ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται ότι η σχέση των δυο μεταβλητών είναι ισχυρά γραμμική. () Όπως ήδη αναφέρθηκε στο ερώτημα (α) η σχέση των δυο μεταβλητών είναι ισχυρά γραμμική. Κατά συνέπεια μπορούμε να προχωρήσουμε στο υπολογισμό των συντελεστών της γραμμικής εξίσωσης Y a+ β X + u με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Α Τρόπος (με αποκλίσεις από τους μέσους) Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους ) β ( X X)( Y Y) ( X X) ) a Y β X. Από τα στοιχεία μας μπορούμε να υπολογίσουμε τους αριθμητικούς μέσους των μεταβλητών Χ και Υ οι οποίοι είναι, Ν6
X X 4,75 και. Y Y 57,5 Για τη διευκόλυνση των πράξεων σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα. Y ( Y Y) ( X X) ( Y ( X X Y) ) ( Y Y) X ( X ) X X X Y 5 4-7.5 -.75 56.5 5.65.565 6 6 4.5 -.75 6.5 -.875.565 6 4 4-7.5 -.75 6.5.65.65 9 6 5.5.5 6.5.65.65 5 65 6 7.5.5 56.5 9.75.565 6 9 7 6.5.5.75 56.5.875.65 4.5 455 Σύνολα 45 8.5 587.5 66.5 8.875 44.5 75 Μέσοι 57.5 4.75 97.9667.466667.47967 4.467 84.667 Κατά συνέπεια έχουμε ότι: 6, ( X X ) ( Y Y ) 66,5 ( X X ) 8,88 Επομένως, β ( X X ) ( Y ( X X ) Y ) 66,5 7,46 8,88 Για την εκτίμηση της σταθεράς έχουμε α Y β X 57,5 7,46 4,75, 4
Άρα η εκτιμηθείσα εξίσωση παλινδρόμησης είναι: Y,4 + 7, 46 X Β Τρόπος (χωρίς τις αποκλίσεις από τους μέσους) Ο εναλλακτικός τύπος υπολογισμού του συντελεστή β που δεν απαιτεί να εκφρασθεί το Υ σε αποκλίσεις από το μέσο του είναι β X Y XY X X Κατά συνέπεια έχουμε ότι: β 75 6*4,75*57,5 44,5 6*(4,75) και επομένως, 7,64 α Y β X 57,5 7,46 4,75, 4 Άρα η εκτιμηθείσα εξίσωση παλινδρόμησης είναι: Y,4 + 7, 46 X Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα ταυτίζονται με εκείνα του πρώτου τρόπου. () Ερμηνεία των συντελεστών: Η σταθερά a εκφράζει την αναμενόμενη τιμή της Υ όταν το Χ είναι μηδέν, δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι με μηδενικές δαπάνες για έρευνα, το αναμενόμενο κέρδος είναι,4 χιλιάδες ευρώ. Ο συντελεστής παλινδρόμησης β εκφράζει την επίδραση στην αναμενόμενη τιμή της Υ που προκαλεί η μεταβολή της Χ κατά μια μονάδα. Επομένως αν αυξηθεί η δαπάνη για έρευνα κατά μονάδα (χίλια ευρώ), το κέρδος αναμένεται (κατά μέσο όρο) να αυξηθούν κατά 7,46 χιλιάδες ευρώ. (v) Ο συντελεστής συσχέτισης δίνεται από τη σχέση: r ( X X)( Y Y) ( X X) ( Y Y). Από τα δεδομένα του πίνακα που κατασκευάσαμε προκύπτει με απλή αντικατάσταση ότι 66,5 r,975 8,88*587,5
Η τιμή αυτή δηλώνει την ισχυρή γραμμική εξάρτηση μεταξύ των δαπανών για επένδυση και των πωλήσεων της εταιρείας. Γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής προσδιορισμού R ισούται με το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης. Κατά συνέπεια, στην περίπτωσή μας θα έχουμε ότι: R (,975),848 Η τιμή αυτή δηλώνει ότι το 84,8% της μεταβλητότητας του Υ ερμηνεύεται από το Χ. (v) Για Χ5, 5, αντικαθιστώντας στην εκτιμώμενη εξίσωση έχουμε Y,4 7, 46 X Y,4 7,46*5,5 6, 9 ΘΕΜΑ (α) Το κατάλληλο μοντέλο για το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι το Μ/Μ/. Αν θεωρήσουμε ότι η μονάδα μέτρησης του χρόνου είναι η μία ώρα, τότε ο αναμενόμενος αριθμός πελατών που φτάνουν για εξυπηρέτηση στο διάστημα αυτό είναι λ4 πελάτες ανά ώρα και ο ρυθμός εξυπηρέτησης είναι μ 6 πελάτες ανά ώρα. () () () (v) (v) (v) (v) Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα είναι λ 4 4 L πελάτες. μ λ 6 4 Ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά είναι λ 6 6 L q, πελάτες. μ( μ λ) 6(6 4) Ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά είναι λ 4 W q ώρες, (δηλαδή λεπτά). μ( μ λ) 6(6 4) Η πιθανότητα κάποιος πελάτης που φθάνει στο ΑΤΜ να εξυπηρετηθεί αμέσως είναι ίση με την πιθανότητα να μην υπάρχει κανείς πελάτης στο σύστημα, η οποία ισούται με λ/μ /6 /. Η πιθανότητα να υπάρχουν τρεις πελάτες στο σύστημα είναι λ P P μ 4 6 8 8,988. Το συνολικό προσδοκώμενο κόστος λειτουργίας του συστήματος ανά ώρα είναι TC c L + c s + 4 ευρώ. w s Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα που βρέθηκε στο () είναι πελάτες ανά ώρα. Ζητάμε ο αριθμός αυτός να ελαττωθεί στο μισό, δηλαδή L L /. Αν μ είναι ο νέος ρυθμός εξυπηρέτησης, τότε πρέπει να ισχύει
λ L, μ λ δηλαδή μ λ λ μ λ και επειδή λ 4, παίρνουμε τελικά ότι μ 8. Συνεπώς ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης θα πρέπει να είναι 6 /8 /4 λεπτά της ώρας, δηλαδή 45 δευτερόλεπτα. (v) Αν ο ρυθμός άφιξης των πελατών, από λ4 πελάτες, ανά ώρα αυξηθεί κατά 6%, τότε ο νέος ρυθμός άφιξης θα είναι λ 4*,6 64 πελάτες ανά ώρα. Επομένως, αν ο ρυθμός εξυπηρέτησης παραμείνει ο ίδιος, μ6 πελάτες ανά ώρα, θα ισχύει λ /μ>, συνεπώς η ουρά θα μεγαλώνει απεριόριστα και η τράπεζα δεν θα είναι σε θέση να εξυπηρετήσει τους πελάτες που φτάνουν στο ταμείο αυτόματων συναλλαγών. (β) () Η συνάρτηση του μέσου μεταβλητού κόστους είναι: TVC Q Q + 5Q Επομένως οι ζητούμενες συναρτήσεις μέσου συνολικού και μέσου μεταβλητού κόστους είναι: AC Q 6 Q + 5 + Q AVC Q Q + 5 davc () Q dq Q ή Q 5, 5 d AVC dq >, άρα στο σημείο Q 5, 5 έχουμε πράγματι ελάχιστο dac 6 () Q dq Q AC ddq 7 + Q dac 6 6 Στο σημείο Q 6 έχουμε: Q (6) dq Q 6 Επομένως το Q 6 είναι κρίσιμο σημείο d AC 7 Στο σημείο Q 6 έχουμε: + > dq 6 Επομένως πρόκειται πράγματι για σημείο ελαχίστου.
ΘΕΜΑ (α) Χρόνος ανεργίας (σε μήνες) Σχετική Συχνότητα (%) Συχνότητα f Κεντρικές τιμές f m m [, 6) 9 95 85 95 [6, ) 8,6 9 9 77 88 [, 8) 4,4 5 8 4 [8, 4), 56 76 466 [4, ) 4,4 7 594 488 [, 6),6 96 5 ΣΥΝΟΛΟ 5 68 () Δημιουργούμε τη στήλη των συχνοτήτων πολλαπλασιάζοντας τις σχετικές συχνότητες επί το μέγεθος του δείγματος (δηλ. 5). Από την στήλη των συχνοτήτων έχουμε ότι ο αριθμός των ατόμων που δεν είναι άνεργοι πάνω από 6 μήνες είναι, 95, ενώ αυτοί που ξεπέρασαν τους 8 μήνες αλλά όχι τους είναι 56+78. () Συμπληρώνουμε τις υπόλοιπες απαραίτητες βοηθητικές στήλες του ομαδοποιημένου πίνακα συχνοτήτων και έχουμε: Μέσος X k k f m f 68/5,6 μήνες Διάμεσος Εντοπισμός της θέσης του Μ: 5/5, Συνεπώς η διάμεσος βρίσκεται στην η τάξη (μεταξύ 6 και μήνες). M n/ FM δ LM + fm L n / F + δ 6+6(5-95)/9,89 μήνες f () Τα τελευταία έτη, ο κάθε άνεργος αυτού του δείγματος έχει επιβαρύνει κατά μέσο όρο τον ΟΑΕΔ κατά * X *,6 6,8 Ευρώ Επικρατούσα τιμή ( T ) Εντοπισμός της θέσης του : T Η τάξη με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η η. Άρα η επικρατούσα τιμή βρίσκεται στην τάξη αυτή (διάστημα 6 ). Υπολογισμός της τιμής του : 9,47 T F
T Δ 9,6 6 + 6 9,6 + 4, L T + δ Λ + Δ 9,47 Άρα επειδή Επικρατούσα τιμή <Διάμεσο <Αριθμητικό μέσο, έχουμε Ασυμμετρία. Θετική (β) () Για να μεγιστοποιήσουμε πρώτης και δεύτερης παραγώγου: τη συνάρτηση παραγωγής εφαρμόζουμε τα κριτήρια dq,6,6 dl, άρα L και L KΠΠ: L L L( L) ΚΔΠ: d Q,L dl Για L d Q dl και για L d Q 4 dl ( ) ( ) () Η παραγωγή μεγιστοποιείται για L, Q 6, 8. ΘΕΜΑ 4 (α) Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής όπου πρέπει να εντοπιστεί η συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο Α, που είναι η αφετηρία, προς κάθε άλλο κόμβο, οπότε το κριτήριο τερματισμού θα είναι «όλοι οι κόμβοι να γίνουν μόνιμοι». Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο της συντομότερης διαδρομής. Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία Α με απόσταση (από τον εαυτό της). Το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι το {Α}. η επανάληψη: Κόμβοι με προσωρινές διαδρομές: κόμβος, με απόσταση 5 από την αφετηρία απευθείας, και κόμβος, με απόσταση 7 (ομοίως). Στο σύνολο των μονίμων εισέρχεται ο κόμβος με ελάχιστη απόσταση 5 λεπτά, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {Α, }. η επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου στους μόνιμους. κόμβος, παραμένει το 7 από την αφετηρία απευθείας, αφού μέσω του η απόσταση είναι 5 + 8 και δεν είναι καλύτερη, κόμβος 4, με απόσταση 5 + 5 μέσω του κόμβου, κόμβος, με απόσταση 5 + 7 μέσω του κόμβου. Μόνιμος καθίσταται ένας εκ των κόμβων ή που έχουν ίδια προσωρινή απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 7 λεπτά. Ας επιλέξουμε τον κόμβο, οπότε το σύνολο των μονίμων είναι τώρα το {Α,, }. η επανάληψη:
Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου στο σύνολο των μονίμων. κόμβος, παραμένει η απόσταση 7 μέσω του κόμβου αφού μέσω του η απόσταση είναι 7 + 8 και δεν είναι καλύτερη, κόμβος 4, παραμένει η απόσταση μέσω του. κόμβος Ν, με απόσταση 7 + 7 μέσω του. Από τους κόμβους με προσωρινό μήκος διαδρομής μόνιμος γίνεται ο κόμβος με ελάχιστη απόσταση από την αφετηρία 7 μονάδες μέσω του κόμβου, οπότε το σύνολο μονίμων είναι τώρα {Α,,, }. 4 η επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου στο σύνολο των μονίμων. κόμβος 4, είναι προσβάσιμος και από τον με απόσταση 7 +, εναλλακτική (όσο δηλαδή και μέσω του κόμβου ). κόμβος Ν, βελτιώνεται μέσω του, αφού είναι 7 + 6. Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 4 με απόσταση από την αφετηρία μονάδες μέσω του κόμβου ή μέσω του κόμβου και το σύνολο μονίμων γίνεται {Α,,,, 4}. 5 η επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 4 στο σύνολο των μονίμων. κόμβος Ν, παραμένει η απόσταση μέσω του αφού μέσω του κόμβου 4 η απόσταση είναι + 7 7 και δεν είναι καλύτερη. Μόνιμος γίνεται και ο κόμβος Ν με απόσταση από την αφετηρία μονάδες μέσω του κόμβου και το σύνολο μονίμων γίνεται {Α,,,, 4, Ν}. Έγινε μόνιμος και ο τελευταίος κόμβος (Ν) οπότε η διαδικασία ολοκληρώνεται. Επειδή όλοι οι κόμβοι μπήκαν στο σύνολο των μονίμων έχουμε βρει την άριστη λύση για όλους. *************************************************************************** Αν είχαμε επιλέξει τον κόμβο στη η επανάληψη τότε η σειρά θα ήταν η ακόλουθη: Μόνιμος καθίσταται ένας εκ των κόμβων ή που έχουν ίδια προσωρινή απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 7 λεπτά. Ας επιλέξουμε τον κόμβο, οπότε το σύνολο των μονίμων είναι τώρα το {Α,, }. η επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου στο σύνολο των μονίμων. κόμβος, παραμένει η απόσταση 7 απευθείας από την αφετηρία αφού μέσω του η απόσταση είναι 7 + 8 και δεν είναι καλύτερη, κόμβος 4, είναι προσβάσιμος και από τον με απόσταση 7 +, εναλλακτική (όσο και μέσω του κόμβου ). κόμβος Ν, με απόσταση 7 + 6 μέσω του. Από τους κόμβους με προσωρινό μήκος διαδρομής μόνιμος γίνεται ο κόμβος με ελάχιστη απόσταση από την αφετηρία 7 μονάδες απευθείας από τον Α, οπότε το σύνολο μονίμων είναι τώρα {Α,,, }.
4 η επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου στο σύνολο των μονίμων. κόμβος 4, είναι προσβάσιμος από τον και τον με απόσταση, εναλλακτικά. κόμβος Ν, παραμένει η απόσταση μέσω του κόμβου, αφού μέσω του είναι 7 + 7 και δεν είναι καλύτερη. Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 4 με απόσταση από την αφετηρία μονάδες μέσω του κόμβου ή μέσω του κόμβου και το σύνολο μονίμων γίνεται {Α,,,, 4}. 5 η επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 4 στο σύνολο των μονίμων. κόμβος Ν, παραμένει η απόσταση μέσω του αφού μέσω του κόμβου 4 η απόσταση είναι + 7 7 και δεν είναι καλύτερη. Μόνιμος γίνεται και ο κόμβος Ν με απόσταση από την αφετηρία μονάδες μέσω του κόμβου και το σύνολο μονίμων γίνεται {Α,,,, 4, Ν}. Έγινε μόνιμος και ο τελευταίος κόμβος (Ν) οπότε η διαδικασία ολοκληρώνεται. Επειδή όλοι οι κόμβοι μπήκαν στο σύνολο των μονίμων έχουμε βρει την άριστη λύση για όλους. *************************************************************************** Για να εντοπίσουμε την άριστη διαδρομή για τον προορισμό αλλά και κάθε άλλο προορισμό εργαζόμαστε οπισθοδρομικά. Η άριστη διαδρομή για τον κόμβο Ν είναι η εξής: Στον Ν το άριστο «κόστος» μετάβασης είναι λεπτά και επιτεύχθηκε μέσω του. Στον φτάσαμε με άριστο τρόπο μέσω του ενώ ο έγινε μόνιμος με άριστη μετάβαση απευθείας από την αφετηρία, Α. Άρα η άριστη διαδρομή είναι Α Ν. με όμοιο τρόπο βρίσκουμε τις διαδρομές (και τα κόστη) για όλους τους κόμβους. Παρακάτω δίνονται οι συντομότερες διαδρομές και οι αποστάσεις (δηλαδή τα λεπτά ταξιδιού) από την αφετηρία για όλους τους κόμβους, με τη σειρά που έγιναν μόνιμοι. Αυτό είναι και το συνολικό ζητούμενο της άσκησης. (β) () Κόμβος Συντομότερη Διαδρομή Ελάχιστη απόσταση από αφετηρία (λεπτά ταξιδιού) Α (αφετηρία) Α 5 Α 7 Α 7 4 Α 4 ή Α 4 Ν Α Ν [ ln( Q + 5) + 5 Q Q ] + 5 Q d ΜΠ( Q) dq Q + 5
ΜΠ ( 5) + 5 5.667 5 + 5 () Κριτήριο ης παραγώγου: Π ( q) + 5 Q Q + 5 Q> Q 5 5 Q 5 Q Q 5 5 Q 75 Q Q ( ) ( ) + + + + + Q Q Q 5± 45 4 75 + 5, Δ 45 >, Κριτήριο ης παραγώγου στο Q, που είναι η μόνη αποδεκτή λύση: Π ( q) < Q> ( Q + 5) Q Q.687 8.87 < Επομένως η συνάρτηση του κέρδους εμφανίζει μέγιστο για Q Q.687 opt ΘΕΜΑ 5 (α) Εάν Π(x) είναι ο πληθυσμός της πόλης μετά από x μήνες τότε: dπ( x) dx x άρα Π( x ) ( x) dx x + c x + c Τώρα ο πληθυσμός είναι Π()5 άρα από την πιο πάνω σχέση έχουμε c5. Μετά από χρόνια, δηλαδή 4 μήνες ο πληθυσμός θα είναι ( Π 4) 4 + 5 Π(4) 6,667 7,57 + 5 8,77 (β) () Πρόκειται για ένα σύστημα αναμονής τύπου Μ/Μ/ (απεριόριστος χώρος αναμονής, πρακτικά άπειρου πλήθους πηγή πελατών, διαδικασία Posson στην είσοδο και στην εξυπηρέτηση, FIFO πειθαρχία, τρεις θέσεις εξυπηρέτησης). Ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου χρησιμοποιείται η μία ώρα. Ο μέσος ρυθμός άφιξης της Posson διαδικασίας είναι 5 «πελάτες» ανά ώρα (λ 5 πελάτες/ώρα) ενώ ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι μ «πελάτες» ανά ώρα. Άρα ρ λ/μ 5/( ) 5/6 <, οπότε το σύστημα συγκλίνει σε κατάσταση (στατιστικής) ισορροπίας και επομένως μπορούμε να προχωρήσουμε στους υπολογισμούς σύμφωνα με τους τύπους του συστήματος Μ/Μ/. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αρκεί να ελέγξουμε εάν ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά W q είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος των 5 πρώτων λεπτών της ώρας. Μόνον εάν ο
χρόνος αποδειχθεί ότι είναι μεγαλύτερος των 5 πρώτων λεπτών της ώρας θα απαιτείται επιπλέον προσωπικό. L Ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά δίνεται από τη σχέση W λ s προηγηθεί ο υπολογισμός του μέσου μήκους της ουράς ( λ / μ) λμ Lq P. ( s )!( s μ λ) Ξεκινάμε με τον υπολογισμό της πιθανότητας Ρ από τη σχέση: P s n ( λ / μ) n! n ( λ / μ) + s! s sμ sμ λ q q. Συνεπώς απαιτείται να Για λ 5, μ, s έχουμε: P n n (5 / ) (5 / ) 6 n! +! [ +,5 +,5,5 ] + ( 5,65) ( 6) 6,4494 Επομένως L q ( )!( 5) (5 / ) 5,4494,594, οπότε W L q q,594/5,7 ώρες,4 λεπτά. λ Συνεπώς οι τρεις εργάτες επαρκούν για τις προδιαγραφές που έχουν τεθεί και δεν απαιτείται η πρόσληψη επιπλέον προσωπικού. () Για να υπολογίσουμε το συνολικό ωριαίο κόστος χρειάζεται να υπολογίσουμε το L, για να το αντικαταστήσουμε στον τύπο: TC cwl + cs s, όπου L ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα, ο οποίος ισούται με: Συνεπώς, παίρνουμε ότι : L L q λ 5 +,594 + 6,94. μ
TC c L + c s, 6,94+ 8 4, 694(ευρώ ανά ώρα). w s (γ) Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: O καταναλωτής αγοράζει την συσκευή Α. I: O καταναλωτής αγοράζει από το κατάστημα I. II : Ο καταναλωτής αγοράζει από το κατάστημα II. Οι επόμενες πιθανότητες δίνονται από την εκφώνηση του προβλήματος : P( I), P( II), P( Α / I), P( A/ II) 4 4 4 Ζητείται η P(Ι/A). Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Bayes προκύπτει ότι: P( I ) P( A I ) P( I ) P( A I ) P( I A ) P( A ) P( I ) P( A I ) + P( II ) P( A / II ) * 4 4 5 5 6