Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ, ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Λίγγα Καρολίνας-Αικατερίνης του Παύλου Αριθμός Μητρώου: 5678 Θέμα «Προσαρμοστικός έλεγχος για μη γραμμικά δεύτερης τάξης συστήματα με αβεβαιότητα» Επιβλέπων Αλεξανδρίδης Αντώνιος, Καθηγητής Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Ιούλιος

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «Προσαρμοστικός έλεγχος για μη γραμμικά δεύτερης τάξης συστήματα με αβεβαιότητα» Της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Λίγγα Καρολίνας-Αικατερίνης του Παύλου Αριθμός Μητρώου: 5678 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 8/7/ Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Αλεξανδρίδης Αντώνιος Καθηγητής Αλεξανδρίδης Αντώνιος Καθηγητής

4 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Προσαρμοστικός έλεγχος για μη γραμμικά δεύτερης τάξης συστήματα με αβεβαιότητα» Φοιτήτρια: Λίγγα Καρολίνα-Αικατερίνη Επιβλέπων: Αλεξανδρίδης Αντώνιος Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη μελέτη των μη γραμμικών συστημάτων και τη σχεδίαση ενός προσαρμοστικού ελεγκτή για συστήματα δεύτερης τάξης με αβεβαιότητα. Αρχικά παρουσιάζονται η μορφή και οι ιδιότητες των μη γραμμικών συστημάτων τονίζοντας την ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο. Στη συνέχεια προτείνεται ένα προσαρμοστικός ελεγκτής κατάλληλος για μη γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξης ο οποίος εγγυάται πλήρη ασυμπτωτική ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου. Η μορφή του ελεγκτή βελτιώνεται σε περίπτωση που οι συναρτήσεις απόσβεσης και δυσκαμψίας είναι πολυωνυμικές και η αποδοτικότητά του επιβεβαιώνεται σε κάθε περίπτωση με εκτενείς προσομοιώσεις. Τέλος, ο προτεινόμενος ελεγκτής εφαρμόζεται σε δύο πραγματικά συστήματα (μηχανικός ταλαντωτής του Duffing, απλό εκκρεμές) και συγκρίνεται με την τεχνική του feedback linearization δίνοντας καλύτερες αποκρίσεις σε περιπτώσεις ύπαρξης αβέβαιων παραμέτρων.

5 Abstract his diploma thesis includes the analysis of nonlinear systems and the design of an adaptive controller suitable for second order nonlinear systems. In the beginning, we present the structure and the properties of nonlinear systems underlining the need for adaptive control design. Furthermore, we propose an adaptive control law suitable for second order nonlinear systems which guarantees asymptotic stability for the closed-loop system. he control structure is improved in cases where the damping and stiffness functions include polynomials and the efficiency of the proposed scheme is shown using extended simulation results. Finally, the proposed controller is applied in two real systems (Duffing s mechanical oscillator, pendulum) and compared with the feedback linearization technique, resulting better responses in cases where the system includes uncertain parameters.

6 Ευχαριστίες Αρχικά, θα ήθελα να αναφέρω κάποια άτομα τα οποία συνέβαλαν στη διεκπεραίωση αυτής της διπλωματικής εργασίας. Πρωτίστως, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Αλεξανδρίδη Αντώνιο για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε, αναθέτοντάς μου την συγκεκριμένη εργασία η οποία ταιριάζει πλήρως στα ενδιαφέροντά μου. Οι πολύτιμες συμβουλές του και η διάθεση που έδειξε όλο αυτό το διάστημα σε συνδυασμό με τις γνώσεις του πάνω στο συγκεκριμένο αντικείμενο, αποτέλεσαν πηγή έμπνευσης για εμένα και συντέλεσαν στην πραγματοποίηση μιας επιτυχημένης συνεργασίας. Επιπλέον, θέλω να ευχαριστήσω τον συνεπιβλέποντα καθηγητή κ. Καζάκο Δημοσθένη για τις εύστοχες παρατηρήσεις του και τη βοήθεια που μου προσέφερε σε όλο το διάστημα των σπουδών μου. Επίσης, δεν πρέπει να παραλείψω τον υποψήφιο διδάκτορα Κωνσταντόπουλο Γεώργιο Κ. ο οποίος έδειξε ιδιαίτερο ενδιαφέρον και προθυμία να με βοηθήσει για να έλθει εις πέρας η εργασία αυτή. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τον Γιώργο που χωρίς αυτόν τίποτε από όλα αυτά δεν θα είχε γίνει.

7 Αφιερώνεται στην οικογένειά μου και στον Γιώργο

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σκοπός της παρούσης διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη μη γραμμικών συστημάτων δεύτερης τάξης και η σχεδίαση ενός κατάλληλου προσαρμοστικού ελεγκτή. Ο έλεγχος αυτός βρίσκει εφαρμογή σε συστήματα που περιλαμβάνουν αβέβαιες παραμέτρους στις συναρτήσεις απόσβεσης και δυσκαμψίας. Καθώς στη φύση τα περισσότερα συστήματα είναι μη γραμμικά, η ανάγκη για σχεδίαση μη γραμμικών νόμων ελέγχου γίνεται επιτακτική. Η μελέτη τέτοιων ελεγκτών συνήθως βασίζεται σε τεχνικές Lyapunov ή τεχνικές γραμμικοποίησης οι οποίες εγγυώνται πλήρη ασυμπτωτική ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου. Όμως, όταν στο σύστημα υπάρχουν αβέβαιες παράμετροι, οι ελεγκτές αυτοί υστερούν σε απόδοση και δεν μπορούν πλέον να εγγυηθούν ευστάθεια. Συγκεκριμένα σε σύστημα με ισχυρές μη γραμμικότητες και αβέβαιες παραμέτρους, οι καταστάσεις είναι πιθανόν να οδηγηθούν σε αστάθεια. Για τον σκοπό αυτό, προτείνεται ένας προσαρμοστικός ελεγκτής κατάλληλος για μη γραμμικά συστήματα με αβεβαιότητες. Ο ελεγκτής αυτός βασίζεται σε ένα πλήρες θεωρητικό υπόβαθρο εγγυώντας ασυμπτωτική ευστάθεια για το προκύπτον σύστημα κλειστού βρόχου. Η γενική μορφή του δίνει τη δυνατότητα να εφαρμοστεί σε πραγματικά συστήματα όπου και γίνεται καλύτερα αντιληπτή η χρησιμότητά του καθώς συγκρίνεται με τις κλασσικές μη γραμμικές τεχνικές.

9 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΘΕΩΡΙΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ... 3.. Εισαγωγή... 3.. Είδη μη γραμμικοτήτων... 3.3. Μη γραμμικά συστήματα... 4.4. Θεωρήματα ευστάθειας... 6.5. Έλεγχος μη γραμμικών συστημάτων....6. Η ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο... 3.7. Σύνοψη κεφαλαίου... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ... 7.. Εισαγωγή... 7.. Προσαρμοστικός έλεγχος μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων δεύτερης τάξης... 8.3. Πολυωνυμική αβεβαιότητα με άγνωστους συντελεστές και άγνωστη τάξη... 37.4. Παραδείγματα εφαρμογής του προσαρμοστικού ελέγχου... 44

.5. Σύνοψη κεφαλαίου... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ... 63 3.. Εισαγωγή... 63 3.. Ο μηχανικός ταλαντωτής του Duffing... 64 3.3. Το απλό εκκρεμές... 7 3.3. Σύνοψη κεφαλαίου... 83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. ΣΥΝΟΨΗ, ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΕΤΑΙΡΩ ΕΡΕΥΝΑ... 85 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 89 5.. Υλοποίηση Παραδείγματος.... 89 5.. Υλοποίηση Παραδείγματος.... 9 5.3. Υλοποίηση Παραδείγματος.3... 9 5.4. Υλοποίηση Παραδείγματος.4... 93 5.5. Υλοποίηση μηχανικού ταλαντωτή του Duffing... 94 5.6. Υλοποίηση απλού εκκρεμούς... 95

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο, παρουσιάζονται οι βασικές αρχές των μη γραμμικών συστημάτων. Δίνονται κατάλληλοι ορισμοί για τα είδη των μη γραμμικοτήτων, παρουσιάζεται η δυναμική σχέση που τα περιγράφει καθώς και ο τρόπος υπολογισμού των σημείων ισορροπίας. Στη συνέχεια τονίζονται τα βασικά θεωρήματα ευστάθειας που βασίζονται στην τεχνική Lyapunov. Τέλος, περιγράφεται η βασική θεωρία του μη γραμμικού ελέγχου και τονίζεται η αναγκαιότητα των προσαρμοστικών ελεγκτών σε περιπτώσεις ύπαρξης αβεβαιοτήτων. Στο κεφάλαιο, προτείνεται ένας προσαρμοστικός ελεγκτής για μη γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξης με αβεβαιότητα. Η σχεδίασή του γίνεται κατάλληλα ώστε να εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου. Σε περιπτώσεις με πολυωνυμικές αβεβαιότητες, προτείνεται μια βελτίωση του ελεγκτή αυτού αναλόγως με τη γνώση που διαθέτει ο χρήστης σχετικά με τα αβέβαια πολυώνυμα. Έπειτα, παρουσιάζονται 4 παραδείγματα μη γραμμικών συστημάτων όπου ο έλεγχος αποδεικνύει το θεωρητικό του υπόβαθρο και η αποδοτικότητά του επιβεβαιώνεται από τις αντίστοιχες χρονικές αποκρίσεις. Στο κεφάλαιο 3, ο προσαρμοστικός ελεγκτής εφαρμόζεται σε δύο πραγματικά συστήματα: στον μηχανικό ταλαντωτή του Duffing και στο απλό εκκρεμές. Γίνεται εκτενής συγκριτική ανάλυση για τον προσδιορισμό της βέλτιστης μορφής του ελεγκτή αυτού και ύστερα συγκρίνεται με την τεχνική feedback linearization από όπου και φαίνεται η αναγκαιότητά του. Ιδιαίτερα για το απλό εκκρεμές, ο όρος του ημιτόνου αναπτύσσεται σε σειρά aylor για να ικανοποιήσει τις απαραίτητες προδιαγραφές για την εφαρμογή του ελεγκτή. Η προσέγγιση αυτή παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και κρίνεται ικανοποιητική από τις προσομοιώσεις που ακολουθούν. Στο κεφάλαιο 4, παρουσιάζεται μια σύνοψη της διπλωματικής εργασίας και συλλέγονται τα τελικά συμπεράσματα. Τα συμπεράσματα ακολουθούνται από προτάσεις για περαιτέρω έρευνα οι οποίες μπορούν να ληφθούν υπόψη σε μελλοντικές διπλωματικές εργασίες.

Τέλος, το κεφάλαιο 5 περιλαμβάνει το παράρτημα της εργασίας όπου παρουσιάζονται οι κώδικες που χρησιμοποιήθηκαν για την προσομοίωση καθενός από τα συστήματα. Οι προσομοιώσεις έγιναν σε περιβάλλον MALAB/SIMULINK και τα συστήματα σχεδιάστηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε να παρέχουν μια καλά δομημένη και ευανάγνωστη μορφή.

3 Κεφάλαιο Θεωρία μη γραμμικών συστημάτων.. Εισαγωγή Τα περισσότερα συστήματα που συναντώνται στη φύση είναι μη γραμμικά, δηλαδή περιγράφονται από μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση με τα γραμμικά συστήματα, όπου ο έλεγχός τους γίνεται με χρήση γραμμικών ελεγκτών, η ύπαρξη μη γραμμικοτήτων στο δυναμικό μοντέλο κάνει την εφαρμογή συμβατικών νόμων ελέγχου να υστερεί. Ωστόσο, εάν το εύρος λειτουργίας ενός μη γραμμικού συστήματος είναι μικρό και εάν οι υπάρχουσες μη γραμμικότητες είναι ομαλές, τότε το σύστημα αυτό μπορεί να προσεγγιστεί από ένα γραμμικό, το οποίο περιλαμβάνει γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, όμως, σπάνια συμβαίνει αυτό, γεγονός που ωθεί τους μηχανικούς ελέγχου να σχεδιάσουν μη γραμμικούς ελεγκτές που βασίζονται στο ακριβές μοντέλο. Επιπλέον, πολλές φορές οι παράμετροι του μοντέλου δεν είναι πάντα γνωστοί, με αποτέλεσμα η ανάγκη για εφαρμογή τεχνικών ελέγχου, που δεν χρησιμοποιούν τις παραμέτρους αυτές ή αντίθετα που προσαρμόζουν τα κέρδη τους ανάλογα με το σύστημα, να γίνεται επιτακτική. Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουμε εισαγωγικά στοιχεία για τη θεωρία των μη γραμμικών συστημάτων και τα θεωρήματα ευστάθειας, ενώ θα αναφέρουμε τις πιο συνήθεις μεθόδους ελέγχου των συστημάτων αυτών που βασίζονται στην

4 τεχνική του feedback linearization. Τέλος, θα τονίσουμε την ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο σε περίπτωση ύπαρξης αβέβαιων παραμέτρων, στοιχείο που αποτελεί τον βασικό άξονα αυτής της διπλωματικής εργασίας... Είδη μη γραμμικοτήτων Με τον όρο «μη γραμμικά συστήματα» θεωρούμε οποιοδήποτε σύστημα περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα μη γραμμικό όρο στις δυναμικές εξισώσεις που το περιγράφουν. Η ύπαρξη μη γραμμικών στοιχείων δυσχεράνει τόσο την ανάλυση της ευστάθειας όσο και την σχεδίαση κατάλληλου νόμου ελέγχου. Οι μη γραμμικότητες χωρίζονται σε δύο είδη: τις υπάρχουσες (ή φυσικές) και τις επιβαλλόμενες (ή τεχνητές) μη γραμμικότητες. Οι υπάρχουσες είναι αυτές που σχετίζονται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, όπως για παράδειγμα με την κίνηση. Παραδείγματα υπαρχουσών μη γραμμικοτήτων περιλαμβάνονται σε περιστροφικές κινήσεις ή σε τριβές Coulomb κατά την επαφή δύο επιφανειών. Συνήθως, τέτοιες μη γραμμικότητες έχουν ανεπιθύμητα αποτελέσματα και τα συστήματα ελέγχου πρέπει να τις αντισταθμίσουν κατάλληλα. Αντίθετα, οι επιβαλλόμενες μη γραμμικότητες προκαλούνται με τεχνητό τρόπο από την μηχανικό ελέγχου. Παραδείγματα επιβαλλόμενων μη γραμμικοτήτων είναι η εφαρμογή μη γραμμικών ελεγκτών είναι οι προσαρμοστικοί και οι βέλτιστοι bang-bang νόμοι ελέγχου. Επιπλέον, οι μη γραμμικότητες χωρίζονται και με βάση τις μαθηματικές τους ιδιότητες ως συνεχείς ή ασυνεχείς. Επειδή οι ασυνεχείς μη γραμμικότητες δεν μπορούν να προσεγγιστούν από γραμμικές συναρτήσεις, συνήθως ονομάζονται και ισχυρές μη γραμμικότητες. Οι ισχυρές μη γραμμικότητες (πχ. υστέρησης) εμφανίζονται συχνά στα συστήματα ελέγχου είτε η περιοχή λειτουργίας τους είναι μικρή είτε όχι. Στην περίπτωση μικρής περιοχής λειτουργίας, η προσέγγιση του μη γραμμικού συστήματος από γραμμικό εξαρτάται από το μέγεθος (πλάτος) αυτής της μη γραμμικότητας.

5.3. Μη γραμμικά συστήματα Ένα μη γραμμικό δυναμικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σετ μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων της μορφής: x& = f( x, t) (.) όπου f είναι ένα n διάνυσμα συναρτήσεων και x ένα n διάνυσμα καταστάσεων. Ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης n εκφράζει την τάξη του συστήματος. Η λύση x() t της εξίσωσης (.) αντιστοιχεί σε μια καμπύλη στον χώρο κατάστασης καθώς το t μεταβάλλεται από το μηδέν έως το άπειρο. Ο καμπύλη αυτή συνήθως ονομάζεται τροχιά καταστάσεων ή τροχιά συστήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι παρόλο που η εξίσωση (.) δεν περιλαμβάνει την είσοδο ελέγχου ως μεταβλητή, είναι άμεσα εφαρμόσιμη για συστήματα κλειστού βρόχου. Ειδικότερα, αν η δυναμική του ανοικτού συστήματος είναι: x& = f( x, u, t) (.) και εφαρμοστεί ένας νόμος ελέγχου της μορφής: u = g( x, t) τότε το σύστημα κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση: ( ) x& = f x, g x, t, t το οποίο μπορεί να γραφεί στη μορφή της (.). Επίσης, η εξίσωση (.) μπορεί να περιγράφει και συστήματα με μηδενική είσοδο, όπως για παράδειγμα ένα ελεύθερο εκκρεμές. Όσον αφορά την τροχιά του συστήματος x() t, είναι πιθανόν να αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο ισορροπίας. Όπως θα περιγραφεί στην επόμενη παράγραφο, πολλά προβλήματα ευστάθειας ορίζονται με βάση τα σημεία ισορροπίας. Ο ορισμός του σημείου ισορροπίας φαίνεται παρακάτω:

6 Ορισμός.: Μια κατάσταση x * ονομάζεται κατάσταση ισορροπίας (ή σημείο ισορροπίας) του συστήματος εάν η τροχιά x() t γίνει ίση με x * και παραμείνει ίση με x * για κάθε μελλοντική χρονική στιγμή. Ο παραπάνω ορισμός εκφράζεται με μαθηματικό τρόπο ως: = f ( x*) (.3) Με βάση τα σημεία ισορροπίας, στην παράγραφο που ακολουθεί, δίνονται τα απαραίτητα θεωρήματα ευστάθειας για οποιοδήποτε μη γραμμικό σύστημα..4. Θεωρήματα ευστάθειας Η ευστάθεια ενός συστήματος ελέγχου αποτελεί την βασικότερη ιδιότητά του, καθώς ένα ασταθές σύστημα είναι άχρηστο και πολλές φορές επικίνδυνο. Κάθε τέτοιο σύστημα, γραμμικό ή μη γραμμικό, περιλαμβάνει ένα πρόβλημα ευστάθειας το οποίο πρέπει να μελετηθεί με προσοχή. Συγκεκριμένα, ένα σύστημα θεωρείται ευσταθές εάν ξεκινώντας από ένα σημείο κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας παραμένει σε μια περιοχή γύρω από αυτό για κάθε μελλοντική χρονική στιγμή. Τα βασικότερα θεωρήματα ευστάθειας αντιστοιχούν στα θεωρήματα Lyapunov, αλλά πριν τα αναφέρουμε πρέπει να δώσουμε πρώτα τους απαραίτητους ορισμούς. Ορισμός.: Το σημείο ισορροπίας x = ονομάζεται ευσταθές εάν για οποιοδήποτε R > υπάρχει r > τέτοιο ώστε εάν x() < r, τότε ισχύει x() t < R για κάθε t >. Σε αντίθετη περίπτωση το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές.

7 Ο παραπάνω ορισμός εκφράζει την ευστάθεια κατά Lyapunov, η οποία με απλά λόγια δηλώνει ότι η τροχιά του συστήματος παραμένει αρκετά κοντά στο μηδενικό σημείο ισορροπίας εάν ξεκινήσει αρκετά κοντά σε αυτό. Όμως, σε πολλά προβλήματα η ευστάθεια κατά Lyapunov δεν είναι αρκετή, καθώς όταν ένα σύστημα διαταραχθεί από τη μηδενική θέση ισορροπίας, δεν επιθυμούμε απλώς να παραμείνει κοντά σε αυτή αλλά να επιστρέψει πλήρως στην αρχική θέση. Η απαίτηση αυτή περιγράφεται με τον ορισμό της ασυμπτωτικής ευστάθειας. Ορισμός.3: Το σημείο ισορροπίας x = είναι ασυμπτωτικά ευσταθές εάν είναι ευσταθές και επιπλέον υπάρχει κάποιο r > τέτοιο ώστε εάν x() < r, τότε ισχύει xt () καθώς t. Οι ορισμοί της ευστάθειας κατά Lyapunov, της ασυμπτωτικής ευστάθειας και της αστάθειας γίνονται κατανοητοί από το γράφημα που ακολουθεί. Σχήμα.: Ασυμπτωτική ευστάθεια () Ευστάθεια κατά Lyapunov () Αστάθεια (3)

8 Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, γίνονται κατανοητά τα βασικότερα θεωρήματα ευστάθειας, τα οποία είναι γνωστά ως θεωρήματα Lyapunov. Το πρώτο θεώρημα ονομάζεται μέθοδος γραμμικοποίησης Lyapunov ή τοπική ευστάθεια ενός μη γραμμικού συστήματος. Βασίζεται στην υπόθεση ότι ένα μη γραμμικό σύστημα συμπεριφέρεται σαν γραμμικό σε μια μικρή περιοχή του σημείου ισορροπίας. Θεωρούμε το μη γραμμικό σύστημα (.) όπου η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Τότε, η δυναμική του συστήματος μπορεί να γραφεί ως: f x& = x+ fhot...( x) (.4) x x= όπου η f hot... αντιπροσωπεύει τους όρους υψηλότερης τάξης της f όταν αναπτυχθεί σε σειρά aylor γύρω από το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η σειρά aylor ξεκινά από τον πρώτο όρο καθώς f () =, αφού το είναι το σημείο ισορροπίας. Μπορούμε, λοιπόν, να χρησιμοποιήσουμε έναν σταθερό πίνακα A ο οποίος να ισοδυναμεί με τον ιακωβιανό πίνακα της f στο x = (δηλ. ένας πίνακας n n με στοιχεία f / x ): i j f A = x x= (.5) Τότε το σύστημα: x& = Ax (.6) ονομάζεται γραμμικοποίηση (ή γραμμική προσέγγιση) του αρχικού μη γραμμικού συστήματος γύρω από το. Αντίστοιχα για ένα μη γραμμικό σύστημα με είσοδο της μορφής (.), η γραμμική του προσέγγιση γίνεται: f f x& = x + u = Ax + Bu (.7) x u x= x=

9 Κάνοντας χρήση των γραμμικοποιημένων συστημάτων, μπορούμε να δώσουμε την έκφραση του πρώτου θεωρήματος Lyapunov. Θεώρημα.: Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι αυστηρώς ευσταθές (δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του A είναι αυστηρά στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο), τότε το σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (για το μη γραμμικό σύστημα). Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασταθές (δηλ. τουλάχιστον μία ιδιοτιμή του A είναι αυστηρά στο δεξί μιγαδικό επίπεδο), τότε το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές (για το μη γραμμικό σύστημα). Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι οριακά ευσταθές (δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του A είναι στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο, αλλά τουλάχιστον μία είναι πάνω στον φανταστικό άξονα), τότε δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για την ευστάθεια του μη γραμμικού συστήματος από την γραμμική του προσέγγιση. Σε πολλά συστήματα, η γραμμική προσέγγιση του αρχικού μη γραμμικού συστήματος δεν μπορεί να υπολογιστεί, ή όπως είδαμε από το παραπάνω θεώρημα, δεν μπορεί να μας δώσει πληροφορίες για την ευστάθεια. Για τον λόγο αυτό, θα αναπτύξουμε το δεύτερο θεώρημα Lyapunov που βασίζεται στην απόδειξη τοπικής καθώς και πλήρης ευστάθειας του συστήματος. Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή και ως άμεση μέθοδος Lyapunov. Θεώρημα.: Εάν σε μια περιοχή B R υπάρχει μια συνάρτηση V( x) με συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξης τέτοιες ώστε: η V( x ) να είναι θετικά ορισμένη (τοπικά στο R η V& ( x) να είναι αρνητικά ημι-ορισμένη (τοπικά στο R B ) B )

τότε το σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές. Εάν, επιπλέον, η αρνητικά ορισμένη στο B R, τότε η ευστάθεια είναι ασυμπτωτική. V& ( x) είναι Το θεώρημα αυτό, για ένα μη γραμμικό σύστημα καταστάσεων, γίνεται κατανοητό από το σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα.: Η άμεση μέθοδος Lyapunov Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να γενικευτεί ώστε να αποδεικνύει πλήρη ευστάθεια του μη γραμμικού συστήματος. Το γεγονός αυτό περιγράφει το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα.3: Θεωρούμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση πρώτες παραγώγους, τέτοια ώστε: η V( x ) να είναι θετικά ορισμένη η V& ( x) να είναι αρνητικά ορισμένη V( x) καθώς x V( x) με συνεχείς Τότε το μηδενικό σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές.

Το Θεώρημα.3 αποτελεί ένα από τα βασικότερα θεωρήματα ευστάθειας μη γραμμικών συστημάτων, ενώ επιπλέον αποτελεί τη βάση για την απόδειξη της ευστάθειας των προτεινόμενων ελεγκτών που θα παρουσιαστούν στην παρούσα εργασία..5. Έλεγχος μη γραμμικών συστημάτων Όπως αναλύσαμε στις προηγούμενες παραγράφους, η μελέτη των μη γραμμικών συστημάτων γίνεται με διαφορετική προσέγγιση από ότι στα γραμμικά. Το γεγονός αυτό οδηγεί στην ανάγκη για σχεδίαση κατάλληλων μη γραμμικών νόμων ελέγχου. Τα τελευταία χρόνια γίνεται μεγάλη έρευνα για την ανάπτυξη μη γραμμικών ελεγκτών που βασίζονται σε τεχνικές Lyapunov, παθητικότητας είτε χρησιμοποιούν ενεργειακές μεθόδους. Ωστόσο, οι βασικότερες τεχνικές ελέγχου για μη γραμμικά συστήματα, οι οποίες αποτελούν και τις θεμελιώδεις μεθόδους, βασίζονται στην θεωρία του feedback linearization. Η κεντρική ιδέα του feedback linearization βασίζεται στην αλγεβρική μετατροπή του μη γραμμικού συστήματος σε ένα πλήρως ή μερικώς γραμμικό, ώστε μπορούν να εφαρμοστούν οι κλασσικοί γραμμικοί ελεγκτές. Η τεχνική αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απλοποίηση των δυναμικών μοντέλων για την σχεδίαση σθεναρών ή προσαρμοστικών μη γραμμικών ελεγκτών. Υπάρχουν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις του feedback linearization: η input-state linearization και η input-output linearization. Αρχικά θα παρουσιάσουμε τη θεωρία του input-state linearization. Θεωρούμε το πρόβλημα σχεδίασης της εισόδου ελέγχου u ενός μη γραμμικού συστήματος της μορφής: x& = f( x, u) Το input-state linearization λύνει το πρόβλημα σε δύο βήματα. Πρώτα, αναζητούμε έναν μετασχηματισμό κατάστασης z = w( x) και έναν μετασχηματισμό εισόδου u = g( x, v) ώστε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα να μετατραπεί σε ένα ισοδύναμο γραμμικό χρονικώς αμετάβλητο σύστημα

της μορφής z& = Az+ Bv. Στο δεύτερο βήμα, σχεδιάζουμε έναν γραμμικό νόμο ελέγχου (όπως τοποθέτηση πόλων) για την καινούργια είσοδο v. Πολλές φορές δεν είναι δυνατή η εφαρμογή του input-state linearization επειδή δεν μπορεί να βρεθεί κατάλληλος μετασχηματισμός κατάστασης ή εισόδου. Στις περιπτώσεις αυτές, μπορούμε να καταφύγουμε στην τεχνική input-output linearization. Θεωρούμε, λοιπόν, το παρακάτω σύστημα: x& = f( x, u) y = h( x) (.8) Έστω ότι στόχος είναι η έξοδος yt () να παρακολουθεί μια επιθυμητή τροχιά yd ( t ), όπου οι παράγωγοί της είναι φραγμένες, ενώ ταυτόχρονα όλες οι καταστάσεις επιβάλλεται να είναι φραγμένες. Η δυσκολία έγκειται στο γεγονός ότι η έξοδος y δεν είναι άμεσα συνδεδεμένη με την είσοδο ελέγχου u. Για να άρουμε αυτή τη δυσκολία παραγωγίζουμε την έξοδο y έως ότου εμφανιστεί μια άμεση μαθηματική σχέση εισόδου-εξόδου. Μόλις συμβεί αυτό, εφαρμόζουμε στην είσοδο ένα μετασχηματισμό u = g( x, v) ώστε να διώξουμε όλες τις μη γραμμικότητες και να καταλήξουμε, στις περισσότερες περιπτώσεις σε ένα γραμμικό σύστημα της μορφής: ( r ) y = v (.9) όπου r είναι ο αριθμός των παραγωγίσεων που κάναμε για να δημιουργήσουμε άμεση σχέση εισόδου-εξόδου και v είναι η καινούργια είσοδος. Τώρα, όπως και στην προηγούμενη μέθοδο, εφαρμόζουμε έναν γραμμικό ελεγκτή παρακολούθησης για το σύστημα (.9). Στην περίπτωση του input-output linearization αξίζει να τονίσουμε ότι μετά τη σχεδίαση του ελεγκτή, δεν είμαστε πάντοτε σίγουροι για την ευστάθεια του κλειστού συστήματος. Σε περίπτωση που r< n, όπου n είναι η τάξη του συστήματος, τότε οι n r καταστάσεις είναι μη παρατηρήσιμες κατά το input-output linearization. Ο έλεγχος της ευστάθειας αυτών των καταστάσεων (internal dynamics) ολοκληρώνει την τεχνική αυτή, ενώ σε αντίθετη περίπτωση το σύστημα οδηγείται σε αστάθεια.

3.6. Η ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο Πολλά από τα δυναμικά συστήματα που επιθυμούμε να ελέγξουμε, περιλαμβάνουν αργά μεταβαλλόμενες αβέβαιες παραμέτρους. Για παράδειγμα, οι ρομποτικοί βραχίονες μπορεί να μεταφέρουν μεγάλα αντικείμενα με άγνωστες αρχικές παραμέτρους, ενώ τα συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας είναι πιθανόν να οδηγούν φορτία που παρουσιάζουν μεγάλες και συνεχείς μεταβολές. Οι περιπτώσεις αυτές οδήγησαν στην αναζήτηση ενός διαφορετικού είδους ελέγχου ο οποίος ονομάζεται προσαρμοστικός έλεγχος και μπορεί να οδηγεί κατάλληλα το υπό έλεγχο σύστημα παρά την ύπαρξη αβέβαιων παραμέτρων. Η βασική ιδέα του προσαρμοστικού ελέγχου είναι η on-line εκτίμηση των αβέβαιων παραμέτρων του μοντέλου, βασιζόμενη στις μετρήσεις του συστήματος, και η χρησιμοποίηση των εκτιμούμενων παραμέτρων στο σχεδιασμό της εισόδου ελέγχου. Έτσι, ένα προσαρμοστικό σύστημα ελέγχου μπορεί να θεωρηθεί ένα σύστημα με on-line εκτίμηση παραμέτρων. Καθώς τα προσαρμοστικά συστήματα ελέγχου είναι κατά βάση μη γραμμικά, είτε εφαρμόζονται σε γραμμικά είτε σε μη γραμμικά μοντέλα, η ανάλυση και ο σχεδιασμός τους συνδέεται άμεσα με τη θεωρία των μη γραμμικών συστημάτων και κυρίως τη θεωρία Lyapunov. Υπάρχουν δύο βασικές προσεγγίσεις για τη σχεδίαση ενός προσαρμοστικού ελεγκτή: ο προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς και ο αυτοσυντονιζόμενος ελεγκτής. Ο προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς περιλαμβάνει 4 μέρη: ένα μοντέλο που περιέχει άγνωστες παραμέτρους, ένα μοντέλο αναφοράς που προσδιορίζει την επιθυμητή έξοδο του συστήματος, ένα νόμο ελέγχου με προσαρμοζόμενες παραμέτρους και έναν μηχανισμό προσαρμογής για την on-line ενημέρωση των παραμέτρων αυτών. Το σχηματικό διάγραμμα του προσαρμοστικού ελέγχου με μοντέλο αναφοράς φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

4 Σχήμα.3: Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς Η δεύτερη βασική προσαρμοστική μέθοδος ελέγχου, η οποία καλείται αυτοσυντονιζόμενος έλεγχος, περιλαμβάνει έναν κατάλληλο εκτιμητή ο οποίος εκτιμά τις αβέβαιες παραμέτρους του μοντέλου και προσαρμόζει κατάλληλα τον ελεγκτή. Η βασική ιδέα του αυτοσυντονιζόμενου ελεγκτή είναι η εξής: σε κάθε χρονική στιγμή ο εκτιμητής στέλνει στον ελεγκτή μια ομάδα των εκτιμούμενων παραμέτρων στου συστήματος, οι οποίες προσδιορίζονται με βάσει τις μετρήσεις της εισόδου u και της εξόδου y του αβέβαιου συστήματος. Ο υπολογιστής υπολογίζει τις αντίστοιχες παραμέτρους του ελεγκτή ο οποίος δημιουργεί την είσοδο ελέγχου u η οποία προκαλεί μια νέα έξοδο y του συστήματος και ο κύκλος επαναλαμβάνεται. Το διάγραμμα του αυτοσυντονιζόμενου ελεγκτή φαίνεται στο Σχήμα.4.

5 Σχήμα.4: Αυτοσυντονιζόμενος ελεγκτής Όμως, η μη γραμμική μορφή των συστημάτων οδήγησε στην αναζήτηση νέων προσαρμοστικών μεθόδων οι οποίες βασίζονται στο αρχικό μη γραμμικό σύστημα. Διάφοροι μη γραμμικοί προσαρμοστικοί ελεγκτές έχουν προταθεί κατά καιρούς, οι οποίοι περιλαμβάνουν κατάλληλους εκτιμητές που βασίζονται στην τεχνική Lyapunov. Στην παρούσα εργασία θα παρουσιάσουμε ένα καινούργιο είδος μη γραμμικού προσαρμοστικού ελέγχου ο οποίος δεν θα χρησιμοποιεί εκτιμητές ενώ ταυτόχρονα θα εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια για το προκύπτον σύστημα κλειστού βρόχου. Ένας τέτοιος ελεγκτής θα παρουσιαστεί στο επόμενο κεφάλαιο..7. Σύνοψη κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν οι βασικές αρχές των μη γραμμικών συστημάτων. Τονίστηκε η ανάγκη για μελέτη των ακριβών μοντέλων καθώς και τα βασικά θεωρήματα ευστάθειας κατά Lyapunov για την απόδειξη τοπικής και πλήρης ευστάθειας. Στη συνέχεια αναφέραμε την πιο βασική μέθοδο μη γραμμικού ελέγχου που βασίζεται στην τεχνική του feedback linearization ενώ τέλος, η ύπαρξη αβέβαιων παραμέτρων στο ελεγχόμενο σύστημα οδήγησε στην ανάγκη για σχεδίαση προσαρμοστικών ελεγκτών οι οποίοι μπορεί να περιλαμβάνουν κατάλληλους εκτιμητές για τον προσδιορισμό των παραμέτρων αυτών.

6

7 Κεφάλαιο Προσαρμοστικός έλεγχος μη γραμμικών συστημάτων δεύτερης τάξης.. Εισαγωγή Στη σύγχρονη εποχή, εξαιτίας της σύνθετης και αβέβαιης φύσης των συστημάτων που συναντώνται σε βιομηχανικές εφαρμογές, δεν είναι πάντοτε διαθέσιμα αξιόπιστα μοντέλα για την περιγραφή τους. Κατάλληλοι για την αντιμετώπιση τέτοιων αβεβαιοτήτων είναι οι προσαρμοστικοί ελεγκτές αφού αντιμετωπίζουν τα υψηλά επίπεδα των σφαλμάτων του συστήματος βελτιώνοντας με τον τρόπο αυτό την απόδοσή του. Ωστόσο ένας βασικός περιορισμός των προσαρμοστικών ελεγκτών είναι ότι οι παράμετροι του συστήματος χαρακτηρίζονται από γνωστή δομή (π.χ πολυώνυμα γνωστής τάξης) αλλά η πλήρης μορφή τους παραμένει άγνωστη [4, 6, 7, 8]. Αν η αβεβαιότητα των παραμέτρων του συστήματος είναι μη γραμμική ή αν είναι μη γραμμικώς εξαρτημένη από τις καταστάσεις του, τότε οι προσαρμοστικοί ελεγκτές που βασίζονται σε γραμμικά μοντέλα μπορούν πιθανότατα να μειώσουν την απόδοση του συστήματος, ακόμα και να το οδηγήσουν στην αστάθεια. Στην παρούσα εργασία για ένα μη γραμμικό πολυμεταβλητό δυναμικό σύστημα δεύτερης τάξης με αβεβαιότητα, αναπτύσσουμε έναν μη γραμμικό

8 προσαρμοστικό ελεγκτή που εγγυάται πλήρη ασυμπτωτική ευστάθεια για το προκύπτον σύστημα κλειστού βρόγχου. Αυτό επιτυγχάνεται χωρίς να γνωρίζουμε τις μη γραμμικότητες του συστήματος παρά μόνο έχοντας υποθέσει ότι είναι συνεχείς και κάτω φραγμένες. Έπειτα επεκτείνουμε τα αποτελέσματα σε συστήματα όπου οι μη γραμμικότητες δεν είναι φραγμένες. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα αυτά, καταλήγουμε σε έναν ολοκληρωμένο προσαρμοστικό ελεγκτή ο οποίος εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια σε συστήματα δεύτερης τάξης με πολυωνυμικές μη γραμμικότητες, οι οποίες περιλαμβάνουν άγνωστες παραμέτρους και άγνωστη τάξη. Αξίζει να τονίσουμε ότι ο ελεγκτής αυτός διαφέρει από τους συνήθεις προσαρμοστικούς ελεγκτές που περιλαμβάνουν εκτίμηση παραμέτρων για συστήματα με πολυωνυμικές μη γραμμικότητες. Ο λόγος που διαφέρει είναι ότι ο προτεινόμενος ελεγκτής δεν εξαρτάται από τις παραμέτρους και δεν απαιτεί γνώση της τάξης των μη γραμμικών πολυωνύμων. Ως εκ τούτου, η μεθοδολογία μας είναι βασισμένη στη σχεδίαση ενός απλού ελεγκτή ο οποίος θα ελαχιστοποιεί την πολυπλοκότητα ενός συστήματος που περιλαμβάνει αβεβαιότητα και θα εγγυάται ευστάθεια κατά την εφαρμογή του. Με τον όρο απλό αναφερόμαστε στη μη χρησιμοποίηση εκτιμητών για τις παραμέτρους του συστήματος κατά τη σχεδίαση του προσαρμοστικού αυτού ελεγκτή... Προσαρμοστικός έλεγχος μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων δεύτερης τάξης Στο κεφάλαιο εξετάζουμε το πρόβλημα της ευστάθειας ενός μη γραμμικού δυναμικού συστήματος δεύτερης τάξης με εξωγενής διαταραχές κάτω από την επίδραση ενός μη γραμμικού ελεγκτή. Συγκεκριμένα θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα δεύτερης τάξης Σ με αβεβαιότητα που δίνεται από την παρακάτω μορφή: && & με q() q, Mq() t + Cqt ( ()) qt () + Kqt ( ()) qt () = ut () + Dwt (), & & = q() = q και t (.)

9 όπου n qt (), qt &(), qt &&() R, t, την επιτάχυνση αντίστοιχα, ενώ αντιπροσωπεύουν την θέση, την ταχύτητα και n ut () R, t, είναι η είσοδος του ελέγχου, wt () d n n R είναι γνωστό φραγμένο σήμα, M R n n, C: R R n, n n n n d K : R R, D R Υποθέτουμε ότι, πίνακες, όπου S είναι M > C(), K() S είναι συνεχείς n n F( k, j) F n n n ( k, i) S = F: R R : F( q) = F ( q), qk ( q) = qk ( q), i, j =,..., n k= qi k= qj και τα στοιχείο του και D() i (.) δείχνουν το i στοιχείο του q ενώ το q F () (, ) (). Σε διαφορετική περίπτωση θεωρούμε ότι τα k j δηλώνει το (k,j) F M, C(), K() μπορεί να είναι άγνωστα. Πρέπει να τονίσουμε ότι αν και το θεωρείται γνωστό, το σήμα wt (), t Dw(), t t φραγμένη διαταραχή. Η είσοδος ελέγχου u() είναι μια άγνωστη ανήκει στην τάξη αποδεκτών ελεγκτών που αποτελούνται από μετρήσιμες συναρτήσεις, n ut () R, t. Επιπλέον, για το δυναμικό σύστημα Σ με αβεβαιότητα, υποθέτουμε ότι οι απαραίτητες ιδιότητες για την ύπαρξη και την μοναδικότητα της λύσης ικανοποιούνται, δηλαδή C(), K(), u( t), και w () ικανοποιούν επαρκείς συνθήκες ώστε η (.) να έχει μοναδική λύση καθώς t. των Στην συνέχεια, με x = q, x = q& και x = x, x, η (.) υπό την μορφή καταστατικών εξισώσεων δίνεται ως εξής : x& () t x() t, x() t = & M ( K( x()) t x() t + C( x()) t x() t u() t Dw()) t x () q, t. x() = q & (.3) Για την διατύπωση του παρακάτω θεωρήματος ορίζουμε B [ I ] =,. n n

3 Θεώρημα.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). n Υποθέτουμε ότι υπάρχει ε R τέτοιο ώστε Cx ( ) ε In και K( x ) ε In, q R. n n Έστω, n n d d Q Q R, Y R, Z R και P R είναι θετικά ορισμένα, με p p P p p την σχέση: = και. Τότε ο προσαρμοστικός έλεγχος που δίνεται από p > ut () =Ψ () txt () +Φ () twt () (.4) όπου () n n n d Ψ t R, t και Φ() t R, t με νόμους αναπροσαρμογής: & () t QB ( P In ) x() t x () t Y, Ψ = & () t QB ( P In ) x() t w () t Z, Φ = Ψ () =Ψ, (.5) Φ () =Φ, (.6) n n εγγυάται ότι η λύση ( x( t), Ψ( t), Φ( t)) (, K, D), με K R, του κλειστού συστήματος που δίνεται από τις (.3)-(.6) είναι ευσταθής κατά Lyapunov n και ότι x καθώς t για όλα τα x R. g g Απόδειξη: Έστω α, β R τέτοια ώστε am β q R n, (.7) K( q), M Cq ( ), και k, k R g g τέτοια ώστε k g < a, (.8) k g p (4 p p ( a kg ) < β + p ). (.9) Επίσης έστω K g = [ kgm, kgm] και ορίζουμε Ψ % () t =Ψ() t K g, Φ % () t =Φ () t + D, Cx % ( ) = Cx ( ) kgm και K% ( x) = K( x) kg M τέτοια ώστε το κλειστό σύστημα με είσοδο ut (), t που δίνεται από τις (.3), (.4) γίνεται:

3 x& () t x() t, x() t = M ( K( x()) t x() t + C( x()) t x() t Ψ() t x() t Φ() t w()) t & % % % % x () t x() = q & q,. (.) Για να δείξουμε ευστάθεια Lyapunov για το κλειστό σύστημα (.5), (.6) και (.), θεωρούμε την υποψήφια συνάρτηση Lyapunov x x %, path, path V( x, ΨΦ, ) = x ( P M) x+ p σ K( σ) dσ + p σ C% ( σ) dσ + + trq Ψ% Y Ψ % + trq ΦΖ % Φ% Τ (.) όπου τα όρια των ολοκληρωμάτων στην (.) είναι τέτοια ώστε η n ολοκλήρωση να γίνεται από το μέχρι το x R. Επίσης τα όρια αυτά είναι καλώς ορισμένα αφού τέτοιες ώστε οι f k x C(), K() S και και k f c x f ( x ) = x K% ( x ), f ( x) xc( x) c = % είναι να είναι συμμετρικές και να εκφράζουν τις παραγώγους πραγματικών συναρτήσεων [7]. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό σ = θ x οπού θ [,] παίρνουμε: x = =, path σ K % ( σ) dσ θx K % ( θx ) xdθ [ x K % ( θx ) x ] θdθ n x R (.) Μια αντίστοιχη ανάλυση δείχνει ότι x, path σ C% n ( σ) dσ, x R. (.3) Επίσης σημειώνουμε ότι V(, K, D) = και ορισμένα και V( x, ΨΦ, ) g για όλα τα P, M, Q, Q, Y, Z V( x, ΨΦ, ) > ( x,, ) (, K, D). g είναι θετικά Ψ Φ Αντίστοιχα, η είναι μη φραγμένη συνάρτηση. Θεωρώντας, τώρα, xt (), t λύση του (.) και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (.5)-(.7), καταλήγουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης Lyapunov κατά μήκος των τροχιών του κλειστού συστήματος δίνεται από τη σχέση: ως

3 V& ( x(), t Ψ(), t Φ ()) t = x ()( t P M) x& () t + x ()[ t pk% ( x()) t + pc% ( x())] t x& () t + trq Ψ% () t Y Ψ %& + trq Φ% () t Z Φ% & () t = [ px ( t) + px( t)] Mx( t) + x ()[ t pk% ( x()) t + pc% ( x())] t x() t [ px ( t) + px ( t)][ K% ( x()) t x() t + C% ( x()) t x() t Ψ% () t x() t Φ %() twt ()] + trq Ψ% () ty Ψ %& + trq Φ% () tz Φ &% () t = px () t K% ( x ()) t x () t + px () t Mx () t x ()( t pc% ( x ()) t Τ pm) x() t + trψ% ()[ t x() t x ()( t P In ) B + Y Ψ& () t Q ] Τ + trφ% ()[ t w() t x ()( t P In ) B + Z Φ& () t Q ] = px () t K% ( x ()) t x () t + px () t Mx () t x ()( t p C% ( x ()) t p M) x () t p ( a k ) x() tmx() t + px() tmx() t g ( p ( β k ) p ) x ( t) Mx ( t) g = x ()( t R M) x(), t t, (.4) όπου R p ( a k ) g = p p( β kg ) p p. Τώρα προκύπτει από τις (.8), (.9) ότι R > και αφού M >, η σχέση n n n n d (.4) δηλώνει ότι V& ( x( t), Ψ( t), Φ( t)), ( x( t), Ψ( t), Φ( t)) R R R, t που αποδεικνύει ότι η λύση ( x( t), Ψ( t), Φ( t)) (, K, D) (.) είναι ευσταθής κατά Lyapunov. Επιπλέον, αφού R M >, συνεπάγεται από Θεώρημα του [4] ότι xt () καθώς t για όλα τα x n. g για τις (.5), (.6) και R Παρατήρηση.: Αξίζει να σημειώσουμε ότι στο προηγούμενο θεώρημα αποδεικνύεται ότι xt () καθώς t κι έτσι προκύπτει από τις (.5) και

33 (.6) ότι καθώς t. n n n n d ( xt ( ), Ψ( t), Φ( t)) M= {( x, Ψ, Φ) R R R : x=, Ψ =, Φ = } & & Παρατήρηση.: Είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι τα όρια των n K( q) και Cq ( ), q R, δεν χρειάζεται να είναι γνωστά για να εφαρμόσουμε τον προσαρμοστικό ελεγκτή (.4)-(.6). Το μόνο που χρειάζεται είναι τα K (), C( ) S και K (), C() να είναι συνεχή και κάτω φραγμένα αλλά κατά τα n n άλλα άγνωστα. Επιπλέον, ο M R πρέπει να είναι θετικά ορισμένος αλλά μπορεί να είναι και αυτός άγνωστος. Παρατήρηση.3: Φαίνεται από την απόδειξη του Θεωρήματος. ότι το n θεώρημα αυτό ισχύει και για την περίπτωση όπου qkqq ( ) ε qq, q R. Η συνθήκη αυτή είναι πιο ασθενής από την απαίτηση ότι K( q) ε I, q R Αυτή η παρατήρηση αποτελεί κλειδί για την ανάπτυξη μερικών αποτελεσμάτων που θα συναντήσουμε παρακάτω. Όμως μια παρόμοια με αυτήν παρατήρηση για την C() δεν θα ισχύει γιατί ο απαραίτητος όρος που πρέπει να είναι φραγμένος είναι ο qcqq & ( )& και όχι ο qcqq ( ). n n. Το Θεώρημα. μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση όπου τα K( q) n και Cq ( ), q R είναι κάτω φραγμένα. Στην πράξη όμως, τα K( q) και n Cq, ( ) q R συχνά δεν είναι φραγμένα. Έτσι στην συνέχεια θα δώσουμε ένα πόρισμα του Θεωρήματος. που μας δείχνει τι θα συμβεί στην περίπτωση n που τα K( q ) και Cq ( ), q R είναι μη φραγμένες συναρτήσεις. Πόρισμα.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Υποθέτουμε ότι υπάρχουν γνωστές συναρτήσεις πίνακα K ( ) b q, Cb ( q) S και ένα ε R τέτοιο n ώστε Cx ( ) C( x) ει και K ( x) Kb( x) ειn, x R. Επίσης έστω b n

34 Q Q R Y R Z R P R με n n n n d d,,,, θετικά ορισμένα όπου P p p = p p p >. Τότε ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου που είναι της μορφής: ut () = K( x()) t x() t + C( x()) t x() t + Ψ tx() t +Φ () twt () (.5) b b () n n t R n d όπου Ψ, t και Φ() t R, t με νόμους αναπροσαρμογής (.5) και (.6), εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος n n ( x( t), Ψ( t), Φ( t)) (, K, D), όπου η K R, που δίνεται από τις σχέσεις g (.3), (.5), (.6) και (.5), είναι ευσταθής κατά Lyapunov και καθώς t για όλα τα x R n. g xt () Απόδειξη: Ξαναγράφουμε την (.) σαν Mq&& () t + Cqt ˆ( ()) qt &() + Kqt ˆ ( ()) qt () = ut ˆ() Dwt (), + q() = q, q& () = q& t (.6) Cq ˆ( ) = Cq ( ) C ( ) ( ) b q Kq ˆ ( ) = Kq ( ) Kb ( q ) ˆ = Cb( q) q& Kb q q. όπου, και u u Με τον τρόπο αυτό παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι ένα απευθείας συμπέρασμα του Θεωρήματος (.). Παρατήρηση.4: Σημειώνουμε ότι το Πόρισμα. δίνει έναν προσαρμοστικό ελεγκτή που εγγυάται ευστάθεια για συστήματα με υψηλές μη γραμμικότητες στους συντελεστές απόσβεσης και δυσκαμψίας Cq ( ) και n Kq ( ), q R. Για παράδειγμα, στην ειδική περίπτωση όπου το n=, θεωρούμε ότι τα C() και K () ανήκουν σε ένα σύνολο από μη γραμμικότητες που δίνονται από: { } N = n: R R: n( q) as q. (.7)

35 Μια τέτοια μη γραμμικότητα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα.: Απεικόνιση μη γραμμικότητας n() N Σε αυτήν την περίπτωση, με Cb ( q) = q και Kb( q) = q, το Πόρισμα. μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κατασκευάσουμε σθεναρούς ελεγκτές που εγγυώνται ευστάθεια λαμβάνοντας υπόψη την τάξη της μη γραμμικότητας. Επιπλέον, σε αντίθεση με την θεωρία απόλυτης ευστάθειας, εδώ οι μη γραμμικότητες n() N δεν απαιτείται να είναι φραγμένες ούτε να ικανοποιούν n () =. Στην συνέχεια, γενικεύουμε το Θεώρημα. και το Πόρισμα. στην περίπτωση που τα Cq ( ) ( θc In) Cb( q) και K ( q) ( θk In) Kb( q ) είναι κάτω p pn n φραγμένα και θc, θk R είναι άγνωστες παράμετροι, ενώ C, : R b Kb είναι γνωστές συναρτήσεις.

36 Θεώρημα.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Υποθέτουμε ότι p υπάρχει σταθερό ε R, παράμετροι θ, θ, και συμμετρικές συναρτήσεις c k R n pn πίνακα, : τέτοια ώστε R θ ε και Cb Kb R n Cx ( ) ( c In) Cb( x) In Κ. Επιπλέον, έστω C ( ), K ( ) S, i =,..., p ( x ) ( θ I ) K ( x ) εi, x R n όπου k n b n C bi (), K C ( ) ( ),..., ( ) bi ( ) είναι τέτοια ώστε b x = Cb x Cbp x ( ), ) n n K ( x ) = K x..., K ( x, και ακόμα έστω Q, Q R, b b bp n n R d d Q3, Q p p 4 R, Y, Z R P p p και P R bi bi και θετικά ορισμένα με = p p με p >. Τότε ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου της μορφής: ( ) ( ) ut () = Θ () t I K( x()) t x() t + Θ () t I C( x()) t x() t +Ψ () txt () +Φ () twt ()(.8) όπου k n b c n b p n d Θ (), t Θ () t R, t και Φ() t R, t, με νόμους αναπροσαρμογής (.5), (.6) και k c Θ & () t = Q ( I x ()) t K ( x ()) t B ( P I ) x(), t k 3 p b n Θ & ( t) = Q ( I x ( t)) C ( x ( t)) B ( P I ) x( t), c 4 p b n Θ () =Θ, k k Θ () =Θ, c c (.9)-(.) εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος n n ( ( ), Ψ( ), Φ( ), Θ ( ), Θ ( )) (,,, θ, θ ), με K R, είναι ευσταθής xt t t c t k t Kg D c k κατά Lyapunov και xt () καθώς t για όλα τα g x n R. Απόδειξη: Έστω a, b R τέτοια ώστε am K( q) ( θ I ) K ( q), βm Cq ( ) ( θ I) C( q). k n b c n b και έστω k, k Rτέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις (.8) και (.9). g g Επίσης ορίζουμε Cx % ( ) = Cx ( ) ( θ I) C( x) k M, Kx %( ) = Kx ( ) ( θ I) K( x) k M, c n b g k n b g Θ % k() t =Θk() t θ και () () k Θ % c t =Θc t θ και θεωρούμε την υποψήφια συνάρτηση c Lyapunov

37 x x %, path, path V( x, ΨΦΘ,, k, Θ c) = x ( P M) x+ p σ K( σ) dσ + p σ C% ( σ) dσ + Τ Τ + trq ΨΥ % Ψ % + trq ΦΖ % Φ % + Θ% kq3 Θ % k + Θ% cq4 Θ% c, (.) όπου τα όρια του ολοκληρώματος στην παραπάνω σχέση λαμβάνονται για n οποιαδήποτε διαδρομή ολοκλήρωσης από το μηδέν έως το x R. Στη συνέχεια, η απόδειξή είναι ίδια με αυτήν που πραγματοποιήθηκε για το Θεώρημα.. Παρατήρηση.5: Το Θεώρημα. μας δίνει μια γενίκευση του Πορίσματος. αφού τώρα το Cq ( ) ( θc In) Cb( q) και K ( q) ( θk In) Kb( q ) είναι κάτω φραγμένα αντίθετα με την περίπτωση του πορίσματος όπου τα Cq ( ) Cb ( q) και Kq ( ) Kb( q) ήταν κάτω φραγμένα. Αυτό επιτρέπει την ύπαρξη υψηλότερων μη γραμμικοτήτων για τα C() και K(). Για να γίνει αυτό κατανοητό, ανατρέχουμε στην Παρατήρηση.4 όπου έστω n= και τα C(), K() να ανήκουν σε ένα σύνολο μη γραμμικοτήτων που δίνονται από: { : : lim ( ) q } N = n R R n q exists. (.) Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν θk, θc R τέτοια ώστε Cq ( ) θcq και Kq ( ) θkq να είναι κάτω φραγμένα. Τέλος, να σημειώσουμε επίσης ότι Nc N..3. Πολυωνυμική αβεβαιότητα με άγνωστους συντελεστές και άγνωστη τάξη Σε αυτήν την παράγραφο παρέχουμε ειδικές περιπτώσεις του Πορίσματος. και του Θεωρήματος. που απευθύνονται σε μη γραμμικότητες για τις οποίες πάντοτε υπάρχουν C() και K () που ικανοποιούν τις συνθήκες του Πορίσματος. και του Θεωρήματος.. Τα πρώτα αποτελέσματα αφορούν συστήματα δεύτερης τάξης.

38 Πρόταση.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Υποθέτουμε ότι n= και έστω τα C() και K() είναι άγνωστα πολυώνυμα. Έστω Q, Q R, Y R, Z R, P R n n n n d d είναι θετικά ορισμένα όπου p p P = p p με p >. Τέλος, έστω α, β > και Cb : R R (αντίστοιχα K : R R) να δίνονται από μία από τις παρακάτω συνθήκες : b ) Αν η τάξη Ν του πολυωνύμου Cq ( ) (αντίστοιχα Kq) ( ) είναι γνωστή, N τότε επιλέγουμε C ( q) = aq + N + είναι περιττός, ή C ( q) aq b b N (αντίστοιχα ( )= + Kb q βq ) αν ο Ν N = (αντίστοιχα K ( q ) = βq + ) αν ο N είναι άρτιος. Εάν ο Ν είναι άρτιος και το πρόσημο του πρώτου συντελεστή του πολυωνύμου είναι θετικό τότε επιλέγω C ( ) b q = (αντίστοιχα Kb ( q ) = ). ) Αν η τάξη Ν του πολυωνύμου Cq ( )(αντίστοιχα Kq) ( ) είναι άγνωστη αλλά το πρόσημο σ = sgn a= a/ a, πολυωνύμου είναι γνωστό τότε επιλέγουμε C ( b q ) = α cosh( βq ) + ασsinh( β q) (αντίστοιχα Kb () q = αcosh( βq) + ασsinh( βq) ) αν το N είναι περιττός, ή Cb ( q) = α( σ ) cosh( βq) (αντίστοιχα b του πρώτου συντελεστή α του K ( ) ( )cosh( b q = α σ β q) ) αν το N είναι άρτιος. 3) Αν δεν είναι γνωστά ούτε η τάξη Ν του πολυωνύμου αλλά ούτε και το πρόσημο του σ του πρώτου συντελεστή του πολυωνύμου, τότε επιλέγουμε C ( q) = α cosh( βq) (αντίστοιχα K ( q) = α cosh( βq) ). b Στη περίπτωση αυτή ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου: ut () = K( x()) t x() t + C( x()) t x() t +Ψ () txt () +Φ () twt () (.3) b b όπου () t R d Ψ, t και Φ() t R, t νόμους αναπροσαρμογής (.5) και (.6), εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος ( x( t) t t, ), όπου η K R, που δίνεται από τις σχέσεις, Ψ( ), Φ( )) (, Kg D g (.3), (.5), (.6) και (.3), είναι ευσταθής κατά Lyapunov και καθώς t για όλα τα x R. b xt ()

39 Απόδειξη: Η απόδειξή είναι μια άμεση συνέπεια του Πορίσματος. σημειώνοντας ότι τα C ( b q ) και Kb( q), q R που δίνονται από τις )-3) αποτελούν όρια των Cq ( ) και K ( q), q R, αντιστοίχως, σε καθεμιά από τις 3 περιπτώσεις. Εδώ θα δώσουμε την απόδειξη για το πολυώνυμο με Cq ( ) α = β =. Αντίστοιχα επιχειρήματα ισχύουν και για το πολυώνυμο K( q ) καθώς και στην περίπτωση α, β >. Ειδικότερα, να σημειώσουμε ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο περιττής τάξης με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου τη μονάδα N είναι κάτω φραγμένο. Ως εκ τούτου, για όλα τα q R, το Cq ( ) + q + είναι N κάτω φραγμένο αν το N είναι περιττός και το Cq ( ) + q + είναι κάτω φραγμένο αν το N είναι άρτιος. Επιπλέον, αν το N είναι άρτιος και ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός τότε το Cq ( ), q R είναι κάτω φραγμένο κάτι που αποδεικνύει το αποτέλεσμα της συνθήκης ). Για να αποδείξουμε το αποτέλεσμα της δεύτερης συνθήκης, να σημειώσουμε ότι για όλα τα q R, το Cq ( ) είναι κάτω φραγμένο εάν το N είναι άρτιος και ο πρώτος συντελεστής είναι θετικός, το είναι κάτω φραγμένο εάν το N είναι άρτιος και ο πρώτος συντελεστής είναι q αρνητικός, το Cq ( ) + e είναι κάτω φραγμένο εάν N είναι περιττός και ο πρώτος συντελεστής είναι θετικός και το Cq ( ) Cq+ ( ) cosh( q) + e q είναι κάτω φραγμένο εάν το N είναι περιττός και ο πρώτος συντελεστής είναι αρνητικός. Τέλος, για να αποδείξουμε το αποτέλεσμα της τρίτης συνθήκης πρέπει να σημειωθεί ότι για όλα τα q R, το Cq ( ) + cosh( q) είναι κάτω φραγμένο ανεξαρτήτως του N και του πρόσημου του πρώτου συντελεστή. Παρατήρηση.6: Η Πρόταση. παρέχει έναν καθολικό προσαρμοστικό ελεγκτή χωρίς παραμέτρους για δευτεροβάθμια συστήματα με πολυωνυμικές μη γραμμικότητες των οποίων οι συντελεστές καθώς και ο βαθμός είναι άγνωστοι. Τονίζουμε ότι η (.3) διαφέρει από τους συνήθεις προσαρμοστικούς ελεγκτές που περιλαμβάνουν Ν νόμους αναπροσαρμογής για την εκτίμηση των συντελεστών των αβέβαιων πολυωνύμων. Σε

4 αντίθεση, η (.3) παρέχει έναν προσαρμοστικό ελεγκτή με ελάχιστη πολυπλοκότητα που περιλαμβάνει τις παραμέτρους K ( b x ) και C ( b x ). Μια πολυμεταβλητή γενίκευση της Πρότασης. δεν είναι τόσο εύκολα επιτεύξιμη. Για να γίνει αυτό κατανοητό, έστω Cq ( ) και K( q ) πολυμεταβλητές πολυωνυμικές συναρτήσεις πίνακα με q [ q, q ] =..., n. Έτσι παρόλο που μπορεί να δειχθεί ότι Cq ( ) Cb( q) ε In και Kq ( ) Kb( q) ε In n όπου Cb( q) = Kb( q) = n n cosh( q ) και i i U U R είναι ένας πίνακας με όλα τα = n στοιχεία μονάδα, τα C ( ) b q και K ( q), q R b δεν ανήκουν στο S που δίνεται από την (.). Βέβαια, μια επέκταση της Πρότασης. είναι η περίπτωση όπου τα Cq ( ) και K( q) είναι διαγώνια και αποσυζευγμένα, δηλαδή C( q ) = diag C(,) ( q ), C(,) ( q ),..., C( nn, ) ( q n) και παρόμοια ισχύει για το K( q ). Στην συνέχεια, θεωρούμε μια μερική γενίκευση της Πρότασης. για συστήματα δεύτερης τάξης. Για να δείξουμε αυτό το αποτέλεσμα το παρακάτω λήμμα είναι απαραίτητο. n Λήμμα.: Έστω f : R R συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτησή τέτοια ώστε f( q) καθώς q, f () = και Τότε υπάρχει ε (,] τέτοιο ώστε f ( q) εq q. f q q = =. Απόδειξη: Από την μη φραγμένη συνθήκη προκύπτει ότι υπάρχει n n { } { } F = q R : f( q) q R : q r, r > τέτοιο ώστε: που δηλώνει ότι η F είναι συμπαγής. Έτσι αφού η f () είναι συνεχής προκύπτει ότι υπάρχει ε (,] τέτοιο ώστε f ( q), q F. Τώρα αφού η n f ( q) >, q R \ F συνεπάγεται ότι:

4 n f ( q) ε, q R. (.4) Στην συνέχεια ορίζουμε H ˆ ει > έτσι αφού f () = και n f ( q) ˆ εq q = q ( H ˆ ει ) q+ο ( q), όπου O: R R n f H = f είναι τέτοιο ώστε q q= q q = n υπάρχει δ ˆ ε > τέτοιο ώστε: ( ) ˆ ε,, δ. n f q q q q R q ˆ ε και έστω ˆ ε R τέτοιο ώστε = προκύπτει ότι Oq ( ) q καθώς το q. Επιπλέον Στην συνέχεια προκύπτει από την (.4) ότι: f( q) ε ε n, q R, q > δ ˆ ε. qq qq δ ˆ ε n ε Ως εκ τούτου, f ( q) εq q, q R όπου ε ˆ ε δ = min{, }. ˆ ε Πρόταση.: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Έστω C(), K() είναι συναρτήσεις πίνακα που περιλαμβάνουν άγνωστα πολυώνυμα. Επιπλέον, υποθέτουμε C() είναι τέτοιο ώστε C(, i j) ( q) = C(, i j), i j και C(, i j) ( q) = C(, i j) ( qi) όπου C ( ) (, i j) q i, i =,..., n, είναι άγνωστα πολυώνυμα. Έστω n n n n d d Q, Q R, Y R, Z R και P R είναι θετικά ορισμένα όπου p p P = p p και p >. Τέλος έστω a, i βι >, ι =,..., n και έστω n n n C : R R n n n (αντίστοιχα K : R R ) δίνεται από μία από τις παρακάτω b συνθήκες: b

4 ) Αν η υψηλότερη τάξη N των πολυωνυμικών συναρτήσεων Cq ( ) (αντίστοιχα K( q )) είναι γνωστή, τότε επιλέγουμε M M M M C ( q) = diag[ a q,..., a q ] (αντίστοιχα K ( q) = diag[ a q,..., a n ] ) b n n όπου M είναι η μικρότερη άρτια παράγωγος τέτοια ώστε M > N. ) Αν η υψηλότερη τάξη N των πολυωνυμικών συναρτήσεων Cq(αντίστοιχα ( ) K( q )) είναι άγνωστη, τότε επιλέγουμε C, q ), b( q) = diag[ acosh( β..., a n cosh( β n, qn)] (αντίστοιχα K ( q) = diag[ a cosh( β, q ),..., a cosh( β, q )]). b Τότε ο προσαρμοστικός νομός ελέγχου ανάδρασης b n ut () = K( x()) t x() t + C( x()) t x() t +Ψ () txt () +Φ () txt () (.6) b όπου () n n Ψ t R, t και () n Φ t R d, t με νόμους αναπροσαρμογής (.5) και (.6), εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος n n ( x( t), ( t), ( t)) (, K, ), όπου η K R, που δίνεται από τις σχέσεις Ψ Φ D g g (.3), (.5), (.6) και (.6), είναι ευσταθής κατά Lyapunov και καθώς t για όλα τα x R n. n n b n q xt () Απόδειξη: Η απόδειξή είναι μια άμεση συνέπεια του Πορίσματος. και της Παρατήρησης.3 σημειώνοντας ότι τα C ( ) b q και Kb ( q), q R που δίνονται από τις )-3) ανήκουν στο S και υπάρχει ε R τέτοιο ώστε Cq ( ) Cb( q) ειn και q ( K( q) Kb ( q)) q ε q q, q R, για κάθε μια από τις περιπτώσεις. Η πρώτη ανισότητα είναι άμεση από την Πρόταση. δοθείσας της δομής της C(). Για να δείξουμε την δεύτερη ανισότητα, ορίζουμε f ( q) = f( q) + f( q), όπου ( ) f ( ) q = q K q q και f ( q) = q Kb ( q) q. Ας σημειώσουμε ότι για την συνθήκη ), η f ( ) q είναι μια αρνητικά ορισμένη συνάρτηση για όλα τα n q R και έχει τάξη M +. Επιπλέον, αφού η f ( q) είναι μη φραγμένη και έχει τάξη μεγαλύτερη της f ( ) q, τότε προκύπτει ότι και η f ( q ) είναι μη

43 φραγμένη. Στην συνέχεια, ας σημειώσουμε ότι f( q ) = και f q q = = και το αποτέλεσμα λαμβάνεται από το Λήμμα.. Για να δείξουμε το αποτέλεσμα για την δεύτερη συνθήκη, ας σημειώσουμε ότι η f ( q) είναι μη φραγμένη, n = b = i i i= αφού η f ( q) q K ( q) q a cosh( β, q ) q i i είναι μια υπερβολική και μη φραγμένη συνάρτηση. Για ακόμη μια φορά το αποτέλεσμα είναι μια συνέπεια του Λήμμα.. Παρατήρηση.7: Η Πρόταση. αποτελεί μια μερική γενίκευση της Πρότασης. για πολυμεταβλητά συστήματα δεύτερης τάξης. Είναι σημαντικό εδώ να τονίσουμε ότι το K () είναι μια γενική συνάρτηση πίνακα με άγνωστα πολυωνυμικά στοιχεία ενώ δεν υπάρχει περιορισμός για τη δομή του. Ωστόσο σε αντίθεση με το K(), υποθέτουμε ότι το C() είναι μια συνάρτηση πίνακα με συγκεκριμένη δομή καθώς περιλαμβάνει άγνωστα πολυώνυμα στην κύρια διαγώνιο και άγνωστες σταθερές στα μη διαγώνια στοιχεία. Όπως φαίνεται από την απόδειξη της Πρότασης., ο περιορισμός αυτός εγγυάται την ύπαρξη ενός ε R τέτοιο ώστε Cq ( ) Cb( q) ε In. Πρόταση.3: Θεωρούμε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα (.3) ή ισοδύναμα το μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης (.). Υποθέτουμε ότι n = και έστω C() και K() άγνωστα πολυώνυμα. Έστω d d Q, Q R, Y R, Z R και P R είναι θετικά ορισμένα όπου p p P = p p και p >. Τέλος, έστω ai, βι >, ι =,..., n και έστω C : R R (αντιστοίχως K : R R ) να δίνεται από μία από τις παρακάτω b συνθήκες: b ) Αν η τάξη Ν του πολυωνύμου Cq ( )(αντίστοιχα K( q )) είναι άρτια και N + N+ γνωστή, τότε επιλέγουμε ( ) [, C q = q q ] (αντιστοίχως K ( q) = [ q, q b N + N+ ]). b

44 ) Αν η τάξη Ν του πολυωνύμου Cq ( ) (αντίστοιχα K( q )) είναι άγνωστη, τότε επιλέγουμε β q ). Κ ( q ) = [cosh( βq), sinh( )] b Τότε ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου: k b c b C ( q) = [cosh( aq),sinh( aq)] b (αντίστοιχα u() t =Θ () t K ( x ()) t x () t +Θ () t C ( x ()) t x () t +Ψ () t x() t +Φ () t w() t (.7) όπου Θ t Θ t R t Ψ t R t k(), c(),, (), και Φ d () t R, t c k g c, με νόμους αναπροσαρμογής (.5), (.6), (.9) και (.), εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος ( xt ( ), Ψ( t), Φ( t ), Θ ( t), Θ ( t)) (, K, D, θ, θ ), όπου K g R, (.7) είναι ευσταθής κατά Lyapunov και xt () καθώς t για κάθε x R. που δίνεται από τις σχέσεις (.3), (.5), (.6), (.9), (.) και k Απόδειξη: Το αποτέλεσμα αυτό είναι μια άμεση συνέπεια του Θεωρήματος.. Ειδικότερα, όπως τονίστηκε στην απόδειξη της Πρότασης., αν η τάξη N του πολυωνύμου Cq ( ) (αντίστοιχα K( q )) είναι άρτια και γνωστή, τότε υπάρχουν θc, θc {,, } (αντίστοιχα θk, θk {,, } ) τέτοια ώστε το N+ N+ N+ N+ Cq ( ) θ q θ q (αντίστοιχα K( q) θ q θ q ) να είναι κάτω c c k k φραγμένο. Εναλλακτικά, αν η τάξη N του πολυωνύμου Cq ( )(αντίστοιχα K( q )) είναι άγνωστη, τότε υπάρχουν θc, θc {,,} (αντίστοιχα θk, θk {,,} ) τέτοια ώστε για κάθε a >, το C( q) θc cos(aq ) θcsinh( aq) (αντίστοιχα για κάθε β >, Kq ( ) θkcos( βq) θksinh( βq) ) να είναι κάτω φραγμένο..4. Παραδείγματα εφαρμογής του προσαρμοστικού ελέγχου Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μερικά αριθμητικά παραδείγματα χρησιμοποίησης του προσαρμοστικού νόμου ελέγχου για σταθεροποίηση των παρακάτω συστημάτων.