Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 / ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 16 Ενδεικτικά θέματα μαθηματικών για τις Α, Β και Γ τάξεις του Γενικού Λυκείου Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τα θέματα του παρόντος 1 ου Σημειώματος των Μαθηματικών Συναντήσεων συζητήθηκαν σε επιμορφωτικές συναντήσεις και εργαστήρια διδακτικής μαθηματικών του σχολικού Δ. Ντρίζου με μαθηματικούς λυκείων των Τρικάλων και της Καρδίτσας, κατά το σχολικό έτος 15-16. Βασικές ιδιότητες πραγματικών συναρτήσεων Θέμα 1ο(1ηεκδοχή) Έστω οι συναρτήσεις f( x) = x x + 5x+ και g( x) x α) Να αποδείξετε ότι: f( x) = g( x 1) + 5 ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x R ισχύει g( x) g( x) + = + x, x R =, και ότι η g είναι συνάρτηση 1 1 γ) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ακαι ισχύουν: α α + 5α+ 1= και + 5 19=, να υπολογίσετε το άθροισμα α+ δ) Να αποδείξετε ότι: i) α< x α f x = ii) υπάρχει μοναδικός αριθμός ( ) τέτοιος, ώστε ( ), Λύση Τα ερωτήματα α) και ) διεκπεραιώνονται με απλές διαδικασίες αντικατάστασης και εφαρμογής κριτηρίου που εξασφαλίζει την ιδιότητα του 1-1 σε μια συνάρτηση. γ) Από τις υποθέσεις του ερωτήματος γ) και καθώς η g είναι περιττή, διαδοχικά έ- χουμε:
( ) ( ) g( 1 α) = 16 g( 1) = 16 Επομένως g( 1 α) g( 1) ( ) ( ) α α 5α 1 α α 5α 11 + + = + + + = f( α) = 11 + 5 19= 5 1 f( ) = 1 + + = f α 5= 11 5 g( a 1) = 16 g( 1 α) = 16 f 5= 1 5 g( 1) = 16 g( 1) = 16 οπότε α+ = = και επειδή η g είναι 1 1 παίρνουμε 1 α= 1, δ.ii) Πρόκειται περί απλής εφαρμογής του θεωρήματος του Bolzano. Θέμα 1ο(ηεκδοχή) Έστω οι συναρτήσεις f( x) = x x + 5x+ και g( x) x α) Να αποδείξετε ότι f( x) = g( x 1) + 5 ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x R ισχύει ( ) ( ) g x + g x = + x, x R =, και ότι η g είναι συνάρτηση 1 1 γ) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ακαι ισχύουν: α α + 4α+ 14= και + 4 18=, να υπολογίσετε το άθροισμα α+ δ) Να αποδείξετε α f x = x έχει μία ακριώς < και, στη συνέχεια, ότι η εξίσωση ( ) ρίζα, η οποία, στον άξονα των πραγματικών αριθμών, απεικονίζεται μεταξύ των ακαι. Λύση Τα ερωτήματα α) και ) διεκπεραιώνονται με απλές διαδικασίες αντικατάστασης και εφαρμογής κριτηρίου που εξασφαλίζει την ιδιότητα του 1-1 σε μια συνάρτηση. γ) Από τις υποθέσεις του ερωτήματος γ) και καθώς η g είναι περιττή, διαδοχικά έ- χουμε: α α 4α 14 ( α α 5α ) α 1 + + = + + + = f( α) α= 1 + 4 18= ( 5 ) f( ) = + + = g( α 1) + 5 α= 1 g( α 1) α= 17 g( 1 α) α= 17 g( 1) + 5 = g( 1) = 15 g( 1) = 15 g( 1 α) + α= 17 g( 1 α) ( 1 α) = 16 g( 1) = 15 g( 1) ( 1) = 16 g 1 α 1 α = g 1 1 :(1) Επομένως ( ) ( ) ( ) ( ) Θεωρώντας τη συνάρτηση ( ) ( ) h x g x x x x = = +, x R,
η σχέση (1) γράφεται h( 1 α) = h( 1) (απόδειξη απλή) θα είναι και 1 1, οπότε από την h( 1 α) = h( 1) 1 α= 1, δηλαδή α+ = και επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα δ) Πρόκειται περί απλής εφαρμογής του θεωρήματος του Bolzano. παίρνουμε Θέμα 1ο(ηεκδοχή) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ακαι ισχύουν: α α + 5α+ 1= και + 5 19=, να υπολογίσετε το άθροισμα α+ Λύση Με πρόσθεση κατά μέλη των ισοτήτων της υπόθεσης και, στη συνέχεια, εφαρμόζοντας ασικές αξιοσημείωτες ταυτότητες, διαδοχικά παίρνουμε: α + α + + 5 α+ 6= ( ) ( ) ( ) ( α ) α( α ) ( α ) α ( α ) + + + + 6 + 5 + 6= Η τελευταία με α+ = x, παίρνει τη μορφή πολυωνυμικής εξίσωσης ου αθμού με άγνωστο τον x : x x + 5 α x+ 6α 6=, μία ρίζα της οποίας ρίσκουμε ότι είναι η x=, ( ) οπότε και γράφεται: x x x+ α = :(1) ( )( ) Το τριώνυμο x x+ α έχει διακρίνουσα Δ= 4α 11 η οποία είναι αρνητική, αφού από τις υποθέσεις προκύπτει ότια< και >. α α + 5α+ 1= α α α+ 5 = 1<. Επομένως α<, Πράγματι, ( ) καθώς α α+ 5> ως τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα και θετικό συντελεστή του δευτεροάθμιου όρου. Όμοια έχουμε ( ) + 5 19= + 5 = 19>. Επομένως >, καθώς + 5> ως τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα και θετικό συντελεστή του δευτεροάθμιου όρου. Τελικά, η εξίσωση (1) έχει μοναδική ρίζα την x=, άρα α+ =. [ Η λύση αυτή, της τρίτης εκδοχής, δόθηκε από τον συνάδελφο μαθηματικό Γ. Ρίζο] Θέμα (1ηεκδοχή) Μία συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο R. Υπάρχει περίπτωση η γραφική της παράσταση να μην τέμνει τον φορέα της διχοτόμου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων; Να αποδείξετε την εικασία σας.
Θέμα (ηεκδοχή) Μία συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R. Υπάρχει περίπτωση η γραφική της παράσταση να μην τέμνει τον φορέα της διχοτόμου της δεύτερης ορθής γωνίας των αξόνων; Να αποδείξετε την εικασία σας. Η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Θέμα 1 Σε έναν άξονα xx να θεωρήσετε τα σημεία A ( ) και B ( 5). α) Να ρείτε, αν υπάρχουν, και πόσα, σημεία M( x ) πάνω στον xx τέτοια, ώστε: i) MA+ MB= ii) MA+ MB= 1 iii) MA+ MB= 4 ) Χρησιμοποιώντας το σύμολο της απόλυτης τιμής ν α γράψετε τις γεωμετρικές ισότητες i), ii) και iii) ως εξισώσεις με άγνωστο τον x και, στη συνέχεια, να ρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών. Θέμα Σε έναν άξονα xx να πάρετε δύο οποιαδήποτε σημεία Α( α ) και ( ) Β, και έπειτα να προσδιορίσετε γεωμετρικά τα σημεία του άξονα στα οποία αντιστοιχούν οι αριθμοί α, α, και α+. Τετραγωνική ρίζα και απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Θέμα 1 Έστω η εξίσωση x 1x+ 6 x + 4x+ 4=, x R, (1) α) Να λύσετε την εξίσωση (1). Μ x, y καρτεσιανού επιπέδου Oxy που ) Να προσδιορίσετε γεωμετρικά τα σημεία ( ) επαληθεύουν την (1). Θέμα Για τις διαστάσεις α και ενός ορθογωνίου παραλληλογράμου είναι: α= 5 6 και = 5+ 6 Να αποδείξετε ότι το εμαδόν αυτού του ορθογωνίου παραλληλογράμου ισούται με 1 και, στη συνέχεια, ότι η περίμετρός του δεν υπεραίνει τις 7 μονάδες. [Δ. Ντρίζος, "Μαθηματικές Συναντήσεις" / Σημείωμα 6, Απρίλιος Μάϊος 14]
Θέμα Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους μήκη κ και λ. Να αποδείξετε ότι μ και κάθετες πλευρές με 4 4 μ κ + μλ + λ + μκ = [Δ. Ντρίζος, Ευκλείδης Β (1997), τεύχη 4 και 5] 1η Ενδεικτική ενότητα θεμάτων Ευκλείδειας Γεωμετρίας 1.1 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ= ΑΓ, θεωρούμε τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ τα οποία τέμνονται στο Ζ. Να εξετάσετε αν ισχύει ΖΔ= ΖΕ. 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ τα οποία τέμνονται στο Ζ. Αν ισχύει ΖΔ= ΖΕ, να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ= ΑΓ. 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ= ΑΓ, θεωρούμε τις διχοτόμους του ΒΔ και ΓΕ οι οποίες τέμνονται στο Ζ. Να εξετάσετε αν ισχύει ΖΔ= ΖΕ. 1.4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τις διχοτόμους του ΒΔ και ΓΕ οι οποίες τέμνονται στο Ζ. Αν ισχύει ΖΔ= ΖΕ, να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ= ΑΓ. 1.5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ, με Α= 6, θεωρούμε τις διχοτόμους του ΒΔ και ΓΕ οι οποίες τέμνονται στο Ζ. Να εξετάσετε αν ισχύει ΖΔ= ΖΕ. η Ενδεικτική ενότητα θεμάτων Ευκλείδειας Γεωμετρίας.1 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ που κινείται στην υποτείνουσα ΒΓ. Από το Μ φέρνουμε τα κάθετα τμήματα ΜΚκαι ΜΛ προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ, ώστε το μήκος το τμήματος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο.. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ. Από το Μ φέρνουμε τα κάθετα τμήματα ΜΚκαι ΜΛ προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ, ώστε το μήκος το τμήματος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο.. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ που κινείται στην πλευρά. ΒΓ Φέρνουμε τα τμήματα ΜΚκαι ΜΛ, όπου Κ σημείο της πλευράς ΑΒ και Λ σημείο της πλευράς
ΑΓ τέτοια, ώστε ΒΚΜ = ΜΛΓ = ω, όπου ω γωνία με το ίδιο σταθερό μέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ. Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ, ώστε το μήκος το τμήματος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο. Σχόλιο Η παραπάνω η ενότητα θεμάτων Ευκλείδειας Γεωμετρίας αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προλήματος με διαδοχικές μεταολές των υποθέσεων, διατηρώντας το ίδιο ζητούμενο και θα μπορούσε υπό κατάλληλες έαια προϋποθέσεις να θεωρηθεί ενδεικτική μιας πρότασης που στοχεύει να αναδείξει τα μαθηματικά και τη διδασκαλία τους σε προνομιακό πεδίο άσκησης αναλυτικής και συνθετικής σκέψης. Και ένα παράδειγμα με «άρωμα» κύκλου Θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο Κ( α,), α R, και ακτίνα ρ>. Αν f είναι μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση με f( α ρ) = f( α ρ) + = και η γραφική της παράσταση έχει με τον κύκλο τουλάχιστον ένα ακόμη κοινό σημείο, να ξ, ξ α ρ, α+ ρ τέτοια, ώστε οι εφαπτόμενες της αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 ( ) γραφικής παράστασης της f στα σημεία της ( ξ1, f( ξ1) ) και (, ( ) ) ξ f ξ να είναι κάθετες. Σχόλιο Πριν από την επίλυση του παραπάνω θέματος στο πλαίσιο της Ανάλυσης, σάς προτείνουμε να επινοήσετε μια γεωμετρική αναπαράστασή του διαμέσου της οποίας φαίνεται η λύση του θέματος χωρίς λόγια!