ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο β) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα Να γίνει απαλοιφή των απολύτων τιμών σε κάθε περίπτωση: i. x ii. x 8 iii. x 4 6 iv. x 0 v. x 7 vi. x vii. x 6 0 viii. x 4 ix. x x. x 6 xi. x 4 xii. x 6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις της μορφής ή κ = λ α) Εάν έχουμε στα μέλη της ισότητας ομόσημες παραστάσεις τότε τις κάνουμε θετικές και εφαρμόζουμε την ιδιότητα β) Εάν οι παραστάσεις είναι ετερόσημες τότε η μόνη περίπτωση να ισχύει η ισότητα είναι και τα δύο μέλη να είναι 0
Να λυθούν οι εξισώσεις: i. 7 x 4 x ii. x x x 4 x iii.. v. x x x x 7 x vii. 8 x x ix. 4 x 4 x 4 x 4 xi. 4 6 x 4 x 4 x xiii. x x iv.. 4 x x vi. 4 x viii. 7 x 8 x. x 8 x xii. 6 x xiv. x xv. x x 4 x 6x xvi. x 4 8 Να λυθούν οι εξισώσεις: i. x 7 ii. x 4 iii. x 4 8 iv. x x v. 4 x x 6 vi. x x vii. x 4x 8 viii. x x 0 ix. x x 4 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Ανισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράσταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο.
β) Εάν καταλήξουμε ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4: Ανισώσεις όπου το απόλυτο βρίσκεται μεταξύ δύο αριθμών Α Έχουμε διπλή ανίσωση η οποία μετατρέπεται i) α ii) Λύνουμε κάθε ανίσωση ξεχωριστά σύμφωνα με την περίπτωση. iii) Βρίσκουμε που συναληθεύουν οι ανισώσεις. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις ή ανισώσεις που περιέχουν πολλές φορές την απόλυτη τιμή και όχι παράσταση του x έξω από τα απόλυτα. Στις περιπτώσεις αυτές εργαζόμαστε ως εξής: α) Θέτω y = το απόλυτο. β) Βρίσκω το y γ) Βρίσκω το x από την ισότητα y = απόλυτο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι αντίθετες παραστάσεις έχουν την ίδια απόλυτη τιμή =
4 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6: Εξισώσεις και ανισώσεις με απόλυτα και παραστάσεις του x έξω από τα απόλυτα. α) Κατασκευάζω πίνακα προσήμων των παραστάσεων που είναι σε απόλυτη τιμή. β) Απλοποιώ τα απόλυτα και λύνω κατά περίπτωση. γ) Προσοχή στις περιπτώσεις που περνώ πρέπει σε κάθε διάστημα που έχω: ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ: Δέκτες είναι οι λύσεις που ανήκουν στο αντίστοιχο διάστημα που εξετάζω. ΣΤΗΝ ΑΝΙΣΩΣΗ: Κάνω συναλήθευση ανισώσεων που προκύπτουν από τη λύση της ανίσωσης και από τον περιορισμό που έχω από την αρχή στο x. δ) Οι τελικές λύσεις είναι όλες οι λύσεις που πήραμε από τις επιμέρους περιπτώσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Να λυθεί η εξίσωση x α) Βρίσκω τα πρόσημα των παραστάσεων που είναι μέσα στα απόλυτα. x - = 0 x = - x = 0 x = β) Ο πίνακας προσήμων είναι: x x- - o + + -x + + o - Aν x < x- < 0 άρα -x > 0 άρα = -x 4
Η εξίσωση γίνεται (x ) + ( x) = x x + 4 x = x x x x = 4 4x = x = Η λύση αυτή δεν είναι δεκτή /4 0 ii) Αν x τότε Η εξίσωση γίνεται (x ) + ( x) = x x x x = 4 x = x = / Η λύση αυτή είναι δεκτή / Αν x > τότε x - > 0 άρα -x < 0 άρα = - ( - x) Η εξίσωση γίνεται (x ) ( x) = x x 4 + x = x x + x x = + 4 x = x = / Η λύση αυτή είναι δεκτή / ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7: Εξίσωση απολύτων με άθροισμα απόλυτων ίσον 0. Κάθε ένα από τα απόλυτα πρέπει να είναι 0.
6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8: Απλοποίηση παραστάσεων με απόλυτα. α) Βρίσκουμε τις ρίζες των παραστάσεων που είναι μέσα στα απόλυτα. β) Κατασκευάζουμε πινακάκι γ) Βρίσκουμε τα πρόσημα κάθε παράστασης. δ) Διακρίνουμε τόσες περιπτώσεις σε όσα διαστήματα έχει χωριστεί ο άξονας από τις ρίζες. ε) Σε κάθε περίπτωση ξέρουμε το πρόσημο των παραστάσεων και επομένως μπορούμε να απλοποιήσουμε τα απόλυτα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: ) Τα διαστήματα άρα και οι περιπτώσεις είναι μια περισσότερη από τις ρίζες ) Στο πινακάκι σε κάθε κουτάκι πρέπει να υπάρχει ένα πρόσημο ) Πρόσημο του αx+β x β/α αx+β ετερό Ομόσημο του α σημο του α Να λυθούν οι ανισώσεις: x i. 0 iii. 6 0 v. x 4 ii. x x iv. x x 4 vi. x 4 x x 4 vii. x 4 x 6
7 Να λυθούν οι ανισώσεις: i. x 7 ii. x 4 iii. 0 x iv. x 7 v. x 4 9 vi. x vii. x x x viii. x 4 ix. x x x. x x xi. x 7 Αν 0 < α < β< γ< δ, να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: i. A a ii. iii. Αν x και y να δείξετε ότι: i. x y ii. x y 8 iii. x y Αν x και y να αποδείξετε ότι : x y 8. Βρείτε τους ακέραιους αριθμούς χ και ψ ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ισότητες: i. x και x ii. x 0 και iii. x 0 iv. x Έστω x ένας αριθμός ο οποίος παίρνει τιμές μεταξύ του - και του, δηλαδή - < x < και y ένας αριθμός ο οποίος παίρνει τιμές μεταξύ του - και του, δηλαδή - < y <. Να υπολογίσετε μεταξύ ποιών αριθμών παίρνουν τιμές οι παρακάτω παραστάσεις: 7
8 i. x ii. iii. x + ψ iv. x ψ + 4 v. x + ψ Να λυθούν οι εξισώσεις: i. x x ii. x x 0 iii. x 8 x 6 iv. x x 0 v. x 4 x 4 4 vi. x 4 x Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις A x x, B x x. Για ποιές τιμές του x η παράσταση y x x x είναι ανεξάρτητη από το x; 8