4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του ( Το ( λέγεται διαιρετέος, το ( διαιρέτης, το ( πηλίκο και το ( υπόλοιπο της διαίρεσης ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1 Να κάνετε τη διαίρεση : ( x 5x x 1):( x ) και στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης Λύση : Στη διαίρεση της εκφώνησης, το πολυώνυμο x ) x 5x x 1 ονομάζεται διαιρετέος ενώ το πολυώνυμο ( x ονομάζεται διαιρέτης Για να εκτελέσουμε τη διαίρεση ακλουθούμε τα εξής βήματα : Βήμα 1 : Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και γράφουμε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x Αν λείπει κάποια δύναμη την συμπληρώνουμε με συντελεστή μηδέν Βήμα : Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου Έτσι : x : x x x με τον πρώτο όρο του διαιρέτη x Βήμα : Πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου x με τον διαιρέτη : x ( x ) x x και το γινόμενο αυτό το αφαιρούμε από τον διαιρετέο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 1
Βήμα 4 : Το πολυώνυμο x x 1 είναι το πρώτο μερικό υπόλοιπο Θεωρώντας αυτό ως νέο διαιρετέο, επαναλαμβάνουμε τα δυο προηγούμενα βήματα Βήμα 5 : Το πολυώνυμο 4x 1 είναι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο Θεωρώντας αυτό ως νέο διαιρετέο, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα Όταν το μερικό υπόλοιπο που θα προκύψει έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του διαιρέτη, τότε η διαίρεση σταματά Δηλαδή το τελικό υπόλοιπο της διαίρεσης είναι -1 και το πηλίκο x x 4 Από την παραπάνω διαδικασία προκύπτει η ταυτότητα της διαίρεσης : ( ( x 5x x 1 ( x ) x x 4) ( 1) (Διαιρετέος)=(διαιρέτης)(πηλίκο)+(υπόλοιπο) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Ρ( ΜΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ x-ρ (ΣΧΗΜΑ HORNER) ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου ( με το x είναι ισο με την τιμή του πολυώνυμου για x Είναι δηλαδή ) Έτσι η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται : x ) ( x ) ) ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα πολυώνυμο ( έχει παράγοντα το x αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του (, δηλαδή αν και μόνο αν ) 0 Όταν έχω να εκτελέσω μια διαίρεση ενός πολυώνυμου ( με ένα παράγοντα της μορφής x, τότε χρησιμοποιώ το σχήμα Horner, ακλουθώντας την παρακάτω διαδικασία ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση 4 σελ19 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i ( x 75x 50) : ( x 10) Λύση : Βήμα 1 : Κάνουμε τον πίνακα του σχήματος Horner και στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του διαιρετέου Αν λείπει κάποια δύναμη του x, τη συμπληρώνουμε με συντελεστή μηδέν Στο τέλος της πρώτης γραμμής, γράφουμε το 1 0 75 50 10 Βήμα : Κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή στην 1 η θέση της ης γραμμής 1 0 75 50 10 1 Βήμα : Πολλαπλασιάζουμε με ρ τον πρώτο αριθμό της ης γραμμής και γράφουμε το γινόμενο στη η θέση της ης γραμμής Στη συνέχεια προσθέτουμε τους αριθμούς της ης στήλης και γράφουμε το άθροισμα στη η θέση της ης γραμμής Βήμα 4 : Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία για τον αριθμό που βρίσκεται στη η θέση της ης γραμμής και συνεχίζουμε μέχρι να τελειώσουν οι συντελεστές του διαιρετέου στην πρώτη γραμμή 1 0 75 50 10 10 100 50 1 10 5 0 έ _ ί ό Προσοχή : Στη διαίρεση x ) : ( x ) ο βαθμός του πηλίκου είναι κατά 1 μικρότερος από τον βαθμό του ( Επίσης αφού ο διαιρέτης x είναι 1 ου βαθμού, το υπόλοιπο είναι ένας πραγματικός αριθμός Οι αριθμοί που βρίσκονται στην η γραμμή (εκτός από τον τελευταίο) παριστάνουν του συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα
Ο τελευταίος αριθμός της ης γραμμής παριστάνει το υπόλοιπο της διαίρεσης Με αυτά στο μυαλό μας στη διαίρεση : ( x 75x 50) : ( x 10) ο διαιρετέος είναι ου βαθμού, άρα το πηλίκο θα είναι ου βαθμού με συντελεστές όπως προκύπτουν από το Horner -1, 10, -5 άρα το πηλίκο έχει τη μορφή : ( x 10x 5 και το υπόλοιπο 0 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι : ( ( x 75x 50 ( x 10)( x 10x 5) 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να γίνουν οι ακόλουθες διαιρέσεις : i (x 1) : ( x 1) 4 ii (10x 7x x 5) : (x 1) 4 Ομοίως : i (5x 1x ) : ( x 4) 4 ii ( x x x) : ( x x ) 5 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του x ) 4x x με τα πολυώνυμα : i x ii x 1 iii x 6 Να βρεθεί με τη βοήθεια του σχήματος Horner, το πηλίκο, το υπόλοιπο και η ταυτότητα 4 της διαίρεσης του πολυώνυμου x ) 7x x 1 με τα πολυώνυμα : i x 1 ii x 7 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρεθούν τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : 4 i ( x x 8) : ( x ) ii (5x x ) : ( x ) 8 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να δείξετε ότι το πολυώνυμο P ( x 9, διαιρετέ με το γινόμενο (x-1)(x-) και να βρείτε το αντίστοιχο πηλίκο 100 47 1 9 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης : ( x x 4x 1) : ( x 1) 10 Να αποδείξετε ότι το (x-) είναι παράγοντας του πολυώνυμου P ( x x 6 4 11 Έστω το πολυώνυμο P ( x 7x 6 Να βρεθεί το Ρ() με τη βοήθεια του σχήματος Horner 1 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να δείξετε ότι το πολυώνυμο 4 P ( x 9x 0x 44x 4 έχει παράγοντα το ( x ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4
1 Να βρείτε τα a έτσι ώστε το πολυώνυμο P( ( ) x x x 6 να διαιρείται με το (x+) 4 14 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P ( x x 10 δεν έχει παράγοντα της μορφής (x-ρ) 15 Αν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του Ρ(χ) με τα (χ-) και (x+) είναι 4 και -1 αντίστοιχα, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P ( : ( x x 6) 16 Αν το (x+4) είναι παράγοντας του Ρ(, να αποδείξετε ότι το (x-) είναι παράγοντας του Ρ(11-5 4 15 Να βρείτε τα, έτσι ώστε το πολυώνυμο P( x ( ) x ( ) x x 6 να έχει ρίζες τις τιμές x και x Στη συνεχεία για τα α,β που βρήκατε να υπολογίσετε το πηλίκο της διαίρεσης P ( : ( x )( x ) με τη βοήθεια του σχήματος Horner ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5