Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007
Ροµπότ SCR 1
Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές περιγραφές αντικειµένων Μετασχηµατισµοί στο χώρο 2
Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Εστω διανύσµατα x, y R n : x = [ x 1 x 2... x n ], y = [ y 1 y 2... y n ] Το εσωτερικό γινόµενο των x και y είναι: x y = y x = x y = y x = n i=1 x iy i Το µέτρο του x είναι: x = x x = n i=1 x2 i Αν θ είναι η γωνία ανάµεσα στα x και y, τότε: x y = x y cos θ 3
Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας (2) 3-διάστατο Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων: {} {O ; x, y, z } Τα διανύσµατα αξόνων x, y, z είναι µοναδιαία: x = y = z = 1 και ανά δύο κάθετα µεταξύ τους: Ισχύει: x y = x z = y z = 0 z = x y 4
Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές περιγραφές αντικειµένων Μετασχηµατισµοί στο χώρο 5
Περιγραφή αντικειµένου στο χώρο Προσαρτούµε στο αντικείµενο ένα σωµατοπαγές σύστηµα αξόνων {B} {O B ; x B, y B, z B } Περιγράφουµε το σύστηµα {B} ως προς το σύστηµα {}. Η περιγραφή του {B} ως προς το {} περιλαµβάνει: Τη θέση του σηµείου O B ως προς το {} Τον προσανατολισµό του συστήµατος {B} ως προς το {} (ανεξάρτητα από τη σχετική τους ϑέση) 6
Το σηµείο O B µπορεί να περιγραφεί ως προς το σύστηµα {} από το διάνυσµα p B. Αν τα διανύσµατα p, x, y, z περιγράφονται ως προς κοινό σύστηµα συντεταγµένων, τότε ισχύει: p B = p x p y p z Περιγραφή θέσης 7
Περιγραφή προσανατολισµού Ο προσανατολισµός του συστήµατος {B} ως προς το {} µπορεί να οριστεί περιγράφοντας καθένα από τα x B, y B, z B ως προς το {}. Ορίζουµε ως πίνακα περιστροφής του {B} ως προς το {} τον 3 3 πίνακα R B = [ x B y B z B ] όπου π.χ.: x B x x B = x B y x B z και αντίστοιχα για τα y B και z B. 8
Περιγραφή προσανατολισµού (2) Εστω οτι τα συστήµατα {} και {B} έχουν κοινούς άξονες z, z B και µεταξύ τους γωνία θ. Τότε ο πίνακας περιστροφής R B Rot(z, θ) υπολογίζεται ως: R B = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 9
Περιγραφή προσανατολισµού (3) Αν τα {} και {B} έχουν κοινούς άξονες x, x B και µεταξύ τους γωνία θ, τότε: R B Rot(x, θ) = 1 0 0 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ Αν τα {} και {B} έχουν κοινούς άξονες y, y B και µεταξύ τους γωνία θ, τότε: R B Rot(y, θ) = cos θ 0 sin θ 0 1 0 sin θ 0 cos θ 10
Περιγραφή προσανατολισµού (4) Ο προσανατολισµός ενός συστήµατος {B} ως προς ένα σύστηµα {} µπορεί να περιγραφεί και ως γινόµενο τριών περιστροφών κατά άξονα. Μια τέτοια περιγραφή είναι η Roll-Pitch-Yaw (Roll=x, Pitch=y, Yaw=z): R B = Rot(z, α) Rot(y, ϐ) Rot(x, γ) Αντίστοιχες περιγραφές (π.χ. γωνίες Euler) µπορούν να προκύψουν µε κατάλληλη επιλογή των πινάκων περιστροφής και της σειράς τους στον πολλαπλασιασµό. 11
Ιδιότητες πινάκων περιστροφής Πρόταση 1. Αν ο πίνακας περιστροφής R B περιγράφει το σύστηµα {B} ως προς το σύστηµα {}, τότε ο ανάστροφος του R B είναι ο πίνακας περιστροφής B R που περιγράφει το σύστηµα {} ως προς το σύστηµα {B}, δηλαδή ισχύει: R B = B R. Απόδειξη. Προφανής από τον ορισµό των πινάκων R B και B R : x B x y B x z B x x x B y x B z x B R B = x B y y B y z B y B R = x y B y y B z y B x B z y B z z B z x z B y z B z z B 12
Ιδιότητες πινάκων περιστροφής (2) Πρόταση 2. Κάθε πίνακας περιστροφής R B είναι ορθογώνιος, δηλαδή ισχύει: R B R B = I 3, όπου I 3 είναι ο µοναδιαίος 3 3 πίνακας. Απόδειξη. Από τον ορισµό του πίνακα R B παίρνουµε: R B R B = x B y B z B [ ] x B x B x B y B x B z B x B y B z B = y B x B y B y B y B z B = I 3 z B x B z B y B z B z B 13
Ιδιότητες πινάκων περιστροφής (3) Πρόταση 3. Ο αντίστροφος ενός πίνακα περιστροφής R B ισούται µε τον ανάστροφο του R B, δηλαδή ισχύει: R 1 B = R B. Απόδειξη. Καθώς ο R B είναι ορθογώνιος ισχύει R B R B = I 3. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη από δεξιά µε τον αντίστροφο πίνακα R 1 B (ο οποίος πάντα ορίζεται για ορθογώνιους πίνακες) παίρνουµε R B = R 1 B. 14
Ενιαία περιγραφή θέσης και προσανατολισµού Το σύστηµα {B} περιγράφεται ως προς το σύστηµα {} από το διάνυσµα µετατόπισης p B και τον πίνακα περιστροφής R B. Είναι χρήσιµο να έχουµε µια ενιαία περιγραφή της σχετικής τοποθέτησης των {} και {B}. Ορίζουµε ως οµογενή πίνακα µετασχηµατισµού του {B} ως προς το {} τον 4 4 πίνακα [ R ] T B = B p B 0 1 15
Παράδειγµα: Υπολογίστε τον πίνακα T B p B = [ 1 1 1 ] x B = [ 1 0 0 ] y B = [ 0 0 1 ] z B = [ 0 1 0 ] T B = 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 16
Ιδιότητες οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού Πρόταση 4. Ο αντίστροφος ενός οµογενούς πίνακα µετασχηµατισµού T B ισούται µε: T 1 B = B T = [ B ] R B R p B 0 1 Απόδειξη. B T T B = [ B R B R p B 0 1 ] [ R B ] p B 0 1 = [ I3 ] 0 0 1 = I 4 17
Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές περιγραφές αντικειµένων Μετασχηµατισµοί στο χώρο 18
Μετασχηµατισµοί στο χώρο Εστω δύο διαφορετικά συστήµατα {} και {B}. Αν γνωρίζουµε την περιγραφή ενός αντικειµένου στο {}, πώς µπορούµε να ϐρούµε την περιγραφή του ίδιου αντικειµένου στο {B}; Αυτό είναι ένα ϐασικό πρόβληµα µετασχηµατισµού στο χώρο. Λύνεται µε τη ϐοήθεια του οµογενούς πίνακα µετασχηµατισµού T B. 19
Μετατόπιση Το σύστηµα {B} αποτελεί µετατόπιση του {} κατά το διάνυσµα O O B = p B. Αν το C περιγράφεται στο {B} από το διάνυσµα B p C, τότε το C περιγράφεται στο {} από το διάνυσµα: p C = p B + B p C 20
Περιστροφή Το σύστηµα {B} αποτελεί περιστροφή του {}, µε πίνακα περιστροφής R B. Αν το C περιγράφεται στο {B} από το διάνυσµα B p C, τότε το C περιγράφεται στο {} από το διάνυσµα: p C = R BB p C 21
Ιδιότητες πινάκων περιστροφής (4) Πρόταση 5. Αν τα συστήµατα {} και {B} είναι οµόκεντρα και ο πίνακας περιστροφής του {B} ως προς το {} είναι R B, τότε ένα διάνυσµα B p ως προς το {B} περιγράφεται ως προς το {} ως p = R BB p. Απόδειξη. Αν B x, B y, B z είναι τα µοναδιαία διανύσµατα του {} εκφρασµένα στο σύστηµα {B}, τότε: B p Bx B x p = B p By B p Bz = B y B p = [ ] B x B y B z B p = B R B p = R B B p B z 22
Ιδιότητες πινάκων περιστροφής (5) Πρόταση 6. Αν τα συστήµατα {}, {B}, και {C} είναι οµόκεντρα µε πίνακες περιστροφής R B και B R C, τότε ο πινακας περιστροφής R C δίνεται από R C = R BB R C. Απόδειξη. Εστω ένα διάνυσµα C p ως προς το {C}. Αυτό περιγράφεται ως προς το {B} ως B p = B R CC p, και ως προς το {} ως p = R CC p. Ισχύει: p = R B B p = R B B R C C p = R C C p R C = R B B R C 23
Μετατόπιση και περιστροφή Το {B} αποτελεί µετατόπιση κατά p B και περιστροφή κατά R B του {}. Αν το C περιγράφεται στο {B} από το διάνυσµα B p C, τότε το C περιγράφεται στο {} από το διάνυσµα: p C = p B + R BB p C 24
Ιδιότητες οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού (2) Πρόταση 7. Εστω T B ο οµογενής πίνακας µετασχηµατισµού του {B} ως προς το {}. Αν ένα σηµείο C περιγράφεται στο {B} ως B p C, τότε το C περιγράφεται στο {} ως p C, όπου: [ ] [ p B ] C p = T C ) B (ή κατά σύµβαση: p C = T BB p C 1 1 Απόδειξη. [ ] p C 1 = [ ] p B + R BB p C 1 = [ R B p B 0 1 ] [ B ] p C 1 [ B ] = p T C B 1 25
Ιδιότητες οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού (3) Πρόταση 8. Αν τα συστήµατα {}, {B}, και {C} έχουν οµογενείς πίνακες µετασχηµατισµού T B και B T C, τότε ο οµογενής πινακας µετασχηµατισµού T C δίνεται από T C = T BB T C. Απόδειξη. Οπως Πρόταση 6. 26
Οµογενείς πίνακες µετασχηµατισµού ως τελεστές Ο οµογενής πίνακας µετασχηµατισµού T B µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να περιγράψει ενα σύστηµα {B} ως προς κάποιο άλλο σύστηµα {}. Επίσης ο πίνακας T B µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αλλάξει την περιγραφή ενός σηµείου C από το {B} στο {}. Ενας οµογενής πίνακας µετασχηµατισµού µπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί και ως τελεστής που µετατοπίζει σηµεία ή/και περιστρέφει διανύσµατα µέσα στο ίδιο σύστηµα αξόνων. 27
Ιδιότητες οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού (4) Πρόταση 9. Εστω ένα σταθερό σύστηµα συντεταγµένων, και ένα σηµείο C που περιγράφεται από το διάνυσµα p. Αν το C µετατοπιστεί κατά διάνυσµα q, τότε η νέα του περιγραφή µετά την µετατόπιση είναι p = T p, όπου ο οµογενής πίνακας µετασχηµατισµού T ορίζεται ως: [ ] I3 q T Trans(q) = 0 1 Απόδειξη. p = [ ] p 1 = [ ] p + q 1 = [ ] [ ] I3 q p 0 1 1 = T [ ] p 1 = T p 28
Ιδιότητες οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού (5) Πρόταση 10. Εστω ένα σταθερό σύστηµα συντεταγµένων, και ένα διάνυσµα p. Αν το p περιστραφεί µε πίνακα περιστροφής R, τότε η νέα του περιγραφή µετά την περιστροφή είναι p = T p, όπου ο οµογενής πίνακας µετασχηµατισµού T ορίζεται ως: T = [ R ] 0 0 1 Απόδειξη. Ισχύει p = Rp, οπότε: [ ] [ ] [ ] [ ] p p Rp R 0 p = = = 1 1 0 1 1 = T [ ] p 1 = T p 29
Ιδιότητες οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού (6) Πρόταση 11. Εστω ένα σταθερό σύστηµα συντεταγµένων, και ένα διάνυσµα p. Αν το p περιστραφεί µε πίνακα περιστροφής R και κατόπιν µετατοπιστεί κατά διάνυσµα q, τότε η νέα του περιγραφή µετά την περιστροφή και την µετατόπιση είναι p = T p, όπου ο οµογενής πίνακας µετασχηµατισµού T ορίζεται ως: T = [ R ] q 0 1 Απόδειξη. Προκύπτει από τα προηγούµενα αποτελέσµατα. 30
Ιδιότητες οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού (7) Πρόταση 12. Εστω δύο συστήµατα συντεταγµένων {} και {B} µε οµογενή πίνακα µετασχηµατισµού T B. Αν το {B} µετατοπιστεί ή/και περιστραφεί ως προς το {} µε οµογενή µετασχηµατισµό T, τότε ο νέος οµογενής πίνακας µετασχηµατισµού των {} και {B} είναι T B = T T B. Απόδειξη. Προκύπτει από την Πρόταση 11, καθώς ο πίνακας T B περιγράφει καθένα από τα διανύσµατα αξόνων του {B} ως προς το {}. 31
Ιδιότητες οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού (8) Πρόταση 13. Εστω δύο συστήµατα συντεταγµένων {} και {B} µε οµογενή πίνακα µετασχηµατισµού T B. Αν το {B} µετατοπιστεί ή/και περιστραφεί ως προς τον εαυτό του µε οµογενή µετασχηµατισµό T, τότε ο νέος οµογενής πίνακας µετασχηµατισµού των {} και {B} είναι T B = T B T. Απόδειξη. Η περιγραφή του µετασχηµατισµένου {B} ως προς το αρχικό {B} δίνεται από τον πίνακα T. Συνεπώς πρόκειται για σύνθεση οµογενών µετασχηµατισµών, οπότε T B = T B T. 32
Ασκηση: Υπολογίστε τους πίνακες T B και T R 33
Ασκηση: Υπολογίστε τους πίνακες 0 T i 34
Ασκηση: Υπολογίστε τον πίνακα 0 T 5 35