Vn : NHC LI MT S KIN TH C LP 0 Mc ích ca vn này là nhc li mt s kin thc ã hc lp 0, nhng có liên quan trc tip n vn s hc trng lp. Vì thi gian không nhiu (khng tit) nên chúng ta s không nhc li lý thuyt mà ch a ra mt s dng bài tp c bn, thông qua nhng bài tp này giúp các em hc sinh ly li phn tán sau k ngh hè thú v. BIN I LNG GIÁC Bài Chng minh ng thc sau a) cs + cs tan cs + cs b) + cs + cs π ct +, π < < π + cs cs Chng minh a) Ta có ± cs + cs ± cs + cs cs ± cs + cs ± cs sin Suy ra VT tan VP cs + cs + b) Nhân vi lng liên hp ca mu ta c: ( + cs + cs ) + cs + cs VT + cs cs + cs cs + cs + cs + cs + cs + cs + sin + sin + cs + cs cs cs Vì π < < π nên sin sin, d ó π π π cs cs sin + sin sin VT cs cs π π π π sin s in sin cs π π π π tan ct + ct + VP
Bài Rút gn biu thc sau a) π π 7π tan cs + sin π π cs tan + b) tan + sin sin + cs + tan Chng minh a) Ta có tan π tan π tan π ct cs π cs π cs π cs π + π + + + ( ) sin( ) sin 7π π π π sin sin π + sin sin cs cs + 7π sin cs cs π cs π cs π sin tan π tan π tan π tan π + π + + + ( ) ct( ) ct Khi ó, π π 7π tan cs sin cs + sin + cs ct.sin + cs sin π π sin ( ct ) cs cs tan + sin sin cs sin b) Ta có + s in sin + cs + sin cs sin + cs sin cs sin cs cs cs cs tan + tan cs
Khi ó, cs tan ( sin cs ) cs + s in + sin + cs cs sin + tan cs sin + cs sin + cs Bài Chng minh rng a) sin8 5 b) t an5 c) t an 0 Áp dng chng minh ng thc sau: Chng minh ) cs6 + ct7 0 + + + + 5 + 6 ) Chng minh rng sin và cs là các s vô t. a) Ta có 5 + 6 90 suy ra s in5 cs 6 s in.8 cs.8 s in8 sin 8 sin 8 s in8 sin 8 + s in8 0 5 5 + sin8 sin8 sin8 Vì 0 < sin8 < nên sin8 5 b) Ta có sin sin sin cs tan (tan > 0) cs cs + cs + cs suy ra cs 0 + cs 0 + 0 t an5 7 c) Tng t câu (b), nên li ch các em luy n tp. Áp dng 5 cs6 cs.8 sin 8 5 + ) Ta có
Nhn ét rng: ct ct ct + +. Tht vy, ta có cs + cs + cs ct ct ct + + +. s in sin s in sin cs Áp dng iu này, ta c: + + t an5 + + tan 5 + + ct7 0 ct5 ct 5 + + + 6 Khi ó, cs6 + ct7 0 + + + + 5 + 6. ( ) ) Gi s! sin là s hu t, th thì sin sin sin là s hu t, suy ra sin 9 s in sin là s hu t s in7 sin 9 sin 9 là s hu t s in8 sin 7 sin 7 là s hu t Khi ó, 5 sin8 sin 9 cs9 sin 9 sin8 là s hu t suy ra 5 là s hu t (MT) Chng minh cs là s vô t hàn tàn tng t em nh bài tp Bài Chng minh π π π π 5π 6π 7π cs cs cs cs cs cs cs 5 5 5 5 5 5 5 7 Chng minh Ta có π π π 0π 5π 5π sin sin cs sin sin cs 5 5 5 5 5 5 π π π π 6π 6π sin sin cs sin sin cs 5 5 5 5 5 5 6π π π π 7π 7π sin sin cs sin sin cs 5 5 5 5 5 5 8π π π sin sin cs 5 5 5 Nhân v the v 8 ng thc trên ta c
π π 6π 8π 0π π π π π π π π π 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 π π 5π 5π 6π 6π 7π 7π sin cs sin cs sin cs sin cs 5 5 5 5 5 5 5 5 7 sin sin sin sin sin sin sin sin cs sin cs sin cs Bài 5 Tính t"ng sau π π π π 5π 6π 7π cs cs cs cs cs cs cs 5 5 5 5 5 5 5 (vì sin π sin ) 7 a) b) π π 6π P cs + cs + cs 7 7 7 π π π H sin + sin + sin 7 7 7 c) S sin + s in + + sin n và S cs + cs + + cs n d) S sin + s in( + d) + sin( + d) + + sin( + nd) π Gii a) Nhân c hai v vi sin r#i áp dng công thc bin "i tích thành t"ng. P 7 b) H bc r#i áp dng câu (a) c) Nhân c hai v vi sin r#i áp dng công thc bin "i tích thành t"ng. ( n + ) n sin sin, k π S sin 0, kπ n ( n + ) sin cs, kπ và S sin n, kπ d) Nhân c hai v vi sin d r#i áp dng công thc bin "i tích thành t"ng Bài 6 Tính giá tr các biu thc sau A π π π 7 7 7 sin + sin + sin và π 5π 6π B cs + cs + cs 7 7 7 Gii Nhn ét rng B π 5π 6π π π π 7 7 7 7 7 7 cs + cs + cs cs + cs + cs. D ó, 5
π π π π π π B A cs sin + cs sin + cs sin 7 7 7 7 7 7 π π 6π cs + cs + cs 7 7 7 π π π π π π B + A cs + sin + cs + sin + cs + sin 7 7 7 7 7 7 π π π π π π cs sin + cs sin + cs sin 7 7 7 7 7 7 π π 6π sin sin sin 7 7 7 π 8π π cs cs cs 7 7 7 + + 9 π 8π π + cs + cs + cs 7 7 7 M$t khác, π 8π π π π π cs + cs + cs cs + cs cs 7 7 7 7 7 7 π π π π π π cs cs + cs cs cs cs 7 7 7 π cs Nh vy, ta c 7 B + A A 8 6 B A B 6 6
Bài 7 Chng minh rng tan tan tan. T% ó, tính tan S + + tan 0 tan 50 tan 70 Chng minh Vi nhng ng thc có ngh&a. Ta có sin sin tan tan sin cs sin VP sin sin cs sin t an VT cs Áp dng công thc trên ta c cs cs tan sin cs sin cs cs cs tan 6 9 tan 6 tan + tan 6 tan + 9 tan (*) Vi 0, t% (*) ta c + 6 tan 0 + 9 tan 0 6 9 tan 0 6 tan 0 tan 0 tan 0 + 6 tan 0 7 tan 0 tan 0 0 Ngh&a là, tan 0 là nghi m ca phng trình 7 0 + (). M$t khác, tan.0 tan.50 tan.70 nên lp lun nh trên ta c'ng c là nghi m ca (). D ó, the nh lý Viet tan 50, tan 70 (7) S tan 0 + tan 50 + tan 70 9. Bài 7 Ch bit tan, tany là nghi m ca phng trình p q + + 0. Chng minh rng + y + p + y + y + q + y q. (*) sin sincs cs Chng minh Ta ét hai trng hp π ) cs( + y) 0 + y + kπ, k. D tan, tany là nghi m ca p q + + 0 nên π tan tan y q tan y + kπ tan y q q Li d, cs( y) 0 sin ( y) + +. Khi ó, (*) úng. 7
) cs( + y) 0, ta có sin ( + y) + psin( + y)cs( + y) + q cs ( + y) (*) cs ( + ) VT y + tan ( + y) cs ( + y) y p y q tan ( + ) + tan( + ) + Trng ó, tan + tan y p tan( + y) tan tan y q, suy ra VT(*) q. Bài 8 Ch hàm s f a sin + bcs. Gi s! rng f ( ) f 0, kπ ( k ). Chng minh rng f 0, ((H 970) Chng minh The gi thit ta có h a b a sin + bcs 0 sin + cs 0, kπ Xem h trên là h bc nht the hai )n a và b. Ta có sin cs sin cs cs sin sin( ) 0 (vì kπ ) D sin cs Suy ra h có nghi m duy nht a b 0. Vy f 0,. Bài 9 Bit rng tan, tan, tan là ba nghi m ca phng trình tan y, tan y, tan y là ba nghi m ca phng trình c b a + + + y + y + y kπ, k a b c + + + 0 và + + + 0. Chng minh rng Chng minh Tính tan( + + ) và tan( y + y + y). T% ó khng nh tan( + + ) tan( y + y + y ) + + + y + y + y kπ, k π Bài 0 Ch + y + z và tan, tan y, tan z là ba nghi m ca rng p + q + r p q r + + + 0. Chng minh Chng minh Áp dng công thc cng và nh lý Viet. 8
Bài Trng tam giác ABC, chng minh các h thc sau: A B C ) sin A + sin B + sin C cs cs cs ) sin A + sin B + sin C sin Asin B sin C A B C ) cs A + cs B + csc + sin sin sin ) sin A + sin B + sin C ( + cs Acs B cs C) 5) tga + t gb + tgc tgatgbtgc 6) ct A + ct B + ct C ct A ct B ct C A B B C C A 7) tg tg + tg tg + tg tg 8) ct Act B + ct B ct C + ct C ct A b + c a 9)ct A S A bc cs 0) l a b + c a + b + c ) bc cs A + ac cs B + ab csc )( b + c)cs A + ( a + c)cs B + ( a + b)csc a + b + c ) abc cs A + cs B + cs C a ( p a) + b ( p b) + c ( p c) A B C ) r Rsin sin sin Bài Tìm giá tr ln nht ca biu thc ca tam giác ABC. F sin A sin B sin C + +, trng ó, A, B, C là ba góc 9
HÌNH GII TÍCH TRONG MT PHNG Bài Ch tam giác ABC có nh A( ; ) a) Ch bit hai ng ca BH :5 + y 5 0 và CK : + 8y 0. Hãy ác nh ta các nh B và C. b) Xác nh ta nh B và C nu bit ng trung trc ca AB là + y 0 và ta trng tâm G(, ) ca tam giác ABC (H Cn th) Bài Trng m$t phng ta Oy, ch tam giác ABC có trng tâm G(, ) và các cnh AB : + y + 5 0 và AC : + 5y + 0 a) Tìm ta nh A và ta trung im M ca BC b) Tìm ta nh B và vit phng trình cnh BC (H Quc gia) Bài Trng m$t phng ta Oy, vit phng trình các ng thng sng sng vi ng thng d : y + 0 và có khng cách n (d) bng. (H Hu) Bài Ch tam giác ABC vi A(;), B( ; ), C(; ). a) Lp phng trình ng phân giác trng góc A b) Lp phng trình phân giác ngài góc B. Bài 5 a) Lp phng trình ng tròn qua ba im A(;), B(;), C (5;) (H Cn th) b) Ch A(, ) và ng tròn (C) v t% A và tìm ta tip im. ( C) : y y 0 +. Vit phng trình tip tuyn vi c) Lp phng trình ng tròn tâm I (;) và tip úc vi ng thng d : + y 5 0 0