ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μηχανική Ι (ακαδ. έτος , χειμερινό εξ.

Σχετικά έγγραφα
dv 2 dx v2 m z Β Ο Γ

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

Συμπλήρωμα 1 2 ος νόμος του Νεύτωνα σε 3 διαστάσεις

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( ( videos/bulletproof-balloons) n=0

) z ) r 3. sin cos θ,

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ Οι συντεταγμένες ενός σημείου Απόλυτη τιμή...14

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Β' Λυκείου

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

x y και να γίνει επαλήθευση. Βρείτε τη µερική λύση που για x=1 έχει κλίση 45 ο. Α τρόπος Η Ε γράφεται (1)

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Φυσική για Μηχανικούς

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin.

Επιμέλεια : Γαβριήλ Κωνσταντίνος Καθηγητής Φυσικής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΦΥΣΙΚΗ. Α Λυκείου 14/ 04 / 2019 ΘΕΜΑ Α.

( Barbero 2013, European Journal of Physics, 34, df (z) dz

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

Μηχανική του στερεού σώματος

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής. εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις.

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Φυσική για Μηχανικούς

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 2002 ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΒΑΣΙΛΗ ΞΑΝΘΟΠΟΥΛΟΥ

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 8 Απρίλη 2015 υναµική - Ενέργεια Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

W = 6.34 kn (2) F = u 2 f = u2 i + 2a(x f x i ) a = u2 f u2 i 2x f. F = d U(x) (5)

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c

Κεφάλαιο 8. Ορμή, ώθηση, κρούσεις

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι


Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ,

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Θέμα Α ΘΕΜΑ Β

1 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέτασης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

GI_V_FYSP_4_ m/s, ξεκινώντας από το σημείο Κ. Στο σημείο Λ (αντιδιαμετρικό του Κ) βρίσκεται ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας m2 1 kg.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ (Equations of Motion)

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

Φ Υ Σ Ι Κ Η Ι Σ Ε Μ Φ Ε. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ. Α. Κινηµατική

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

mv V (x) = E με V (x) = mb3 ω 2

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας και είναι συνεχώς τεντωμένο. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

P H Y S I C S S O L V E R ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι. Σχολή Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ

ds 2 = 1 y 2 (dx2 + dy 2 ), y 0, < x < + (1) dx/(1 x 2 ) = 1 ln((1 + x)/(1 x)) για 1 < x < 1. l AB = dx/1 = 2 (2) (5) w 1/2 = ±κx + C (7)

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως

GMm. 1 2GM ) 2 + L2 2 + R L=4.5 L=4 L=3.7 L= 1 2 =3.46 L= V (r) = L 2 /2r 2 - L 2 /r 3-1/r

ΦΥΣΙΚΗ. συστήματος των σωμάτων Α και Β, τα οποίο βρίσκονται διαρκώς σε επαφή. m m 2F. 2 3m

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. (αποστολή µέχρι ευτέρα 1/4/ βδοµάδα)

Transcript:

ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 56. Μηχανική Ι (ακαδ. έτος 6-7, χειμερινό εξ.) Προπτυχιακός Φοιτητής: Νικολαράκης Αντώνιος Αριθμός Μητρώου: 337 Εργασία #3

Μηχανική Ι Εργασία #3 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Ν. Βλαχάκης. Ο καταπέλτης απονήωσης είναι ένας μηχανισμός ο οποίος δίνει ταχύτητα στα αεροπλάνα πάνω στα αεροπλανοφόρα κι έτσι μπορούν να απονηώνονται χωρίς να χρειάζονται μεγάλο μήκος διαδρόμου. Θέλουμε να μελετήσουμε την ευθύγραμμη οριζόντια κίνηση του αεροπλάνου πριν απονηωθεί. Το αεροπλάνο αρχικά βρίσκεται ακίνητο στην αρχή του άξονα κίνησης. Εκτός του βάρους του g, δέχεται την δύναμη από τον καταπέλτη F ( /β)ˆ, δύναμη από τους κινητήρες F eˆ, δύναμη αντίστασης αέρα C ρs ˆ και δύναμη ανύψωσης C LρS L (με φορά προς τα πάνω). Στα παραπάνω F και F e είναι θετικές σταθερές, β είναι το μήκος του διαδρόμου, C και C L οι συντελεστές αντίστασης και ανύψωσης, ρ η πυκνότητα του αέρα, S η επιφάνεια του αεροπλάνου κάθετα στην κίνηση, S L η επιφάνεια των φτερών και η ταχύτητα (το μέτρο της). (α) Ποια η επιτάχυνση σαν συνάρτηση θέσης και ταχύτητας; Ποια η μέγιστη τιμής της; (β) Γράψτε την διαφορική εξίσωση που δίνει την ταχύτητα συναρτήσει της θέσης και λύστε την. Υπόδειξη: Η διαφορική εξίσωση d d = c c c 3, με c, c, c 3 σταθερές, μπορεί να γραφεί σαν γραμμική, μη ομογενής df d + c f = c c 3, όπου f =. Η τελευταία έχει γενική λύση f = e c c 3 + c 3 + c, όπου σταθερά ολοκλήρωσης. c c c (γ) Πόση πρέπει να είναι τουλάχιστον η επιφάνεια των φτερών S L ώστε το αεροπλάνο να απονηωθεί στο τέλος του διαδρόμου; (δ) Εστω ότι αγνοούμε την δύναμη αντίστασης αέρα. (δ ) Βρείτε μέσω θεωρήματος μεταβολής κινητικής ενέργειας την ταχύτητα συναρτήσει της θέσης. (δ ) Συμφωνεί το αποτέλεσμα με το όριο του αποτελέσματος του ερωτήματος (β) για C ; (δ 3 ) (Προαιρετικά:) Ποια είναι η θέση συναρτήσει του χρόνου; Σε πόσο χρόνο το αεροπλάνο φτάνει στο τέλος του διαδρόμου; Μπορείτε να απαντήσετε ολοκληρώνοντας την ẋ = (), αλλά μάλλον είναι ευκολότερο να λύσετε την διαφορική ẍ = ΣF, η οποία γράφεται ẍ + c 3 = c και έχει γενική λύση (για θετικό c 3 ) = c + sin ( c 3 t) + cos ( c 3 t). c 3 (ε) Εστω = kg, g = 9.8 /s, F = 6 N, F e = 5 N, β =, ρ =. kg/ 3, C =.5, C L =., S =. (ε ) Πόσα g είναι η μέγιστη επιτάχυνση που βρήκατε στο ερώτημα (α); (ε ) Ποια η ταχύτητα στο τέλος του διαδρόμου; Τι σφάλμα θα κάναμε αν αγνοούσαμε τη δύναμη αντίστασης αέρα και τη δύναμη προώθησης από τους κινητήρες του αεροπλάνου; (ε 3 ) Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι η επιφάνεια S L που βρήκατε στο ερώτημα (γ);. Εστω κίνηση μάζας σε κατακόρυφο επίπεδο y μέσα σε ομογενή βαρύτητα g = gŷ, υπό την επίδραση αντίστασης ανάλογης του τετραγώνου της ταχύτητας, δηλ. Fa = λ, όπου = και ( λ σταθερά. Αν ϑ π, π ) είναι η γωνία μεταξύ και ˆ (δηλ. = cos ϑ, y = sin ϑ), δείξτε ότι οι συνιστώσες του νόμου Νεύτωνα δίνουν ϑ = g cos ϑ και = g sin ϑ λ. g Δείξτε επίσης ότι η ποσότητα cos ϑ + λ sin ϑ + sin ϑ + λ ln είναι σταθερή. cos ϑ cos ϑ

Εργασία #3 (Λύσεις). (α) Μελετούμε την οριζόντια κίνηση του αεροπλάνου πριν αυτό απογειωθεί, συνεπώς δεν υπάρχει κίνηση κατά τον κατακόρυφο άξονα y. Από το Β' νόμο του Νεύτωνα κατά τον οριζόντια άξονα έχω: Fˆ ˆ ˆ ˆ a F Fe CS a a F Fe CS Η ποσότητα F γίνεται μέγιστη για, ενώ επίσης η ποσότητα C S γίνεται μέγιστη για και C S ). (διότι Επομένως η επιτάχυνση του αεροπλάνου είναι μέγιστη για και ίση με: F F aa a F Fe CS (β) Από την έκφραση της επιτάχυνσης συναρτήσει της ταχύτητας και της θέσης έπεται: e d d F Fe CS F Fe CS dt dt d d d F Fe CS F Fe CS d dt d d CS F Fe d Η διαφορική εξίσωση είναι μη-ομογενής γραμμική ης τάξης. Για τη λύση της αντίστοιχης ομογενούς θεωρώ μία λύση της μορφής e και έχω: c

C S ce CSe c CSc c c Επίσης, θεωρώντας μία μερική λύση της μορφής c c, έχω: c CSc cf Fe F CSc c CSc F Fe F F CSc c CS F c C CSc F F e Sc F F e CS F c CS F c F Fe C S C S Από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι η γενική λύση της έχει την ακόλουθη μορφή: CS F F e F Fe CS CS CS όπου σταθερά. Καθώς Δηλαδή τελικά: F έπεται ότι F Fe C S C S CS F F F F Fe e F Fe CS CS CS. CS F F F Fe e CS CS

(γ) Στο τέλος του διαδρόμου πρέπει η δύναμη ανύψωσης να είναι τουλάχιστον όσο το βάρος του αεροπλάνου, ώστε αυτό να απογειωθεί. Δηλαδή: g Fy CLSL g SL CL g SL CS F F CL F Fe e CS CS S gc S L CS F CLF Fe e F CS (δ) Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχω: u E(.) E(.) W F Fdu F Fe du F F udu F F u u du F d F e e du F F Fe F Fe (δ) Από το αποτέλεσμα του (β) ερωτήματος έχω: CS F F F F Fe e F Fe CS CS CS CS F F F Fe e CS CS

CS CSF FeF e FC S C S Επομένως: li C S li CS CSF FeF e FC S li C S CS CS CSF FeF e FC S C S kc S k kf Fe F e Fk li k k (κανόνας e l' Hopital) k k F Fe e kf FeF e F li k k (κανόνας e l' Hopital) k k k F Fe e F Fe e kf Fe F e li k k k li F Fe e k F Fe F e k F F F Fe F F Fe F Fe F Δηλαδή li li li F Fe F Fe C C C, το οποίο είναι σύμφωνο με το αποτέλεσμα στο ερώτημα (δ).

(δ3) Αγνοώντας τη δύναμη αντίστασης του αέρα, ο Β' νόμος του Νεύτωνα κατά τον οριζόντια άξονα ˆ εκφράζεται ως: F F a F Fe a F Fe Η διαφορική εξίσωση είναι μη-ομογενής γραμμική ης τάξης. Για τη λύση της αντίστοιχης ομογενούς θεωρώ δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής cosat και sinbt, οπότε έχω: A cosat F cosat A F A F B sinbt F sinbt B F B F Επίσης, παρατηρώ ότι μία μερική λύση της είναι η Από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι η γενική λύση της F F e. F έχει την ακόλουθη μορφή (το πρόσημο των A και B απορροφάται στις σταθερές και αντίστοιχα): Καθώς t, t Δηλαδή τελικά: F F t cos tsin t F F F e έπεται ότι: F Fe F Fe F F F F F F F F F F F e e e t cos t t cos t F F F Για την εύρεση του χρόνου απογείωσης, στο τέλος του διαδρόμου είναι t, δηλαδή:

F F F F F cos cos F F Fe e F Fe F F e F e cos cos cos F Fe F Fe F F Fe (ε) (ε) 6 5 F Fe F Fe aa g g5.6g 4 g 9.8 CS F F F Fe e CS CS CS F F Fe e F CS CS 4 6.5. 6 5 4 6 e.5..5. 9 3 6 5 3 6 e 77.39 s 3 3 Αγνοώντας τη δύναμη αντίστασης αέρα και τη δύναμη προώθησης από τους κινητήρες του αεροπλάνου, τότε από το ερώτημα (δ) για Fe λαμβάνω: F 6 F F 4 7.7 s Το σφάλμα επομένως είναι 77.39 7.7 8.63%. 77.39

(ε3) S gc S L CS F CLF Fe e F CS 4 9.8.5 insl 4 6.5. 6 5 4 6. e.5. ins 49.59 L. Από τις συνιστώσες του Β' νόμου του Νεύτωνα κατά τους δύο άξονες και y, έχω: d F a a a dt Fy ay gy ay gy ay dy g y dt 3 Όμως d dcos cos cos sin dt dt y sin dy d sin sin cos dt dt Επομένως το σύστημα 3 γίνεται: cos sin cos 4 sin cos g sin 5 Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση 4 με cos και τη σχέση 5 με sin λαμβάνω: cos cossin cos 6 sin cossin gsin sin 7 Στη συνέχεια προσθέτω κατά μέλη τις σχέσεις 6, 7 για να λάβω: gsin

Αντικαθιστώντας τώρα την παραπάνω έκφραση του στη σχέση 5, προκύπτει: gsin sin cos g sin gsin sin cos g sin, cos gcos cos ggsin cos gcos d dt Σημειώνεται ότι για το σύστημα 3 γίνεται, το οποίο σημαίνει dy g dt πως η κίνηση θα συνεχιστεί στον άξονα y, το οποίο είναι άτοπο καθώς,. Άρα πράγματι. g sin sin Τέλος, θέτω A ln. Για να δείξω ότι η ποσότητα A cos cos cos da είναι σταθερή, αρκεί να δείξω ότι dt. Είναι λοιπόν: da d g sin sin ln dt dt cos cos cos 3 cos cossin cos sin cos g 4 4 4 cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin g 3 3 3 cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin g 3 3 3 cos cos sin cos

da cos sin sin g 3 3 dt cos cos cos cos sin g 3 3 cos cos cos gcos gsin, cos sin g 3 3 3 cos cos g gcos gcos gsin cos sin 3 3 3 cos cos gsincos cos gcossin g g 3 3 cos cos g da g ο.ε.δ. cos cos dt