ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος (π.χ. κατακευή κτιρίων, φραγµάτων ή η µείωη των ήδη επιβεβληµένων φορτίων (π.χ. εκκαφές. Τα φορτία αυτά αναλαµβάνονται από τις εδαφικές µάζες µε την ανάπτυξη εωτερικών τάεων κατά τρόπον ώτε να ικανοποιούνται οι υνθήκες ιορροπίας ε όλα τα εδαφικά τοιχεία και υνεπώς το ύτηµα κατακευή-έδαφος να ιορροπεί. Η εκτίµηη των τάεων που αναπτύονται το έδαφος λόγω των εξωτερικώς επιβεβληµένων φορτίων είναι χρήιµη για τους εξής λόγους:. Οι ανοχές των κατακευών ε υποχωρήεις των ηµείων τήριξης είναι περιοριµένες. Για την εκτίµηη των υποχωρήεων είναι απαραίτητη η γνώη των παραµορφώεων που προκαλούν το έδαφος τα επιβεβληµένα φορτία. Οι παραµορφώεις, όµως, εξαρτώνται από τις αναπτυόµενες τάεις, γεγονός που καθιτά αναγκαία την εκτίµηη των τάεων.. Ολα τα υλικά ατοχούν (θραύονται, εάν η φόρτιη υπερβεί το όριο αντοχής τους. Το όριο αντοχής κάθε υλικού δεν είναι ταθερό αλλά εξαρτάται από τις υπόλοιπες τάεις, δηλαδή αντιτοιχεί ε οριµένους κρίιµους υνδυαµούς τάεων, τα λεγόµενα κριτήρια ατοχίας. Η γνώη των τάεων που αναπτύονται το έδαφος είναι, λοιπόν, απαραίτητη για να εκτιµηθεί κατά πόον η υφιτάµενη εντατική κατάταη του εδάφους προεγγίζει την κατάταη ατοχίας. Λόγω της υπερτατικότητας των εδαφικών χηµατιµών, ο υπολογιµός των τάεων που αναπτύονται το έδαφος υνήθως δεν είναι εφικτός µόνο µε τη θεώρηη της τατικής ιορροπίας του εδάφους (δηλαδή των τερεοτατικών εξιώεων ιορροπίας. Μία περίπτωη την οποία ο υπολογιµός οριµένων υνιτωών των τάεων είναι εφικτός µόνο µε θεώρηη της τατικής ιορροπίας είναι η µονοδιάτατη υµπίεη (γεωτατικές τάεις που µελετήθηκε ε προηγούµενο Κεφάλαιο. Στις περιότερες όµως περιπτώεις οι τρεις εξιώεις ιορροπίας δεν αρκούν για τον υπολογιµό των έξι υνιτωών των τάεων, αλλά πρέπει να χρηιµοποιηθούν οι χέεις τάεων-παραµορφώεων (δηλαδή ο κατατατικός νόµος υµπεριφοράς του υλικού και οι χέεις παραµορφώεων- µετατοπίεων ώτε οι τρεις εξιώεις ιορροπίας, εκφραµένες πλέον ως προς τις τρεις υνιτώες των µετατοπίεων, να µπορούν να επιλυθούν. Από τα παραπάνω καθίταται αφής η χρηιµότητα των χέεων τάεων-παραµορφώεων που µελετήθηκαν το Κεφάλαιο 6. Παρά την απλότητα όµως του προηγούµενου κεπτικού το πρόβληµα είναι ύνθετο, επειδή οι χέεις τάεων-παραµορφώεων του εδάφους είναι µή-γραµµικές και κυρίως επειδή µέχρι ήµερα δεν έχει επιτευχθεί η γενική αποδοχή κάποιας αναλυτικής έκφραής τους. Κατά υνέπεια, πρέπει να γίνουν απλοποιητικές παραδοχές όον αφορά τη µορφή των χέεων τάεωνπαραµορφώεων, η απλούτερη από τις οποίες είναι η παραδοχή γραµµικής και

Σελίδα Κεφάλαιο 8 ιότροπης υµπεριφοράς του εδάφους. Στο Κεφάλαιο 6 αναφέρθηκαν οι λόγοι για τους οποίους οι τάεις που υπολογίζονται µε θεώρηη ιότροπης γραµµικής υµπεριφοράς του εδάφους ε πολλές περιπτώεις δεν απέχουν ηµαντικά από τις πραγµατικές, παρόλο που η υµπεριφορά του εδάφους είναι έντονα µή-γραµµική. Στο Κεφάλαιο αυτό θα υπολογιθούν οι κατανοµές των εδαφικών τάεων για υνήθεις περιπτώεις εξωτερικών φορτίεων µε την παραδοχή ιότροπης γραµµικής ελατικότητας. Ειδικότερα, θα εξεταθούν οι εξής περιπτώεις φόρτιης:. Συγκεντρωµένο (ηµειακό κατακόρυφο φορτίο την επιφάνεια οµοιογενούς ηµιχώρου. Η περίπτωη αυτή έχrι εφαρµογές τις θεµελιώεις µε µεµονωµένα πέδιλα µικρών διατάεων ως προς το πάχος της υµπιετής εδαφικής τρώης.. Οµοιόµορφη κατακόρυφη πίεη κατανεµηµένη την επιφάνεια κύκλου επί οµοιογενούς ηµιχώρου. Η περίπτωη αυτή έχει εφαρµογές ε εύκαµπτα θεµέλια κυκλικής κάτοψης όπως κυκλικά πέδιλα, δεξαµενές αποθήκευης υγρών, γενικές κοιτοτρώεις κυκλικής επιφάνειας κλπ.. Οµοιόµορφη κατακόρυφη πίεη την επιφάνεια ορθογωνίου επί οµοιογενούς ηµιχώρου. Η περίπτωη αυτή έχει εφαρµογές ε εύκαµπτα θεµέλια ορθογωνικής κάτοψης όπως ορθογωνικά πέδιλα, γενικές κοιτοτρώεις ορθογωνικής επιφάνειας κλπ. 4. Οµοιόµορφη κατακόρυφη φόρτιη κατανεµηµένη ε απειροµήκη γραµµή την επιφάνεια οµοιογενούς ηµιχώρου. Η περίπτωη αυτή έχει εφαρµογές ε επιµήκη θεµέλια µικρού πλάτους όπως θεµέλια τοίχων, κάτω διαβάεων οδών κλπ. 5. Οµοιόµορφη κατακόρυφη πίεη κατανεµηµένη ε απειροµήκη λωρίδα (πεπεραµένου πλάτους την επιφάνεια οµοιογενούς ηµιχώρου. Η περίπτωη αυτή έχει εφαρµογές ε επιµήκη θεµέλια µε ηµαντικό πλάτος ως προς το πάχος της υµπιετής τρώης. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώεις θα δοθούν οι αναλυτικές χέεις που υνδέουν τις υνιτώες των τάεων µε την ένταη του εξωτερικώς επιβεβληµένου φορτίου και τη γεωµετρία, δηλαδή τις διατάεις του φορτίου και τις υντεταγµένες της θέης του ηµείου το οποίο υπολογίζονται οι τάεις. Οι υπολογιζόµενες τάεις είναι, προφανώς, οι πρόθετες τάεις λόγω του εξωτερικώς επιβεβληµένου φορτίου και τα πρόηµά τους ακολουθούν την τανυτική ήµανη της Εδαφοµηχανικής. Επιπλέον:. Αν η φόρτιη του εδάφους γίνεται υπό πλήρως τραγγιζόµενες υνθήκες, τότε οι ελατικές ταθερές E, ν, που υπειέρχονται τους τύπους, είναι οι ιδιότητες του εδαφικού κελετού και οι υπολογιζόµενες τάεις είναι οι πρόθετες ενεργές αλλά και ολικές τάεις, επειδή ij = ij.. Αν η φόρτιη θεωρηθεί ότι υµβαίνει υπό ατράγγιτες υνθήκες, τότε οι υπολογιζόµενες τάεις είναι οι πρόθετες ολικές τάεις, ενώ, όπου αναφέρεται το µέτρο ελατικότητας E, θα θεωρείται το µέτρο ελατικότητας υπό ατράγγιτες υνθήκες (βλέπε εδάφιο 6.: E Eu = ( +ν και, όπου αναφέρεται ο λόγος του Poisson ν, θα θεωρείται η τιµή του υπό ατράγγιτες υνθήκες: ν u = 0.50. Οι µεταβολές των ενεργών τάεων µπορούν να υπολογιθούν τη υνέχεια από τις χέεις: ij = ij u δ ij, όπου η αναπτυόµενη υπερπίεη πόρων δίνεται από τη χέη: u = ( xx + +

Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα. Οι επιλύεις κατανοµών τάεων που ακολουθούν δεν ιχύουν για ενδιάµεες περιπτώεις µερικής τράγγιης. Στις περιπτώεις αυτές θα πρέπει το pρόβληµα να επιλυθεί αν πρόβληµα τερεοποίηης, δηλαδή να ληφθούν υπόψη επακριβώς οι υνθήκες τράγγιης και ο χρόνος. Τέλος, θα πρέπει να αναφερθεί ότι τα επόµενα εδάφια δίνονται κατ' ευθείαν τα αποτελέµατα των κατανοµών τάεων χωρίς να περιγράφεται η µέθοδος που χρηιµοποιήθηκε για την επίλυη. Ο ενδιαφερόµενος αναγνώτης παραπέµπεται ε άλλα εξειδικευµένα βιβλία. 8. Ορθή ύναµη επί Ελατικού Ηµιχώρου Το Σχήµα 8. παρουιάζει την περίπτωη επιβολής κατακόρυφου υγκεντρωµένου φορτίου P την επιφάνεια ελατικού ιότροπου ηµιχώρου και ορίζει τα απαραίτητα γεωµετρικά µεγέθη. Το πρόβληµα αυτό επιλύθηκε από τον Boussinesq το 890 και ονοµάζεται πρόβληµα του Boussinesq. Επειδή η φόρτιη και η γεωµετρία είναι αξονουµµετρικές, οι τάεις που ορίζονται ε κυλινδρικές υντεταγµένες είναι ανεξάρτητες της γωνίας θ. Κατά υνέπεια, η υνιτώα της µετακίνηης κατά την περιφέρεια (uθ είναι µηδενική, όπως και τα ακόλουθα µεγέθη: γ r θ = γ θz = rθ = θz = 0 Οι κατανοµές των τάεων δίνονται από τις χέεις: P z = 5 π R P r z ( ν R rr = πr R R + z ( ν P z R θθ = πr R R z + P rz rz = 5 π R όπου R = r + z. Οι µετακινήεις δίνονται από τις χέεις: P( + ν rz ( ν r urr = π ER R R + z P( + ν z u = ( ν + π ER R Σχ. 8.: Συγκεντρωµένο κατακόρυφο φορτίο

Σελίδα 4 Κεφάλαιο 8 Από τις παραπάνω κατανοµές τάεων υµπεραίνονται τα εξής:. Η κατακόρυφη τάη είναι ανεξάρτητη των ελατικών ταθερών E, ν, ενώ οι υπόλοιπες ορθές τάεις εξαρτώνται µόνον από το λόγο του Poisson. Αντίθετα, οι µετακινήεις και, υνεπώς, οι παραµορφώεις είναι αντιτρόφως ανάλογες του µέτρου ελατικότητας.. Η κατακόρυφη τάη (η οποία κυρίως µας ενδιαφέρει, επειδή ' αυτήν οφείλεται το ύνολο χεδόν της υποχώρηης του εδάφους µειώνεται µε ρυθµό αντιτρόφως ανάλογο του τετραγώνου του βάθους ( z. 8. Ορθή Πίεη ε Κυκλική Επιφάνεια Το Σχήµα 8. παρουιάζει την περίπτωη επιβολής κατακόρυφης πίεης p, κυκλικής κάτοψης µε ακτίνα R την επιφάνεια ελατικού ιότροπου ηµιχώρου και ορίζει τα απαραίτητα γεωµετρικά µεγέθη. Και την περίπτωη αυτή η κατάταη είναι αξονουµµετρική και ιχύει: u θθ = γ rθ = γ θz = rθ = θz = 0 Το πρόβληµα δεν έχει λύη µε κλειτή αναλυτική µορφή, αλλά η αριθµητική επίλυή του καταλήγει τις αδιάτατες κατανοµές της πρόθετης κατακόρυφης Σχ. 8.: Φόρτιη ε κυκλική επιφάνεια Σχ. 8.: Κατανοµή τάεων κάτω από κυκλικό θεµέλιο

Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα 5 τάης (, που φαίνονται το Σχήµα 8.. Η κατανοµή της κατά µήκος του άξονα z (δηλαδή για r = 0 δίνεται από τη χέη: R = p + z δηλαδή και πάλι η κατακόρυφη υνιτώα της τάης φθίνει ραγδαία µε το βάθος. Τέλος, και την περίπτωη αυτή η κατακόρυφη τάη είναι ανεξάρτητη των ελατικών ταθερών του υλικού. Σχ. 8.4: Τάεις κάτω από τη γωνία ορθογωνικού φορτίου 8.4 Ορθή Πίεη ε Ορθογωνική Επιφάνεια Το Σχήµα 8.4 παρουιάζει την περίπτωη επιβολής κατακόρυφης πίεης p, ορθογωνικής κάτοψης την επιφάνεια ελατικού ιότροπου ηµιχώρου και ορίζει τα απαραίτητα γεωµετρικά µεγέθη. Το πρόβληµα δεν έχει λύη µε κλειτή αναλυτική µορφή, αλλά η αριθµητική επίλυή του καταλήγει τις κατανοµές του λόγου p κάτω από τη γωνία του ορθογωνικού φορτίου ως προς τις αδιάτατες υντεταγµένες

Σελίδα 6 Κεφάλαιο 8 m = x z, n = y z (όπου x, y οι διατάεις του ορθογωνίου, που επίης φαίνονται το Σχήµα 8.4. Θα πρέπει να ηµειωθεί ότι η τάη ε οποιαδήποτε θέη του ηµιχώρου µπορεί να υπολογιθεί µε την επαλληλία τεάρων φορτίεων ορθογωνικής κάτοψης, τις οποίες το ηµείο (Μ κάτω από το Σχ. 8.5: Τάεις κάτω από τυχόν ηµείο Μ οποίο ζητούνται οι τάεις να βρίκεται κάτω από τη γωνία και των τεάρων φορτίεων (Σχήµα 8.5. 8.5 Ορθή Φόρτιη ε Απειροµήκη Γραµµή Κατά την επιβολή κατακόρυφης φόρτιης q (kn/m ε απειροµήκη γραµµή κατά µήκος του άξονα x την επιφάνεια ελατικού ηµιχώρου, λόγω του µεγάλου µήκους και της οµοιοµορφίας της φόρτιης και του εδάφους, ιχύουν οι παραδοχές της επίπεδης παραµόρφωης (κατά τον άξονα x. Έτι: u ε = = = 0 xx = xx xz xy ( xx = ν + και οι υπόλοιπες τάεις δίνονται από τις χέεις ( z είναι ο κατακόρυφος άξονας: q y z = π ( y + z q z = π ( y + z q yz yz = π ( y + z Από τις ανωτέρω χέεις φαίνεται ότι όλες οι υνιτώες των τάεων (µε εξαίρεη την xx είναι ανεξάρτητες των ελατικών ταθερών του υλικού. Επιπλέον, η κατακόρυφη τάη µειώνεται µε το βάθος όπως η z, ενώ την περίπτωη του υγκεντρωµένου φορτίου (εδάφιο 8. όπως η z, δηλαδή η αποµείωη της κατακόρυφης τάης µε το βάθος είναι εντονότερη την περίπτωη του υγκεντρωµένου φορτίου παρά την περίπτωη της απειροµήκους γραµµής. 8.6 Ορθή Πίεη ε Απειροµήκη Λωρίδα Το Σχήµα 8.6 παρουιάζει την περίπτωη επιβολής κατακόρυφης πίεης p ε απειροµήκη λωρίδα πλάτους b κατά µήκος του άξονα x, την επιφάνεια ελατικού ηµιχώρου και ορίζει τα απαραίτητα γεωµετρικά µεγέθη. Και την περίπτωη αυτή ιχύουν οι παραδοχές της επίπεδης παραµόρφωης (κατά τον άξονα x, οπότε:

Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα 7 Σχ. 8.6: Φόρτιη απειροµήκους λωρίδας uxx = ε xx = xz = xy = 0 xx = ν ( + ενώ οι υπόλοιπες τάεις δίνονται από τις χέεις: α = p + sinα cos( α + β π π α = p sinα cos( α + β π π p yz = sinα sin( α + β π Και την περίπτωη αυτή οι τάεις µειώνονται µε το βάθος. Ειδικότερα, η µειώνεται µε βραδύτερο ρυθµό απ' ότι την περίπτωη πίεης κατανεµηµένης την επιφάνεια κύκλου (εδάφιο 8.. Έτι, την περίπτωη φόρτιης λωρίδας η µειώνεται το 0% της µέγιτης τιµής της (δηλαδή p = 0.0 ε βάθος z b κάτω από το µέον της λωρίδας, ενώ την περίπτωη φόρτιης κυκλικής επιφάνειας η µειώνεται το ίδιο ποοτό ε βάθος z 4R. 8.7 Γενικά Συµπεράµατα Όπως έχει ήδη αναφερθεί, όλες χεδόν οι κατανοµές των τάεων που υπολογίθηκαν τα προηγούµενα εδάφια µε χρήη της θεωρίας Ελατικότητας δεν είναι "ευαίθητες" τις µεταβολές των ελατικών ταθερών ( E, ν του εδάφους. Κατά υνέπεια, το πιθανό φάλµα την εκτίµηη των υποχωρήεων λόγω µή-γραµµικής υµπεριφοράς του εδάφους είναι µικρό. Το φάλµα αυτό µπορεί να µειωθεί ακόµη περιότερο, αν οι υποχωρήεις δεν εκτιµηθούν µε χρήη της θεωρίας Ελατικότητας αλλά µε την ακόλουθη µέθοδο των ταικών διαδροµών:

Σελίδα 8 Κεφάλαιο 8. Σε διάφορες θέεις κάτω από τον άξονα (ή το κέντρο του επιβαλλόµενου φορτίου υπολογίζονται οι αρχικές (γεωτατικές τάεις καθώς και οι πρόθετες τάεις λόγω του φορτίου (µε εφαρµογή των προηγούµενων χέεων.. Από τις ίδιες θέεις λαµβάνονται εδαφικά δείγµατα, κατά tο δυνατόν "αδιατάρακτα", τα οποία επιβάλλονται το εργατήριο µε κατάλληλη διαδικαία οι αρχικές τάεις και, τη υνέχεια, οι πρόθετες τάεις και µετρούνται οι αντίτοιχες παραµορφώεις των δειγµάτων.. Η υποχώρηη του εδάφους υπολογίζεται τη υνέχεια από τη χέη: ρ = ε i i όπου εi είναι η παραµόρφωη κάθε δείγµατος την κατακόρυφη διεύθυνη κατά την επιβολή των πρόθετων τάεων και H i το πάχος της εδαφικής τρώης που αντιπροωπεύεται από κάθε εδαφικό δείγµα. Τέλος, θα πρέπει να αναφερθεί ότι το πεδίο εφαρµογής των προηγούµενων κατανοµών τάεων είναι ευρύτερο από ότι ίως έχει γίνει αντιληπτό, λόγω της γνωτής αρχής του Saint Venant, κατά την οποία οι αναπτυόµενες τάεις "µακριά" από τη θέη επιβολής του εξωτερικού φορτίου δεν εξαρτώνται από τις λεπτοµέρειες του τρόπου επιβολής του φορτίου (δηλαδή αν είναι υγκεντρωµένο, κατανεµηµένο ε κυκλική επιφάνεια, κατανεµηµένο ε ορθογωνική επιφάνεια κλπ αλλά µόνον από τη υνιταµένη τιµή του. Έτι, π.χ. την περίπτωη φόρτιης από κατανεµηµένη πίεη ε τριγωνική επιφάνεια, οι αναπτυόµενες τάεις µακριά από την περιοχή επιβολής του φορτίου µπορούν να υπολογιθούν από τις εξιώεις που δόθηκαν για την περίπτωη φόρτιης από πίεη κατανεµηµένη ε κυκλική επιφάνεια (ή ακόµη και για υγκεντρωµένο φορτίο µε την ίδια υνιταµένη ένταη. Ο όρος "µακριά" που χρηιµοποιήθηκε προηγουµένως, προφανώς, αναφέρεται ε απόταη που είναι µεγάλη ε χέη µε τη χαρακτηριτική διάταη της γεωµετρίας επιβολής του φορτίου (π.χ. την πλευρά του τριγώνου ή τη διάµετρο του κύκλου. H i

Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα 9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 8. Στην επιφάνεια ενός οµοιόµορφου, γραµµικώς ελατικού εδαφικού χηµατιµού επιβάλλεται πίεη (p, που έχει τη µορφή απειροµήκους λωρίδας πλάτους (b. Η φόρτιη επιβάλλεται ταχέως, ώτε να µπορεί να θεωρηθεί ότι γίνεται υπό ατράγγιτες υνθήκες. Ζητούνται:. Η κατανοµή της αναπτυόµενης υπερπίεης πόρων τον άξονα του φορτίου ως προς το βάθος z.. Η κατανοµή της αναπτυόµενης υπερπίεης πόρων ε ένα οριζόντιο επίπεδο ε βάθος z = b/, ως προς την τετµηµένη y.. Σε απόταη b από τον άξονα του φορτίου υπάρχει κατακόρυφος τοίχος ύψους H = b, που µπορεί να θεωρηθεί ως ανένδοτος την οριζόντια διεύθυνη. Να χεδιαθεί η κατανοµή της οριζόντιας ώθηης τον τοίχο, λόγω της πίεης (p. Λύη: Κατά την ατράγγιτη φόρτιη ενός γραµµικού ελατικού εδάφους, η αναπτυόµενη υπερπίεη πόρων ε κάθε θέη είναι ίη µε τη µέη αύξηη των ολικών ορθών τάεων, δηλαδή: u = ( xx + + Στην περίπτωη που η ατράγγιτη φόρτιη επιβάλλεται υπό υνθήκες επίπεδης παραµόρφωης (όπως το υγκεκριµένο παράδειγµα, ιχύει: xx = ν u ( + όπου ν u = 0.50 και x είναι ο άξονας της µηδενικής παραµόρφωης. Συνδυαµός των ανωτέρω χέεων δίνει: u = ( + (8.- από την οποία µπορούν να υπολογιθούν οι ζητούµενες υπερπιέεις πόρων το έδαφος.. Στον άξονα του φορτίου (y = 0 και για διάφορα βάθη z, υπολογίζονται οι τιµές των γωνιών β, α, των µεταβολών των ολικών τάεων, (διαιρεµένων µε την επιβαλλόµενη φόρτιη p και της υπερπίεης πόρων u, που φαίνονται τον Πίνακα 8.-. Για τους υπολογιµούς των µεταβολών των ολικών τάεων, χρηιµοποιήθηκαν οι εξιώεις που αναφέρονται το εδάφιο 8.6 (ορθή πίεη ε απειροµήκη λωρίδα. Σχήµα 8.-: Παράδειγµα 8.

Σελίδα 0 Κεφάλαιο 8 ΠΙΝΑΚΑΣ 8.- z/b β (µοίρες α (µοίρες / p / p u / p 0-90 80.0.0.0 0.0-84. 68.6.0 0.87 0.94 0.0-78.7 57.4.0 0.75 0.87 0.0-7. 46.6 0.99 0.64 0.8 0.40-6.8 6.4 0.98 0.54 0.76 0.50-6.4 6.9 0.96 0.45 0.70 0.60-59.0 8. 0.94 0.8 0.66 0.80-5. 0.7 0.88 0.6 0.57.00-45.0 90 0.8 0.8 0.50.5-8.7 77. 0.74 0. 0.4.50 -.7 67.4 0.67 0.08 0.7.75-9.7 59.5 0.60 0.06 0..0-6.6 5. 0.55 0.04 0.0.50 -.8 4.6 0.46 0.0 0.4.0-8.4 6.9 0.40 0.0 0.0 4.0-4.0 8. 0. 0.006 0.6 5.0 -..6 0.5 0.00 0. 7.50-7.6 5. 0.7 0.00 0.08 0.0-5.7.4 0. 0.000 0.06 Το Σχήµα 8.- παρουιάζει τις κατανοµές ως προς το βάθος της κατακόρυφης ολικής τάης και της υπερπίεης πόρων τον άξονα του φορτίου. Αξίζει να ηµειωθεί ότι η αναπτυόµενη υπερπίεη πόρων είναι µικρότερη από την αντιτοιχη κατακόρυφη τάη, δηλαδή, παρόλον ότι η φόρτιη γίνεται υπό ατράγγιτες υνθήκες, το ύνολο του φορτίου δεν αναλαµβάνεται από την πίεη πόρων. Πράγµατι, µόνον την περίπτωη της ατράγγιτης µονοδιάτατης υµπίεης (π.χ. τη δοκιµή του υµπιεοµέτρου, το ύνολο του φορτίου αναλαµβάνεται από την πίεη πόρων.. Με τον ίδιο τρόπο όπως και προηγουµένως υπολογίζονται τα χετικά µεγέθη το οριζόντιο επίπεδο ε βάθος z = b/, που φαίνονται τον Πίνακα 8.-. ΠΙΝΑΚΑΣ 8.- y/b β (µοίρες α (µοίρες / p / p u / p 0-6.4 6.9 0.96 0.45 0.7 0.0-58.0 5.4 0.95 0.44 0.70 0.40-50. 0.5 0.9 0.4 0.67 0.60-8.7. 0.86 0.7 0.6 0.80 -.8 96. 0.7 0.4 0.54.00 0 76.0 0.50 0.5 0.4.5 6.6 50.9 0. 0.4 0.8.50 45.7 0.09 0.9 0.9.75 56..4 0.04 0. 0..0 6.4 7. 0.0 0.7 0.0.50 7.6 0. 0.006 0. 0.06.0 76.0 6.9 0.00 0.07 0.04 4.0 80.5.8 0.00 0.04 0.0 5.0 8.9. 0.000 0.0 0.0 Το Σχήµα 8.- παρουιάζει τις κατανοµές της κατακόρυφης ολικής τάης και της υπερπίεης πόρων ε διάφορα ηµεία του οριζόντιου επιπέδου ε βάθος z = b/. Και την περίπτωη αυτή, η αναπτυόµενη υπερπίεη πόρων δεν είναι ίη µε την αντίτοιχη κατακόρυφη τάη, και µάλιτα κοντά τον άξονα της φόρτιης u <, ενώ µακρυά από τον άξονα u >.

Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα Σχήµα 8.-: Παράδειγµα 8.. Το Σχήµα 8.- παρουιάζει τη λωριδωτή φόρτιη (ένταης p και τον ανένδοτο τοίχο ύψους H = b. Ένας τέτοιος τοίχος µπορεί να είναι, π.χ. το πλευρικό τοίχωµα των υπογείων ενός κτιρίου, το οποίο λόγω της ακαµψίας του κτιρίου δεν ενδίδει (δηλαδή δεν επιτρέπει µετακινήεις την οριζόντια διεύθυνη. Για την εκτίµηη της οριζόντιας ώθηης ε ένα ανένδοτο τοίχο δεν αρκεί ο υπολογιµός της οριζόντιας τάης, που αναπτύεται ε διάφορες θέεις του τοίχου λόγω της επιφόρτιης p. Πράγµατι, ένας τέτοιος υπολογιµός δίνει τις τάεις το εωτερικό του (εδαφικού ηµιχώρου, ο οποίος όµως έχει οριζόντιες µετακινήεις υµβιβατές µε το µέτρο ελατικότητάς του. Για την προοµοίωη του ανένδοτου τοίχου µπορεί να χρηιµοποιηθεί η µέθοδος που φαίνεται το κάτω µέρος του Σχήµατος 8.-. Συγκεκριµένα, Σχήµα 8.-: Παράδειγµα 8. ειάγεται ένα είδωλο της λωριδωτής φόρτιης που έχει το ίδιο πλάτος και ένταη και θεωρείται επαλληλία των δύο φορτίων. Λόγω της υµµετρίας τη θέη του τοίχου, η οριζόντια µετακίνηη θα είναι µηδενική και υνεπώς οι οριζόντιες τάεις λόγω της επαλληλίας των δυο φορτίων θα είναι ίες µε την ώθηη τον ανένδοτο τοίχο που φαίνεται το άνω µέρος του χήµατος. Όµως, η τάη λόγω της επαλληλίας των δύο φορτίων το µέον της µεταξύ τους απόταης είναι διπλάια της τάης λόγω εκάτου των φορτίων. Συνεπώς, η ώθηη τον ανένδοτο τοίχο δίνεται από τη χέη (βλέπε και εδάφιο 8.6: α = p sinα cos( α + β π π Τιµές της ώθηης ε διάφορα βάθη καθ ύψος του τοίχου δίνονται τον Πίνακα 8.- και η κατανοµή της παρουιάζονται χηµατικά το Σχήµα 8.-.

Σελίδα Κεφάλαιο 8 ΠΙΝΑΚΑΣ 8.- βάθος z/b β (µοίρες α (µοίρες ώθηη / p 0 90 0 0 0.50 6.4 7. 0.4 45 6.6 0.4.50.7 9.7 0.7 6.6 9.7 0.9.50.8 8.4 0. 8.4 6.6 0.7 Παράδειγµα 8. Στην επιφάνεια γραµµικώς ελατικού εδάφους επιβάλλεται ορθή φόρτιη q (kn/m ε απειροµήκη λωρίδα µικρού πλάτους (ας θεωρηθεί µηδενικού πλάτους.. Να προδιοριθούν οι κύριες τάεις το εωτερικό του εδάφους, λόγω της φόρτιης q, κατά µέγεθος και διεύθυνη.. Εάν η φόρτιη επιβάλλεται ταχέως ώτε να µπορεί να θεωρηθεί ότι γίνεται υπό ατράγγιτες υνθήκες, να προδιοριθεί η κατανοµή ως προς το βάθος της αναπτυόµενης υπερπίεης πόρων τον άξονα της φόρτιης. Επιπλέον, να προδιοριθούν οι καµπύλες ταθερής υπερπίεης πόρων (ιοδυναµικές γραµµές. Λύη:. Από τον κύκλο Mohr προκύπτει ότι οι κύριες τάεις, δίνονται από τις χέεις: + = + ( + 4 yz + = ( + 4 yz όπου:,, yz είναι οι καρτειανές υνιτώες της τάης. Οι καρτειανές υνιτώες της τάης λόγω της ορθής φόρτιης q ε απειροµήκη λωρίδα δίνονται το εδάφιο 8.5. Με αντικατάταη των χέεων του εδαφίου 8.5 τις ανωτέρω εξιώεις προκύπτουν οι τιµές των κυρίων τάεων: q z =, = 0 π y + z ενώ η γωνία που χηµατίζει η µέγιτη κύρια τάη µε τον κατακόρυφο άξονα (βλέπε Σχήµα 8.- είναι: yz y tan β = = z Σχήµα 8.-: Παράδειγµα 8.

Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα Συνεπώς: α Η ελάχιτη κύρια τάη ( είναι µηδέν. β Η µέγιτη κύρια τάη (που η ένταή της προφανώς µειώνεται µε την αύξηη της απόταης από το ηµείο επιβολής της φόρτιης ακείται κατά την ακτινική διεύθυνη, δηλαδή: = r, = θ = 0. Οι διευθύνεις λοιπόν των κυρίων τάεων είναι η ακτινική (ΟΜ για τη και η περιφερειακή για τη.. Επειδή η φόρτιη επιβάλλεται υπό υνθήκες επίπεδης παραµόρφωης (βλέπε και Παράδειγµα 8.: = ν u ( + και λόγω της ατράγγιτης φόρτιης: u = ( + + Από τις ανωτέρω χέεις και επειδή ν u = 0.50, προκύπτει: q z u = ( + = π y + z q οπότε, τον άξονα της φόρτιης (y = 0 ιχύει: u =, δηλαδή η αναπτυόµενη π z υπερπίεη πόρων έχει υπερβολική κατανοµή (µείωη ως προς το βάθος z. Οι καµπύλες ταθερής υπερπίεης πόρων (έτω u o δίνονται από τη εξίωη: q z = u o π y + z ή ιοδύναµα: q y = ± z z u (8.- π o Εφαρµογή: Εάν q = 00 kn/m, να προδιοριθεί ο γεωµετρικός τόπος των ηµείων (καµπύλη, όπου η αναπτυόµενη υπερπίεη πόρων είναι u o = 0 kpa. Από τη χέη (8.- προκύπτει: y = ± (. 8 zz, µε τιµές που δίνονται τον Πίνακα 8.- (µόνον τα θετικά y και φαίνονται το Σχήµα 8.-. Στο ίδιο Σχήµα φαίνεται και η καµπύλη υπερπίεης πόρων 50 kpa. ΠΙΝΑΚΑΣ 8.- z (m y (m 0 0 0.5 0.86 0.50.6 0.75.5.00.48.50.59.00.54.50..00 0.74.8 0 Σχήµα 8.-: Παράδειγµα 8.

Σελίδα 4 Κεφάλαιο 8 Παράδειγµα 8. Να επαληθευθεί η Αρχή του Saint Venant για την κατακόρυφη τάη ( κάτω από τον άξονα απειροµήκους λωριδωτού θεµελίου (εύρους b = m που φορτίζει το έδαφος µε τάη p = 00 kpa, υγκρίνοντας τις τιµές του ως προς το βάθος για τη φόρτιη αυτή, µε τις αντίτοιχες τιµές του για την περίπτωη φόρτιης ε απειροµήκη γραµµή (µηδενικού εύρους µε ιοδύναµη ένταη q = b p. Λύη: Στην περίπτωη του λωριδωτού θεµελίου (b = m, για τα ηµεία κάτω από τον άξονα ιχύει (βλέπε και εδάφιο 8.6: α = arctan(b/z, α + β = 0, οπότε η κατακόρυφη τάη δίνεται από τη χέη: α = p + sinα π π Στην περίπτωη φόρτιης ε απειροµήκη γραµµή, η ιοδύναµη φόρτιη είναι: q = b p = 00 = 00 kn/m Για τα ηµεία κάτω από τον άξονα (y = 0 ιχύει (βλέπε και εδάφιο 8.5: q = π z Τα αποτελέµατα της εφαρµογής των χέεων αυτών δίνονται τον Πίνακα 8.-. Από τα αποτελέµατα αυτά προκύπτει ότι, για βάθη µεγαλύτερα από δύο φορές το εύρος του θεµελίου ( = 4 m, το φάλµα της προέγγιης του λωριδωτού φορτίου µε γραµµή µηδενικού εύρους είναι αµελητέο (µικρότερο από 5%. Αντίθετα, ε πολύ µικρά βάθη (π.χ. z = 0.5 m το φάλµα είναι ηµαντικό (µεγαλύτερο από 00%. ΠΙΝΑΚΑΣ 8.- Βάθος α (kpa για: φάλµα z (m (µοίρες λωρίδα γραµµή (% 0.5 6.9 95.9 54.6 65.0 90 8.8 7. 56.5 67.4 66.8 84.9 7.0 5. 55.0 6.7 6.5 4.6 46. 50.9 0 6.9 9.6 4.4 7..5.9 4.5 6.4 5.5 4 8. 0.6.8.9 5.6 4.8 5.5.8 6 8.9 0.8..9

Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα 5