1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και της C καθορίζεται από το πλήθος λύσεων φ(x, y) του συστήµατος = y = λx + β Ποιο συγκεκριµένα : Αν το σύστηµα έχει δύο λύσεις, η ε και η C έχουν δύο κοινά σηµεία. Αν το σύστηµα έχει µία διπλή λύση, η ε και η C έχουν ένα διπλό κοινό σηµείο Αν το σύστηµα είναι αδύνατο, η ε και η C δεν έχουν κοινά σηµεία. Η ευθεία ε : y = λx + β εφαπτοµένη στην κωνική C : φ(x, y) = Όταν το σύστηµα των εξισώσεων των ε και C έχει µία διπλή λύση, τότε αποδεικνύεται ότι η ε είναι εφαπτοµένη στην C. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Σχετικά µε το σύστηµα των ε και C φ(x, y) = Για να λύσουµε το σύστηµα, αντικαθιστούµε το y στην µε y = λx + β () το ίσο του από την (). φ(x, λx + β) = (3) Τότε το σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το y = λx + β () Επειδή η (3) είναι εξίσωση δευτέρου βαθµού, έχει το πολύ δύο λύσεις. Ποιο συγκεκριµένα : Αν έχει διακρίνουσα >, τότε η (3) έχει δύο ρίζες άνισες και εποµένως το σύστηµα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, άρα η ε και η C έχουν δύο διαφορετικά κοινά σηµεία. Αν έχει =, τότε η (3) έχει δύο ρίζες ίσες (µία διπλή) και εποµένως το σύστηµα έχει δύο λύσεις ίσες, άρα η ε και η C έχουν ένα διπλό κοινό σηµείο, δηλαδή η ε είναι εφαπτοµένη στην C. Αν έχει < τότε, η (3) δεν έχει πραγµατικές ρίζες, εποµένως το σύστηµα είναι αδύνατο, οπότε η ε και η C δεν έχουν κοινά σηµεία.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής η οποία έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, εστία στον x x, και εφάπτεται στην ευθεία y = x + 1. Να βρείτε επίσης το σηµείο επαφής. Έστω y = px, p η ζητούµενη παραβολή. Θεωρώ το σύστηµα Σ : y = px y = x + 1 ( ) x+ 1 = px y = x + 1 + + = y = x + 1 x x 1 px + + = y = x + 1 x ( p)x 1 η εξίσωση έχει διπλή ρίζα = ( p) 16 = Σχόλιο p 16p = p(p ) = p = ή p = που απορρίπτεται Για p = η ζητούµενη παραβολή γίνεται y = 8x Για p = η γίνεται x x + 1 = που έχει διπλή λύση την x = 1. Θεωρία () Τότε η () δίνει y =, εποµένως το σηµείο επαφής είναι το 1,
3. Να βρείτε την εφαπτοµένη της παραβολής y = x η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y = x + 3. Επειδή η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι παράλληλη στην ευθεία ε θα έχει εξίσωση της µορφής y = x + β y x Θεωρώ το σύστηµα Σ : = (x ) x y = x +β = +β y = x +β + β +β = y = x +β x x x + β +β = y = x +β x ( )x η εξίσωση έχει διπλή ρίζα = (β ) β = β 16β + 16 β = β = 1 Άρα η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι η y = x + 1 3. Να βρείτε την τιµή του λ ώστε η ευθεία y =, να εφάπτεται στον κύκλο x + y 6x + λy 15 = y = Θεωρώ το σύστηµα Σ : x + y 6x+ λy 15= y= x + y 6x+ λy 15= y= x + 6x+ λ 15= y= x + 16 6x+ 8λ 15= y= x 6x+ 8λ+1= η εξίσωση () έχει διπλή ρίζα = 36 (8λ + 1) = λ = 1 ()
. i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = λx + β είναι εφαπτοµένη του κύκλου x + y = ρ αν και µόνο αν β = ρ (1 + λ ) ii) Να βρείτε τις εφαπτόµενες του κύκλου x + y = 5 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Μ(15, 5) i ) Θεωρώ το σύστηµα Σ : x + y = ρ x + (λx+β) = ρ x + λ x +λβx+β = ρ (λ +1)x +λβx+β ρ = Η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο το σύστηµα έχει µία διπλή λύση η εξίσωση () έχει διπλή ρίζα λ β (1 + λ )(β ρ ) = λ β β + ρ λ β + λ ρ = β = ρ + λ ρ β = ρ (1 + λ ) ii) Για κατακόρυφη εφαπτοµένη του κύκλου από το σηµείο Μ(15, 5) Αυτή θα έχει εξίσωση x = 15 Αλλά οι κατακόρυφες εφαπτόµενες του κύκλου έχουν εξισώσεις x = 5 και x = 5. Άρα τέτοια εφαπτοµένη δεν υπάρχει Για πλάγια οριζόντια εφαπτοµένη του κύκλου από το σηµείο Μ(15, 5) Αυτή θα έχει εξίσωση y = λx + β Από το (i) θα ισχύει β = ρ (1 + λ ) β = 5 (1 + λ ) β = 5 (1 + λ ) (3) Επιπλέον, αφού η y = λx + β διέρχεται από το Μ(15, 5) θα ισχύει 5 = 15λ + β () Λύνοντας το σύστηµα των (3) και () βρίσκουµε 3 5 (λ= και β = 5) ή λ= και β= Εποµένως οι ζητούµενες εφαπτόµενες είναι οι y = 5, y = 3 x + 5 ()
5 5. i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = λx + β εφάπτεται της παραβολής y = px αν και µόνο αν p = λβ ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = λx + 15 λ εφάπτεται της παραβολής y = 15x για κάθε λ i ) Θεωρώ το σύστηµα Σ : y = ρx (λx+β) = ρx λ x +λβx+β ρx= λ x +(λβ ρ)x+β η εξίσωση () έχει διπλή ρίζα = (λβ p) λ β = λ β λβp + p λ β = = p λβp = = p(p λβ)= p = που απορρίπτεται ή p = λβ ii) Στην παραβολή y = 15 x είναι p = 15 Στην ευθεία y = λx + 15 είναι β = 15 λ λ 15 15 Επειδή ισχύει = λ (p = λβ), σύµφωνα µε το ( i), η ευθεία λ ε : y = λx + 15 λ θα εφάπτεται της παραβολής y = 15x για κάθε λ ()
6 6. i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : x λy + p λ = εφάπτεται της παραβολής y = px για κάθε τιµή του λ. ii) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου επαφής συναρτήσει των p, λ. i) x λy + pλ = Λύνουµε το σύστηµα y = px () Η x = λy pλ Τότε η () γίνεται y = p(λy pλ ) y pλy + p λ = (3) Η διακρίνουσα της (3) είναι = 16 p λ 16 p λ = Εποµένως η (3) έχει διπλή λύση, συνεπώς το σύστηµα έχει διπλή λύση, άρα η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη στην παραβολή. ii) Η διπλή λύση της (3) είναι η y = pλ, οπότε από την έχουµε x = pλ Εποµένως το σηµείο επαφής είναι το Μ(pλ, pλ ) 7. Να βρείτε τις εφαπτόµενες της έλλειψης x + y = η οποίες σχηµατίζουν µε τον άξονα των x x γωνία 5 ο. Είναι φανερό ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της οποιασδήποτε ζητούµενης εφαπτοµένης είναι λ = εφ5 ο = 1. Εποµένως έχει εξίσωση της µορφής y = x + β. y = x + β y = x + β Θεωρώ το σύστηµα Σ : x + y = x + (x+ β) = y = x + β x + (x + βx +β ) = y = x + β x + x + 8βx+ β = y = x + β 5x + 8βx+ β = η εξίσωση () έχει διπλή ρίζα = 6β (β ) = 8 16β = β = ± 5 Συνεπώς οι ζητούµενες εφαπτόµενες είναι οι y = x ± 5 ()
7 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτοµένων των κωνικών τοµών C 1 : y = 1 x και C : 5x + y = Η µοναδική κατακόρυφη εφαπτοµένη της παραβολής C 1 είναι η x = Ενώ οι κατακόρυφες εφαπτοµένες της έλλειψης C είναι οι x = ± 5 Εποµένως οι κωνικές τοµές δεν έχουν κοινή κατακόρυφη εφαπτοµένη. Η παραβολή δεν έχει οριζόντια εφαπτοµένη, διότι αν κάποια οριζόντια ευθεία y = β y = β ήταν εφαπτοµένη της παραβολής, το σύστηµα 1 θα είχε διπλή y = x λύση, που είναι άτοπο αφού είναι πρωτοβάθµιο. Έστω ότι y = λx + β µε λ είναι µία κοινή εφαπτοµένη των δύο γραµµών. Τότε θα πρέπει κάθε ένα από τα συστήµατα 1 (Α), (Β) να έχει διπλή λύση y = x 5x + y = Το σύστηµα (Α) y = x (λx +β ) = x (λ x + λβ x +β ) = x λ x + λβ x+ β x= λ x + λβ x+ β x= λ x + (λβ 1)x+ β = () η εξίσωση () έχει διπλή ρίζα = (λβ 1) λ β = 16λ β 8λβ + 1 16λ β = 8λβ = 1 (3) Οµοίως από το σύστηµα (Β) βρίσκουµε λ 5β + 1 = () Λύνοντας το σύστηµα των (3), () βρίσκουµε λ = 1 και β = 1 ή λ = 1 και β = 1 Εποµένως οι ζητούµενες εφαπτοµένες είναι οι y = 1 x + 1 ή y = 1 x 1
8 9. ίνεται η ευθεία ε : y = λx και ο κύκλος C : x + y x + 1= Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε i) Η ε να τέµνει τον C σε δύο σηµεία ii) Η ε να είναι εφαπτοµένη του C iii) Η ε να µην έχει κοινό σηµείο µε τον C i) Θα πρέπει το σύστηµα y = λx και x + y x + 1= () να έχει δύο ρίζες άνισες. Η () λόγω της γίνεται (1 + λ )x x + 1= (3) Για να έχει το σύστηµα δύο ρίζες άνισες, πρέπει και αρκεί η (3) να έχει δύο ρίζες άνισες, δηλαδή πρέπει και αρκεί > 16 (λ + 1) > λ < 3 λ < 3 3 < λ < 3 ii) Θα πρέπει το σύστηµα να έχει µία ρίζα διπλή = λ = ± 3 iii) Θα πρέπει το σύστηµα να µην έχει ρίζες < λ < 3 ή λ > 3 1. ίνεται η ευθεία ε : y = x + β και ο κύκλος C : x + y = 1 () Για τις διάφορες τιµές του β να βρείτε την σχετική θέση των δύο γραµµών. Η () λόγω της γίνεται x + βx + β 1 = (3) µε = 8 β Όταν > 8 β > β < β < < β < Τότε η (3) έχει δύο ρίζες άνισες, εποµένως το σύστηµα των και () έχει δύο λύσεις άνισες, άρα η ευθεία y = x + β και ο κύκλος x + y = 1 έχουν δύο κοινά σηµεία. Όταν = β = ± Τότε η ευθεία είναι εφαπτοµένη του κύκλου Όταν <.. β < ή β > Τότε η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κοινά σηµεία