ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil kastoria.teikoz.gr/elearn Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Πολλές φορές η πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου επηρεάζεται από την πληροφορία ότι ένα άλλο ενδεχόμενο του ίδιου δειγματοχώρου έχει πραγματοποιηθεί. Η πιθανότητα να έχουμε πτώση στο Χρηματιστήριο Αθηνών επηρεάζεται σημαντικά αν έχουμε την πληροφορία ότι στο Χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης είχαμε σημαντική πτώση. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 2
Παράδειγμα Ο ακόλουθος πίνακας αναφέρεται στο βάρος και την υπέρταση 200 ατόμων. Υπέρβαρα Μη Υπέρβαρα Σύνολο Υπερτασικά 20 20 40 Μη Υπερτασικά 30 30 60 Σύνολο 50 50 200 Ένα άτομο επιλέγεται τυχαία. Αν Α είναι το ενδεχόμενο το άτομο να είναι υπέρβαρο και Β το ενδεχόμενο το άτομο να είναι υπερτασικό να βρεθούν οι πιθανότητες:.p(a) και Ρ(Β). 2.Αν γνωρίζουμε ότι το άτομο που επιλέχθηκε είναι υπέρβαρο, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι υπερτασικό. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 3 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Α) 0. Δεσμευμένη Πιθανότητα του ενδεχομένου Β με δεδομένο το Α λέγεται το πηλίκο: P(B A) = P(A B) P(A) Ανάλογα ορίζεται και η δεσμευμένη πιθανότητα P(A B) P(A B) P(B) =, Ρ(Β) 0 Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 4 2
Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ο πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων που δίνεται από τις σχέσεις: P(A B) = P(A) P(B A) και P(A B) = P(B) P(A B) Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 5 Έστω δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματοχώρου Ω, με Ρ(Α) 0 0 και Ρ(Β) 0. Τα ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα αν P(A B) = P(A) P(B) Τρία ενδεχόμενα Α, Β και Γ ενός δειγματοχώρου Ω θα λέγονται ανεξάρτητα αν Ρ(Α Β)=Ρ(Α)Ρ(Β), Ρ(Α)Ρ(Β), Ρ(Β Γ)=Ρ(Β)Ρ(Γ), Ρ(Β)Ρ(Γ), Ρ(Γ Α)=Ρ(Γ)Ρ(Α), Ρ(Α Β Γ)=Ρ(Α)Ρ(Β)Ρ(Γ) Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 6 3
Θεώρημα ολικής πιθανότητας: Αν τα γεγονότα Α, Α 2,, Α n είναι ξένα μεταξύ τους ανά δύο και Α Α 2 Α n =Ω, τότε για κάθε γεγονός γγ Β: n PB ( ) = PB ( / Ai) PA ( i). i= Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 7 Θεώρημα Bayes: Έστω ότι τα γεγονότα Α, Α 2,, Α n είναι ξένα μεταξύ τους ανά δύο, η ένωση τους δίνει το δειγματοχώρο Ω (Α Α 2 Α n =Ω) και ισχύει P(Α κ ) > 0 για όλα τα k =,2,, n. Έστω επίσης το γεγονός Β με P(Β) > 0. Τότε: P(B A ) P(A ) P(A B) i i i = P(B A ) P(A ) + K+ P(B A n ) P(A n ) Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 8 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Μία επιχείρηση παράγει όμοιες λάμπες σε τρία διαφορετικά εργοστάσιά της. Το πρώτο παράγει το 20%, το δεύτερο το 30% και το τρίτο το 50% του συνόλου της παραγωγής. Το ποσοστό των ελαττωματικών από το πρώτο εργοστάσιο είναι 2%, από το δεύτερο % και από το τρίτο 3%. α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να παραχθεί μία ελαττωματική λάμπα στο σύνολο της παραγωγής της επιχείρησης. β) Αν πάρουμε μία λάμπα και είναι ελαττωματική ποια η πιθανότητα να είχε παραχθεί στο δεύτερο εργοστάσιο? Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 9 2) Υπάρχουν 50 γραπτά, 40 της τάξης Τ, 50 της τάξης Τ2 και 60 της τάξης Τ3 και βρίσκονται ανακατεμένα σ ένα συρτάρι. Η βαθμολογία είναι κάτω από τη βάση στα 5% των γραπτών της Τ, στα 20% της Τ2 και στα 0% της Τ3. Παίρνουμε ένα γραπτό κατά τύχη από το συρτάρι. α) Ποια η πιθανότητα το γραπτό να έχει βαθμό κάτω από τη βάση? β) Αν το γραπτό που πήραμε είχε βαθμό κάτω από τη βάση, ποια η πιθανότητα να είναι από την τάξη Τ. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 0 5
3) 0 άτομα από τα 00 έχουν γρίπη. Ο γιατρός έκανε σωστή διάγνωση στο 92% εφόσον έχουν γρίπη και λάθος διάγνωση στο 2% των ατόμων που δεν έχουν γρίπη. Ποια η πιθανότητα να διαγνώσει ο γιατρός γρίπη. 4) Υποθέτουμε ότι η βραδινή μας έξοδος εξαρτάται από το ενδεχόμενο να βρέξει. Η πιθανότητα εξόδου αν βρέξει είναι 0,20 και αν δεν βρέξει 0,80. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να βρέξει είναι 0,70. Ποια είναι η πιθανότητα να γίνει η βραδινή μας έξοδος. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 5) Για τη διάγνωση ενός ιού τρέχουμε ένα διαγνωστικό το οποίο είναι παλιό και στο 80% των περιπτώσεων βγάζει ότι υπάρχει ιός δεδομένου ότι ο υπολογιστής έχει ιό, ενώ στο 0% των περιπτώσεων προκύπτει ότι ο υπολογιστής έχει ιό δεδομένου ότι ο υπολογιστής δεν έχει ιό. Υποθέτουμε ότι το % των υπολογιστών του τμήματος Πληροφορικής έχει ιό. Επιλέγουμε ένα υπολογιστή στην τύχη και τρέχουμε το διαγνωστικό. Α) Ποια είναι η πιθανότητα το διαγνωστικό να βγάλει ότι υπάρχει ιός; Β) Ποια είναι η πιθανότητα ο υπολογιστής να έχει ιό δεδομένου ότι το διαγνωστικό έβγαλε θετικό αποτέλεσμα; Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 2 6