4η Γραπτή Εργασία. Άσκηση 1. (2 µονάδες) ü Άσκηση 22 σελ.105. cosx 0 x π L Ÿ Lê2

4η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 509) Άσκηση 1. ( µονάδες) ü Άσκηση σελ.105 Έστω η συνάρτηση f(x) = sinx στο διάστηµα (-, ). Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και η παράγωγός της cosx 0 x π είναι f (x)= είναι συνεχής στο (-π,π). -cosx π x π Τα πλευρικά όρια της f στα -π και π υπάρχουν. Ακόµη η f είναι συνεχής στο R και λόγω της περιοδικότητας είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του R άρα αναπτύσσεται σε σειρά Fourier. Οπότε : f(x)=α 0 + Σ @αn cos(nx) + b n sin(nx)]. Η συνάρτηση f είναι άρτια άρα θα έχουµε b n =0. Έχουµε :α 0 = 1 L Ÿ Lê -Lê fhxl x και αn = L Ÿ Lê nπx -Lê fhxlÿcosj N x TrigId = 8Cos@Pi n_d H 1L^n, Sin@Pi n_d 0 <; H Υπολογισµός των συντελεστών Fourier L a@0d := H1êLL Integrate@f@xD, 8x, Lê, Lê<D a@n_d := HêLL Integrate@f@xD Cos@Hn Pi xlêld, 8x, Lê, Lê<D F@x_, N_D := a@0d+sum@a@nd Cos@n Pi xêld, 8n, 1, N<D p@n_, a_d := Plot@Evaluate@F@x, NDD, 8x, a, a<, PlotRange All, PlotPoints 100D L = 3 Pi; f@x_d := Abs@Sin@xDDH Ορισµός της συνάρτησης L Plot@f@xD, 8x, 3Pi, 3Pi<, PlotStyle ThickD 1.0 L 0.8 0.6 0.4 0. -5 5

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb a@0d a@nd π 4J n sinhπ nl-6 cosj πn 3 N-3N πh4 n - 9L Τότε :α 0 = π και α n= Άρα sinx = π + Σ πn 4K n sinhπ nl-6 cosk O-3O 3 πi4 n -9M 4K n sinhπ nl-6 cosk πn O-3O 3 πi4 n -9M Στην (1) θέτοντας x = π παίρνουµε : a@nd ê. TrigId 4I-6H-1L nê3-3m πh4 n - 9L p@50, 3PiD 1.0 ÿcos(nx) (1) 0.8 0.6 0.4 0. -5 5 Plot@Evaluate@Table@F@x, nd, 8n, 1, 0, 5<DD, 8x, 3Pi, 3Pi<D 1.0 0.8 0.6 0.4 0. Η Ταυτότητα του Parseval L Hf@xDL x a0 1 L Ÿ L -5 5 + Ia n +b n M

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 3 1 Pi Pi Hf@xDL x Pi 1 a@0d^ê π 1 I4n 1M 1 β' τρόπος 16 Iπ - 8M f@x_d := Abs@Sin@xDD c = FourierCosSeries@f@xD, x, 6D cc = FourierCosCoefficient@f@xD, x, 6D Plot@8c, Abs@Sin@xDD<, 8x, 3Pi, 3Pi<D 4 cosh xl 4 cosh4 xl 4 cosh6 xl - - - + 3π 15π 35π π - 4 35π 1.0 0.8 0.6 0.4 0. -5 5

4 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb ü Άσκηση 9 σελ.107 Άσκηση. (1 µονάδα) ü 9(σελ.178) Εφόσον για x=l ο τοίχος αποβάλει θερµότητα προς το περιβάλλον µε ρυθµό ανάλογο προς τη διαφορά θερµοκρασίας της απ' αυτό, έχουµε: Η διαρροή θερµότητας από τον τοίχο προς το περιβάλλον δίνεται από την έκφραση j n =-k u n Εφόσον αυτή η διαρροή είναι ανάλογη προς τη διαφορά που υπάρχει ανά πάσα στιγµή µεταξύ του τοίχου και του περιβάλλοντος, του οποίου η θερµοκρασία υποτίθεται σταθερή και ίση µε µηδέν θα είναι: j n = cu s και άρα s = cu s ñ u x HL, tl=- c uhl, tl, k και για c = h έχουµε: u k x HL, tl = hu HL, tl -k u n Οπότε έχουµε να λύσουµε το πρόβληµα: Η εξίσωση: u t =σu xx 0 x 0, t>0 (1) Οι Συνοριακές Συνθήκες: u(0,t)=0 () u x HL, tl=- uhl, tl (3) µε σ=1,1 και h= Με τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών αναζητούµε λύση του προβλήµατος (1)-(3) στη µορφή u(x,t)=x(x)t(t) (4) και αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουµε: ΧΤ -σχ Τ=0 ñ σ Χ =-λ, λ>0 Χ Τ (5) διότι η χρονική εξίσωση Τ =-λτ θα έχει λύση το φθίνον εκθετικό T(t)= e -λt. Τα λ της λύσης είναι οι ζητούµενοι χαρακτηριστικοί ρυθµοί χαλάρωσης προς τη θερµική ισορροπία. DSolve@T'@tD+λT@tD 0, T@tD, td 99THtLØc 1 -tλ == Ως προς τη χωρική συνάρτηση Χ(x), η 5 δίνει: Χ +λχ = 0 (6) Επειδή λ>0, Έστω λ=n,τότε: DSolveB:X''@xD+ n σ X@xD 0, X@0D 0>, X@xD, xf ::XHxLØc sin n x σ >>

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 5 µε ιδιολύσεις: Χ n (x) = Β n sink nx σ O (7) Οπότε u(x,t) = F n e -n t sink nx σ O (8) u@x_, t_d := F n e n t SinBn x σ F u@0, td; D@u@x, td, xd; Print@"Συνεπώς u x Hx,tL= ", D@u@x, td, xd, " H9L"D Συνεπώς u x Hx,tL= e -n t n cosk n x σ σ O F n H9L e -n t n cosk n x σ H*Εστω*L d@x_d := σ d@0d; O F n Print@"και από την ΣΣ H3L έχουµε: ", d@0d u@0, td D e -n t n cosk 0 n O F n σ καιαπότηνσσh3lέχουµε: - e -n t sin 0 n σ σ Από την οποία καταλήγουµε: k = TanB0 n n F ; σ σ F n k ê. σ 1.1 tanh19.0693 nl -0.476731 n Άρα οι χαρακτηριστικοί ρυθµοί χαλάρωσης προς τη θερµική ισορροπία είναι τα λ=n, µε n τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. ü 1(σελ.179) Μαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος: Η εξίσωση: u ª u xx + u yy = 0 (1) Οι Συνοριακές Συνθήκες: Μεταβλητή x: u(0,y) = u(l,y) = 0 () Μεταβλητή y: u(x,0) = 1 (3) u(x,y) ö 0 όταν yö (4) Με τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών αναζητούµε λύση του προβλήµατος (1)-(4) στη µορφή u(x,y)=x(x)y(y) (5) και αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουµε: X''Y + XY'' = 0 ñ X '' X + Y'' Y = 0 ñ X '' X = - Y'' = λ ñ X '' = λx H6L Y Y '' = -λy H7L Απαιτώντας τώρα από τη χωριζοµένη λύση u(x,y)=x(x)y(y) να ικανοποιεί τις Οµ.Σ.Σ. (), παίρνουµε uh0, yl= XH0L YHyL=0 " y fl XH0L=0 (8) uhl, yl= XHLL YHyL=0 " y fl XHLL=0 Η (6) µαζί µε τις Σ.Σ. (8) αποτελούν πρόβληµα Σ..Ε. ης τάξης µε βοηθητικές συνθήκες. Με τη βοήθεια της Mathematica έχουµε:

6 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb DSolveA9X @xd+n X@xD 0, X@0D 0=, X@xD, xe H Λύσεις:XHxLe nx, Χ''HxL=n e nx µε αντικατάσταση στην H6L:n e nx λe nx =0 n λ=0 n =λ n= ± i λ λ<0 η χαρακτηριστική εξίσωση της H6L είναι:p λ=0 n = ± i λ λ 0 Ê Αν λ 0 λ = n p=± λ ή p=n Χαρακτηριστικές Λύσεις:Χ λ HxL=c 1 e λ x +c e λ x HήΧ n HxL=c 1 coshhnxl+c sinhhnxll Με τη βοήθεια των ΣΣ H8L έχουµε: άρα λ όχι θετικό. Ê Αν λ<0 λ= n Οπότε οι χαρακτηριστικές Λύσεις L 88XHxLØc sinhn xl<< c 1 +c =0 c 1 e λ +c e λ =0 ΓιαΧHLL = 0 Β η sinnl = 0 Β η 0 sinnl = 0 nl = kπ n = kπ L, k = 0, 1,...Άραλ = k π L κ = 0, 1,,... Συνεπώς η λύση είναι: X k (x) = B k sin( kπx ),,... (9) Πάµε τώρα να λύσουµε τη Σ..Ε (7) που γίνεται. Y''(y) - k π L c 1 =c =0 Τετριµένη λύση, L Y(y) = 0 (10) DSolveB:Y @yd k Pi Y@yD 0, Y@0D 0>, Y@yD, yfh Με χαρακτηριστικές λύσεις L L ::YHyLØc K- -πk y πk y L OK L - 1O>> kπy -kπy και γράφεται: Y k HyL= C k e L +D k e L Οπότε οι χωριζοµένες λύσεις από την(5) θα είναι u k (x,y) = B k sin( kπx kπy ) (C L k e L +D k e µε αντίστοιχη γενική λύση kπy -kπy kπx u(x,y) =Σ uk Hx, yl = Σ sin( ) (F L k e L +G k e L ) (11) Απαιτώντας τώρα από τη γενική λύση (11) να ικανοποιεί και τη Σ.Σ. (4) του προβλήµατος u(x,y)ö0 όταν yø, άρα lim Σ yø sin( kπx kπy -kπy -kπy L ) ) (F L k e L +G k e L ) = 0 (1) -kπy kπy Όµως επειδή lim e yø L = 0 και lim e L = για να είναι limu(x,y)=0 πρέπει F k =0, οπότε yø yø u(x,y) =Σ uk Hx, yl = Σ Gk sin( kπx -kπy ) e L (13) L

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 7 Τώρα από τη ΣΣ (3) έχουµε: Gk sin( kπx u(x, 0) = 1 ó Σ ) = 1 (14) L Από την (14) η ποσότητες G k υπολογίζεται αµέσως ως ο συντελεστής του αναπτύγµατος της συνάρτησης f(x) = 1 σε σειρά Fourier ηµιτόνων στο διάστηµα [0,L]. 1= Σ bk sin kπx L Gk sin( kπx όπου b k = L Ÿ L kπx 0 1ÿsin x L bk sin kπx L ñ Σ HGk -b k ) sin kπx L Άρα Σ ) = Σ =0 L Λόγω ορθογωνιότητας του συνόλου των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων G k -b k =0 G k = b k G k = L Ÿ L kπx 0 1ÿsin x L Οπότε: f@x_d := 1 TrigId = 9Cos@Pik_D H 1L k, Sin@Pik_D 0=; G@k_D := Integrate@f@xDSin@kPixêLD, 8x, 0, L<D L G = G@kD ê. TrigId IL-H-1L k LM π k L IL-H-1L k LM g@k_d := π k L έπεται u@x_, y_, N_D := Sum@g@kD Exp@ Hk Pi êll yd Sin@kPixêLD, 8k, 1, N<D u@x, y, 10D 4 -π y L sini π x L M π + 4-3π y L sinj 3πx N L 3π + 4-5π y L sinj 5πx N L 5π + 4-7π y L Και η λύση του προβλήµατος Dirichlet (1)-(4) είναι η σειρά sinj 7πx N L 7π + 4-9π y L sinj 9πx N L u(x,y)= 4 kπy Σ 1 kπx sin π k L - L Μια πλάκα µε ηµιάπειρο µήκος και πλάτος L έχει τις δύο παράλληλες πλευρές της σε σταθερή θερµοκρασία µηδέν και την άλλη σε σταθερή θερµοκρασία 1.Να βρείτε τη θερµοκρασία της µόνιµης κατάστασης σ' ένα οποιοδήποτε σηµείο της. 9π

8 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb Άσκηση 3. ( µονάδες) ü Άσκηση 16 σελ. 180 Να βρεθεί αρµονική συνάρτηση στο τεταρτηµόριο ενός κύκλου Ω=9Hρ,θLœ ρœ[0,α], θœa0, π M= (1) που ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες uha,θl=τ 0 () u θ (ρ,0)=0 (3) u θ (ρ,π/)=0 (4) Η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγµένες u = 0 ñ u ρ + 1 ρ u + 1 u = 0 (5) ρ ρ θ Ζητώντας µη µηδενικές λύσεις µε χωρισµένες µεταβλητές θέτουµε u(ρ,θ) = Ρ(ρ) Θ(θ) (6) P@ρ_D := ρ k Eu = ρ P''@ρD+ρP'@ρD n P@ρD Solve@Eu 0, kd -n ρ k +Hk - 1L kρ k + kρ k 88k Ø-n<, 8k Ø n<< Έτσι παίρνουµε τη γενική λύση Ρ n (ρ) = C n ρ n +D n ρ -n,n 1 Επειδή το πρόβληµα είναι εσωτερικό επιλέγουµε D n =0 για να εξασφαλίσουµε την καλή συµπεριφορά της λύσης στο µηδέν,οπότε Ρ n (ρ) = C n ρ n,n 1 (7) Ενώ για n=0 γίνεται ρ Ρ''(ρ) + ρρ'(ρ) = 0 και έχει λύση DSolveAρ P''@ρD+ρP'@ρD 0, P@ρD, ρ, GeneratedParameters HSubscript@c, 1D &LE 88PHρLØc 0 loghρl+c 1 << από όπου τελικά το σύνολο των ιδιολύσεων σε πολικές συντεταγµένες είναι u(ρ, θ) = C 0 + D 0 lnρ+ HCn ρ n + ρ -n D n ) HA n cos(nθ) + B n sin(nθ)). Σ Επειδή το πρόβληµα είναι εσωτερικό, δηλαδή το χωρίο περιέχει την αρχή των αξόνων ρ = 0, επιλέγουµε τους συντελεστές D n = 0,,,... και D 0 =0 και έτσι εξασφαλίζουµε την καλή συµπεριφορά της λύσης στην περιοχή του µηδενός. u(ρ, θ) = C 0 + Cn ρ n HA n cos(nθ) + B n sin(nθ)). Σ u@ρ_, θ_, N_D := C@0D+Sum@C@nDρ n @A@nDCos@nθD+B@nDSin@nθDD, 8n, 1, N<D D@u@ρ, θ, ND, θd N c n Hn BHnL coshnθl-nahnl sinhnθllhρ n L HAHnL coshnθl+bhnl sinhnθll

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 9 N g@ρ_, θ_, N_D := c n HnBHnLcosHnθL nahnlsinhnθll Hρ n L HAHnLcosHnθL+BHnLsinHnθLL g@ρ, 0, ND N n BHnL c n Hρ n L HAHnLL g@ρ, Pi ê, ND N c n n BHnL cos π n - n AHnL sin π n Hρ n L AHnL cos π n + BHnL sin π n ü Άσκηση 17 σελ.180 Να βρεθεί αρµονική συνάρτηση στον ηµιδακτύλιο Ω=9Hρ,θLœ ρœ(a,b), θœ[0,π)} (1) που ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες u(a,θ)=1 () u(b,θ)=0 (3) u(ρ,0)=0 (4) u(ρ,π)=0 (5) Η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγµένες u = 0 ñ u ρ + 1 ρ u + 1 u = 0 (6) ρ ρ θ Ζητώντας µη µηδενικές λύσεις µε χωρισµένες µεταβλητές θέτουµε u(ρ,θ) = Ρ(ρ) Θ(θ) (7) και η (6) γίνεται Ρ''Θ + Ρ' Θ + Ρ Θ'' = 0. (8) ρ ρ Πολλαπλασιάζουµε µε ρ ΡΘ και παίρνουµε ρ Ρ'' Ρ + ρ Ρ' Ρ = - Θ'' Θ = λ (9) όπου η λ σταθερά χωρισµού. Οι δύο Σ..Ε. που προκύπτουν είναι ρ Ρ''(ρ) + ρρ'(ρ) - λ Ρ(ρ) = 0 (10) και Θ''(θ) + λ Θ(θ) = 0. (11) Η απαίτηση της περιοδικότητας της λύσης ως προς τη θ-µεταβλητή µε περίοδο π οδηγεί στην επιλογή λ=n, ne για τη σταθερά χωρισµού και στη γενική λύση της γραµµικής Σ..Ε. β' τάξης µε σταθερούς συντελεστές (11) DSolveAΘ''@θD+n Θ@θD 0, Θ@θD, θ E 88ΘHθLØc sinhnθl+c 1 coshnθl<< Θ n (θ) = A n cos(nθ) + B n sin(nθ) (1) Από τις ΣΣ (4)-(5) παίρνουµε Α η =0 Οπότε Θ n (θ) = B n sin(nθ) (13) Η (10) τότε, για ν 1 λύνεται ως Σ..Ε. Euler θέτοντας όπου Ρ=ρ κ και δίνει κ=±n. Άρα ρ η και ρ -η είναι λύσεις.

10 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb P@ρ_D := ρ k Eu = ρ P''@ρD+ρP'@ρD n P@ρD Solve@Eu 0, kd -n ρ k +Hk - 1L kρ k + kρ k 88k Ø-n<, 8k Ø n<< Έτσι παίρνουµε τη γενική λύση Ρ n (ρ) = C n ρ n +D n ρ -n,n 1 Επειδή το πρόβληµα είναι εσωτερικό επιλέγουµε D n =0 για να εξασφαλίσουµε την καλή συµπεριφορά της λύσης στο µηδέν,οπότε Ρ n (ρ) = C n ρ n,n 1 (14) Ενώ για n=0 γίνεται ρ Ρ''(ρ) + ρρ'(ρ) = 0 και έχει λύση DSolveAρ P''@ρD+ρP'@ρD 0, P@ρD, ρ, GeneratedParameters HSubscript@c, 1D &LE 88PHρLØc 0 loghρl+c 1 << Άρα η γενική λύση που προκύπτει από την αρχή της υπέρθεσης: u(ρ,θ)= a 0 + b 0lnρ+ Σ ρ n a n sin(nθ) + Σ ρ -n d n sin(nθ) (15) Εφαρµόζουµε τις Σ.Σ. ()- (3) στην (15) : a n = 0,,,... b 0 = 0 d n = 0, n= 1,,... Άρα η (15) γράφεται: u(ρ,θ) = a 0 P@r_, n_d := C n Cosh@nLog@rDD+D n Sinh@nLog@rDD Solve@8P@a, nd 1, P@b, nd 0<, 8C n, D n <D sinhhn loghbll ::C n Ø- sinhhn loghall coshhn loghbll-coshhn loghall sinhhn loghbll, D n Ø coshhn loghbll sinhhn loghall coshhn loghbll-coshhn loghall sinhhn loghbll >> P@r_D := C 0 Log@rD+C 1 Solve@8P@aD 1, P@bD 0<, 8C 0, C 1 <D 1 ::C 0 Ø loghal-loghbl, C loghbl 1 Ø- loghal-loghbl >> Ρ 0 (ρ) = C 0 +D 0 lnρ (16) Η λύση u(ρ,θ) της εξίσωσης Laplace δίνεται u(ρ,θ) = Ρ 0 (ρ) Θ 0 (θ) + Σ Ρn (ρ) Θ n (θ) ή u(ρ,θ) = C 0 + Σ Dn ρ -n (A n cos(nθ) + B n sin(nθ)) (17)

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 11 Άσκηση 4. ( µονάδες) Η µονοδιάστατη εξίσωση θερµότητας Ι: Ψύξη µιας άπειρης µεταλλικής πλάκας µέσα σε ένα λουτρό µηδενικής θερµοκρασίας Μαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος: Η εξίσωση: u t = u xx (1) Οι Συνοριακές Συνθήκες: u(0,t) = u(π,t) = 0 () Η Αρχική Συνθήκη: u(x,0)=f(x) (3) f@x_d := 10x 0 x < Pi ê 10x Pi ê x < Pi Με τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών αναζητούµε λύση του προβλήµατος (1)-(3) στη µορφή u(x,t)=x(x)t(t) (4) και αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουµε: ΧΤ -Χ Τ=0 ñ Χ = Τ =-λ, λ>0 (5) Χ Τ διότι η χρονική εξίσωση Τ =-λτ θα έχει λύση το φθίνον εκθετικό T(t)= e -λt. DSolve@T'@tD+λT@tD 0, T@tD, td 99THtLØc 1 -tλ == Ως προς τη χωρική συνάρτηση Χ(x), η 5 δίνει: Χ +λχ = 0 (6) Επειδή λ>0, Έστω λ=n,τότε: DSolveA9X''@xD+n X@xD 0, X@0D 0=, X@xD, xe 88XHxLØc sinhn xl<< µε ιδιολύσεις: Χ n (x) = B n sinnx (7) Οπότε u(x,t) = F n e -n t sinnx (8) Από τη Σ.Σ. u(π,t) = 0 ñ sinnπ = 0 ñ nπ = nπ,,,... έχουµε: u(x,t) = F n e -n t sinnx (9) Για να ικανοποιήσουµε την Α.Σ. (3) u(x,0)=f(x) παίρνουµε µε υπέρθεση τη λύση u(x,t) = Σ Fn e -n t sinnx (10) και επειδή u(x,0)=f(x) Fn sinnx =f(x) (11) Σ θα αναπτύξουµε τη συνάρτηση f(x) σε ηµιτονική σειρά Fourier Είναι f(x) = Σ αn sinnx (1) όπου α n = π Ÿ 0π fhxl sinnx x,n>0 (13) TrigId = 8Cos@Pin_D H 1L n, Sin@Pin_D 0<; a@n_d := Integrate@f@xDSin@nxD, 8x, 0, Pi<D Pi a@nd ê. TrigId - 10H-π H-1L n n +π Â n n + 4H-1L n - 8Â n + 4L π n 3

1 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb a1 = Table@a@nD, 8n, 1, 0<D ListPlot@a1D a@0d :- 0Hπ - πl 5H3π - 4L, π π, - 0Hπ+3π L 5π, 9π - 0Hπ+7π L 5π, 49π 4, - 0H9π - πl 75π - 4, 81π 5π 40 5H147π - 4L 343π, - 4Hπ+15π L 5π, 45π 8, - 0H17π - πl 89π, - 4H5π - πl 5π 5H7π - 4L, 7π,, - 0Hπ+11π L 5π, 11π, 5H43π - 4L 79π 6, - 0H13π - πl 169π, - 0Hπ+19π L π, 361π >, 30 0 10-10 5 10 15 0-0 0 a0 = a@0d 0 u@x_, t_d := ModuleA8term1, res<, term1 = a1 TableAExpA n te Sin@n xd, 8n, 1, 0<E; u@ x, td res = a0 + Apply@Plus, term1d; Return@resDE - 0Hπ - πl -t sinhxl π 4H5π - πl -5 t sinh5 xl 5π 0H9π - πl -81 t sinh9 xl 81π 0H13π - πl -169 t sinh13 xl 169π 0H17π - πl -89 t sinh17 xl 89π + 5H3π - 4L -4 t sinh xl π + 5H7π - 4L -36 t sinh6 xl 7π + H75π - 4L -100 t sinh10 xl 5π + 5H147π - 4L -196 t sinh14 xl 343π + 5H43π - 4L -34 t sinh18 xl 79π - 0Hπ+3π L -9 t sinh3 xl 9π - 0Hπ+7π L -49 t sinh7 xl 49π + 5 π -16 t sinh4 xl- - 0Hπ+11π L -11 t sinh11 xl 11π - 4Hπ+15π L -5 t sinh15 xl 45π - 0Hπ+19π L -361 t sinh19 xl 361π + 5 4 π -64 t sinh8 xl- + 5 6 π -144 t sinh1 xl- + 5 8 π -56 t sinh16 xl- + 1 π -400 t sinh0 xl

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 13 Plot3D@u@x, td, 8x, 0, Pi<, 8t, 0, 0.<D Plot3D@u@x, td, 8x, 0, Pi<, 8t, 0, 0.00000001<D Plot3D@u@x, td, 8x, 0, Pi<, 8t, 0, 0.5<, ColorFunction "SunsetColors"D

14 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb H Λόγω ορθογωνιότητας του συνόλου 8sinnx<,η H11L έπεται την L 10 I π H 1L n n +π n n +4 H 1L n 8 n +4M F@n_D := H 15 L πn 3 Και η λύση του ΠΑΣΤ (1)-(3) είναι η σειρά u(x,t) = Σ Fn e -n t sinnx c = FourierSinSeries@f@xD, x, 5D -0Hπ-L sinhxl+ 15π- 0 π 0 sinh xl- 9 H+3πL sinh3 xl+ 5 π sinh4 xl+ 8-4π sinh5 xl 5 Plot@c, 8x, 0, Pi<D 0 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0-0 -40-60 -80 G@x_, N_D := Sum@a@nD Sin@nxD, 8n, 1, N<D p@n_, a_d := Plot@Evaluate@F@x, NDD, 8x, a, a<, PlotRange All, PlotPoints 100D a@nd - 1 π n 10 3 π n cos π n - π n coshπ nl-4πnsin π n + 4πnsinHπ nl-8 cos π n + 4 coshπ nl+4 Plot@Evaluate@Table@G@x, nd, 8n, 1, 0, 5<DD, 8x, 0, 3<D 0-0 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0-40 -60-80 -100

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 15 Άσκηση 5. (1,5 µον.) Η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε καρτεσιανές συντεταγµένες: Το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς L=1. Μαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος: Η εξίσωση: u ª u xx + u yy = 0 (1) Οι Συνοριακές Συνθήκες: Μεταβλητή x: u(0,y) = u(1,y) = 0 () Μεταβλητή y: u(x,0) = 0 (3) u(x,1) = x -x (4) Με τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών αναζητούµε λύση του προβλήµατος (1)-(4) στη µορφή u(x,y)=x(x)y(y) (5) και αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουµε: X''Y + XY'' = 0 ñ X '' X + Y'' Y = 0 ñ X '' X = - Y'' = λ ñ X '' = λx H6L Y Y '' = -λy H7L Απαιτώντας τώρα από τη χωριζοµένη λύση u(x,y)=x(x)y(y) να ικανοποιεί τις Οµ.Σ.Σ. (), παίρνουµε uh0, yl= XH0L YHyL=0 " y fl XH0L=0 (8) uh1, yl= XH1L YHyL=0 " y fl XH1L=0 Η (6) µαζί µε τις Σ.Σ. (8) αποτελούν πρόβληµα Σ..Ε. ης τάξης µε βοηθητικές συνθήκες. Με τη βοήθεια της Mathematica έχουµε: DSolveA9X @xd+n X@xD 0, X@0D 0=, X@xD, xe H Λύσεις:XHxLe nx, Χ''HxL=n e nx µε αντικατάσταση στην H6L:n e nx λe nx =0 n λ=0 n =λ n= ± i λ λ<0 η χαρακτηριστική εξίσωση της H6L είναι:p λ=0 n = ± i λ λ 0 Ê Αν λ 0 λ = n p=± λ ή p=n Χαρακτηριστικές Λύσεις:Χ λ HxL=c 1 e λ x +c e λ x HήΧ n HxL=c 1 coshhnxl+c sinhhnxll Με τη βοήθεια των ΣΣ H8L έχουµε: άρα λ όχι θετικό. Ê Αν λ<0 λ= n Οπότε οι χαρακτηριστικές Λύσεις L 88XHxLØc sinhn xl<< c 1 +c =0 c 1 e λ +c e λ =0 c 1 =c =0 Τετριµένη λύση, ΓιαΧH1L = 0 Β η sinn = 0 Β η 0 sinn = 0 n = kπ, k = 0, 1,...Άραλ = k π κ = 0, 1,,... Συνεπώς η λύση είναι: X k (x) = B k sin(kπx),,... (9) Πάµε τώρα να λύσουµε τη Σ..Ε (7) που γίνεται. Y''(y) -k π Y(y) = 0 (10) DSolveA9Y @yd k Pi Y@yD 0, Y@0D 0=, Y@yD, ye êê FullSimplifyH Με χαρακτηριστικές λύσεις L 88YHyLØ- c sinhhπ k yl<<

16 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb ΆραY k HyL = D k sinhkπy Οπότε οι χωριζοµένες λύσεις από την(5) θα είναι u k (x,y) = B k sin(kπx)d k sinhkπy fl u k (x,y) = a k sinkπxsinhkπy µε αντίστοιχη γενική λύση u(x,y) =Σ uk Hx, yl = Σ ak sinkπx sinhkπy (11) Απαιτώντας τώρα από τη γενική λύση (11) να ικανοποιεί και τη µη οµογενή Σ.Σ. (4) του προβλήµατος παίρνουµε u(x,1) =Σ uk Hx, 1L = Σ ak sinkπx sinhkπ = x -x (1) Από την (1) οι ποσότητες a k sinhkπ υπολογίζονται αµέσως ως οι συντελεστές του αναπτύγµατος της συνάρτησης f(x) = x -x σε σειρά Fourier ηµιτόνων στο διάστηµα [0,1]. x -x = Σ bk sinkπx όπου b k = 1 Ÿ 1 0 Ix - xm sinkπx x Άρα Σ ak sinkπx sinhkπ = Σ bk sinkπx ñ Σ (ak sinkπx -b k )sinkπx =0 Λόγω ορθογωνιότητας του συνόλου των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων έπεται a k sinkπx -b k =0 a k sinkπx = b k a k sinhkπ = 1 Ÿ 01 Ix - xm sinkπx x fl a k = Οπότε: sinhkπ Ÿ 1 0 Ix - xm sinkπx x f@x_d := x x TrigId = 8Cos@Pin_D H 1L n, Sin@Pin_D 0<; a@n_d := Integrate@f@xDSin@nPixD, 8x, 0, 1<D Sinh@nPiD a = a@nd ê. TrigId HH-1L n - L cschhπ nl π 3 n 3 A@n_D := HH-1Ln - L cschhπ nl π 3 n 3 Και η λύση του προβλήµατος Dirichlet (1)-(4) είναι η σειρά u(x,y) = Σ ak sinkπx sinhkπy, µε α k = k 3 cschhπ klhk sinhkl+ coshkl-l u@x_, y_, N_D := Sum@A@nDSin@nPixDSinh@nPiyD, 8n, 1, N<D

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 17 H Η επιφάνεια του δυναµικού πάνω από το δεδοµένο χωρίο είναι L Plot3D@u@x, y, 100D, 8x, 0, 1<, 8y, 0, 1<D Πρόκειται για µια ενιαία γεωµετρική επιφάνεια που το ύψος της σε κάθε σηµείο δίνει το δυναµικό του τετραγώνου σ αυτό. ContourPlot@u@x, y, 100D, 8x, 0, 1<, 8y, 0, 1<, ColorFunction "DarkRainbow"D H υψοµετρικό γράφηµα της u µέσα στο τετράγωνο L

18 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb DensityPlot@u@x, y, 100D, 8x, 0, 1<, 8y, 0, 1<, ColorFunction Hue D H Το διάγραµµα πυκνότητας της u µέσα στο τετράγωνο πλαίσιο L Άσκηση 6. (1,5 µον.) Η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγµένες u = 0 ñ u ρ + 1 ρ u + 1 u = 0 (1) ρ ρ θ Ζητώντας µη µηδενικές λύσεις µε χωρισµένες µεταβλητές θέτουµε u(ρ,θ) = Ρ(ρ) Θ(θ) () και η (1) γίνεται Ρ''Θ + Ρ' Θ + Ρ Θ'' = 0. (3) ρ ρ Πολλαπλασιάζουµε µε ρ ΡΘ και παίρνουµε ρ Ρ'' Ρ + ρ Ρ' Ρ = - Θ'' Θ = λ (4) όπου η λ σταθερά χωρισµού. Οι δύο Σ..Ε. που προκύπτουν είναι ρ Ρ''(ρ) + ρρ'(ρ) - λ Ρ(ρ) = 0 (5) και Θ''(θ) + λ Θ(θ) = 0. (6) Η απαίτηση της περιοδικότητας της λύσης ως προς τη θ-µεταβλητή µε περίοδο π οδηγεί στην επιλογή λ=n, ne για τη σταθερά χωρισµού και στη γενική λύση της γραµµικής Σ..Ε. β' τάξης µε σταθερούς συντελεστές (6) DSolveAΘ''@θD+n Θ@θD 0, Θ@θD, θ E 88ΘHθLØc sinhnθl+c 1 coshnθl<< Θ n (θ) = A n cos(nθ) + B n sin(nθ) (7) Η (5) τότε, για ν 1 λύνεται ως Σ..Ε. Euler θέτοντας όπου Ρ=ρ κ και δίνει κ=±n. Άρα ρ η και ρ -η είναι λύσεις.

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 19 P@ρ_D := ρ k Eu = ρ P''@ρD+ρP'@ρD n P@ρD Solve@Eu 0, kd -n ρ k +Hk - 1L kρ k + kρ k 88k Ø-n<, 8k Ø n<< H DSolveAρ P''@ρD+ρ P'@ρD n P@ρD 0,P@ρD,ρE L Έτσι παίρνουµε τη γενική λύση Ρ n (ρ) = C n ρ n +D n ρ -n,n 1 (8) Επειδή το πρόβληµα είναι εξωτερικό επιλέγουµε C n =0 για να εξασφαλίσουµε την καλή συµπεριφορά της λύσης στο άπειρο,οπότε Ρ n (ρ) = D n ρ -n,n 1 (9) Ενώ για n=0 γίνεται ρ Ρ''(ρ) + ρρ'(ρ) = 0 και έχει λύση DSolveAρ P''@ρD+ρP'@ρD 0, P@ρD, ρ, GeneratedParameters HSubscript@c, 1D &LE 88PHρLØc 0 loghρl+c 1 << Ρ 0 (ρ) = C 0 +D 0 lnρ (10) όπου o συντελεστής D 0 =0 για τον ίδιο λόγο, άρα Ρ 0 (ρ) = C 0 (11) Η λύση u(ρ,θ) της εξίσωσης Laplace δίνεται u(ρ,θ) = Ρ 0 (ρ) Θ 0 (θ) + Σ Ρn (ρ) Θ n (θ) ή u(ρ,θ) = C 0 + Σ Dn ρ -n (A n cos(nθ) + B n sin(nθ)) (1) u@ρ_, θ_, N_D := a@0d +Sum@D@nDρ n @a@ndcos@nθd+b@ndsin@nθdd, 8n, 1, N<D Παραγωγίζουµε τη (1) ως προς ρ και παίρνουµε D@u@ρ, θ, ND, ρd N ni-nρ -n-1 M@aHnL coshnθl+bhnl sinhnθld N ni-nρ -n-1 M@AHnL coshnθl+ BHnL sinhnθld H13L h@ρ_, θ_, N_D := u@ρ, θ, ND+D@u@ρ, θ, ND, ρd ü g(θ)= Sin(θ) g@θ_d := Sin@θD

0 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb Η συνοριακή συνθήκη u(α,θ) + ρ u(ρ,θ) ρ=α = g(θ) απαιτεί, µέσω των (1), (13) C 0 + N ni-nρ -n-1 M@AHnL coshnθl+bhnl sinhnθld = sinθ. (14) Από την (14) οι ποσότητες υπολογίζονται αµέσως ως οι συντελεστές του αναπτύγµατος της συνάρτησης ghθl = sinθ σε σειρά Fourier ηµιτόνων και συνηµιτόνων στο διάστηµα [0,π]. sinθ = Σ Hαn cosnθ+ b n sinnθ) όπου α n = π Ÿ 0π sinθ sinnθ θ bn = π Ÿ π 0 sinθ cosnθ θ Η (14) λόγω ορθογωνιότητας του συνόλου των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων 8cosnθ, sinnθ< n=0 στο [0,1] είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα a@n_d := a@nd 1 Integrate@g@θD Sin@n θd, 8θ, 0, Pi<D n Pi sinhπnl π nhn - 1L a@0d = H1ê PiL Integrate@g@θD, 8θ, 0, Pi<D 0 b@n_d := b@nd 1 Integrate@g@θD Cos@n θd, 8θ, 0, Pi<D n Pi - sin Hπ nl π nhn - 1L a1 = Table@a@nD, 8n, 1, 0<D; ListPlot@a1D 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 5 10 15 0

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 1 b1 = Table@b@nD, 8n, 1, 0<D; ListPlot@b1D 1.0 0.5 5 10 15 0-0.5-1.0 u@r_, θ_d := Module@8term1, term, res<, term1 = a1 Table@HrL^n Cos@n θd, 8n, 1, 0<D; term = b1 Table@HrL^n Sin@n θd, 8n, 1, 0<D; res = a@0d + Apply@Plus, term1d + Apply@Plus, termd; Return@resD;D; u@ r, θd r coshθl ParametricPlot3D@8r Cos@θD, r Sin@θD, u@r, θd<, 8r, 0, 1<, 8θ, 0, Pi<D

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb ParametricPlot3D@ 88r Cos@θD, r Sin@θD, u@r, θd<, 8Cos@θD, Sin@θD, 0<<, 8r, 0, 1<, 8θ, 0, Pi<D ü g(θ)= Cos(θ) g@θ_d := Cos@θD Η συνοριακή συνθήκη u(α,θ) + ρ u(ρ,θ) ρ=α = g(θ) απαιτεί, µέσω των (1), (13) C 0 + N ni-nρ -n-1 M@AHnL coshnθl+bhnl sinhnθld = cosθ. (14) Από την (14) οι ποσότητες υπολογίζονται αµέσως ως οι συντελεστές του αναπτύγµατος της συνάρτησης ghθl = cosθ σε σειρά Fourier ηµιτόνων και συνηµιτόνων στο διάστηµα [0,π]. cosθ = Σ Hαn cosnθ+ b n sinnθ) όπου α n = π Ÿ 0π cosθ sinnθ θ bn = π Ÿ π 0 cosθ cosnθ θ Η (14) λόγω ορθογωνιότητας του συνόλου των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων 8cosnθ, sinnθ< n=0 στο [0,π] είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα a@n_d := a@nd 1 Integrate@g@θD Sin@n θd, 8θ, 0, Pi<D n Pi sin Hπ nl πhn - 1L a@0d = H1ê PiL Integrate@g@θD, 8θ, 0, Pi<D 0 b@n_d := b@nd 1 Integrate@g@θD Cos@n θd, 8θ, 0, Pi<D n Pi sinhπnl πhn - 1L

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 3 a1 = Table@a@nD, 8n, 1, 0<D; ListPlot@a1D 1.0 0.5 5 10 15 0-0.5-1.0 b1 = Table@b@nD, 8n, 1, 0<D; ListPlot@b1D 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 5 10 15 0 u@r_, θ_d := Module@8term1, term, res<, term1 = a1 Table@HrL^n Cos@n θd, 8n, 1, 0<D; term = b1 Table@HrL^n Sin@n θd, 8n, 1, 0<D; res = a@0d + Apply@Plus, term1d + Apply@Plus, termd; Return@resD;D; u@ r, θd r sinhθl

4 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb ParametricPlot3D@8r Cos@θD, r Sin@θD, u@r, θd<, 8r, 0, 1<, 8θ, 0, Pi<D ParametricPlot3D@ 88r Cos@θD, r Sin@θD, u@r, θd<, 8Cos@θD, Sin@θD, 0<<, 8r, 0, 1<, 8θ, 0, Pi<D ü g(θ)= Cos(θ)+Sin(θ) g@θ_d := Cos@θD+Sin@θD

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 5 Η συνοριακή συνθήκη u(α,θ) + ρ u(ρ,θ) ρ=α = g(θ) απαιτεί, µέσω των (1), (13) C 0 + N ni-nρ -n-1 M@AHnL coshnθl+bhnl sinhnθld = cosθ+sinθ. (14) Από την (14) οι ποσότητες υπολογίζονται αµέσως ως οι συντελεστές του αναπτύγµατος της συνάρτησης ghθl=cosθ+sinθ σε σειρά Fourier ηµιτόνων και συνηµιτόνων στο διάστηµα [0,π]. cosθ +sinθ = Σ Ÿ 0 π Hcosθ+sinθL cosnθ θ Hα n cosnθ+ b n sinnθ) όπου α n = π Ÿ π 0 Hcosθ+sinθL sinnθ θ bn = π Η (14) λόγω ορθογωνιότητας του συνόλου των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων 8cosnθ, sinnθ< n=0 στο [0,π] είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα a@n_d := a@nd 1 Integrate@g@θD Sin@n θd, 8θ, 0, Pi<D n Pi n sin Hπ nl+sinhπnl π nhn - 1L a@0d = H1ê PiL Integrate@g@θD, 8θ, 0, Pi<D 0 b@n_d := b@nd 1 Integrate@g@θD Cos@n θd, 8θ, 0, Pi<D n Pi n sinhπnl- sin Hπ nl π nhn - 1L a1 = Table@a@nD, 8n, 1, 0<D; ListPlot@a1D 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 5 10 15 0

6 Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb b1 = Table@b@nD, 8n, 1, 0<D; ListPlot@b1D 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 5 10 15 0 u@r_, θ_d := Module@8term1, term, res<, term1 = a1 Table@HrL^n Cos@n θd, 8n, 1, 0<D; term = b1 Table@HrL^n Sin@n θd, 8n, 1, 0<D; res = a@0d + Apply@Plus, term1d + Apply@Plus, termd; Return@resD;D; u@ r, θd r sinhθl+r coshθl ParametricPlot3D@8r Cos@θD, r Sin@θD, u@r, θd<, 8r, 0, 1<, 8θ, 0, Pi<D

Manaras_Nikolaos_ergasia4.nb 7 ParametricPlot3D@ 88r Cos@θD, r Sin@θD, u@r, θd<, 8Cos@θD, Sin@θD, 0<<, 8r, 0, 1<, 8θ, 0, Pi<D Αναφορές - Πηγές è Σ. Τραχανάς, "Μερικές ιαφορικές εξισώσεις", ΠΕΚ,007 è Γ. άσιος, "Μερικές ιαφορικές εξισώσεις", 1994 Υπεύθυνη ήλωση Βεβαιώνω ότι είµαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιµασία της είναι πλήρως αναγνωρισµένη και αναφέρεται στην εργασία στην ενότητα Αναφορές/Πηγές. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδοµένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασµένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιµάστηκε από εµένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριµένη Θεµατική Ενότητα ΜΣΜ61 «Υπολογιστικές Μέθοδοι και Λογισµικό στα Μαθηµατικά». Ηµεροµηνία υποβολής: 06/03/011 Τόπος:Θεσσαλονίκη Ο ηλών Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 509.)