αποτελεί λύση κάποιας διαφορικής εξίσωσης σε κανένα διάστημα που περιλαμβάνει την τιμή x =, όπου η ϕ δεν είναι παραγωγίσιμη. Όταν επιλύεται μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης F (x, y, y ) =, συνήθως (αλλά όχι πάντα) προκύπτει μια λύση που εξαρτάται από μια αυθαίρετη παράμετρο, δηλαδή η λύση έχει τη γενική μορφή y = ϕ(x, c). Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης πρώτης τάξης και αποτελεί ουσιαστικά μια μονοπαραμετρική οικογένεια λύσεων, αφού σε διαφορετικές τιμές της παραμέτρου c αντιστοιχούν διαφορετικές συναρτήσεις. Όπως γίνεται φανερό, από τη γενική λύση μπορούν να προκύψουν άπειρες επιμέρους. Στη γενικότερη περίπτωση μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης n, ( F x, y, y,..., y (n)) = αναζητούμε μια γενική λύση της μορφής y = ϕ(x, c 1, c 2,..., c n ), η οποία εξαρτάται από n παραμέτρους. Ενδέχεται η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης να υπολογίζεται σε πεπλεγμένη μορφή Φ(x, y, c 1,..., c n ) = και να αντιστοιχεί σε περισσότερες από μία συναρτήσεις. Κάθε λύση μιας διαφορικής εξίσωσης που προκύπτει από τη γενική για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων αποτελεί μια μερική λύση της εξίσωσης. Επομένως, οι μερικές λύσεις μιας διαφορικής εξίσωσης δεν περιέχουν αυθαίρετες σταθερές. Τα γραφήματα των λύσεων μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης καλούνται ολοκληρωτικές καμπύλες. Ωστόσο, θα πρέπει να τονιστεί πως υπάρχει η περίπτωση η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης να μην περιλαμβάνει όλες τις δυνατές λύσεις⁵. Ορισμός 1.6 Κάθε λύση μιας διαφορικής εξίσωσης που δεν προκύπτει από τη γενική λύση της εξίσωσης ονομάζεται ιδιάζουσα. Παράδειγμα 1.4: Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης y + y = (1.3) είναι η δεδομένου ότι ϕ(x) = ce x ϕ (x) + ϕ(x) = ce x + ce x = ⁵Επομένως, ένας πιο σωστός όρος, αντί της γενικής λύσης, ίσως να είναι n-παραμετρική οικογένεια λύσεων, στην περίπτωση που περιλαμβάνονται n σε πλήθος σταθερές. 5

1. Εισαγωγή y 5 1..5.5 1. 5 Σχήμα 1.1: Οι ολοκληρωτικές καμπύλες στην περίπτωση της διαφορικής εξίσωσης y + y =. Οι αντίστοιχες ολοκληρωτικές καμπύλες για τις τιμές c {, ±1, ±2} σχεδιάζονται στο σχήμα 1.1. Παράδειγμα 1.5: Η εξίσωση ( y ) 2 + xy = y (1.4) έχει ως γενική λύση την μονοπαραμετρική οικογένεια ϕ(x) = cx + c 2 (1.5) αφού [ ϕ (x) [ 2 (cx + xϕ (x) = + c 2 ) 2 ( + x cx + c 2 ) = c 2 + xc = ϕ(x) Ωστόσο, επαληθεύεται εύκολα πως και η συνάρτηση f(x) = x2 4 αποτελεί λύση της (1.4), χωρίς να μπορεί να προκύψει από την (1.5) για κάποια τιμή της c, οπότε αποτελεί ιδιάζουσα λύση της (1.4). Μερικές λύσεις της (1.4) σχεδιάζονται στο σχήμα 1.2, όπου διαπιστώνεται πως οι αντίστοιχες καμπύλες εφάπτονται στην ιδιάζουσα (δηλαδή η ολοκληρωτική καμπύλη της ιδιάζουσας λύσης αποτελεί την περιβάλλουσα των καμπυλών των μερικών λύσεων). Σημειώνεται πως δεν θα πρέπει να οδηγηθούμε στο αυθαίρετο συμπέρασμα ότι η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης περιέχει σταθερές, το πλήθος των οποίων είναι πάντα ίσο με την τάξη της εξίσωσης. Για παράδειγμα, η λύση της διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης (y ) 2 + y 2 = διαπιστώνεται εύκολα ότι είναι μόνο η ϕ(x) =. Ωστόσο, για συγκεκριμένες κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων που εξετάζονται εδώ η παραπάνω παρατήρηση είναι αληθής, δηλαδή η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης n περιέχει n αυθαίρετες σταθερές. 6

1.1 Ορισμοί y 4 3 2 1 1 5 5 1 1 2 Σχήμα 1.2: Λύσεις της διαφορικής εξίσωσης (1.4). Με μπλε χρώμα απεικονίζονται ορισμένες μερικές λύσεις και με κόκκινο η ιδιάζουσα λύση της εξίσωσης. Όπως είδαμε παραπάνω, το να ελεγχθεί εάν μια συνάρτηση ϕ(x) αποτελεί λύση κάποιας διαφορικής εξίσωσης είναι σχετικά απλή υπόθεση. Για να επιβεβαιωθεί ότι μια συνάρτηση που δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή ως ϕ(x, y, c) = (1.6) αποτελεί λύση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης, χρειάζεται να παραγωγίσουμε την (1.6) ως προς x, με αποτέλεσμα ϕ x (x, y, c) + ϕ y (x, y, c)y (x) = (1.7) Δεδομένου ότι η σταθερά c εμπεριέχεται στην παραπάνω διαφορική εξίσωση, γίνεται απαλοιφή της c από τις εξισώσεις (1.6) και (1.7) και το αποτέλεσμα είναι η ζητούμενη διαφορική εξίσωση. Στην πιο γενική περίπτωση, ας θεωρήσουμε μια πεπλεγμένη σχέση της μορφής ϕ(x, y, c 1, c 2,..., c n ) = (1.8) η οποία αποτελεί τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης n. Η τελευταία μπορεί να βρεθεί ακολουθώντας μια διαδικασία αντίστοιχη με την παραπάνω. Παραγωγίζοντας ως προς x, μπορεί να προκύψει μια νέα σχέση της μορφής ϕ 1 (x, y, y, c 2,..., c n ) = είτε άμεσα (δηλαδή μετά την παραγώγιση), είτε με απαλοιφή της σταθεράς c 1 με τη βοήθεια τη (1.8). Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί να βρεθεί μια σχέση του τύπου ϕ 2 (x, y, y, y,..., c n ) = μετά από δεύτερη παραγώγιση και, κατ επέκταση, μια τελική σχέση της μορφής ϕ n (x, y, y, y,..., y (n)) = η οποία, βεβαίως, είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση τάξης n. Στην πράξη, δεν παίζει ουσιαστικό ρόλο η σειρά με την οποία γίνεται η απαλοιφή των επιμέρους σταθερών. 7

1. Εισαγωγή Παράδειγμα 1.6: Θα αναζητηθεί η διαφορική εξίσωση με γενική λύση την y(x) = c 1 x 2 + c 2 x (1.9) Παραγωγίζοντας την (1.9) προκύπτει ή, μετά από την απαλοιφή της σταθεράς c 2, y = 2c 1 x + c 2 y = 2c 1 x + y c 1x 2 Παραγωγίζοντας πάλι την τελευταία σχέση, τελικά έχουμε δηλαδή η (1.9) είναι η γενική λύση της x xy y x 2 = c 1 (xy + y y ) x 2 2x (xy y) x 4 = x 2 y 2xy + 2y = 1.2 Προβλήματα αρχικών τιμών Έστω η διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης F (x, y, y ) = ή σε κανονική μορφή y = g(x, y) (1.1) Ορισμός 1.7 Ως πρόβλημα αρχικών τιμών χαρακτηρίζεται το πρόβλημα εύρεσης μιας λύσης της διαφορικής εξίσωσης (1.1), η οποία ικανοποιεί μια συνθήκη της μορφής y(x ) = y : Πρόβλημα Αρχικών Τιμών { y = g(x, y) y(x ) = y Γεωμετρικά, το πρόβλημα ισοδυναμεί με τον εντοπισμό εκείνης της ολοκληρωτικής καμπύλης που διέρχεται από το σημείο (x, y ). Ο όρος αρχικών τιμών προέρχεται από φυσικά προβλήματα, όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή αντιστοιχεί στο χρόνο. Στην πιο γενική περίπτωση της διαφορικής εξίσωσης ( F x, y, y, y,..., y (n)) = ή y (n) = g (x, y, y, y,..., y (n 1)) 8

1.2 Προβλήματα αρχικών τιμών y D f( x) y O x -h x x + h x Σχήμα 1.3: Το θεώρημα μοναδικότητας λύσης για προβλήματα αρχικών τιμών. το πρόβλημα αρχικών τιμών διατυπώνεται ως εξής: y (n) = g ( x, y, y, y,..., y (n 1)) Πρόβλημα Αρχικών Τιμών y(x ) = y y (x ) = y 1. y (n 1) (x ) = y n 1 Όταν υπάρχει η απαίτηση να ικανοποιούνται από τη λύση συνθήκες που αντιστοιχούν σε περισσότερες από μία τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής, τότε γίνεται λόγος για πρόβλημα συνοριακών τιμών. Ένα βασικό θέμα στα προβλήματα αρχικών τιμών σχετίζεται με την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της λύσης τους. Το παρακάτω θεώρημα απαντάει στα ερωτήματα αυτά, στην περίπτωση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης. Θεώρημα Έστω η συνήθης διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης dy = f(x, y) dx για την οποία α) η f είναι συνεχής συνάρτηση των x και y σε κάποια ορθογωνική περιοχή D = {(x, y) : a x b, c y d} του επιπέδου xy και β) η μερική παράγωγος f/ y είναι συνεχής συνάρτηση των x και y στη D. Αν (x, y ) D, τότε υπάρχει μοναδική λύση ϕ της διαφορικής εξίσωσης στην περιοχή x x h, όπου h επαρκώς μικρή τιμή, η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη ϕ(x ) = y. Το παραπάνω θεώρημα απεικονίζεται γεωμετρικά στο σχήμα 1.3 και πρακτικά εξασφαλίζει πως στην περιοχή D οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης δεν τέμνονται μεταξύ τους. Είναι φανερό πως το συγκεκριμένο θεώρημα εξασφαλίζει τόσο την ύπαρξη, όσο και τη μοναδικότητα της λύσης, ωστόσο δεν αναφέρεται στον τρόπο εύρεσης της λύσης αυτής. Παράδειγμα 1.7: Έστω το πρόβλημα αρχικών συνθηκών dy dx = 2x4 + 5x 2 y y() = c 9

1. Εισαγωγή.6.4.2 1..5.5 1..2.4 Σχήμα 1.4: Λύσεις της διαφορικής εξίσωσηςy = 2 y. To πρόβλημα αρχικών τιμών με y() = έχει άπειρες λύσεις. Είναι f(x, y) = 2x 4 + 5x 2 y και f y (x, y) = 5x2 2 y Η f είναι συνεχής παντού, ενώ η f y είναι συνεχής όταν y, δηλαδή σε οποιοδήποτε σημείο δεν ανήκει στον άξονα των x. Επομένως, βάσει του θεωρήματος, το συγκεκριμένο πρόβλημα θα έχει σίγουρα μία και μοναδική λύση, όταν c. Παράδειγμα 1.8: Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών { xy = 4y y() = Εφόσον είναι f(x, y) = 4y/x και f y (x, y) = 4/x, το θεώρημα που εξασφαλίζει την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών δε μπορεί να εφαρμοστεί, παρά μόνο για σημεία με x. Η γενική λύση της συγκεκριμένης διαφορικής εξίσωσης είναι η y = cx 4 ενώ ιδιάζουσα λύση είναι η y =. Όπως διαπιστώνεται τελικά (σχήμα 1.4), το συγκεκριμένο πρόβλημα αρχικών τιμών έχει άπειρες λύσεις. 1.3 Πεδία διευθύνσεων και σχεδίαση με ισοκλινείς καμπύλες Προτού προχωρήσουμε στους τρόπους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων συγκεκριμένων κατηγοριών, θα αναφερθούμε στη γεωμετρική σημασία των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης. Καταρχήν, εισάγουμε την έννοια του πεδίου διευθύνσεων μιας διαφορικής εξίσωσης y = f(x, y) (1.11) για την κατανόηση της οποίας δεν είναι απαραίτητη καμία γνώση σχετική με τον προσδιορισμό λύσεων. Όπως θα δούμε, τα πεδία διευθύνσεων δίνουν πληροφορίες για τις λύσεις των εξισώσεων, 1

1.3 Πεδία διευθύνσεων και σχεδίαση με ισοκλινείς καμπύλες y 2.5 2. 1.5 1..5 1 2 3 4 x Σχήμα 1.5: Το πεδίο διευθύνσεων της διαφορικής εξίσωσης (1.12) και η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών για y(1) = 1. χωρίς να χρειάζεται αυτές να επιλυθούν. Άλλωστε, σε κάποια προβλήματα αρκεί να βρεθεί μόνο μια προσεγγιστική (γεωμετρική) περιγραφή της λύσης, χωρίς να απαιτείται η ακριβής έκφραση. Έστω μια περιοχή του επιπέδου xy, όπου η f είναι πραγματική και συνεχής. Σε κάθε σημείο (x, y) της περιοχής αυτής αντιστοιχεί μια τιμή f(x, y), οπότε με βάση την εξίσωση (1.11), η λύση που διέρχεται από εκείνο το σημείο έχει κλίση ίση με τη συγκεκριμένη τιμή. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να αντιστοιχίσουμε στην περιοχή ένα πεδίο διευθύνσεων. Για να παρασταθεί γραφικά το πεδίο διευθύνσεων, σχεδιάζονται μικρά ευθύγραμμα τμήματα με την αντίστοιχη κλίση⁶ f(x, y) σε διάφορα σημεία (x, y). Η απεικόνιση του πεδίου διευθύνσεων αποτελεί γραφική περιγραφή της συμπεριφοράς των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης, χωρίς προηγουμένως αυτή να έχει επιλυθεί. Αφού σχηματίζεται από τις εφαπτόμενες ευθείες των λύσεων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσεγγιστική σχεδίαση των τελευταίων. Δηλαδή, μια οποιαδήποτε καμπύλη που έχει σε κάθε σημείο της τα σχεδιασμένα ευθύγραμμα τμήματα ως εφαπτόμενα, αναγκαστικά θα ικανοποιεί την (1.11). Επιπλέον, επειδή σε πολλές περιπτώσεις μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά των λύσεων σε μεγάλες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (π.χ. χρόνος), τα πεδία διευθύνσεων μπορούν να αξιοποιηθούν για να δώσουν αυτήν την πληροφορία. Παράδειγμα 1.9: Ας θεωρήσουμε τη διαφορική εξίσωση y = xy 2, y > (1.12) Στο σχήμα 1.5 σχεδιάζεται το πεδίο διευθύνσεων της (1.12). Αν, επιπλέον, πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη y(1) = 1, τότε η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι η y = 2 x 2 + 1 και η αντίστοιχη ολοκληρωτική καμπύλη επίσης σχεδιάζεται στο ίδιο σχήμα. Μπορεί να επιβεβαιωθεί πως τα ευθύγραμμα τμήματα είναι όντως εφαπτόμενα στη σχεδιασμένη λύση. Μια ισοκλινής καμπύλη της διαφορικής εξίσωσης y = f(x, y) είναι ένα σύνολο σημείων του ⁶Υπενθυμίζεται, άλλωστε, πως η εφαπτόμενη ευθεία σε ένα σημείο μιας καμπύλης περιγράφει τοπικά τη συμπεριφορά της συνάρτησης που αντιστοιχεί στην καμπύλη. 11

1. Εισαγωγή y c = c = 1 c = 2 3 2 1 3 2 1 1 2 3 x 1 c = -3 c = -2 c = -1 Σχήμα 1.6: Ισοκλινείς της διαφορικής εξίσωσης (1.13), το αντίστοιχο πεδίο διευθύνσεων και η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών με y() =. επιπέδου xy, όπου όλες οι λύσεις έχουν την ίδια κλίση dy/dx, επομένως οι ισοκλινείς είναι καμπύλες της μορφής f(x, y) = c. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της διαφορικής εξίσωσης y = y + 2 cos x οι εξισώσεις των ισοκλινών είναι y + 2 cos x = c, δηλαδή y = 2 cos x + c. Ουσιαστικά, η σταθερά c μπορεί να ερμηνευτεί ως η αριθμητική τιμή της κλίσης κάθε ολοκληρωτικής καμπύλης που τέμνει την ισοκλινή, στο σημείο τομής. Για την κατασκευή ενός πεδίου διευθύνσεων με τη βοήθεια ισοκλινών καμπυλών, σχεδιάζονται μικρά ευθύγραμμα τμήματα με κλίση c κατά μήκος κάθε ισοκλινούς με εξίσωση f(x, y) = c. Με τον τρόπο αυτό μπορεί να προκύψει γρήγορα και εύκολα ένα μεγάλο πλήθος ευθύγραμμων τμημάτων. Αφαιρώντας, στη συνέχεια, από το σχέδιο τις ίδιες τις ισοκλινείς, τα τμήματα που απομένουν αποτελούν το πεδίο διευθύνσεων για την εξεταζόμενη διαφορική εξίσωση. Από την άλλη πλευρά, η μέθοδος δεν είναι πολύ πρακτική, όταν ισοκλινείς έχουν περίπλοκη μορφή. Παράδειγμα 1.1: Έστω η διαφορική εξίσωση y = y + x (1.13) Οι ισοκλινείς της (1.13) έχουν τη μορφή y + x = c, δηλαδή είναι οι ευθείες y = c x Στο σχήμα 1.6 σχεδιάζονται διάφορες ισοκλινείς, καθώς και το πεδίο διευθύνσεων που προκύπτει. Επιπλέον, σχεδιάζεται η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών με y() =. 12

1.3 Πεδία διευθύνσεων και σχεδίαση με ισοκλινείς καμπύλες 2 1 2. 1.5 1..5.5 1. 1 2 Σχήμα 1.7: Ισοκλινείς της διαφορικής εξίσωσης (1.14), το αντίστοιχο πεδίο διευθύνσεων και μερικές λύσεις. Παράδειγμα 1.11: Ας θεωρήσουμε τη διαφορική εξίσωση y = 2y (1.14) H (1.14) ανήκει στην κατηγορία των αυτόνομων εξισώσεων, διότι είναι της μορφής y = f(y), δηλαδή το δεξί μέλος της δεν εξαρτάται από την ανεξάρτητη μεταβλητή. Όπως γίνεται άμεσα αντιληπτό, οι ισοκλινείς της έχουν τη μορφή y = c/2, δηλαδή είναι ευθείες παράλληλες προς τον άξονα των x. Στο σχήμα 1.7 σχεδιάζονται με κόκκινες ευθείες γραμμές ορισμένες ισοκλινείς της (1.14), μαζί με το πεδίο διευθύνσεων και ορισμένες λύσεις της εξίσωσης (η γενική λύση είναι η y = ce 2x, όπως μπορεί να επαληθευτεί εύκολα). Εφόσον το δεξί μέλος της (1.14) δεν περιλαμβάνει την ανεξάρτητη μεταβλητή, η κλίση των λύσεων δεν εξαρτάται από την τιμή του x. 13

1. Εισαγωγή 14

Κεφάλαιο 2 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό μελετούμε κάποιες συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, δηλαδή εξισώσεις της μορφής y = f(x, y) οι οποίες γράφονται και ως M(x, y) + N(x, y) dy = M(x, y) dx + N(x, y) dy = dx Η τελευταία μορφή έχει το χαρακτηριστικό ότι δεν είναι φανερό ποια θεωρείται ως ανεξάρτητη και ποια ως εξαρτημένη μεταβλητή. Όπως θα γίνει φανερό στη συνέχεια, δεν υπάρχει μια ενιαία μεθοδολογία αντιμετώπισης των εξισώσεων αυτών και ο τρόπος επίλυσής τους εξαρτάται κάθε φορά από την ειδική μορφή της εκάστοτε διαφορικής εξίσωσης, με αποτέλεσμα να υπάρχει μια σειρά από διαφορετικές τεχνικές. Υπενθυμίζεται ότι για αυτού του είδους τις εξισώσεις και πρακτικά σε όλες τις περιπτώσεις που θα συναντήσουμε, η γενική λύση αναμένεται να περιέχει μία απροσδιόριστη σταθερά. 2.1 Διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών Ορισμός 2.1 Μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης λέγεται ότι είναι χωριζομένων μεταβλητών, αν είναι της μορφής dy = f(x)g(y) (2.1) dx Οι εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών μπορούν, επίσης, να έχουν τη μορφή η οποία γράφεται και ως f 1 (x)g 1 (y) dx + f 2 (x)g 2 (y) dy = (2.2) f 1 (x) f 2 (x) dx + g 2(y) g 1 (y) dy = υπό την προϋπόθεση ότι f 2 (x)g 1 (y). Αν, όμως, υπάρχει y, τέτοιο ώστε να ισχύει g 1 (y ) = (ή g(y ) = στην (2.1)), τότε διαπιστώνεται εύκολα ότι η συνάρτηση y(x) = y αποτελεί λύση της διαφορικής εξίσωσης, αφού τότε είναι και dy =. 15

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Παράδειγμα 2.1: Οι διαφορικές εξισώσεις y = 1 + y 2 y = x x 2 y = xy x 2 y + 2 1 + y 2 y = ανήκουν στην κατηγορία των διαφορικών εξισώσεων χωριζομένων μεταβλητών. Διαιρώντας τη (2.1) με τη g(y), έχουμε 1 dy g(y) dx = f(x) οπότε με ολοκλήρωση στα δύο μέλη προκύπτει ότι 1 dy g(y) dx dx = f(x) dx 1 g(y) dy = f(x) dx Αν H(y) και F (x) είναι αντιπαράγωγοι των 1/g(y) και f(x), αντίστοιχα, τότε H(y) = F (x) + c και η γενική λύση της (2.1) έχει βρεθεί σε πεπλεγμένη μορφή. Σημειώνεται πως δεν είναι απαραίτητο να εμφανιστούν δύο σταθερές ολοκλήρωσης στη λύση (δηλαδή H(y)+c 1 = F (x)+c 2 ), απλά αντικαθιστούμε κατευθείαν τη διαφορά c 2 c 1 με c. Φυσικά θα πρέπει να παρατηρηθεί πως δεν είναι όλες οι διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθμού διαχωρίσιμες. Επιπλέον, ακόμα και αν είναι εφικτός ο διαχωρισμός των μεταβλητών, δεν είναι βέβαιο ότι η πεπλεγμένη μορφή θα μπορεί να οδηγήσει σε αναλυτική έκφραση της γενικής λύσης με τη μορφή y = h(x). Εξετάζοντας επιμέρους απλούστερες περιπτώσεις, αναφερόμαστε αρχικά στην εξίσωση y = f(x), η οποία προκύπτει όταν είναι g(y) = 1 στη (2.1). Αυτή έχει γενική λύση y(x) = F (x) + c όπου F (x) μια αντιπαράγωγος της f(x). Από την άλλη πλευρά, αν είναι f(x) = 1, τότε y = g(y) και 1 g(y) y = 1 οπότε δηλαδή 1 g(y) dy = H(y) = x + c όπου H(y) μια αντιπαράγωγος της 1/g(y). Αν θεωρήσουμε ως εξαρτημένη μεταβλητή τη x, τότε η γενική λύση δεν είναι σε πεπλεγμένη μορφή, αφού γράφεται με τη μορφή x = H(y) c dx 16

2.2 Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις Παράδειγμα 2.2: Η διαφορική εξίσωση dy dx = x2 + 1 y (2.3) έχει χωριζόμενες μεταβλητές και γράφεται y dy ( x 2 + 1 ) dx = οπότε y dy (x 2 + 1 ) dx = c Τελικά 1 2 y2 1 3 x3 x = c που είναι η γενική λύση της (2.3) σε πεπλεγμένη μορφή. Παράδειγμα 2.3: Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών y = e x y (1 + e x ), y() = 2 H διαφορική εξίσωση γράφεται ως εξής: y dy = οπότε με ολοκλήρωση στα δύο μέλη παίρνουμε: ex 1 + e x dx 1 2 y2 = ln (1 + e x ) + c 1 y 2 = 2 ln (1 + e x ) + c y = ± 2 ln (1 + e x ) + c Εφαρμόζοντας την αρχική συνθήκη στην προτελευταία εξίσωση, διαπιστώνεται ότι 4 = 2 ln (1 + 1) + c c = 4 2 ln 2 Δεδομένου ότι y() = 2 >, η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι η y = 2 ln (1 + e x ) + 4 2 ln 2 Στο σχήμα 2.1 απεικονίζονται ορισμένες μερικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης, καθώς και η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος αρχικών τιμών. 2.2 Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις Αρχικά υπενθυμίζεται πως αν z = ϕ(x, y) είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών με συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους σε μια περιοχή D του επιπέδου, τότε ορίζεται το ολικό διαφορικό της 17

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 3 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 Σχήμα 2.1: Η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών y = e x y (1 + e x, y() = 2. ) ϕ ως dϕ = ϕ x dx + ϕ y dy Επομένως, αν είναι ϕ(x, y) = c, τότε θα ισχύει dϕ = και ϕ x dx + ϕ y dy = (2.4) Με άλλα λόγια, σε μια οικογένεια επίπεδων καμπυλών ϕ(x, y) = c μπορεί να αντιστοιχιστεί μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, μέσω του διαφορικού της ϕ. Ισοδύναμα, η γενική λύση της εξίσωσης (2.4) είναι σε πεπλεγμένη μορφή η ϕ(x, y) = c. Ορισμός 2.2 Έστω η διαφορική εξίσωση Αν υπάρχει συνάρτηση ϕ(x, y) που να ικανοποιεί τις συνθήκες M(x, y) dx + N(x, y) dy = (2.5) ϕ(x, y) x = M(x, y), ϕ(x, y) y = N(x, y) τότε η διαφορική εξίσωση χαρακτηρίζεται ως ακριβής (ή πλήρης). Παράδειγμα 2.4: Μπορούμε να κατασκευάσουμε πολύ εύκολα ακριβείς διαφορικές εξισώσεις, παίρνοντας απλά το διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Για παράδειγμα: Αν ϕ(x, y) = xy, τότε dϕ = y dx + x dy και η εξίσωση y dx + x dy = είναι ακριβής. 18

2.2 Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις Αν ϕ(x, y) = x 2 + xy + y 2, τότε dϕ = (2x + y) dx + (x + 2y) dy και η εξίσωση (2x + y) dx + (x + 2y) dy = είναι ακριβής. Αν ϕ(x, y) = y x, τότε dϕ = y dx + 1 x 2 x dy και η εξίσωση y x 2 dx + 1 x dy = είναι ακριβής. Αν η εξίσωση (2.5) είναι ακριβής, θα υπάρχει συνάρτηση δύο μεταβλητών ϕ(x, y) που μετασχηματίζει την αρχική εξίσωση στην ϕ x (x, y) dx + ϕ y (x, y) dy = ή, ισοδύναμα, dϕ(x, y) = με αποτέλεσμα η γενική λύση της (2.5), εκφρασμένη σε πεπλεγμένη μορφή, να είναι η ϕ(x, y) = c Επομένως, η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης ανάγεται στον προσδιορισμό της συνάρτησης ϕ. Το παρακάτω θεώρημα είναι χρήσιμο για την εξακρίβωση του αν μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι ακριβής. Θεώρημα Η διαφορική εξίσωση M(x, y) dx + N(x, y) dy = είναι ακριβής, όπου M και N είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους σε έναν τόπο D, αν και μόνο αν ικανοποιείται η συνθήκη M y (x, y) = N x (x, y) παντού στο D. Για τον προσδιορισμό της γενικής λύσης μιας ακριβούς διαφορικής εξίσωσης αρκεί να λυθεί το σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων { ϕx (x, y) = M(x, y) ϕ y (x, y) = N(x, y) Συγκεκριμένα, ολοκληρώνοντας ως προς x την πρώτη εξίσωση, παίρνουμε ϕ(x, y) = M(x, y) dx + c 1 (y) όπου η σταθερά ολοκλήρωσης c 1 είναι σταθερή μόνο ως προς x. Με αντικατάσταση στη δεύτερη εξίσωση έχουμε: M(x, y) dx + c y 1(y) = N(x, y) 19

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Τελικά με ολοκλήρωση ως προς y υπολογίζεται η c 1, [ c 1 (y) = N(x, y) y M(x, y) dx dy και ουσιαστικά έχει βρεθεί η συνάρτηση ϕ, η οποία τελικά είναι ίση με [ ϕ(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) M(x, y) dx dy y Φυσικά, η σειρά με την οποία πραγματοποιήθηκε η ολοκλήρωση των δύο εξισώσεων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, δηλαδή μπορεί να ξεκινήσουν οι υπολογισμοί με την ολοκλήρωση της δεύτερης εξίσωσης. Παράδειγμα 2.5: Θα ελεγχθεί αρχικά αν η διαφορική εξίσωση 2xy 2 3 = ( 5 2x 2 y ) dy dx είναι ακριβής. Αυτή γράφεται ως ( 2xy 2 3 ) dx ( 5 2x 2 y ) dy = (2.6) Είναι ( 2xy 2 3 ) = 4xy, y [ ( 5 2x 2 y ) = 4xy x Άρα η (2.6) είναι ακριβής. Για την εύρεση της γενικής λύσης, επιλύεται το σύστημα ϕ x = 2xy2 3 ϕ y = 5 + 2x2 y Ολοκληρώνοντας την πρώτη εξίσωση, παίρνουμε ϕ(x, y) = x 2 y 2 3x + c 1 (y) η οποία, όταν αντικατασταθεί στη δεύτερη, δίνει με αποτέλεσμα 2x 2 y + c 1(y) = 5 + 2x 2 y c 1 (y) = 5y Δε χρειάζεται να βάλουμε εδώ κάποια σταθερά ολοκλήρωσης, δεδομένου ότι αυτή δε θα παίξει κάποιο ρόλο στη μορφή του διαφορικού της ϕ. Άρα ϕ(x, y) = x 2 y 2 3x 5y και η γενική λύση της (2.6) σε πεπλεγμένη μορφή είναι η dϕ = ϕ(x, y) = c ή x 2 y 2 3x 5y = c 2

2.2 Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις Παράδειγμα 2.6: Έστω η ακριβής διαφορική εξίσωση 3x 2 y + ye xy + (2y + f(x) + xe xy ) y = (2.7) για την οποία αναζητείται αρχικά η άγνωστη συνάρτηση f(x). Εφόσον η (2.7) είναι ακριβής, θα πρέπει να ισχύει ( 3x 2 y + ye xy) = y x (2y + f(x) + xexy ) οπότε 3x 2 + e xy + xye xy = f (x) + e xy + xye xy ή f (x) = 3x 2 f(x) = x 3 + c Θα λύσουμε την εξίσωση στην περίπτωση που c =. Τότε θα είναι: } ϕ x = 3x 2 y + ye xy ϕ(x, y) = x 3 y + e xy + c 1 (y) ϕ y = 2y + x 3 + xe xy x 3 + xe xy + c 1 (y) = 2y + x3 + xe xy Επομένως c 1 (y) = y 2 και ϕ(x, y) = x 3 y + e xy + y 2. Τελικά η γενική λύση της (2.7) στην περίπτωση που εξετάζουμε (f(x) = x 3 ) είναι η x 3 y + e xy + y 2 = C Για τον προσδιορισμό της συνάρτησης ϕ μπορούμε να ακολουθηθεί εναλλακτικά το παρακάτω σκεπτικό: αν ισχύει M y (x, y) = N x (x, y), δηλαδή αν η διαφορική εξίσωση είναι ακριβής, αυτό σημαίνει πως το διανυσματικό πεδίο F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)) είναι συντηρητικό και, επομένως, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμά του κατά μήκος οποιασδήποτε διαδρομής με άκρα δύο συγκεκριμένα σημεία έχει τιμή που εξαρτάται μόνο από την τιμή του δυναμικού του στα άκρα. Το τελευταίο είναι η συνάρτηση ϕ, αφού ισχύει ϕ = (ϕ x, ϕ y ) = (M, N) = F. Αν ως αρχικό σημείο θεωρήσουμε το (τυχαίο) (x, y ) και τελικό το (x, y), θα έχουμε M dx + N dy = ϕ(x, y) ϕ(x, y ) C όπου C : (x, y ) (x, y), οπότε μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση ϕ. Για διευκόλυνση, ως διαδρομή ολοκλήρωσης επιλέγουμε μία από τις απλούστερες, η οποία απαρτίζεται από δύο επιμέρους τμήματα: από το (x, y ) στο (x, y) κατά μήκος της ευθείας x = x, από το (x, y) στο (x, y), παράλληλα προς τον άξονα των x. Στο πρώτο τμήμα είναι ενώ στο δεύτερο είναι (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y) M(u, v) du + N(u, v) dv = M(u, v) du + N(u, v) dv = 21 y y N(x, t) dt x x M(t, y) dt

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Τελικά x y ϕ(x, y) = ϕ(x, y ) + M(t, y) dt + x N(x, t) dt y οπότε η γενική λύση σε πεπλεγμένη μορφή (αφού ενσωματωθεί η σταθερή τιμή ϕ(x, y ) στη σταθερά ολοκλήρωσης) είναι x x M(t, y) dt + y y N(x, t) dt = c Παράδειγμα 2.7: Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών 3 ( x 2 1 ) y dx + ( x 3 + 8y 3x ) dy =, y() = 1 Για την παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι: M(x, y) = 3 ( x 2 1 ) y M y = 3 ( x 2 1 ) και N(x, y) = x 3 + 8y 3x N x = 3x 2 3 δηλαδή M y = N x, άρα η εξίσωση είναι ακριβής. Με βάση τον τύπο που αναφέρθηκε προηγουμένως, η ζητούμενη συνάρτηση ϕ υπολογίζεται ως εξής: x y x ϕ(x, y) = M(t, y) dt + N(, t) dt = 3 ( t 2 1 ) y y dt + 8t dt = [ t 3 3t x y + [ 4t 2 y = x3 y + 4y 2 3xy Επομένως, η διαφορική εξίσωση γράφεται dϕ = ϕ(x, y) = c x 3 y + 4y 2 3xy = c και δεδομένου ότι y() = 1, τελικά c = 4. Οπότε, η λύση του προβλήματος σε πεπλεγμένη μορφή είναι x 3 y + 4y 2 3xy = 4 2.3 Ολοκληρωτικοί παράγοντες Ας θεωρήσουμε τώρα την περίπτωση που η διαφορική εξίσωση M(x, y) dx + N(x, y) dy = (2.8) δεν είναι ακριβής, δηλαδή ισχύει M y N x. Ορισμός 2.3 Αν υπάρχει μια συνάρτηση µ(x, y), τέτοια ώστε η διαφορική εξίσωση µ(x, y)m(x, y) dx + µ(x, y)n(x, y) dy = να είναι ακριβής, τότε αυτή η συνάρτηση αποτελεί έναν ολοκληρωτικό παράγοντα της (2.8). 22

2.3 Ολοκληρωτικοί παράγοντες Παράδειγμα 2.8: H διαφορική εξίσωση ( y + e x y 2) dx + (2x + 3e x y) dy = (2.9) είναι φανερό πως δεν είναι ακριβής, αφού είναι ( y + e x y 2) = 1 + 2e x y y και x (2x + 3ex y) = 2 + 3e x y H (2.9) μετατρέπεται σε ακριβή, αν πολλαπλασιαστεί με y, οπότε παίρνει τη μορφή ( y 2 + e x y 3) dx + ( 2xy + 3e x y 2) dy = (2.1) H (2.1) είναι πλέον ακριβής, διότι ( y 2 + e x y 3) = 2y + 3e x y 2 y ( 2xy + 3e x y 2) = 2y + 3e x y 2 x Συνεπώς, ένας ολοκληρωτικός παράγοντας για την εξίσωση (2.9) είναι η συνάρτηση µ(y) = y. Στην περίπτωση που μια συνάρτηση µ(x, y) αποτελεί έναν ολοκληρωτικό παράγοντα της εξίσωσης (2.8), θα πρέπει να ισχύει y (µm) = x (µn) οπότε µ y M + µm y = µ x N + µn x µ (M y N x ) = µ x N µ y M Η τελευταία σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ολοκληρωτικών παραγόντων. Θα αναφερθούμε σε δύο μόνο περιπτώσεις, σε αυτές όπου ο ολοκληρωτικός παράγοντας εξαρτάται μόνο από το x ή μόνο από το y. Αν θεωρήσουμε πως η συνάρτηση µ εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή x, δηλαδή µ = µ(x) τότε µ y = και µ x = µ, με αποτέλεσμα να διαμορφώνεται η διαφορική εξίσωση µ µ = M y N x N Υπό την προϋπόθεση ότι η παράσταση που εμφανίζεται στο β μέλος είναι και αυτή συνάρτηση μόνο του x, η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι χωριζομένων μεταβλητών, οπότε γνωρίζουμε πώς να την ολοκληρώσουμε: µ µ dx = My N x My N x dx ln µ = dx N N με την παραδοχή µ >. Δεν έχουμε εισάγει κάποια μεταβλητή ολοκλήρωσης, διότι μας αρκεί να υπολογιστεί ένας μόνο ολοκληρωτικός παράγοντας. Τελικά M y Nx dx µ(x) = e N 23

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Αντίστοιχα, αν ο ολοκληρωτικός παράγοντας εξαρτάται μόνο από το y, δηλαδή µ = µ(y), τότε µ x = και µ y = µ, οπότε τώρα προκύπτει η διαφορική εξίσωση µ µ = N x M y M Αν η παράσταση στο β μέλος είναι συνάρτηση μόνο του y, η εξίσωση ολοκληρώνεται ως εξής: και τελικά µ µ dy = Nx M y Nx M y dy ln µ = M M dy N x My µ(y) = e M dy Παράδειγμα 2.9: Έστω η διαφορική εξίσωση y(2x y + 2)dx + 2(x y)dy = (2.11) H (2.11) δεν είναι ακριβής, διότι } M(x, y) = 2xy y 2 + 2y M y = 2x 2y + 2 M y N x N(x, y) = 2x 2y N x = 2 Παρατηρούμε ότι: M y N x N = 2x 2y 2x 2y = 1 οπότε ένας ολοκληρωτικός παράγοντας της (2.11) είναι η συνάρτηση µ(x) = e dx = e x Πολλαπλασιάζοντας με αυτόν, προκύπτει η ακριβής εξίσωση ( 2xye x y 2 e x + 2ye x) dx + (2xe x 2ye x ) dy = η οποία μπορεί να γραφεί με τη μορφή dϕ(x, y) =. Η συνάρτηση ϕ(x, y) είναι: ϕ(x, y) = x ( 2tye t y 2 e t + 2ye t) y ( dx + 2te ) dt = 2y [ te t e t x ( y 2 2y ) [ e t x y2 = 2y (xe x e x + 1) ( y 2 2y ) (e x 1) y 2 = 2yxe x 2ye x + 2y y 2 e x + 2ye x + y 2 2y y 2 = 2yxe x y 2 e x Άρα η γενική λύση της (2.11) είναι: 2yxe x y 2 e x = c 24

2.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις 2.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης έχουν τη γενική μορφή a 1 (x) dy dx + a (x)y = b(x) οι οποίες, υπό την προϋπόθεση ότι a 1 (x), γράφονται dy + p(x)y = q(x) (2.12) dx Όταν q(x) =, η εξίσωση καλείται ομογενής. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση έχει μεταβλητές που μπορούν να χωριστούν και γράφεται ως εξής: οπότε 1 y dy + με c 1 > και 1 dy + p(x) dx = y ln y ln c 1 = p(x) dx = ln c 1 p(x) dx Τελικά η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης είναι ln y = p(x) dx y(x) = ce p(x) dx c 1 Επιπλέον, διαπιστώνεται εύκολα ότι και η y = αποτελεί (προφανή) λύση της ομογενούς γραμμικής εξίσωσης, η οποία μπορεί να ενσωματωθεί στην παραπάνω γενική έκφραση, θεωρώντας πως η σταθερά c μπορεί να πάρει και τη μηδενική τιμή. Χαρακτηριστική ιδιότητα της ομογενούς γραμμικής εξίσωσης είναι το ότι οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός λύσεων της αποτελεί και αυτός λύση της εξίσωσης (αποδεικνύεται εύκολα, όπως θα δειχτεί στο επόμενο κεφάλαιο για γενικότερη περίπτωση). Στην περίπτωση που η εξίσωση δεν είναι ομογενής, αλλά έχει σταθερούς συντελεστές (p(x) = p R, q(x) = q R), η επίλυση είναι πάλι σχετικά απλή, αφού και τότε η εξίσωση είναι χωριζομένων μεταβλητών. Συγκεκριμένα, η εξίσωση παίρνει τη μορφή dy q py = dx οπότε με ολοκλήρωση έχουμε τελικά τη γενική λύση y(x) = q p + ce px Είναι φανερό πως στην περίπτωση που p >, τότε lim x + = q/p, με τη συνάρτηση y 1 (x) = q/p να αποτελεί τη λύση ισορροπίας (προκύπτει απευθείας από την αρχική εξίσωση, με το μηδενισμό της παραγώγου y ). Για την επίλυση της μη ομογενούς εξίσωσης (2.12), πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με μια άγνωστη, προς το παρόν μη μηδενική συνάρτηση µ(x): µ(x)y + µ(x)p(x)y = µ(x)q(x) 25

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Επιδιώκοντας να εμφανιστεί στο πρώτο μέλος η παράγωγος του γινομένου των δύο συναρτήσεων µ(x) και y(x), απαιτούμε να ικανοποιείται η εξίσωση µ (x) = µ(x)p(x) δεδομένου ότι [µ(x)y = µ (x)y+µ(x)y. H εξίσωση που πρέπει τώρα να λυθεί είναι χωριζομένων μεταβλητών: µ (x) = p(x) ln µ(x) = p(x) dx µ(x) οπότε µ(x) = e p(x) dx έχοντας επιλέξει µ(x) >. Επισημαίνεται πως δε χρειάζεται να βρεθεί η γενική λύση της εξίσωσης, αφού αρκεί να προσδιοριστεί μία μόνο κατάλληλη συνάρτηση µ. Τότε θα ισχύει: µ(x)y + µ (x)y = µ(x)q(x) [µ(x)y = µ(x)q(x) µ(x)y = µ(x)q(x) dx + c y = 1 [ µ(x)q(x) dx + c µ(x) Άρα η γενική λύση της (2.12) είναι η y(x) = e [ p(x) dx c + p(x) dx q(x)e dx Η συνάρτηση µ(x) χαρακτηρίζεται ολοκληρωτικός παράγοντας της (2.12). Όπως διαπιστώνεται, η γενική λύση της μη ομογενούς εξίσωσης αποτελείται από δύο όρους, ο ένας εκ των οποίων είναι η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης. Ο δεύτερος μπορεί να επαληθευτεί πως αποτελεί μια μερική λύση της μη ομογενούς εξίσωσης. Επιπλέον, από το παραπάνω αποτέλεσμα αποδεικνύεται το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα Αν οι συναρτήσεις p και q είναι συνεχείς σε ένα διάστημα I με x I, τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών { y + p(x)y = q(x) y(x ) = y έχει μία και μοναδική λύση στο I. Παράδειγμα 2.1: Έστω η διαφορική εξίσωση y xy = x Όπως περιγράψαμε παραπάνω, είναι µ(x) = e ( x) dx = e 1 2 x2 26

2.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις οπότε, πολλαπλασιάζοντας με τον κατάλληλο παράγοντα τη διαφορική εξίσωση, έχουμε: e 1 2 x2 y xe 1 2 x2 y = xe 1 2 x2 και ( ) e 1 2 x2 y = xe 1 2 x2 Έτσι, e 1 2 x2 y = ( xe 1 2 x2) dx + c = e 1 2 x2 + c και, τελικά, y(x) = 1 + ce 1 2 x2 Παράδειγμα 2.11: Ας θεωρήσουμε τη διαφορική εξίσωση y = ( 2x + y 3) y (2.13) Αυτή δεν είναι γραμμική, ωστόσο, αν αντιμετωπίσουμε τη μεταβλητή y ως ανεξάρτητη και τη μεταβλητή x ως εξαρτημένη, τότε: ή y = ( 2x + y 3) dy dx dx dy = 2x y + y2 dx dy 2 y x = y2 η οποία είναι γραμμική (θεωρήσαμε y ). Ένας ολοκληρωτικός παράγοντάς της είναι: e ( 2 y ) dy = e 2 ln y = e ln(1/y2 ) = 1 y 2 οπότε Τελικά: δηλαδή (σχήμα 2.2) 1 dx y 2 dy 2 y 3 x = 1 d ( ) 1 dy y 2 x = dy dy x y 2 = y + c x = y 3 + cy 2 Επιπλέον, η y = αποτελεί μια ιδιάζουσα λύση της (2.13), όπως μπορεί να επαληθευτεί εύκολα. Παράδειγμα 2.12: Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών xy + 2y = x 2 x + 1, y(1) = 1 2 (2.14) Η διαφορική εξίσωση γράφεται με τη μορφή y + 2 x y = x 1 + 1 x 27

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 2 y 1 2 1 1 2 1 2 Σχήμα 2.2: Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης y = ( 2x + y 3) y. οπότε οι λύσεις ορίζονται στα διαστήματα x < και x >. Είναι: 2 µ(x) = e x dx = e ln x2 = x 2 οπότε πολλαπλασιάζοντας με τον παραπάνω ολοκληρωτικό παράγοντα, παίρνουμε: ( x 2 y ) = x 3 x 2 + x x 2 y = 1 4 x4 1 3 x3 + 1 2 x2 + c Άρα η γενική λύση είναι: y(x) = 1 4 x2 1 3 x + 1 2 + c x 2 Η εφαρμογή της αρχικής συνθήκης δίνει c = 1 12, οπότε η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (2.14) είναι y(x) = 1 4 x2 1 3 x + 1 2 + 1 12x 2 για x >. 2.5 Επίλυση με αντικατάσταση Εδώ αναφερόμαστε σε περιπτώσεις όπου η διαφορική εξίσωση M(x, y) dx + N(x, y) dy = δεν ανήκει σε κάποια από τις κατηγορίες που αναφέρθηκαν παραπάνω, ωστόσο ενδέχεται να υπάρχει η δυνατότητα μετασχηματισμού της σε μία από τις γνωστές επιλύσιμες μορφές. 2.5.1 Ομογενείς εξισώσεις Ορισμός 2.4 αν ισχύει Μια πραγματική συνάρτηση f δύο μεταβλητών λέγεται ομογενής βαθμού μηδέν, f(tx, ty) = f(x, y) 28

2.5 Επίλυση με αντικατάσταση Γενικότερα, ονομάζεται ομογενής βαθμού n, όταν ισχύει f(tx, ty) = t n f(x, y) Με άλλα λόγια, μια συνάρτηση f είναι ομογενής βαθμού μηδέν, όταν παραμένει αμετάβλητη μετά από αλλαγή κλίμακας των ανεξάρτητων μεταβλητών x και y. Παράδειγμα 2.13: Για τη συνάρτηση f(x, y) = 3y 3 5xy 2 + x 3 ln y x διαπιστώνεται ότι f(tx, ty) = 3t 3 y 3 5txt 2 y 2 + t 3 x 3 ln ty ( tx = t3 3y 3 5xy 2 + x 3 ln y ) x δηλαδή είναι ομογενής τρίτου βαθμού. = t 3 f(x, y) Παράδειγμα 2.14: Η συνάρτηση f(x, y) = είναι ομογενής μηδενικού βαθμού, αφού ισχύει 2xy + y2 3x 2 y 2 f(tx, ty) = 2txty + t2 y 2 2xy + y2 3t 2 x 2 t 2 = y2 3x 2 = f(x, y) y2 Όπως γίνεται φανερό, η συγκεκριμένη συνάρτηση εκφράζεται ως πηλίκο δύο ομογενών συναρτήσεων βαθμού 2. Αυτό που διαπιστώνεται εύκολα από το παραπάνω παράδειγμα είναι πως η ομογενής συνάρτηση βαθμού μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση του y/x: ( ) 2xy + y2 x 2 x 2 2 y x + ( y ) 2 ( y x) f(x, y) = 2xy + y2 x2 3x 2 y 2 = x 2 ( 3x 2 x 2 y2 x 2 ) = x 3 ( y x ) 2 = g όπου g(u) = 2u+u2. Γενικότερα, μια ομογενής συνάρτηση βαθμού n γράφεται και ως ακολούθως: 3 u 2 ( ( ) y x f(x, y) = x n g = y x) n h y Ορισμός 2.5 Η διαφορική εξίσωση M(x, y) dx + N(x, y) dy = λέγεται ομογενής, αν μπορεί να γραφεί με τη μορφή dy ( y ) dx = g x (2.15) 29

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Όταν η εξίσωση (2.15) γράφεται με τη μορφή M(x, y) dx + N(x, y) dy = τότε ο παραπάνω ορισμός ισοδυναμεί με το να είναι οι συναρτήσεις M(x, y) και N(x, y) ομογενείς του ίδιου βαθμού, αφού τότε θα ισχύει dy y) = M(x, dx N(x, y) = p(y/x) ( y ) xn x n q(y/x) = p(y/x) q(y/x) = g x Μια ομογενής διαφορική εξίσωση μετατρέπεται σε εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές, αν εφαρμοστεί ο μετασχηματισμός z(x) = y x οπότε y = xz(x). Τότε διαπιστώνεται ότι dy dx = z + x dz dx με αποτέλεσμα η ομογενής διαφορική εξίσωση να γράφεται z + x dz dx = g(z) Αυτή είναι πλέον χωριζόμενων μεταβλητών, οπότε ακολουθώντας τη συνήθη διαδικασία, έχουμε: άρα και 1 g(z) z dz = 1 x dx 1 1 g(z) z dz = x dx G(z) = ln x + c 1 με τη G(z) να είναι μια αντιπαράγωγος της g(z) z. Επομένως, η λύση της (2.15) σε πεπλεγμένη μορφή είναι: ( y G = ln x + c x) Παράδειγμα 2.15: Η διαφορική εξίσωση dy dx = x + y x δεν έχει χωριζόμενες μεταβλητές, είναι όμως ομογενής, αφού γράφεται ως dy dx = 1 + y x Θέτοντας y = xz, διαπιστώνεται ότι η εξίσωση παίρνει τη μορφή με αποτέλεσμα Τελικά και z + x dz dx = 1 + z x dz dx = 1 dz = dx x dx dz = z = ln x + c x y = xz = x ln x + cx 3

2.5 Επίλυση με αντικατάσταση 2.5.2 Η διαφορική εξίσωση Bernoulli Ορισμός 2.6 Η διαφορική εξίσωση Bernoulli έχει τη μορφή y + p(x)y = q(x)y n (2.16) με n / {, 1}. Στην περίπτωση που n =, η (2.16) γίνεται y + p(x)y = q(x) δηλαδή είναι γραμμική εξίσωση πρώτης τάξης, οπότε αντιμετωπίζεται με τον τρόπο που δείξαμε σε προηγούμενη ενότητα. Αν n = 1, τότε η (2.16) γράφεται ως y + [p(x) q(x) y = οπότε είναι χωριζομένων μεταβλητών. Για τη γενική περίπτωση αντιμετώπισης της παραπάνω μη γραμμικής εξίσωσης, χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση z = y 1 n η οποία οδηγεί τελικά σε μια απλούστερη και πιο εύκολα επιλύσιμη μορφή. Με βάση τη συγκεκριμένη αλλαγή μεταβλητής είναι z = (1 n)y n y, δηλαδή y = 1 1 n yn z ενώ είναι και y = y n z, οπότε η διαφορική εξίσωση μετασχηματίζεται στην z + (1 n)p(x)z = (1 n)q(x) η οποία είναι γραμμική πρώτης τάξης και επιλύεται κατά τα γνωστά, με την εύρεση κατάλληλου πολλαπλασιαστικού παράγοντα. Παράδειγμα 2.16: Έστω η διαφορική εξίσωση y + 2 x y = 6x4 y 2 (2.17) η οποία είναι εξίσωση Bernoulli με n = 2. Για να μετατραπεί σε γραμμική εξίσωση, θέτουμε (θεωρώντας y ) με αποτέλεσμα y = y 2 z και z = y 1 2 = 1 y z = y y 2 ή y = y 2 z. Με αντικατάσταση στην (2.17) παίρνουμε την εξίσωση z 2 x z = 6x4 Ένα ολοκληρωτικός παράγοντας για αυτήν είναι: µ(x) = e ( 2/x)dx = e 2 ln x = e ln(1/x2) = 1 x 2 31

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης οπότε: ή Επομένως: Τελικά, η γενική λύση είναι η z x 2 2 x 3 z = 6x2 ( z x 2 ) = ( 2x 3) z x 2 = 2x3 + c z = 2x 5 + cx 2 y(x) = ενώ και η ευθεία y = αποτελεί λύση της (2.17). 1 cx 2 2x 5 2.5.3 Η διαφορική εξίσωση Ricca Ορισμός 2.7 Η διαφορική εξίσωση Ricca έχει τη γενική μορφή y = p(x)y 2 + q(x)y + r(x) (2.18) Αν r(x) =, τότε η εξίσωση (2.18) είναι εξίσωση Bernoulli, ενώ αν p(x) =, είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση. Για την επίλυση της εξίσωσης Ricca είναι απαραίτητη η γνώση μιας μερικής λύσης. Έστω y 1 μια μερική λύση της (2.18). Τότε θεωρούμε το μετασχηματισμό y = y 1 + z οπότε y = y 1 + z Με αντικατάσταση στη (2.18) έχουμε: y 1 + z = p(x) ( y 2 1 + z 2 + 2y 1 z ) + q(x)(y 1 + z) + r(x) Εφόσον η y 1 είναι λύση της (2.18), θα ισχύει y 1 = p(x)y2 1 + q(x)y 1 + r(x), οπότε η παραπάνω εξίσωση απλοποιείται, z = p(x) ( z 2 + 2y 1 z ) + q(x)z ή z [2y 1 p(x) + q(x) z = p(x)z 2 Η τελευταία είναι εξίσωση Bernoulli και επιλύεται με την αντικατάσταση u = z 1 2 = 1/z. Θα μπορούσαμε εξαρχής να επιλέξουμε την αντικατάσταση y = y 1 + 1 z οπότε: ( y 1 z z 2 = p(x) y1 2 + 2 y 1 z + 1 ) ( z 2 + q(x) y 1 + 1 ) + r(x) z 32

2.5 Επίλυση με αντικατάσταση Η συγκεκριμένη εξίσωση απλοποιείται, η οποία είναι γραμμική πρώτης τάξης. z + [2y 1 p(x) + q(x) z = p(x) Παράδειγμα 2.17: Δίνεται η διαφορική εξίσωση y = y 2 x 2 + 1 (2.19) καθώς και μία λύση της, η y 1 (x) = x. H (2.19) είναι εξίσωση Rica, οπότε υπολογίζεται η γενική λύση μέσω του μετασχηματισμού Είναι y = x + 1 z y = 1 z z 2 οπότε με αντικατάσταση στην (2.19) έχουμε: ή 1 z z 2 = x2 + 1 z 2 + 2x z x2 + 1 z + 2xz = 1 η οποία είναι γραμμική πρώτης τάξης. Είναι 2x dx = x 2, οπότε πολλαπλασιάζουμε με τον ολοκληρωτικό παράγοντα e x2 : e x2 z + 2xe x2 z = e x2 ( ) e x2 z = e x 2 e x2 z = e x2 dx + c z = e [ x2 e x2 dx + c Τελικά: y = x + e x2 e x2 dx + c 2.5.4 Η διαφορική εξίσωση y = f(ax + by) Υπάρχουν περιπτώσεις όπου η μορφή της διαφορικής εξίσωσης είναι τέτοια που ουσιαστικά μας καθοδηγεί στον τύπο της αντικατάστασης που θα πρέπει να επιλέξουμε. Στην περίπτωση της διαφορικής εξίσωσης y = f(ax + by) (2.2) θέτουμε z = ax + by, οπότε z = a + by, με αποτέλεσμα y = z a b 33

2. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Έτσι, η (2.2) παίρνει τη μορφή z a b = f(z) η οποία είναι χωριζομένων μεταβλητών και γράφεται ως dz bf(z) + a = dx Παράδειγμα 2.18: Έστω η διαφορική εξίσωση y = (x + y) 2 (2.21) Θέτοντας z = x + y, προκύπτει ότι y = z 1, οπότε η (2.21) γράφεται ως Εφαρμόζοντας χωρισμό μεταβλητών, έχουμε οπότε με ολοκλήρωση προκύπτει ότι z 1 = z 2 z 1 + z 2 = 1 arctan z = x + c ή z = tan (x + c) Τελικά, η γενική λύση της (2.21) είναι η y = tan (x + c) x 2.5.5 Εξισώσεις με πολυωνυμικούς συντελεστές α βαθμού Έστω η διαφορική εξίσωση α βαθμού (a 1 x + b 1 y + c 1 ) dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) dy = (2.22) Η περίπτωση που οι συντελεστές c 1 και c 2 είναι ίσοι με μηδέν αντιμετωπίζεται εύκολα, αφού τότε η εξίσωση (2.22) είναι ομογενής. Στην περίπτωση που οι εξισώσεις a 1 x + b 1 y + c 1 = και a 2 x + b 2 y + c 2 = παριστάνουν δύο τεμνόμενες ευθείες του επιπέδου, η (2.22) μπορεί να μετατραπεί πολύ εύκολα σε μια ομογενή εξίσωση, αρκεί να βρεθεί το σημείο τομής των δυο ευθειών. Αν αυτό το σημείο είναι το (x, y ), τότε θα ισχύει } a 1 x + b 1 y + c 1 = a 1 (x x ) + b 1 (y y ) = a 1 x + b 1 y + c 1 = όπως και } a 2 x + b 2 y + c 2 = a 2 (x x ) + b 2 (y y ) = a 2 x + b 2 y + c 2 = 34