Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση

Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση Ο Βρόχος Ανατροφοδότησης Στοιχεία ιεργασίας και Όργανα Μέτρησης ιατάξεις ιαγραµµάτων Βαθµίδας Μέτρα Απόδοσης Ρύθµισης Επιλογή Μεταβλητών Ρύθµισης 1

Ο βρόχος ανατροφοδότησης! Η γενική έννοια του βρόχου ρύθµισης µε ανατροφοδότηση σε σύστηµα µε είσοδο και έξοδο, δίνεται σχηµατικά ως εξής... Είσοδος ιεργασία Έξοδος Ανατροφο- δότηση 2

Μετρήσεις και όργανα µέτρησης! ιεργασία π.χ., αντιδραστήρας, εναλλάκτης θερµότητας, διαχωριστήρας, κλπ. η δυναµική τους µπορεί να µεταβάλλεται σηµαντικά οι είσοδοι της διεργασίας περιλαµβάνουν τις µεταβλητές εκ χειρισµού και τις διαταραχές της διεργασίας.! Όργανα µέτρησης η πολύ ταχεία δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος συχνά (αλλά όχι πάντα) µπορεί να αµεληθεί σε σχέση µε τη δυναµική της διεργασίας το σήµα µπορεί να είναι πεπιεσµένου αέρα (pneumatic, 0.2-1 atm-g) ή ηλεκτρικό (4-20 ma). 3

Μετρήσεις και όργανα µέτρησης! Συγκριτής/Ρυθµιστής η δυναµική απόκριση του συστήµατος εξαρτάται από τον τύπο του ρυθµιστή το σήµα ανατροφοδότησης κυµαίνεται µεταξύ 0-100% τα ηλεκτρονικά σήµατα (4-20 ma) µπορούν να µεταφερθούν σε µεγάλες αποστάσεις τα σήµατα πεπιεσµένου αέρα (0.2-1 atm-g) µεταφέρονται µέχρι απόστασης 400 m τα σήµατα πεπιεσµένου αέρα µπορεί να εισάγουν µικρές χρονικές καθυστερήσεις (1-5 5 s). 4

Μετρήσεις και όργανα µέτρησης! Τελικό όργανο µέτρησης ρυθµίζει τη µεταβλητή εκ χειρισµού το σήµα από το ρυθµιστή προσαρµόζεται ώστε να τροφοδοτεί το τελικό στοιχείο του ρυθµιστή (µπορεί να χρειάζεται µετατροπέας - transducer - για τη µετατροπή του ηλεκτρικού σήµατος του ρυθµιστή σε σήµα πίεσης) το τελικό όργανο µέτρησης συχνά αποτελείται από µια ρυθµιστική βαλβίδα που τροφοδοτείται µε πεπιεσµένο αέρα 0.2-1 1 atm-g οι ρυθµιστικές βαλβίδες έχουν ταχύ χρόνο απόκρισης (σταθερές χρόνου 1-1 4 s). 5

οµή διαγραµµάτων βαθµίδας! ιάγραµµα βαθµίδων µε µία έξοδο και δύο εισόδους (µεταβλητή εκ χειρισµού και διαταραχή) ιεργασία D SP G d + _ E C MV G c G v G p + + CV G m 6

Βρόχος ανατροφοδότησης! Η διεργασία περιλαµβάνει δύο ή περισσότερες συναρτήσεις µεταφοράς: η µία σχετίζεται µε τη µεταβλητή εκ χειρισµού (G p ) και οι άλλες σχετίζονται µε τα διάφορα φορτία (π.χ. G d ).! Άλλες συναρτήσεις µεταφοράς σχετίζονται µε αισθητήρες (sensors), µετατροπείς, ρυθµιστές, και τελικά στοιχεία ρύθµισης.! Ας ξαναθυµηθούµε τις συνήθεις διατάξεις βαθµίδων και τις απλοποιηµένες βαθµίδες που προκύπτουν... 7

Συνήθεις διατάξεις βαθµίδων! Βαθµίδες σε σειρά X 0 X 1 X 2 X 3 X n-1 X n G 1 G 2 G 3 G n X X n 0 ( s) () s () () () () = G1 s G2 s... Gn s = Π Gi s n i= 1 8

Συνήθεις διατάξεις βαθµίδων! Βαθµίδες σε παράλληλη διάταξη G 1 X 1 X 0 X 3 G 2 X 2 ( s) () s X3 X3 = X1 + X2 = G1 X0 + G2X0 = G + G X 0 1 2 9

Συνήθεις διατάξεις βαθµίδων! ιάταξη ανακύκλωσης X 0 X 1 X 2 G 1 X 3 G 2 X X G X G [ X X ] G [ X G X ] 2 G1 2 = 1 1 = 1 0 + 3 = 1 0 + 2 2 = X 1 GG ( s) () s 10 0 1 2

Συνήθεις διατάξεις βαθµίδων! ιάταξη ανάδρασης X 0 X 1 X 2 G 1 X 3 G 2 11 ( ) () X s X G X G[ X X ] G[ X G X ] 2 G1 2 = 1 1= 1 0 3 = 1 0 2 2 = X s 1 + GG 0 1 2

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν δύο ολικές συναρτήσεις µεταφοράς συνδεδεµένες µε το βρόχο ανατροφοδότησης: servo : περιγράφει την επίδραση µεταβολών στο σηµείο αναφοράς (set point, SP) πάνω στη ρυθµιζόµενη µεταβλητή. regulator : περιγράφει την επίδραση µεταβολών του φόρτου του συστήµατος (D) πάνω στη ρυθµιζόµενη µεταβλητή. G servo G regulator 12

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Μπορούµε να προσδιορίσουµε τις ολικές συναρτήσεις µεταφοράς εφαρµόζοντας τις διάφορες σχέσεις συναρτήσεων µεταφοράς και τροποποιώντας τες.! Όµως, µπορούµε να εφαρµόσουµε την επόµενη διαδικασία για να απλοποιήσουµε το βρόχο ανατροφοδότησης σε µία και µόνο βαθµίδα εισόδου-εξόδου εξόδου µε µία συνάρτηση µεταφοράς... 13

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Καθορίζουµε την είσοδο (δηλ., διαταραχή ή το σηµείο αναφοράς) που µας ενδιαφέρει.! Ο αριθµητής της ολικής συνάρτησης µεταφοράς δίνεται από το γινόµενο όλων των συναρτήσεων µεταφοράς που βρίσκονται µεταξύ εισόδου και εξόδου.! Ο παρονοµαστής δίνεται από το άθροισµα: 1 + γινόµενο όλων των συναρτήσεων µεταφοράς που περιλαµβάνονται µέσα στον κλειστό βρόχο. 14

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Υπενθυµίζουµε τον απλό βρόχο ανατροφοδότησης D SP G d + _ E C MV G c G v G p + + CV G m 15

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Στην περίπτωση αυτή έχουµε CV D = Gregulator = 1 + G d GGGG p v c m CV SP GGG c v p = Gservo = 1 + GGGG p v c m 16

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Αξίζει να σηµειωθεί ότι: το G servo περιγράφει την ολική επίδραση της µεταβολής του σηµείου αναφοράς πάνω στην έξοδο, εκφρασµένη σα συνάρτηση µεταφοράς. το G regulator περιγράφει την ολική επίδραση της µεταβολής της διαταραχής (φόρτου) πάνω στην έξοδο, εκφρασµένη σα συνάρτηση µεταφοράς. Οι παρονοµαστές των δύο ολικών συναρτήσεων µεταφοράς είναι οι ίδιοι. 17

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Η ίδια εργασία απλοποίησης µπορεί να εφαρµοστεί και σε πιο πολύπλοκες διατάξεις.! Σηµείωση: : πάντα απλοποιούµε πρώτα τις εσωτερικές διατάξεις, και µετά προχωρούµε προς τις εξωτερικές και τελικά προς τον ολικό βρόχο. 18

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας SP D G 1 G 5 + _ G 2 + _ G 3 G 4 CV G 6 G 7 19

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Απλοποίηση του εσωτερικού βρόχου ανατροφοδότησης κάνοντας χρήση άλγεβρας των διαγραµµάτων βαθµίδας: + _ G 3 G 6 G 8 G 8 G3 = 1 + GG 3 6 20

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας SP D G 1 G 5 + _ G 2 G 8 G 4 CV G 7 21

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Από αυτόν τον απλοποιηµένο βρόχο µπορούµε να γράψουµε CV D G5 = Gregulator = = 1 + GGGG 2 8 4 7 1+ G 2 G5 G3 1+ GG GG 3 6 4 7 CV SP GGGG 1 2 8 4 = Gservo = = 1 + GGGG 2 8 4 7 G3 GG GG G 1 2 4 1+ 3 6 G3 1+ G + GG GG 2 1 3 6 4 7 22

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Να σηµειωθεί ότι: το G 1 δεν εµφανίζεται στον παρονοµαστή αφού δεν αποτελεί µέρος του βρόχου ανατροφοδότησης. Ο παρονοµαστής παραµένει ο ίδιος και για τις δύο συναρτήσεις µεταφοράς. Οι εκφράσεις για τις δύο ολικές συναρτήσεις µεταφοράς βασίζονταν στην απλοποιηµένη µορφή του βρόχου. Ακολούθως επαναδια- τυπώσαµε το G 8 σα συνάρτηση των αρχικών συναρτήσεων µεταφοράς. 23

Απλοποίηση διαγραµµάτων βαθµίδας! Παρόµοιες διαδικασίες µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην απλοποίηση διατάξεων που περιλαµβάνουν τα άλλα συνήθη στοιχεία βαθµίδων (δηλ. παράλληλες διατάξεις, ανακύκλωσης, σε σειρά). 24

Μέτρα απόδοσης! Ποσοτικά µέτρα για την αξιολόγηση της αποδοτικότητας του συστήµατος ρύθµισης.! Θεωρούµε µέτρα για δύο τύπους διαταραχών: µεταβολές στην τιµή αναφοράς (set point) µεταβολές στα φορτία. 25

Μέτρα απόδοσης: Σηµείο αναφοράς! Ορισµένα από τα µέτρα εφαρµόζονται σε ευσταθείς αποκρίσεις: 2 Output 1.5 1 A B 0.5 0 T r P 0 0.5 1 1.5 2 Time 26

Μέτρα απόδοσης: Σηµείο αναφοράς! Μόνιµη απόκλιση (Offset): : διαφορά µεταξύ της τελικής τιµής µόνιµης κατάστασης του σηµείου αναφοράς και της τιµής της ρυθµιζόµενης µεταβλητής.! Χρόνος ανύψωσης (Rise Time): : ο χρόνος από την επιβολή βηµατικής µεταβολής στην τιµή αναφοράς µέχρι ότου η ρυθµιζόµενη µεταβλητή να φθάσει για πρώτη φορά τη νέα τιµή αναφοράς (T r ). Επιθυµητοί οι µικροί χρόνοι ανύψωσης. 27

Μέτρα απόδοσης: Σηµείο αναφοράς! Λόγος εξασθένησης (decay ratio) (συστήµατα µε υποαπόσβεση): ο λόγος B/A.! Περίοδος ταλάντωσης (period of oscillation) (συστήµατα µε υποαπόσβεση): ο χρόνος P.! Χρόνος αποκατάστασης (settling time) (συστήµατα µε υποαπόσβεση): ο χρόνος που απαιτείται ώστε να παραµένει η ρυθµιζόµενη µεταβλητή στο 5% της τελικής τιµής. 28

Μέτρα απόδοσης: Σηµείο αναφοράς! Ολοκληρωτικά µέτρα απόδοσης Ολοκλήρωµα απόλυτου σφάλµατος (Integral of Absolute Error - IAE) IAE = SP t CV t dt 0 () () Ολοκλήρωµα τετραγωνισµένου σφάλµατος (Integral of Square Error - ISE) ISE = ( SP() t CV () t ) 2 dt 0 29

Μέτρα απόδοσης: Σηµείο αναφοράς! Ολοκληρωτικά µέτρα απόδοσης... Ολοκλήρωµα απόλυτου σφάλµατος στο χρόνο (Integral of Time Weighted Absolute Error - ITAE) ITAE = t SP t CV t dt 0 () () Ολοκλήρωµα σφάλµατος (Integral of Error - IE) IE = SP t CV t dt 0 ( () ()) 30

Μέτρα απόδοσης: Σηµείο αναφοράς! Ολοκληρωτικά µέτρα απόδοσης... Το ISE δίνει µεγαλύτερη έµφαση στα µεγάλα σφάλµατα παρά στα µικρά. Το ITAE δίνει µεγαλύτερη έµφαση στα σφάλµατα µακράς διάρκειας. Το IE κανονικά δεν χρησιµοποιείται αφού τα θετικά σφάλµατα αναιρούνται από τα αρνητικά, δίνοντας λάθος εντύπωση για την ολική συµπεριφορά απόδοσης της ρύθµισης. 31

Μέτρα απόδοσης: ιαταραχές! Θεωρούµε τρεις βασικούς τύπους διαταραχών: βαθµωτή (βηµατική, step) µεταβολή του φόρτου, ηµιτονοειδή µεταβολή του φόρτου, στοχαστική µεταβολή του φόρτου. 32

Μέτρα απόδοσης: ιαταραχές! Βαθµωτή διαταραχή µπορεί να γίνει χρήση µερικών από τους ίδιους δείκτες απόδοσης, όπως για τη µεταβολή της τιµής αναφοράς, εκτός από το χρόνο ανύψωσης, που δεν ισχύει εδώ.! Στοχαστική είσοδος σ CV χρήση στατιστικών παραµέτρων: τυπική απόκλιση και µέση τιµή της ρυθµιζόµενης µεταβλητής. = n 1 1 n i= 1 ( CV CV ) i 33 2 CV = 1 n n i= 1 CV i

Μέτρα απόδοσης: ιαταραχές! Ηµιτονοειδείς είσοδοι η απόδοση της ρύθµισης µετριέται µε το εύρος της ρυθµιζόµενης µεταβλητής σε σχέση µε αυτό της εισόδου, επιθυµητό το µικρό εύρος εξόδου. 34

Μέτρα απόδοσης! Σηµείωση: : Η ρύθµιση µε ανατροφοδότηση µειώνει τη µεταβλητότητα της ρυθµιζόµενης µεταβλητής σε βάρος όµως της αύξησης µεταβλητότητας της µεταβλητής εκ χειρισµού.! Ταυτόχρονη παρακολούθηση της µεταβλητής εκ χειρισµού (υπερβολικές µεταβολές στη µεταβλητή εκ χειρισµού µπορεί να χαλάσουν τη συσκευή, κλπ.). 35

Κριτήρια για την επιλογή µεταβλητών! Πρέπει να είµαστε βέβαιοι ότι όντως υπάρχει σχέση αιτίας-αιτιατού αιτιατού µεταξύ της µεταβλητής εκ χειρισµού και ρυθµιζόµενης µεταβλητής.! Η ρυθµιζόµενη µεταβλητή πρέπει να ανταποκρίνεται στο σκοπό της διεργασίας.! Η µεταβλητή εκ χειρισµού πρέπει να είναι εξωτερική στο σύστηµα και να προσαρµόζεται ανεξάρτητα, έχοντας µικρή επίδραση στην όλη διεργασία. 36

Κριτήρια για την επιλογή µεταβλητών! Η ενίσχυση (gain) για λειτουργία της διεργασίας σε µόνιµη κατάσταση µεταξύ της µεταβλητής εκ χειρισµού και της ρυθµιζόµενης µεταβλητής πρέπει να είναι γνωστή ώστε να είναι δυνατός ο σωστός συντονισµός του ρυθµιστή.! Η δυναµική απόκριση µεταξύ αυτών των δύο µεταβλητών πρέπει να είναι ευνοϊκή (δηλ., µονοτονική και ταχεία µε µικρό νεκρό χρόνο ή αντίστροφη απόκριση). 37