Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό (μεταβλητή) Χ. Η μεταβλητή μπορεί α είαι ποιοτική ή ποσοτική, εώ μια ποσοστική μεταβλητή μπορεί α είαι διακριτή ή συεχής. Σε κάθε άτομο ω,ω,,ω ατιστοιχεί μια παρατήρηση» t,t, t Κάθε μια από τις παρατηρήσεις αυτές έχει μια τιμή x,x,,x κ με κ. Οι δείκτες τω τιμώ δε έχου καμιά σχέση με τους δείκτες τω ατόμω ή τω παρατηρήσεω. Συχότητα μιας τιμής x είαι το πλήθος τω παρατηρήσεω που έχου αυτή τη τιμή Η σχ. συχότητα μπορεί α εκφράζεται ως «μέρος» του όλου, οπότε θεωρούμε το μέγεθος του δείγματος σα μοάδα και ισχύει: f ή ως ποσοστό % οπότε % f
Ισχύου:, f + + + κ t +t + +t x + x + + κ x κ f +f + +f κ f %+f %+ +f κ % Αθροιστική συχότητα Ν μιας τιμής x, (ότα η μεταβλητή είαι ποσοτική) είαι το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι x. Α οι τιμές διατάσσοται σε αύξουσα τάξη, τότε Ν + + + Ατίστοιχα F f +f + +f Σηματική παρατήρηση: Ν λ+ρ -Ν λ λ+ + λ+ + + λ+ρ Ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω Εύρος δείγματος Π λάτος κλάσης αριθμός κλάσεω Ο αριθμός τω κλάσεω κατά καόα ορίζεται ως εξής: Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεω Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεω < 5 4 9 5 5 6 7 8 4 7 7 Κέτρο κλάσης ημιάθροισμα τω ακραίω τιμώ της.
Το κέτρο της κλάσης ατιπροσωπεύει τη τιμή x 3
Διαγράμματα v 8 6 4 5 5 5 5 5 5 H/Y Αθλητισμός Διασκέδαση - Ντίσκο Μουσική Τηλεόραση- Κιηματογρ. Διάβασμα εξωσχ. βιβλ. Άλλο αδέλφια 3 3 αδέλφια Ραβδόγραμμα (ποιοτική) Διάγραμμα συχοτήτω(ποσοτική) Πολύγωο (ποσοτική) 3 4 5 6 7 8 Τηλεόραση - Κιηματ. (,5%) Διάβασμα εξωσχ. βιβλ. (7,5%) Άλλο (5%) Η/Υ (7,5%) f % 6 4 8 Θήλεις Σύολο Αθλητισμός (5%) 6 4 Άρρεες Μουσική (7,5%) Διασκέδαση - Ντίσκο (5%) 99 99 99 993 994 995 Σημειόγραμμα (ποσοτική) Κυκλικό διάγραμμα (ποιοτική ή ποσοτική) Χροόγραμμα v 8 6 4 56 6 68 74 8 86 9 Υψος (σε cm) f,37,3,,5,7 5 6 7 8 9 Ύψος (σε cm) Ιστόγραμμα και πολύγωο συχοτήτω Ιστόγραμμα και καμπύλη συχοτήτω. 4
Μέτρα θέσης Μέση τιμή t + t x t +... + t, t οι παρατηρήσεις κ κ x + x +... + κx κ x x f, x οι τιμές ή τα κέτρα τω κλάσεω Συέπεια: Το άθροισμα τω παρατηρήσεω ισούται με το γιόμεο της μέσης τιμής επί το πλήθος τω παρατηρήσεω. Διάμεσος είαι η τιμή της μεσαίας παρατήρησης ότα αυτές διαταχθού σε αύξουσα σειρά ή το ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω α το πλήθος τους είαι άρτιο. Στις ομαδοποιημέες καταομές χρησιμοποιούμε το ιστόγραμμα τω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω και τη πολυγωική γραμμή του σχήματος και είαι η τετμημέη του σημείου του πολυγώου που έχει τεταγμέη 5% ½ 9 8 7 6 5 4 3 F % A B Γ 56 6 68 74 8 86 9 x P Q δ Q 3 P 9 5
Μέτρα διασποράς Εύρος RΜεγαλύτερη-μικρότερη παρατήρηση. Διασπορά ή διακύμαση t t x) (t s x x x) x ( s Τυπική απόκλιση 6 s s Α ΥαΧ+β, τότε β αx y + και x y s α s Συτελεστής μεταβολής x s CV % Ο συτελεστής μεταβλητής δείχει πόσο ομοιογεής είαι μια καταομή. Όσο μεγαλύτερος είαι, τόσο μικρότερη ομοιογέεια έχει η καταομή. Γεικά δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το %.
Προσοχή: Μεταξύ δύο καταομώ η ομοιογέεια δε κρίεται από τη τιμή της τυπικής απόκλισης, αλλά από το συτελεστή μεταβολής. Μπορεί σε μεγαλύτερη διασπορά α έχουμε μικρότερο συτελεστή μεταβολής και ατίστροφα. Στη καοική καταομή η μέση τιμή συμπίπτει με τη διάμεσο και το σχήμα έχει άξοα συμμετρίας τη κατακόρυφη ευθεία που ατιστοιχεί στη μέση τιμή. (α ) (β ) (γ ) ( δ ) (α)ομοιόμορφη- (β) καοική (γ) θετική ασυμμετρία (δ) αρητική ασυμ. 7
Α η Στατιστική μπορεί α χρησιμοποιηθεί ως μέσο παραπλάησης, η γώση του μαθήματος μπορεί α βοηθήσει το άθρωπο α ελέγχει σε έα βαθμό τις στατιστικές πληροφορίες που λαμβάει. Δυστυχώς στη σχολική ύλη δε δίεται σημασία σ εκείες ακριβώς τις γώσεις που βοηθού στη αποκάλυψη τω ψεμάτω. Για παράδειγμα, το πιο κρίσιμο στοιχείο ότα μελετάμε μια στατιστική μελέτη είαι η ατιπροσωπευτικότητα του δείγματος. Α για παράδειγμα θέλουμε έα αξιόπιστο «γκάλοπ» για τη πρόθεση ψήφου, πρέπει το δείγμα μας α έχει σύσταση αάλογη προς τα ποσοστά στο σύολο τω ψηφοφόρω τω ηλικιώ, τω περιοχώ διαμοής, του εισοδήματος, του μορφωτικού επιπέδου κ.τ.λ. Έα σημείο στο οποίο δε αρκού τα μαθηματικά για α ελέγξουμε τη αξιοπιστία μιας στατιστικής μελέτης είαι ο τρόπος διατύπωσης τω ερωτήσεω, με άλλα λόγια η ακριβής διατύπωση της μεταβλητής Χ. Για παράδειγμα, εώ είαι μάλλο βέβαιο ότι στη ερώτηση α το χρώμα τω μαλλιώ έχει σχέση με τη οημοσύη εός ατόμου η συτριπτική πλειοότητα θα απατούσε ΟΧΙ, α η ερώτηση διατυπωθεί: «Είαι οι ξαθές λιγότερο έξυπες από τις άλλες γυαίκες» η απάτηση ΝΑΙ θα πάρει σηματικό αριθμό θετικώ απατήσεω, καθώς υποκιεί τα αταακλαστικά που έχου δημιουργήσει τα σχετικά αέκδοτα. Από τη άλλη, δείτε σε πόσο εδιαφέρουσες κοιωικές παρατηρήσεις μπορεί α μας οδηγήσει η γώση αυτώ τω λίγω έστω που διδάσκοται στο μάθημα. Η καοική καταομή είαι αυτή που «προτιμάει» η φύση ότα «μοιράζει» τα αγαθά της με τυχαίο τρόπο, δηλαδή χωρίς εξωτερικές παρεμβάσεις. Βλέποτας π.χ. ότι η καταομή του πλούτου στους αθρώπους όλης της Γης παρουσιάζει ετοότατη θετική ασυμμετρία, ατιλαμβαόμαστε πόσο αφύσικη είαι η τεράστια συσσώρευση πλούτου σε λίγους αθρώπους και η ύπαρξη τόσω πολλώ φτωχώ. Η τελείως ακαόιστη καταομή τω 8
βαθμώ τω Παελλαδικώ Εξετάσεω μαρτυρεί ότι τα θέματα δε είαι εύστοχα διαλεγμέα, εώ οι θεαματικές μεταβολές του μέσου βαθμού από χρόο σε χρόο αποδεικύει ότι η βάση του δε έχει καμιά επιστημοική αξία. 9
Πιθαότητες Πείραμα τύχης οομάζεται έα πείραμα στο οποίο δε μπορούμε εκ τω προτέρω α προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολοότι επααλαμβάοται (φαιομεικά τουλάχιστο) κάτω από τις ίδιες συθήκες. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω οομάζεται δειγματικός χώρος {ω, ω,..., ω } Ω κ Κάθε υποσύολο του Ω λέγεται «εδεχόμεο» και μπορεί α είαι «απλό» α περιέχει έα μόο στοιχείο ή σύθετο α περιέχει περισσότερα. Λέμε ότι έα εδεχόμεο «πραγματοποιείται», ότα σε μια εκτέλεση του πειράματος το αποτέλεσμα είαι έα από τα στοιχεία του εδεχομέου αυτού. Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω λέγεται «βέβαιο εδεχόμεο», εώ το κεό σύολο λέγεται «αδύατο εδεχόμεο». Δύο εδεχόμεα που δε έχου κοιά στοιχεία λέγοται ασυμβίβαστα. Πραγματοποιείται ότα Α Β πραγματοποιηθεί έα τουλάχιστο από Α ή Β τα Α, Β Α Β Α και Β Α Α-Β Α Β Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιηθού και το Α και το Β Πραγματοποιείται ότα δε πραγματοποιείται το Α Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιηθεί το αλλά όχι το Β.
Τρόποι Ορισμού της πιθαότητας. Με βάση τη σχετική συχότητα Σε κάθε αποτέλεσμα ορίζουμε πιθαότητα πραγματοποίησής του τη σχετική συχότητά του. Έτσι κάθε εδεχόμεο έχει πιθαότητα το άθροισμα τω πιθαοτήτω τω στοιχείω του.. Κλασικός Ορισμός της Πιθαότητας Εφόσο και μόο τα αποτελέσματα είαι ισοπίθαα N(A) πλήθος ευοϊκώ αποτελεσμάτω ορίζουμε P (A) N(Ω) Πλήθος δυατώ αποτελεσμάτω 3. Μαθηματικός Ορισμός Ορίζουμε αυθαίρετα (ή με κάποια κριτήρια) τις πιθαότητες κάθε αποτελέσματος ω,ω,,ω με τους όρους: Ρ(ω ) και Ρ(ω )+Ρ(ω )+ +Ρ(ω ) Εοείται πάτα ότι πιθαότητα εός εδεχομέου είαι το άθροισμα τω πιθαοτήτω τω αποτελεσμάτω του. Σε κάθε περίπτωση Ρ( ) και Ρ(Ω) Νόμοι τω πιθαοτήτω. Για ασυμβίβαστα εδεχόμεα Α και Β ισχύει: P (A B) P(A) + P( B). Για οποιαδήποτε εδεχόμεα ισχύει: P(A B) P(A) + P(B) P( A B)
3. P (A ) P(A) 4. P(A B) P(A) P( A B) 5. Α Α Β, τότε Ρ(Α) Ρ(Β) Παγίδες: Το πιο επικίδυο λάθος είαι α θεωρηθού τα αποτελέσματα ισοπίθαα χωρίς α είαι. Ότα για παράδειγμα η εκφώηση δίει τις τιμές κάποιω αποτελεσμάτω, έχουμε το μαθηματικό ορισμό και όχι ισοπίθαα αποτελέσματα. Κάποιοι δειγματικοί χώροι που κατασκευάζουμε δε έχου ίσοπίθαα αποτελέσματα. Π.χ. Ρίχουμε έα όμισμα μέχρι α φέρουμε κορώα ή α φτάσουμε στις 3 ρίψεις. Ω{Κ,ΓΚ,ΓΓΚ,ΓΓΓ} αλλά τα 4 στοιχεία του Ω δε είαι ισοπίθαα! Φαταστείτε για παράδειγμα πώς γίεται στη περίπτωση της μιας ρίψης το αποτέλεσμα Κ α έχει πιθαότητα 5% όπως θα έβγαιε α ήτα ισοπίθαα κι όχι 5% που είαι φαερό ότι έχει. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποίησε βοηθητικό δειγματικό χώρο με ισοπίθαα και ατιστοίχισε τα αποτελέσματα του Ω σε εδεχόμεα του έου αυτού χώρου: Ω {ΚΚΚ,ΚΚΓ,ΚΓΚ,ΚΓΓ, ΓΚΚ,ΓΚΓ,ΓΓΚ,ΓΓΓ} Ρ(Κ)Ρ({ΚΚΚ,ΚΚΓ,ΚΓΚ,ΚΓΓ}5% Ρ(ΓΚ)Ρ({ΓΚΚ,ΓΚΓ)}5% Ρ(ΓΓΚ)Ρ(ΓΓΓ),5%
Άλλο πιθαό λάθος είαι α θεωρηθεί ότι π.χ. μόο το αδύατο εδεχόμεο έχει πιθαότητα. Δηλαδή α γράψεις Ρ(Α) Α Για σκέψου: Ποια πιθαότητα έχει έας υποψήφιος α πετύχει στη σχολή Ικάρω α έχει ύψος μέτρα; Στο σύολο Ω όλω τω υποψηφίω η πιθαότητα κάθε ψηλού υποψήφιου α μπει στη Ικάρω είαι μηδεική, αφού υπάρχει όριο μέγιστου ύψους τω πιλότω. Γεικά απόφευγε τα «προφαή» συμπεράσματα που δε καλύπτοται από τύπους ή καόες της θεωρίας και πρόσεξε με ποιο από τους τρεις τρόπους ορίζοται οι πιθαότητες σε μια άσκηση. 3