Κεθάιαην : Μνληεινπνίεζε ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο Μαζεζηαθνί ζηόρνη Μεηά ηελ αλάγλωζε ηνπ θεθαιαίνπ νη θνηηεηέο ζα είλαη ζε ζέζε: Να κνληεινπνηνύλ απιά ζπζηήκαηα κε εμηζώζεηο θαηάζηαζεο Να ππνινγίδνπλ ηνπο πίλαθεο κνληεινπνίεζεο ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο Να ππνινγίδνπλ ηελ ειεύζεξε απόθξηζε ζπζηήκαηνο ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο Να ππνινγίδνπλ ηνλ πίλαθα ζπλαξηήζεωλ κεηαθνξάο Πξναπαηηνύκελε γλώζε Πξναπαηηνύκελεο γλώζεηο γηα ηελ θαηαλόεζε ηνπ θεθαιαίνπ είλαη ε εμνηθείωζε κε ηε ζεωξία ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ plc θαη κε ηελ έλλνηα ηωλ απιώλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεωλ Γεληθά Σηε κέρξη ζηηγκήο αλάιπζή καο, κειεηνύζακε θαη επηιύακε ηα πξνβιήκαηα ΣΑΔ αεξνζθαθώλ κε ηε κέζνδν ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ plc Η κέζνδνο απηή παξέρεη κηα πξαθηηθή πξνζέγγηζε ζηελ αλάιπζε ελόο ζπζηήκαηνο θαη κέζσ ησλ δνκηθώλ δηαγξακκάησλ επηηξέπεη ηελ απινπνίεζε ζύλζεησλ πξνβιεκάησλ Σε απηό ην θεθάιαην ζα παξνπζηάζνπκε κηα ελαιιαθηηθή κέζνδν κνληεινπνίεζεο, κέζσ ελόο ζπζηήκαηνο δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ πξώηεο ηάμεο, κηα κέζνδνο πνπ έρεη θη απηή ηα δηθά ηεο πιενλεθηήκαηα βι πρ, Ml, 99, Βειώλε, 997 Δηακόξθσζε εμηζώζεσλ ρώξνπ θαηάζηαζεο Η γεληθή κνξθή ησλ εμηζώζεωλ θαηάζηαζεο ελόο ζπζηήκαηνο είλαη: Ή ζε κνξθή πηλάθσλ:
,, είλαη νη κεηαβιεηέο θαηάζηαζεο,, είλαη νη παξάγσγνη ησλ κεηαβιεηώλ θαηάζηαζεο σο πξνο ηνλ ρξόλν,, είλαη νη είζνδνη ηνπ ζπζηήκαηνο Πην ζπλνπηηθά έρνπκε: B Η εμίζσζε νλνκάδεηαη εμίζωζε θαηάζηαζεο Σηε γεληθή πεξίπησζε, νη έμνδνη ηνπ ζπζηήκαηνο ζπλδένληαη κε ηηο κεηαβιεηέο θαηάζηαζεο κέζσ ηεο εμίζωζεο εμόδνπ: y D * πίλαθαο θαηάζηαζεο B * πίλαθαο εηζόδνπ r * πίλαθαο εμόδνπ D r * απεπζείαο πίλαθαο δηάλπζκα κεηαβιεηώλ θαηάζηαζεο δηάλπζκα κεηαβιεηώλ εηζόδνπ y δηάλπζκα r κεηαβιεηώλ εμόδνπ Τνλίδεηαη όηη όζνλ αθνξά εθαξκνγέο ζρεηηθέο κε ηε δπλακηθή θαη ηνλ έιεγρν αεξνζθαθώλ, ζπλήζσο έρνπκε D Γηα λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε κέζνδν ηνπ ρώξνπ θαηάζηαζεο, ζα πξέπεη λα επηιέμνπκε έλα θαηάιιειν ζύλνιν κεηαβιεηώλ, έηζη ώζηε λα κπνξεί λα κνληεινπνηεζεί ην πξόβιεκα ζε έλα ζύζηεκα εμηζώζεσλ πξώηεο ηάμεο Οη κεηαβιεηέο θαηάζηαζεο vril πξνζδηνξίδνπλ ηε κειινληηθή ζπκπεξηθνξά ελόο ζπζηήκαηνο, όηαλ καο είλαη γλσζηά ε παξνύζα θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο, νη εμηζώζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ηε δπλακηθή ηνπ θαζώο θαη ηα ζήκαηα εηζόδνπ Δάλ πάξνπκε, γηα παξάδεηγκα, έλα ζύζηεκα ειαηεξίνπ-κάδαο πνπ θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα, νη κεηαβιεηέο θαηάζηαζεο πνπ κπνξνύλ λα πεξηγξάςνπλ πιήξσο ηελ θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ε ζέζε θαη ε ηαρύηεηα ηεο κάδαο Μ Έηζη ζέηνπκε: y dy d
, είλαη νη κεηαβιεηέο θαηάζηαζεο y είλαη ε ζέζε ηεο κάδαο Σρήκα Σύζηεκα ειαηεξίνπ-κάδαο Η δηαθνξηθή εμίζσζε πνπ πεξηγξάθεη ηε δπλακηθή ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη εο ηάμεο: d y d dy d ky Μ ε κάδα ηνπ ζώκαηνο kg ε ζηαζεξά απόζβεζεο kg/ k ε ζηαζεξά ειαηεξίνπ N/ ε είζνδνο δύλακε N Αληηθαζηζηώληαο κε ηηο κεηαβιεηέο θαηάζηαζεο έρνπκε: d k d Έηζη, κπνξνύκε ηειηθώο λα πεξηγξάςνπκε ην ζύζηεκα ειαηεξίνπ-κάδαο κε έλα ζύζηεκα δύν δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ εο ηάμεο: d d
d k d M M M Παξάδεηγκα Η εμίζσζε θίλεζεο ελόο ζπζηήκαηνο ειαηεξίνπ-κάδαο είλαη: d y dy 5y d d Να κνληεινπνηεζεί ην ζύζηεκα ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο κε κεηαβιεηέο θαηάζηαζεο ηε ζέζε θαη ηελ ηαρύηεηα ηεο κάδαο θαη κε έμνδν ηε ζέζε ηεο Λύζε: Οξίδνπκε: y dy d Έηζη, έρνπκε: d d d y d Γειαδή: dy d 5y,5,, Σε κνξθή πηλάθσλ έρνπκε:,5,, Δπίζεο, αθνύ σο έμνδν y νξίδνπκε ηε ζέζε ηεο κάδαο: y Άξα:
y Από ηα παξαπάλσ θαη ζύκθσλα κε ηηο εμηζώζεηο θαη, ζπκπεξαίλνπκε ην εμήο:, B,5,,, D, Χξνληθή απόθξηζε ζηελ θαηάζηαζε ρώξνπ Με ηελ θαηάιιειε καζεκαηηθή αλάιπζε είλαη δπλαηόλ λα δεηρηεί όηη ε ιύζε ηεο εμίζσζεο θαηάζηαζεο είλαη ε εμήο: B d! k k! k Η ηειεπηαία είλαη κηα εθζεηηθή ζπλάξηεζε πίλαθα Ο παξαπάλσ καζεκαηηθόο ηύπνο κπνξεί λα επηιπζεί είηε κε ππνινγηζηηθέο κεζόδνπο κε ηε βνήζεηα ειεθηξνληθνύ ππνινγηζηή είηε ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ κεηαζρεκαηηζκό plc Σηε δεύηεξε πεξίπησζε έρνπκε: B 4 ν κεηαζρεκαηηζκόο plc ηνπ πίλαθα ν πίλαθαο κεηαθνξάο riio ri ηνπ ζπζηήκαηνο Η ρξνληθή απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίλεηαη από ην εμήο: τbτ d 5 Παξαηεξνύκε όηη ρσξίο ηε ρξήζε θάπνηνπ καζεκαηηθνύ ινγηζκηθνύ, ε εύξεζε ηεο ρξνληθήο απόθξηζεο ελόο ζπζηήκαηνο κε ηε κέζνδν ηνπ ρώξνπ θαηάζηαζεο είλαη καζεκαηηθά επίπνλε Απηόο είλαη θαη ν ιόγνο πνπ ε κνληεινπνίεζε ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο ζπληειείηαη ζπλήζσο κε ηε ρξήζε θαηάιιεινπ ινγηζκηθνύ
Η πην απιή πεξίπησζε επίιπζεο ηεο εμίζσζεο 5 είλαη εάλ ζέζνπκε ηελ είζνδν ίζε κε κεδέλ Σηελ πεξίπησζε απηή έρνπκε ηελ ειεύζεξε απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο, δειαδή ηελ απόθξηζε ζε θάπνηεο αξρηθέο ζπλζήθεο ρσξίο παξνπζία εηζόδσλ Η 5 απινπνηείηαη ηόηε ζηελ εμήο κνξθή: 6 Παξάδεηγκα Να βξεζεί ε ειεύζεξε απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο,, όηαλ νη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη: Λύζε: Η ειεύζεξε απόθξηζε δίλεηαη από ην εμήο: Δπίζεο: Έηζη, έρνπκε ηειηθά: Γηα λα βξνύκε ηνλ αληίζηξνθν κεηαζρεκαηηζκό plc ζα πξέπεη λα αλάγνπκε ηα θιάζκαηα ζε κεξηθά θιάζκαηα Με ηελ θαηάιιειε καζεκαηηθή επεμεξγαζία κπνξνύκε λα δείμνπκε:
Σηε ζπλέρεηα, από ηνπο πίλαθεο ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ plc βι, πρ, Ml, 99 πξνθύπηεη: Έηζη: Σρέζε κεηαμύ ρώξνπ θαηάζηαζεο θαη ζπλαξηήζεσλ κεηαθνξάο Παξαπάλσ έρνπκε δείμεη: B Από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε, γηα αξρηθέο ζπλζήθεο κεδέλ, έρνπκε: B 7 Δπίζεο, από ηελ εμίζσζε εμόδνπ πξνθύπηεη: D y Αληηθαζηζηώληαο ηελ εμίζσζε εμόδνπ ζηελ 7 έρνπκε: D B y 8 Ο πίλαθαο εμόδνπ ζπλδέεηαη κε απηόλ ηεο εηζόδνπ κέζσ ηεο εμήο ζρέζεο: y G D B G ν πίλαθαο ζπλαξηήζεωλ κεηαθνξάο ή απιά πίλαθαο κεηαθνξάο Ο πίλαθαο D είλαη ζπλήζσο κεδεληθόο πίλαθαο, νπόηε: B G 9 Δπίζεο:
dj : Γ είλαη ε νξίδνπζα ηνπ πίλαθα Σεκεηώλεηαη, επίζεο, ην εμήο: Ο G είλαη πίλαθαο ζπλαξηήζεσλ κεηαθνξάο θαη άξα γηα ζύζηεκα κε r εμόδνπο θαη εηζόδνπο, ζα πεξηέρεη r * ζπλαξηήζεηο κεηαθνξάο Η νξίδνπζα Γ απνηειεί ηε ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε ηνπ ζπζηήκαηνο, θαζνξίδνληαο νπζηαζηηθά ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ Παξάδεηγκα Γηα έλα θύθισκα αληίζηαζε-πελίν-ππθλσηήο, νη εμηζώζεηο θαηάζηαζεο είλαη: είλαη ε ρσξεηηθόηεηα ηνπ ππθλσηή, είλαη ε εκπέδεζε ηνπ πελίνπ θαη είλαη ε ηηκή ηεο αληίζηαζεο Η εμίζσζε εμόδνπ ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη: y Να βξεζεί ν πίλαθαο ζπλαξηήζεσλ κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηνο Λύζε: Πξέπεη πξώηα λα ππνινγίζνπκε ηνπο πίλαθεο ζηε κνληεινπνίεζε ηνπ ρώξνπ θαηάζηαζεο Από ηελ εθθώλεζε ηνπ παξαδείγκαηνο κπνξνύκε λα δηαπηζηώζνπκε όηη:,, D B, Ξέξνπκε όηη αθνύ D, ηζρύεη ην εμήο: G B Αληηθαζηζηώληαο ηνπο πίλαθεο έρνπκε:
G Σε απηή ηελ πεξίπησζε, ινηπόλ, παξαηεξνύκε όηη ν πίλαθαο ζπλαξηήζεσλ κεηαθνξάο απινπνηείηαη ζε κηα απιή ζπλάξηεζε κεηαθνξάο Σύλνςε Σην θεθάιαην απηό παξνπζηάζακε επηγξακκαηηθά ηε βαζηθή ζεωξία κνληεινπνίεζεο ζπζηεκάηωλ ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο Σην επόκελν θεθάιαην ζα κειεηήζνπκε ηελ εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ ζηε κνληεινπνίεζε θαη ζηνλ έιεγρν αεξνζθαθώλ Βηβιηνγξαθία Ml, J, Schlz, D 99: ir orol Sy, McGrw-Hill ollg Βειώλε, Α 997: Σπζηήκαηα Απηόκαηνπ Διέγρνπ Λπκέλεο Αζθήζεηο, Παπαζσηεξίνπ