Ζλεγχοσ Ανεςτραμμζνου Εκκρεμοφσ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΗΜΑ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΣΟΜΕΑ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ΑΤΣΟΜΑΣΟΤ ΕΛΕΓΧΟΤ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ΑΤΣΟΜΑΣΟΤ ΕΛΕΓΧΟΤ Διπλωματικι Εργαςία του φοιτθτι του Σμιματοσ Ηλεκτρολόγων Μθχανικϊν και Σεχνολογίασ Τπολογιςτϊν τθσ Πολυτεχνικισ χολισ του Πανεπιςτθμίου Πατρϊν ΠΟΤΛΗΜΕΝΕΑ ΔΗΜΗΣΡΙΟΤ του ΜΙΧΑΗΛ Αρικμόσ Μθτρϊου : 5750 Θζμα: Ζλεγχοσ Ανεςτραμμζνου Εκκρεμοφσ Επιβλζπων Κακθγθτισ: Μπιτςϊρθσ Γεϊργιοσ Πάτρα, Ιοφλιοσ 011 1

ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ Πιςτοποιείται ότι θ Διπλωματικι Εργαςία με κζμα Ζλεγχοσ Ανεςτραμμζνου Εκκρεμοφσ Πουλθμενζα Δθμθτρίου του Μιχαιλ Αρικμόσ Μθτρϊου : 5750 Παρουςιάςτθκε δθμόςια και εξετάςτθκε ςτο Σμιμα Ηλεκτρολόγων Μθχανικϊν και Σεχνολογίασ Τπολογιςτϊν ςτισ /10/011 Ο Επιβλζπων Μπιτςϊρθσ Γεϊργιοσ, Κακθγθτισ Ο Διευκυντισ του Σομζα Κοφςουλασ Νικόλαοσ, Κακθγθτισ

Αρικμόσ Διπλωματικισ Εργαςίασ : Θζμα: Ζλεγχοσ Ανεςτραμμζνου Εκκρεμοφσ Ο Φοιτθτισ Πουλθμενζασ Δθμιτριοσ Ο Επιβλζπων Μπιτςϊρθσ Γεϊργιοσ, Κακθγθτισ Περίλθψθ: Η παροφςα διπλωματικι αφορά ςτον ζλεγχο του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ. Γίνεται μια ςφντομθ ςφνοψθ τθσ ςχετικισ κεωρίασ και ακολοφκωσ αςχολείται αρχικά με τθ ςτακεροποίθςθ του γραμμικοποιθμζνου, γφρω από τθν αςτακι κατακόρυφθ κζςθ ιςορροπίασ, ςυςτιματοσ και ςτθ ςυνζχεια με τθ μελζτθ δφο διαφορετικισ λογικισ ελζγχων για τθν πλιρθ λφςθ του προβλιματοσ ελζγχου του εκκρεμοφσ, δθλαδι αφ ενόσ τθν ανφψωςθ και αφ ετζρου τθ ςτακεροποίθςθ του. Γίνεται και μια προςπάκεια εκτίμθςθσ τθσ περιοχισ ελκτικότθτασ του ςυςτιματοσ για κάποιουσ ελζγχουσ. 3

4 τουσ γονείσ μου

Να δθμιουργϊ, ςυνζχεια να δθμιουργϊ! Ακόμα κι ο Θεόσ ςταμάτθςε ςτισ ζξι μζρεσ! Μπαληάκ (Γράμμα ςτθν κυρία Χάνςκα,184) 5

Ευχαριςτίεσ Ευχαριςτϊ τον επιβλζποντα ακαδθμαϊκό δάςκαλο κ. Γιϊργο Μπιτςϊρθ για τθ δυνατότθτα που μου ζδωςε να ςυνεργαςτϊ μαηί του ςτα πλαίςια αυτισ τθσ διπλωματικισ και για τθν βοικεια που μου προςζφερε για τθν ολοκλιρωςθ τθσ. Τπιρχε ευελιξία ωσ προσ τθν διαμόρφωςθ του περιεχομζνου παρζχοντασ μου παράλλθλα το περικϊριο να κατευκυνκϊ ςε ότι κεωροφςα πιο ενδιαφζρον κατά τθν ζρευνα και μελζτθ του αντικειμζνου. Πρωτίςτωσ, όμωσ, τον ευχαριςτϊ γιατί με τθν παρουςία του και τον ενκουςιαςμό, που πάντοτε ςυνοδεφει τθν εργαςία του, με ζκελξε ςτθ μελζτθ του αντικειμζνου των ςυςτθμάτων ςε μια περίοδο τθσ ηωισ μου που είχα χάςει το ενδιαφζρον μου για πολλά πράγματα. Θζλω, επίςθσ, να ευχαριςτιςω όλουσ τουσ κακθγθτζσ του τμιματοσ για τισ πολφτιμεσ γνϊςεισ που μου προςζφεραν. Σζλοσ, επικυμϊ να ευχαριςτιςω το φίλο και υποψιφιο διδάκτορα του τμιματοσ κ. Γιάννθ Αρβανιτάκθ για τθ βοικεια ςτθν εξοικείωςθ με το πακζτο Matlab. 6

Περιεχόμενα Ειςαγωγι... 9 Θεωρθτικι Αναςκόπθςθ... 1.1 Ειςαγωγι... 1. Δυναμικά υςτιματα... 1.3 Ανάλυςθ Ευςτάκειασ υςτθμάτων... 14 Όςον αφορά τϊρα ςτα ςυςτιματα με ειςόδουσ, αν υποτεκεί το ςφςτθμα τθσ μορφισ.. 15 x f ( x, u)... 15.4 Περιοχζσ Ευςτάκειασ... 17.5 Ευςτάκεια ςε τιγμιαίεσ Διαταραχζσ-Μζκοδοι Lyapunov... 17.5.1 Η Πρϊτθ Μζκοδοσ Lyapunov... 18.5. Η Δεφτερθ Μζκοδοσ Lyapunov... 19.6 Ζλεγχοσ υςτθμάτων....6.1 Σα Προβλιματα τθσ Ρφκμιςθσ και τθσ Παρακολοφκθςθσ....6. Ζλεγχοσ με Ανατροφοδότθςθ Καταςτάςεωσ... 3.6.3 Σο Πρόβλθμα τθσ Ρφκμιςθσ... 4.6.4 Μζκοδοσ Σοποκζτθςθσ Ιδιοτιμϊν... 5.6.5 τακεροποίθςθ υςτθμάτων... 6.6.6 Βζλτιςτοσ Ζλεγχοσ υςτθμάτων... 6.7 Τποεπενεργοφμενα Μθχανικά υςτιματα... 8 τακεροποίθςθ του Γραμμικοποιθμζνου υςτιματοσ Ανεςτραμμζνου Εκκρεμοφσ... 9 3.1 Ειςαγωγι... 9 3. Σο γραμμικοποιθμζνο μοντζλο του ςυςτιματοσ... 9 3.3 τακεροποίθςθ του Γραμμικοποιθμζνου υςτιματοσ... 31 3.3.1 τακεροποίθςθ με τθ Μζκοδο Σοποκζτθςθσ Ιδιοτιμϊν... 31 3.3. τακεροποίθςθ Μζςω του Γραμμικοφ Σετραγωνικοφ Ρυκμιςτι(LQR)... 3 3.3.3 τακεροποίθςθ μζςω PI(D) Ελεγκτι... 37 υνδυαςμόσ Ενεργειακοφ και LQR Ζλεγχου-Η Περίπτωςθ του Dual Mode Ελεγκτι... 39 4.1 Ειςαγωγι... 39 4. Μοντελοποίθςθ του ςυςτιματοσ HFLC και SESIP(από εγχειρίδιο HFLC)... 39 4.3 χεδιαςμόσ Ελεγκτι... 40 4.3.1 Ενεργειακόσ Swing-Up Ζλεγχοσ... 41 7

4.3. Ανάλυςθ τθσ Λογικισ τθσ Αλλαγισ του Ελεγκτι... 43 4.3.3 Balance Ελεγκτισ... 44 4.4 Προςομοίωςθ του Κλειςτοφ υςτιματοσ με τον Dual Mode Ελεγκτι... 46 4.5 Εργαςτθριακά Αποτελζςματα του Dual Mode Ελεγκτι... 48 Ενιαίοσ Ελεγκτισ... 54 5.1 Ειςαγωγι... 54 5. Μοντελοποίθςθ του ςυςτιματοσ *9+... 54 5.3 χεδιαςμόσ Ελεγκτι... 55 5.3.1 Ζλεγχοσ του υποςυςτιματοσ εκκρεμζσ... 55 5.3. Ζλεγχοσ του ςυνολικοφ ςυςτιματοσ-ταμάτθμα του κινθτοφ... 6 5.4 Προςομοίωςθ του Κλειςτοφ υςτιματοσ με τον Ενιαίο Ελεγκτι... 65 Επίλογοσ... 70 Βιβλιογραφία... 71 Παράρτθμα... 73 Κϊδικεσ Εξομοίωςθσ... 73 Κατάλογοσ χθμάτων... 87 8

Κεφάλαιο 1 Ειςαγωγή Σο ανεςτραμμζνο εκκρεμζσ είναι ζνα από τα πλζον δθμοφιλι ςυςτιματα που χρθςιμοποιοφνται ςτα εργαςτιρια για επίδειξθ και ςφγκριςθ γραμμικϊν και μθ γραμμικϊν τεχνικϊν ελζγχου. Αν και ζχει πρακτικι χρθςιμότθτα ςε εφαρμογζσ όπωσ ο ζλεγχοσ πυραφλων και ο αντιςειςμικόσ ζλεγχοσ κτιρίων, κυρίωσ αποτελεί ζνα benchmark ςφςτθμα αναφοράσ με μεγάλθ ελευκερία ωσ προσ τισ μεκόδουσ ελζγχου που μποροφν να δοκιμαςτοφν αλλά και με ιδιαίτερα χαρακτθριςτικά που το κακιςτοφν ιδιαίτερα ενδιαφζρον και δφςκολο ςτον ζλεγχο του. Τπάρχουν διάφορεσ εκδοχζσ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ με τθν περίπτωςθ του εκκρεμοφσ πάνω ςε κινθτό να είναι θ ευρφτερα γνωςτι και αυτι με τθν οποία αςχολείται θ παροφςα εργαςία. ε αυτι, τζλοσ, κα παραπζμπει και θ χριςθ του όρου ανεςτραμμζνο εκκρεμζσ ςτο υπόλοιπο αυτισ τθσ εργαςίασ. Σο ςτρεφόμενο εκκρεμζσ πάνω ςε κινθτό είναι γνωςτό ιδθ από τθν δεκαετία του 1960. Αποτελείται από ζνα εκκρεμζσ που ζχει το ςθμείο περιςτροφισ του πακτωμζνο ςτο κινθτό το οποίο με τθ ςειρά του είναι μια κινοφμενθ πλατφόρμα πάνω ςε ράγεσ. Σο εκκρεμζσ είναι ελεφκερο να περιςτρζφεται γφρω από το ςθμείο ανάρτθςθσ του και δεν ζχει άμεςο ζλεγχο, δθλαδι δεν μπορεί να αςκθκεί δφναμθ απευκείασ ςτο εκκρεμζσ κακιςτϊντασ το ζτςι υποεπενεργοφμενο(underactuated) ςφςτθμα. Σο κινθτό μπορεί να κινθκεί οριηόντια, δθλαδι κάκετα ςτο επίπεδο περιςτροφισ του εκκρεμοφσ ενϊ ελζγχεται μζςω δφναμθσ αςκοφμενθσ ςτθν ίδια διεφκυνςθ. Σο αντικείμενο του ελζγχου είναι να φζρει το εκκρεμζσ ςτθν άνω αςτακι κζςθ ιςορροπίασ μζςω τθσ κίνθςθσ του κινθτοφ οριηόντια, αφοφ μόνο ςτο κινθτό μποροφμε να αςκιςουμε άμεςα δφναμθ. Αντίκετα, θ γωνιακι επιτάχυνςθ του εκκρεμοφσ δεν μπορεί να ελεγχκεί με άμεςο τρόπο. Οι τεχνικζσ που ζχουν αναπτυχκεί για πλιρωσ ενεργοποιοφμενα ρομποτικά ςυςτιματα δεν δφνανται να χρθςιμοποιθκοφν για τον ζλεγχο του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ. Επιπλζον, λόγω κάποιων χαρακτθριςτικϊν του, κακίςταται απαγορευτικι θ χριςθ κακιερωμζνων τεχνικϊν μθ γραμμικοφ ελζγχου κάνοντασ το ταυτόχρονα ιδιαίτερα ενδιαφζρον πρόβλθμα από ερευνθτικισ άποψθσ. υγκεκριμζνα, ο ςχετικόσ βακμόσ του ςυςτιματοσ δεν είναι ςτακερόσ(όταν επιλζγεται θ ενζργεια του εκκρεμοφσ ωσ ζξοδοσ), που ςθμαίνει ότι το ςφςτθμα δεν είναι γραμμικοποιιςιμο ειςόδου-εξόδου(input-output linearizable). Επίςθσ, ζχει αποδειχκεί ότι δεν είναι οφτε γραμμικοποιιςιμο μζςω ανατροφοδότθςθ(feedback linearizable). 9

Ζχουν προτακεί διάφοροι ενδιαφζροντεσ ζλεγχοι ςτθν ςχετικι βιβλιογραφία. Θα επιχειρθκεί μια ςφντομθ αναφορά ςτο τζλοσ(βιβλιογραφία)ςτουσ πιο ενδιαφζροντεσ εξ αυτϊν και μζςω αυτισ κα γίνει εμφανισ και θ πορεία τθσ ζρευνασ που αφορά ςτθ ςυγκεκριμζνθ διάταξθ αλλά εν πολλοίσ και ςε ολόκλθρθ τθν κατθγορία των υποεπενεργοφμενων ςυςτθμάτων θ οποία και ςιμερα είναι κακ όλα ενεργι. Ο ζλεγχοσ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ καλείται να αντιμετωπίςει κατά βάςθ δφο προβλιματα: Σθν ανφψωςθ του εκκρεμοφσ από τθν κζςθ που είναι κρεμαςμζνο(hanging position) ςτθν άνω αςτακι κζςθ ιςορροπίασ(upright position) και που είναι γνωςτό με το όνομα swing up Και, ςτθ ςυνζχεια, τθ ςτακεροποίθςθ(stabilization) του ς αυτι τθ κζςθ. Σα προβλιματα αυτά παραδοςιακά ζχουν αντιμετωπιςτεί ςαν διακριτά μεταξφ τουσ προβλιματα, με το πρϊτο να κεωρείται ζνα πρόβλθμα ζγχυςθσ(injection) τθσ απαιτοφμενθσ ενζργειασ ϊςτε να αποκτιςει το ςφςτθμα τθν απαραίτθτθ ενζργεια ϊςτε να μετακινθκεί το εκκρεμζσ από τθν κζςθ που είναι κρεμαςμζνο ςτθν κατακόρυφθ κζςθ. Για τθν αντιμετϊπιςθ του επιλζγεται ςυνικωσ μια ενεργειακι μζκοδοσ ελζγχου. Όταν το εκκρεμζσ είναι κοντά ςτθν επικυμθτι κατακόρυφθ κζςθ και ζχει αρκετά χαμθλι ταχφτθτα, μια ςτρατθγικι ςτακεροποίθςθσ ι ρφκμιςθσ αναλαμβάνει να ςυγκρατιςει το εκκρεμζσ ςτθν αςτακι του κατάςταςθ ιςορροπίασ. Σο δεφτερο αυτό πρόβλθμα, επιλφεται ςυνικωσ με ζναν γραμμικό τετραγωνικό ρυκμιςτι(linear Quadratic Regulator-LQR) ι μζςω τθσ μεκόδου τοποκζτθςθσ πόλωνιδιοτιμϊν (pole placement) επί του γραμμικοποιθμζνου, γφρω απ τθν αςτακι κζςθ ιςορροπίασ, μοντζλου του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ. Η κλαςικι λφςθ του προβλιματοσ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ είναι ζνασ υβριδικόσ ζλεγχοσ(hybrid control), ςτον οποίο τα δφο προβλιματα επιλφονται ανεξάρτθτα μεταξφ τουσ και ςτθ ςυνζχεια εφαρμόηονται ακολουκιακά ςτο ςφςτθμα. Ο ελεγκτισ που προκφπτει μζςω αυτισ τθσ λφςθσ και ο οποίοσ αλλάηει μεταξφ των δφο νόμων ελζγχου που προζκυψαν λφνοντασ τα προβλιματα ξεχωριςτά, δίνει πολφ ικανοποιθτικά πειραματικά αποτελζςματα. Ζνασ τζτοιοσ ελεγκτισ κα παρουςιαςτεί ςτθ ςυνζχεια. Ωςτόςο, είναι μια πρόκλθςθ για τουσ ερευνθτζσ να ςυγχωνεφςουν τουσ δφο ελζγχουσ ςε ζναν ενιαίο νόμο ελζγχου. τθν κατεφκυνςθ τθσ εφρεςθσ ενιαίου ελζγχου παρουςιάηεται μια πρόςφατα δθμοςιευμζνθ μζκοδοσ προςζγγιςθσ τθσ επίλυςθσ του προβλιματοσ και εξάγεται ζνασ ενιαίοσ ζλεγχοσ που με ςυνδυαςμό μερικισ γραμμικοποίθςθσ (partial linearization), ενεργειακισ διαμόρφωςθσ(energy shaping) και φραγμζνου forwarding ελζγχου(bounded forwarding) επιτυγχάνει μία ενιαία επίλυςθ του προβλιματοσ του ελζγχου του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ. Ο νεωτεριςμόσ που ειςάγεται με τθ νζα αυτι μζκοδο ζγκειται ςτο χειριςμό, αρχικά, ξεχωριςτά του εκκρεμοφσ απ το κινθτό και 10

αφοφ επιλυκεί το πρόβλθμα τθσ ανφψωςθσ του εκκρεμοφσ ςτθν επικυμθτι κατακόρυφθ κζςθ, με χριςθ μεκόδου ενεργειακισ διαμόρφωςθσ, ζνασ επιπλζον όροσ ειςάγεται ςτο νόμο ελζγχου με ςκοπό να ςταματιςει το κινθτό. Απ όςα παρουςιάςτθκαν παραπάνω, ζχει ιδθ καταςτεί ςαφζσ ότι το πρόβλθμα ελζγχου του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ είναι ζντονα μθ γραμμικό όταν αντιμετωπίηεται κακολικά(globally). αυτό ςυντελοφν κακοριςτικά θ φφςθ του ςυςτιματοσ που είναι μθ γραμμικό και υποεπενεργοφμενο, θ κζςθ ιςορροπίασ που είναι αςτακισ(ανοικτοφ βρόχου), τα όρια ςτον επενεργοποιθτι που με τθ ςειρά τουσ παράγουν πολφ ενδιαφζρουςεσ ςυμπεριφορζσ. Αςτάκεια, μθ γραμμικότθτα και περιοριςμοί ςτον ζλεγχο ανεγείρουν, άλλωςτε, τα πιο ενδιαφζροντα και προκλθτικά προβλιματα ςτθ κεωρία του ελζγχου[11]. Αυτό που κακιςτά το ανεςτραμμζνο εκκρεμζσ τόςο ενδιαφζρον είναι ότι αποτελεί ζνα μθ γραμμικό ςφςτθμα αρκετά απλό ϊςτε να επιτρζπει μακθματικι μοντελοποίθςθ, όμωσ παρ όλθ τθν απλότθτα δεν ζχουμε αντίςτοιχθ επιτυχία κατά το ςχεδιαςμό ελεγκτϊν. τθν πραγματικότθτα, το ανεςτραμμζνο εκκρεμζσ είναι ζνα χαρακτθριςτικό δείγμα ενόσ προβλιματοσ που καλείται να αντιμετωπίςει ζνασ μθχανικόσ(engineering problem). Δεν υπάρχει μοναδικι μζκοδοσ για να επιλυκεί οφτε αποκλειςτικι λφςθ που υπαγορεφεται απ τθν ςχετικι κεωρία. Αντίκετα, ο μθχανικόσ καλείται κατά το ςχεδιαςμό του ελεγκτι, βαςιηόμενοσ ςτθν οξφνοια του, να αναηθτιςει μια λφςθ που προκφπτει από το δθμιουργικό ςυνδυαςμό διαφορετικϊν μεκόδων, με τθν εφευρετικότθτα να αποτελεί ςθμαίνοντα παράγοντα ςτθν επιτυχία του εγχειριματοσ. Η διάρκρωςθ τθσ παροφςασ διπλωματικισ είναι θ εξισ: ςτο δεφτερο κεφάλαιο κα γίνει μια ςφντομθ αλλά περιεκτικι περίλθψθ των βαςικϊν οριςμϊν και κεωρθμάτων που κα κάνουν πιο εφκολθ τθν κατανόθςθ του υλικοφ που κα παρουςιαςτεί ςτθ ςυνζχεια. το τρίτο κεφάλαιο, κα παρουςιαςτεί θ λφςθ του προβλιματοσ ςτακεροποίθςθσ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ γφρω από τθν κατακόρυφθ αςτακι κζςθ ιςορροπίασ. το τζταρτο κεφάλαιο, κα γίνει παρουςίαςθ ενόσ υβριδικοφ ελεγκτι που ακολουκεί τθν πεπατθμζνθ ωσ προσ τθν αντιμετϊπιςθ του προβλιματοσ, αφοφ ςυνδυάηει ζναν ενεργειακό και ζναν βζλτιςτο τετραγωνικό ρυκμιςτι(lqr). το πζμπτο κεφάλαιο, κα παρουςιαςτεί ζνασ νζοσ ελεγκτισ που προτάκθκε πρόςφατα ςτθν βιβλιογραφία και αποτελεί λφςθ υπό τθν λογικι τθσ ενιαίασ αντιμετϊπιςθσ του προβλιματοσ. το τζλοσ, γίνεται μια προςπάκειασ ςφγκριςθσ των δφο ελεγκτϊν και των αποτελεςμάτων τθσ εξομοίωςθσ τουσ. Ακολουκοφν κάποια γενικά ςχόλια επί τθσ διπλωματικισ ενϊ γίνονται προτάςεισ για μελλοντικι ζρευνα. 11

Κεφάλαιο Θεωρητική Αναςκόπηςη.1 Ειζαγωγή τόχοσ αυτοφ του κεφαλαίου είναι να παρουςιαςτοφν κάποιοι βαςικοί οριςμοί και κεωρθτικό υπόβακρο χριςιμο για τθν κατανόθςθ των επόμενων κεφαλαίων. Βαςίηεται εκτενϊσ ςτα *1],[],[3],[4].. Δςναμικά Σςζηήμαηα Ζνα ςφςτθμα λζγεται δυναμικό ςφςτημα(dynamical system)αν υπάρχει μια n ςυνάρτθςθ x( ), x : T,μια απεικόνιςθ * n S : xu n m p g : T x x τζτοιεσ ϊςτε p και μία άλλθ ςυνάρτθςθ για κάκε 0 και 0. x S x u * ( ) [ ( 0 ), [ 0, ]] y( ) g[, x( ), u( )] Οι ςυνιςτϊςεσ x1, x,..., x n του διανφςματοσ x λζγονται μεταβλητζσ κατάςταςησ(state variables) του ςυςτιματοσ ενϊ θ x( 0) υποδθλϊνει τθν κατάςταςθ του ςυςτιματοσ τθν (αρχικι) χρονικι ςτιγμι 0. Αναλυτικότερα, κα αςχολθκοφμε με δυναμικά ςυςτιματα που μοντελοποιοφνται από πεπεραςμζνο αρικμό ςυηευγμζνων διαφορικϊν εξιςϊςεων πρϊτθσ τάξεωσ: x ( t) f ( t, x,..., x, u,..., u ) 1 1 1 n 1 p x ( t) f ( t, x,..., x, u,..., u ) 1 n 1 p...... x ( t) f ( t, x,..., x, u,..., u ) n n 1 n 1 p 1

Οι μεταβλθτζσ κατάςταςθσ x 1, x,..., x n αντιπροςωπεφουν τθν μνιμθ του ςυςτιματοσ ενϊ τα u1, u,..., u p είναι οι είςοδοι του ςυςτιματοσ. υνικωσ χρθςιμοποιοφνται διανφςματα για να γραφοφν οι παραπάνω εξιςϊςεισ ςε πιο ςυνεκτικι μορφι, δθλαδι: x1 x. x.. x n, u1 u u u p, f1( t, x, u) f( t, x, u). f ( t, x, u).. f (,, ) n t x u και γράφουμε τισ n εξιςϊςεισ πρϊτθσ τάξθσ ςε μία n ά διανυςματικι διαφορικι εξίςωςθ πρϊτθσ τάξθσ x( t) f ( t, x, u) (.1) Η εξίςωςθ (.1) καλείται εξίςωςη κατάςταςησ(state equation)και το x αναφζρεται ςαν διάνυςμα καταςτάςεων(state vector), ενϊ το u ςαν διάνυςμα ειςόδων(input vector). Μερικζσ φορζσ μαηί με τθν (.1) ζχουμε και τθν εξίςωςθ y( t) h( t, x, u) (.) θ οποία ορίηει ζνα διάνυςμα εξόδου διάςταςθσ p και το οποίο περιζχει μεταβλθτζσ που μασ ενδιαφζρουν ςτθν ανάλυςθ δυναμικϊν ςυςτθμάτων, όπωσ μεταβλθτζσ των οποίων θ τιμι μπορεί να μετρθκεί ι που απαιτείται να ζχουν κάποια ςυγκεκριμζνθ ςυμπεριφορά. Η εξίςωςθ (.) καλείται εξίςωςη εξόδου(output equation) ενϊ το ηεφγοσ εξιςϊςεων (.1) και (.) καλοφνται μαηί μοντζλο ςτον χώρο κατάςταςησ(statespace model) ι απλοφςτερα καταςτατικό μοντζλο(state model) ι καταςτατικζσ εξιςώςεισ(state equations) του ςυςτιματοσ. υνικωσ, με κατάλλθλθ επιλογι των μεταβλθτϊν κατάςταςθσ επιτυγχάνεται θ μοντελοποίθςθ ενόσ φυςικοφ ςυςτιματοσ ςτθν μορφι μοντζλου ςτον χϊρο κατάςταςθσ. Ζνα ςφςτθμα ςτο οποίο δεν υπάρχει αυτοτελισ φπαρξθ τθσ ειςόδου, δθλαδι ζνα ςφςτθμα ςτθ μορφι x( t) f ( t, x) (.3) καλείται αβίαςτο(unforced). Διευκρινίηεται ότι αυτό δεν ςθμαίνει ότι θ είςοδοσ του ςυςτιματοσ είναι μθδενικι. 13

Μια ειδικι περίπτωςθ του (.3) εμφανίηεται όταν θ ςυνάρτθςθ f δεν εξαρτάται ρθτά από τον χρόνο, δθλαδι το ςφςτθμα είναι ςτθ μορφι x f ( x) (.4) και το ςφςτθμα τότε λζγεται αυτόνομο(autonomous) ι χρονικώσ αμετάβλητο(time invariant). Ιδιαίτερθσ ςθμαςίασ ζννοια, όταν κανείσ αςχολείται με εξιςϊςεισ κατάςταςθσ, είναι * το λεγόμενο ςημείο ιςορροπίασ(equilibrium point). Ζνα ςθμείο x x καλείται ςθμείο ιςορροπίασ τθσ (.3) αν ζχει τθν ιδιότθτα οποτεδιποτε κι αν θ κατάςταςθ του * ςυςτιματοσ βρεκεί ςτο x να παραμείνει ςε αυτό για κάκε μελλοντικι χρονικι ςτιγμι. Για το αυτόνομο ςφςτθμα (.4), τα ςθμεία ιςορροπίασ είναι οι πραγματικζσ λφςεισ τθσ εξίςωςθσ f (0) 0 (.5) Για γραμμικά ςυςτιματα(linear systems), το μοντζλο ςτον χϊρο κατάςταςθσ παίρνει τθν ειδικι μορφι x( t) A( t) x( t) B( t) u( t) (.6) y( t) C( t) x( t) D( t) u( t) (.7) τθν ςυνζχεια τθσ εργαςίασ κεωρείται δεδομζνθ θ οικειότθτα του αναγνϊςτθ με τθν κεωρία των γραμμικϊν ςυςτθμάτων, ςε επίπεδο ενόσ μακιματοσ γραμμικϊν δυναμικϊν ςυςτθμάτων. Όπου κρίνεται απαραίτθτο ι όταν περαιτζρω λεπτομζρειεσ κα διευκολφνουν τον αναγνϊςτθ, παρατίκεται εκτενζςτερθ ανάλυςθ..3 Ανάλςζη Εςζηάθειαρ Σςζηημάηων Η κεωρία ευςτάκειασ ζχει κεντρικό ρόλο ςτθν κεωρία ςυςτθμάτων και ςτθν μθχανικι γενικότερα. Τπάρχουν διαφορετικά είδθ προβλθμάτων ευςτάκειασ που παρουςιάηονται κατά τθ μελζτθ των δυναμικϊν ςυςτθμάτων. Η μελζτθ ευςτάκειασ των ςθμείων ιςορροπίασ γίνεται ςυνικωσ μζςω των κεωριϊν που ανζπτυξε ο Ρϊςοσ μακθματικόσ Aleksandr Mikhailovich Lyapunov και που αποτελοφν κεμελιϊδθ εργαλεία για τθν ανάλυςθ ευςτάκειασ των δυναμικϊν ςυςτθμάτων. τθν ςυνζχεια κα παρουςιαςτοφν μερικοί βαςικοί οριςμοί και φυςικά οι δφο μζκοδοι του Lyapunov. Προςοχι πρζπει να δοκεί ςτο ότι τα κεωριματα του Lyapunov δίνουν ικανζσ αλλά όχι αναγκαίεσ ςυνκικεσ για τθν ευςτάκεια ενόσ ςυςτιματοσ. Για ζνα αυτόνομο ςφςτθμα (.4) x f ( x) 14

n όπου f : D είναι μια τοπικά Lipschitz απεικόνιςθ από ζνα χϊρο n n D. Τποκζτουμε ότι θ αρχι(origin) x=0 είναι ζνα ςθμείο ιςορροπίασ τθσ (.4), το οποίο ςθμαίνει ότι f (0) 0 Για τθν περίπτωςθ που ζχουμε ςτιγμιαίεσ διαταραχζσ, όςων αφορά ςτθν ευςτάκεια καταςτάςεων ιςορροπίασ ζχουμε τον ακόλουκο οριςμό. Ορισμός.1 Σο ςθμείο ιςορροπίασ x 0 του ςυςτιματοσ (.4) είναι ευςταθζσ(stable), αν για κάκε 0, υπάρχει ( ) 0 τζτοιο ϊςτε x(0) x( t) για κάκε t 0 αςταθζσ(unstable), αν δεν είναι ευςτακζσ αςυμπτωτικώσ ευςταθζσ(asymptotically stable), αν είναι ευςτακζσ και μπορεί να επιλεγεί ϊςτε x(0) lim x( t) 0 t εκθετικώσ ευςταθζσ(exponentially stable), αν υπάρχουν δφο αυςτθρϊσ κετικοί αρικμοί και, ανεξάρτθτοι του χρόνου και των αρχικϊν ςυνκθκϊν, τζτοιοι ϊςτε x( t) a x(0) exp( t) για κάκε t 0 ςε μια ςφαίρα γφρω απ τθν αρχι(origin). Οι παραπάνω οριςμοί αντιςτοιχοφν ςε τοπικζσ(local) ιδιότθτεσ του ςυςτιματοσ γφρω απ το ςθμείο ιςορροπίασ. Αν οι αντίςτοιχεσ ςυνκικεσ ικανοποιοφνται για κάκε αρχικι κατάςταςθ τότε οι ιδιότθτεσ γίνονται καθολικζσ(global). τθν επόμενθ παράγραφο κα οριςτεί θ ζννοια τθσ περιοχισ ελκτικότθτασ που κα διευκρινίςει περαιτζρω τα παραπάνω. Όςον αφορά τϊρα ςτα ςυςτιματα με ειςόδουσ, αν υποτεκεί το ςφςτθμα τθσ μορφισ x f ( x, u) όπου ςτθν γενικι περίπτωςθ ο ζλεγχοσ u μεταβάλλεται με τον χρόνο. Για ζνα τζτοιο ςφςτθμα κα πρζπει να μελετθκεί θ επίδραςθ των ειςόδων ςτθν ευςτάκεια του ςυςτιματοσ. Οι δφο βαςικζσ προςεγγίςεισ για τθν ανάλυςθ τουσ είναι θ ευςτάκεια φραγμζνθσ ειςόδου-φραγμζνθσ εξόδου(bibo stability) αν το ςφςτθμα είναι 15

γραμμικό και ευςτάκεια ειςόδου-ςε-κατάςταςθ(iss stability) αν το ςφςτθμα είναι μθ γραμμικό. Πριν ορίςουμε τθν ΒΙΒΟ ευςτάκεια πρζπει να αναφερκοφμε ςε ευςτάκεια τροχιάσ ςε επιμζνουςεσ διαταραχζσ. Επιμζνουςεσ είναι οι διαταραχζσ που επιδροφν ςτο ςφςτθμα για κάποιο χρονικό διάςτθμα και όχι ςτιγμιαία. Η f, επιπλζον, κεωροφμε ότι ικανοποιεί ςυνκικεσ φπαρξθσ και μοναδικότθτασ λφςθσ. Ορισμός. Η τροχιά y*( t ) είναι ευςταθήσ κατά Lagrange, αν για κάκε t T και 0 0 υπάρχει b 0 τζτοιο ϊςτε για κάκε είςοδο u( t) u*( t) u( t) με u() t t t 0 για τθν προκφπτουςα τροχιά y( t) y*( t) y( t) αλθκεφει θ ανιςότθτα y() t b t t0. Σονίηεται ότι θ ευςτάκεια κατά Lagrange αναφζρεται ςε ςυγκεκριμζνθ τροχιά και όχι ςτο ςφςτθμα. Ορισμός.3 Σο ςφςτθμα (.1) είναι ευςτακζσ Φραγμζνθσ Ειςόδου-Φραγμζνθσ Εξόδου(Bounded Input-Bounded Output) αν όλεσ οι τροχιζσ yt () για ut () είναι ευςτακείσ κατά Lagrange. Αντίςτοιχοι είναι οι οριςμοί για ευςτακι κατά Lagrange τροχιά x*( t ) και τθσ ευςτάκειασ Φραγμζνθσ Ειςόδου-Φραγμζνθσ Κατάςταςθσ (ΒΙΒS ευςτάκεια), απλά όπου υπάρχει y αλλάηουμε με x. Μζνει να οριςτεί θ ευςτάκεια ειςόδου-ςε-κατάςταςθ. Αν κεωρθκεί ςφςτθμα τθσ μορφισ (.1), δθλαδι a x f ( t, x, u) n όπου θ f :[0, ] xx είναι κατά τμιματα ςυνεχισ ωσ προσ t και τοπικά Lipschitz ωσ προσ x και u, u m u είναι ζνα χωρίο που περιζχει το 0 n είναι ζνα χωρίο(domain) που περιζχει το x 0 ςυνεχισ, φραγμζνθ ςυνάρτθςθ του t για όλα τα t 0., και u. Η είςοδοσ ut () είναι κατά τμιματα Ορισμός.4 Σο ςφςτθμα (όπωσ ορίςτθκε) ονομάηεται τοπικά ευςταθζσ ειςόδου-ςεκατάςταςη(locally input-to-state stable) αν υπάρχει μια ςυνάρτθςθ κλάςθσ(class) KL, μια ςυνάρτθςθ κλάςθσ K και κετικζσ ςτακερζσ k1 και k τζτοιεσ ϊςτε για κάκε αρχικι κατάςταςθ xt ( 0), με x( t0) k1, και οποιαδιποτε είςοδοσ ut () με sup tt u( t) k, θ λφςθ xt () υπάρχει και ικανοποιεί τθ ςχζςθ 0 x( t) x( t0), t t0 sup u( ) t0 t (.8) 16

για όλα τα t t0 0. Ονομάηεται ευςτακζσ ειςόδου-ςε-κατάςταςθ αν m u και θ ανιςότθτα (.8) ικανοποιείται για κάκε αρχικι κατάςταςθ 0 n, xt ( ) και κάκε φραγμζνθ είςοδο ut (). Παρατθροφμε ότι θ παραπάνω ςυνκικθ εξαςφαλίηει τθν φπαρξθ φράγματοσ για τθν κατάςταςθ για κάκε φραγμζνθ είςοδο..4 Πεπιοσέρ Εςζηάθειαρ Είδαμε ότι υπάρχει μία περιοχι γφρω απ τθν κατάςταςθ ιςορροπίασ τζτοια ϊςτε κάκε τροχιά που ξεκινάει εντόσ τθσ περιοχισ αυτισ ςυγκλίνει προσ τθν κατάςταςθ ιςορροπίασ. Η περιοχι αυτι, θ οποία δεν είναι απαραίτθτα κυκλικι, δίνει τισ επιτρεπόμενεσ αποκλίςεισ από τθν κατάςταςθ ιςορροπίασ(και εμμζςωσ τθν επιτρεπόμενθ ιςχφ των παραγόντων που προκαλοφν τθν απόκλιςθ-διαταραχϊν) ϊςτε το ςφςτθμα να μθν μετατεκεί ςε άλλθ κατάςταςθ ιςορροπίασ. Θα αναφερκοφν μζκοδοι για εκτίμθςθ τθσ περιοχισ ευςτάκειασ ενόσ ςυςτιματοσ ςε επόμενθ παράγραφο(παράγραφο.4..1). Ορισμός.5 Σο ανοικτό ςυνεκτικό ςφνολο of attraction) τθσ καταςτάςεωσ ιςορροπίασ και t 0 T ιςχφει n λζγεται περιοχή ελκτικότητασ(region x e του ςυςτιματοσ αν για κάκε 0 x n Αν επιπλζον θ lim x( t, t0, x0) xe t x e είναι και αςυμπτωτικϊσ ι εκκετικά ευςτακισ τότε θ D λζγεται περιοχι αςυμπτωτικισ ευςτάκειασ ι εκκετικισ ευςτάκειασ αντίςτοιχα..5 Εςζηάθεια ζε Σηιγμιαίερ Διαηαπασέρ-Μέθοδοι Lyapunov Αναφζρκθκαν νωρίτερα κάποιοι οριςμοί ευςτάκειασ που χρθςιμεφουν ςτθν εξακρίβωςθ τθσ ευςτάκειασ μιασ κατάςταςθσ ιςορροπίασ. Σο μειονζκτθμα τθσ χριςθσ των οριςμϊν για τθ μελζτθ τθσ ευςτάκειασ μιασ κατάςταςθσ ιςορροπίασ είναι ότι απαιτοφν τθν λφςθ διαφορικϊν εξιςϊςεων. κοπόσ μασ, ωςτόςο, είναι να εξαχκοφν ςχζςεισ μζςω των οποίων θ μελζτθ τθσ ευςτάκειασ ςε ςτιγμιαίεσ διαταραχζσ να μθν απαιτεί τθν επίλυςθ των διαφορικϊν εξιςϊςεων που περιγράφουν το ςφςτθμα, που μπορεί να είναι από απλϊσ επίπονθ ζωσ και αδφνατθ, τουλάχιςτον ςε αναλυτικι μορφι. Λφςθ ς αυτό το πρόβλθμα δίνουν οι δφο μζκοδοι του Lyapunov. Η πρϊτθ ι ζμμεςθ μζκοδοσ δίνει ζνα απλό κριτιριο αςυμπτωτικισ ευςτάκειασ ενϊ θ δεφτερθ ι 17

άμεςθ μζκοδοσ εκτόσ απ τθν εξαγωγι ςυμπεραςμάτων για τθν ευςτάκεια του ςυςτιματοσ δίνει τθν δυνατότθτα να γίνει και εκτίμθςθ τθσ περιοχισ ελκτικότθτασ του ςυςτιματοσ(ςτθν περίπτωςθ που είναι αςυμπτωτικά ευςτακισ). Αξίηει προςοχισ επίςθσ ότι οι ςυνκικεσ των κεωρθμάτων Lyapunov είναι μόνο ικανζσ(όχι αναγκαίεσ)..5.1 Η Πρώτη Μέθοδοσ Lyapunov Η πρώτη ή ζμμεςη(indirect) μζκοδοσ του Lyapunov είναι μια απλι μζκοδοσ θ οποία ςυνικωσ χρθςιμοποιείται ςαν το πρϊτο βιμα πριν τθ χριςθ τθσ δεφτερθσ μεκόδου Lyapunov κι αυτό γιατί μπορεί να δϊςει γριγορα απάντθςθ ςτο αν ζνα ςθμείο ιςορροπίασ είναι ευςτακζσ. Ζτςι αφοφ προςδιοριςτεί ότι το ςφςτθμα είναι ευςτακζσ επιςτρατεφεται θ άμεςθ μζκοδοσ για να εξαχκοφν και επιπλζον πλθροφορίεσ για το υπό μελζτθ ςθμείο ιςορροπίασ. υνοπτικά, θ πρϊτθ μζκοδοσ του Lyapunov είναι ζνασ απλόσ τρόποσ να αποφανκοφμε αν θ ιςορροπία ενόσ ςυςτιματοσ x 0 είναι αςυμπτωτικά ευςτακισ (οπότε και ευςτακισ κατά Lyapunov). Αν υποτεκεί ότι θ ςυνάρτθςθ f( x ) μπορεί να αναπτυχκεί ςτθ μορφι όπου θ ςυνάρτθςθ gx ( ) ικανοποιεί τθ ςχζςθ f ( x) Ax g( x) (.9) gx ( ) lim 0 (.10) x 0 x που είναι πάντοτε δυνατό όταν θ gx ( ) αναπτφςςεται ςε ςειρά Taylor, αφοφ τότε f ( x) f (0) Ax g( x) αφοφ f (0) 0 και θ gx ( ) ικανοποιεί τθ ςχζςθ γιατί περιζχει όρουσ τάξεωσ μεγαλφτερθσ του 1. Η μιτρα Α καλείται Ιακωβιανι τθσ f( x ) ςτο ςθμείο x 0. 18

f1( x) f1( x) f1( x)... x1 x x n f( x) f ( x) f ( x)... x1 x x n.... x 0........ fn ( x) fn ( x) fn ( x)... x1 x x n (.11) Σο ςφςτθμα x Ax() t (.1) λζγεται γραμμική προςζγγιςη(linear approximation) του ςυςτιματοσ και με βάςθ αυτό εξάγονται ςυμπεράςματα και για το αρχικό μθ γραμμικό ςφςτθμα με τθ βοικεια του παρακάτω κεωριματοσ. Θεώρημα.1 (Πρώτο θεώρημα του Lyapunov) Αν δίνεται ςφςτθμα που γράφεται ςτθ μορφι f ( x) Ax g( x) και θ ςυνάρτθςθ gx ( ) ικανοποιεί τθ ςχζςθ (.10), τότε θ αςυμπτωτικι ευςτάκεια τθσ ιςορροπίασ x 0 τθσ γραμμικισ προςζγγιςθσ ςυνεπάγεται τθν αςυμπτωτικι ευςτάκεια τθσ ιςορροπίασ x 0 του ςυςτιματοσ..5. Η Δεύτερη Μέθοδοσ Lyapunov Η δεφτερη ή άμεςη(direct) μζκοδοσ Lyapunov είναι θ κατ εξοχιν μζκοδοσ που χρθςιμοποιείται ςτα μθ γραμμικά ςυςτιματα γιατί μπορεί να είναι πιο ςφνκετθ, ςε ςχζςθ με τθν πρϊτθ, όμωσ ζχει το πλεονζκτθμα ότι μασ προςφζρει περιςςότερεσ και χρθςιμότατεσ πλθροφορίεσ για το ςφςτθμα μασ. Η βαςικι ιδζα τθσ μεκόδου ςτθρίχτθκε ςτθ διαπίςτωςθ ότι ςε ζνα φυςικό ςφςτθμα χωρίσ διζγερςθ, θ δυναμικι ενζργεια του φκίνει με τον χρόνο ενϊ γίνεται ελάχιςτθ όταν το ςφςτθμα φτάςει ςτθν κατάςταςθ ιςορροπίασ. Αν κεωρθκεί ότι θ ελάχιςτθ αυτι τιμι είναι μθδζν, θ δυναμικι ενζργεια είναι μια κετικι ςυνάρτθςθ τθσ κατάςταςθσ του. Όμωσ για τθν κατανόθςθ τθσ μεκόδου κρίνεται προτιμότερθ θ γεωμετρικι παρά θ φυςικι ερμθνεία, δεδομζνου μάλιςτα ότι θ ζννοια τθσ ενζργειασ δεν επεκτείνεται πάντοτε 19

και ςε μθ φυςικά ςυςτιματα. Κρίνεται ςκόπιμθ θ παράκεςθ μερικϊν οριςμϊν πριν δοκοφν τα ςχετικά κεωριματα. n Ορισμός.6 Η ςυνάρτθςθ v(x), v : λζγεται θετικά οριςμζνη(positive definite)ςτθν γειτονιά Ν του ςθμείου x 0 αν v (0) 0 και vx ( ) 0 για κάκε xn {0}. n Ορισμός.7 Η ςυνάρτθςθ v(t,x), v : Tx λζγεται θετικά οριςμζνη ςτθν γειτονιά Ν του ςθμείου x 0 αν vt (,0) 0 και υπάρχει κετικά οριςμζνθ ςυνάρτθςθ v*(x), n v*: τζτοια ϊςτε v*( x) v( t, x) για κάκε t T και x N. Αν ςτουσ παραπάνω οριςμοφσ θ γειτονιά Ν ςυμπίπτει με τον χϊρο ςυνάρτθςθ λζγεται ολικά θετικά οριςμζνη. n, τότε θ Οι κετικά οριςμζνεσ ςυναρτιςεισ ςυνδζονται ςτενά με τθν ζννοια τθσ απόςταςθσ. Αυτό φαίνεται ςτο παρακάτω κεϊρθμα. Θεώρημα. n Αν θ ςυνάρτθςθ v(x), v : είναι κετικά οριςμζνθ ςτον n n d(x,y), d: x που ορίηεται από τθ ςχζςθ v( x) v( y) x y d( x, y) 0 x y αποτελεί μια απόςταςθ ςτον χϊρο n. n, τότε θ ςυνάρτθςθ Ορισμός.8 Η ςυνάρτθςθ vx ( ) (ι v( t, x ) αντίςτοιχα) λζγεται αρνητικά οριςμζνη (negative definite)αν θ vx ( )(ι v( t, x) αντίςτοιχα) είναι κετικά οριςμζνθ. Ορισμός.9 Η ςυνάρτθςθ vx ( ) (ι v( t, x) αντίςτοιχα) λζγεται αρνητικά ημιοριςμζνη αν θ vx ( ) 0(ι v( t, x) 0 αντίςτοιχα) για x 0 και v(0) 0 (ι vt (,0) 0 αντίςτοιχα). Θεώρημα.3(Δεφτερο θεώρημα του Lyapunov) Αν υπάρχει μια ςυνεχισ και παραγωγίςιμθ, κετικά οριςμζνθ ςυνάρτθςθ v(t,x), n v : Tx ςε μια γειτονιά τθσ ιςορροπίασ x 0 τζτοια ϊςτε θ ςυνάρτθςθ e v[ x( t)] T [ grad xv( t, x)] f ( t, x) t (.13) 0

να είναι αρνθτικά θμιοριςμζνθ ςε μια γειτονιά του xe 0, τότε θ κατάςταςθ ιςορροπίασ xe 0 του ςυςτιματοσ είναι ευςτακισ κατά Lyapunov. θμείωςθ: Σθν ζκφραςθ (.13) ςτθ ςυνζχεια κα τθν ςυμβολίηουμε με το ςφμβολο v( t, x), δθλαδι v[ x( t)] T v( t, x) [ grad xv( t, x)] f ( t, x) t το οποίο είναι γνωςτό με το όνομα ολική παράγωγοσ τησ v( t, x ) ωσ προσ το ςφςτημα. n Ορισμός.10 Η ςυνάρτθςθ v( t, x ), v : Tx δζχεται ζνα απείρωσ μικρό άνω φράγμα αν υπάρχει μια ςυνεχισ και αυςτθρά μονότονθ αφξουςα ςυνάρτθςθ () r, :, (0) 0 τζτοια ϊςτε v( t, x) ( x ) για κάκε tt και x N, όπου N μια γειτονιά του x 0. φμφωνα με τον παραπάνω οριςμό, αν μια κετικά οριςμζνθ ςυνάρτθςθ v( t, x ) δζχεται ζνα απείρωσ μικρό άνω φράγμα τότε από τθν ανιςότθτα v( t, x) t T ζπεται ότι x 1 ( ). Θεώρημα.4(Θεώρημα Lyapunov) για κάκε Αν υπάρχει μια ςυνεχισ και παραγωγίςιμθ κετικά οριςμζνθ ςυνάρτθςθ v(t,x), n v : Tx που δζχεται ζνα απείρωσ μικρό άνω φράγμα και τθσ οποίασ θ ολικι παράγωγοσ ωσ προσ το ςφςτθμα () είναι αρνθτικά οριςμζνθ, τότε θ ιςορροπία x 0 του ςυςτιματοσ είναι αςυμπτωτικά ευςτακισ. Παρατιρθςθ: φμφωνα με το κεϊρθμα.3 οι υποκζςεισ του κεωριματοσ.4 ςυνεπάγονται κατ αρχιν τθν ευςτάκεια κατά Lyapunov τθσ ιςορροπίασ x 0. Εξ άλλου, επειδι θ v( t, x) ωσ προσ το ςφςτθμα είναι αρνθτικά οριςμζνθ, ςυμπεραίνουμε ότι θ v[ t, x( t )] είναι μονότονα φκίνουςα και επιπλζον v( t, x) 0. Ορισμός.11 Μια ςυνάρτθςθ v( t, x ) που ικανοποιεί κάποιο από τα κεωριματα.3 ι.4 ονομάηεται ςυνάρτηςη Lyapunov. 1

.5..1 Εκτίμηση Περιοχών Ευστάθειας Όπωσ ζχει ιδθ αναφερκεί, θ ευκεία μζκοδοσ του Lyapunov επιτρζπει όχι μόνο να βγοφν ςυμπεράςματα για το είδοσ τθσ ευςτάκειασ τθσ ιςορροπίασ x 0, αλλά και τον προςδιοριςμό μιασ περιοχισ ελκτικότθτασ, για το υπό μελζτθ ςφςτθμα. Αυτό επιτυγχάνεται μζςω του παρακάτω κεωριματοσ. Θεώρημα.5 n Αν υποτεκεί ότι θ ςυνάρτθςθ v( t, x ), v : Tx ικανοποιεί τισ υποκζςεισ του κεωριματοσ.3. Ζςτω θ παραμετρικι οικογζνεια ςυνόλων Δα : n { x : v( t, x) a t T} όπου είναι κάποιοσ κετικόσ αρικμόσ. Σότε θ περιοχι { x :( v( t, x) 0 t T, x {0})} * ( ) * όπου * 0 είναι περιοχι αςυμπτωτικισ ευςτάκειασ τθσ ιςορροπίασ x 0 του ςυςτιματοσ. φμφωνα με το κεϊρθμα αυτό, για να ζχουμε μία εκτίμθςθ τθσ περιοχισ αςυμπτωτικισ ευςτάκειασ προςδιορίηουμε ζνα κετικό αρικμό * για τον οποίο θ v( t, x) είναι αρνθτικά οριςμζνθ ςτθν περιοχι *. Σότε θ * είναι περιοχι αςυμπτωτικισ ευςτάκειασ τθσ ιςορροπίασ x 0 του ςυςτιματοσ. Φυςικά θ μελζτθ τθσ ευςτάκειασ παρουςιάηει ιδιαίτερο ενδιαφζρον κατά τθν μελζτθ ενόσ ςυςτιματοσ, αφοφ θ εξαςφάλιςθ τθσ είναι πάντοτε, ίςωσ, το πλζον ςθμαντικό χαρακτθριςτικό που ηθτείται από ζνα μθχανικό ςυςτθμάτων και όχι μόνο..6 Έλεγσορ Σςζηημάηων.6.1 Σα Προβλήματα τησ Ρύθμιςησ και τησ Παρακολούθηςησ Αν κεωρθκεί το ςφςτθμα που περιγράφεται από τισ εξιςϊςεισ τθσ γενικισ μορφισ x( t) Ax( t) Bu( t) (.14) y( t) Cx( t) Du( t) (.15) Σο πρόβλθμα του ελζγχου του ςυςτιματοσ (.14-.15) ςυνίςταται ςτον προςδιοριςμό ενόσ άλλου ςυςτιματοσ που ονομάηεται μονάδα ελζγχου και το οποίο ζχει ςαν ζξοδο του ζνα ςιμα ut () τζτοιο ϊςτε αν τεκεί ςαν είςοδοσ ςτο προσ ζλεγχο ςφςτθμα το τελευταίο να ζχει μία επικυμθτι ςυμπεριφορά. Ο τρόποσ με τον οποίο ορίηεται θ επικυμθτι ςυμπεριφορά του προσ ζλεγχο ςυςτιματοσ κακϊσ και ο τρόποσ

με τον οποίο παράγεται το ςιμα ελζγχου ut () κακορίηουν και τθν φφςθ των διαφορετικϊν μεκόδων ελζγχου. ε γενικζσ γραμμζσ μποροφμε να κεωριςουμε ότι τα δυο γενικά προβλιματα ελζγχου ςτα οποία κατά κανόνα ανάγονται όλα τα υπόλοιπα είναι το πρόβλθμα τθσ ρφκμιςθσ και το πρόβλθμα τθσ παρακολοφκθςθσ. Σο Πρόβλημα τησ Ρυθμίςεωσ(Regulation Problem) διατυπϊνεται ωσ εξισ: Δοκείςθσ μιασ τιμισ x e του διανφςματοσ κατάςταςθσ να προςδιοριςκεί ζνασ νόμοσ ελζγχου ϊςτε ςτθν κανονικι λειτουργία του ςυςτιματοσ θ κατάςταςθ xt () του ελεγχόμενου ςυςτιματοσ να ικανοποιεί τθ ςχζςθ x() t xe, για τθν αντιμετϊπιςθ δε εξωτερικϊν διαταραχϊν θ κατάςταςθ xe να είναι ευςτακισ. Με άλλα λόγια, το πρόβλθμα τθσ ρυκμίςεωσ μπορεί να διατυπωκεί ωσ εξισ: Δοκείςθσ μιασ τιμισ x e του διανφςματοσ κατάςταςθσ να προςδιοριςτεί ζνασ νόμοσ ελζγχου ϊςτε το ελεγχόμενο ςφςτθμα να ζχει τθν κατάςταςθ x e ςαν ευςτακι κατάςταςθ ιςορροπίασ. Μια άλλθ παραλλαγι του προβλιματοσ αυτοφ είναι το πρόβλθμα ρυκμίςεωσ τθσ εξόδου του ςυςτιματοσ το οποίο διατυπϊνεται με τον ίδιο τρόπο με τθ διαφορά ότι θ κατάςταςθ x e αντικακίςταται από μια επικυμθτι τιμι y e τθσ εξόδου. Σο Πρόβλημα τησ Παρακολουθήςεωσ (Tracking Problem) διατυπϊνεται ωσ εξισ: Δοκείςθσ μιασ τροχιάσ x*( t ) του διανφςματοσ κατάςταςθσ να προςδιοριςκεί ζνασ νόμοσ ελζγχου ϊςτε ςτθν κανονικι λειτουργία του ςυςτιματοσ θ κατάςταςθ xt () του ελεγχόμενου ςυςτιματοσ να ικανοποιεί τθ ςχζςθ x( t) x*( t), για τθν αντιμετϊπιςθ δε εξωτερικϊν διαταραχϊν θ τροχιά x*( t ) να είναι ευςτακισ..6. Έλεγχοσ με Ανατροφοδότηςη Καταςτάςεωσ Σα βαςικά ςχιματα ελζγχου είναι το ςχήμα ελζγχου ανοικτοφ βρόχου και το ςχήμα ελζγχου κλειςτοφ βρόχου. το ςχιμα ελζγχου ανοικτοφ βρόχου ο νόμοσ ελζγχου δεν εξαρτάται από τθν εκάςτοτε κατάςταςθ x ι ζξοδο y του ςυςτιματοσ, αλλά μόνο απ τισ παραμζτρουσ που ορίηουν τθν επικυμθτι ςυμπεριφορά του. το ςχιμα ελζγχου κλειςτοφ βρόχου, ο νόμοσ ελζγχου εξαρτάται όχι μόνο απ τισ παραμζτρουσ τθσ επικυμθτισ ςυμπεριφοράσ του προσ ζλεγχο ςυςτιματοσ αλλά και από τθν εκάςτοτε κατάςταςθ ι ζξοδο του. Η γενικι μορφι του ςχιματοσ ελζγχου κλειςτοφ βρόχου φαίνεται ςτο ςχιμα.1. 3

χιμα.1 Γενικι μορφι του ςχιματοσ ελζγχου κλειςτοφ βρόχου Σο βαςικό πλεονζκτθμα ενόσ ςχιματοσ κλειςτοφ βρόχου ςε ςχζςθ με ζνα αντίςτοιχο ανοικτοφ, είναι ότι μποροφν να λθφκοφν υπ όψιν οι ςυνζπειεσ που ζχουν ςτο υπό ζλεγχο ςφςτθμα απρόβλεπτεσ εξωτερικζσ ςτιγμιαίεσ ι επιμζνουςεσ διαταραχζσ όπωσ αυτζσ αποτυπϊνονται ςτισ αποκλίςεισ των μεταβλθτϊν κατάςταςθσ ι εξόδου από τισ επικυμθτζσ τιμζσ τουσ..6.3 Σο Πρόβλημα τησ Ρύθμιςησ τθν γενικι περίπτωςθ του προβλιματοσ ρυκμίςεωσ ενόσ χρονικά αμετάβλθτου ςυςτιματοσ, ο νόμοσ ελζγχου με ανατροφοδότθςθ κατάςταςθσ κα ζχει τθ μορφι u u( x; x e ) Επειδι είναι επικυμθτό ςτθν κανονικι λειτουργία του ςυςτιματοσ θ κατάςταςθ να είναι κατάςταςθ ιςορροπίασ, κα πρζπει να ιςχφει θ ςχζςθ x e x Bu( x*; x ) 0 e υνεπϊσ θ φπαρξθ ενόσ διανφςματοσ u u( x ; x ) που ικανοποιεί τθ ςχζςθ e e e e e Ax Bu 0 (.16) είναι θ αναγκαία ςυνκικθ ϊςτε το πρόβλθμα ρυκμίςεωσ, όπωσ ζχει διατυπωκεί ςτθν προθγοφμενθ παράγραφο, να ζχει λφςθ. Η εξίςωςθ όμωσ αυτι με άγνωςτθ τθν δεν ζχει πάντοτε λφςθ. υνεπϊσ πριν προχωριςουμε ςτον προςδιοριςμό του νόμου ελζγχου κα πρζπει να εξετάςουμε αν θ εξίςωςθ ( ) ζχει λφςθ ωσ προσ u e. Ο νόμοσ ελζγχου που επιλφει το πρόβλθμα τθσ ρυκμίςεωσ ζχει τθν μορφι u( x) u u( x) (.17) και ο προςδιοριςμόσ του διαςπάται ςε δφο υποπροβλιματα: e u e 4

α) Σο πρϊτο υποπρόβλθμα ςυνίςταται ςτον προςδιοριςμό των διανυςμάτων xe και ue. Ο όροσ u e εκφράηει τον ζλεγχο ανοικτοφ βρόχου και ζχει ςαν ςτόχο να κακιςτά τθν x e κατάςταςθ ιςορροπίασ. β) Σο δεφτερο υποπρόβλθμα ςυνίςταται ςτον προςδιοριςμό μιασ ςυνάρτθςθσ ux ( ) ζτςι ϊςτε ux ( e ) 0 και θ ιςορροπία x e του ελεγχόμενου ςυςτιματοσ να είναι ευςτακισ. Ο όροσ ux ( ) εκφράηει τον ζλεγχο κλειςτοφ βρόχου..6.4 Μέθοδοσ Σοποθέτηςησ Ιδιοτιμών Θα μελετιςουμε μόνο τθν περίπτωςθ ςυςτθμάτων μιασ ειςόδου, αφοφ ς αυτι τθν κατθγορία ανικει το ςφςτθμα μασ. Αν υποκζςουμε ότι το ςφςτθμα ςτθν κλειςτι μορφι του περιγράφεται από τθ ςχζςθ(όπου ζχουμε αντικαταςτιςει ιδθ τον ζλεγχο), x( t) ( A bk) x( t) (.18) όπου n T n b, k και επιπλζον ιςχφει n1 ranku rank[ b Ab A b... A b] n τότε υπάρχει ζνασ γραμμικόσ μεταςχηματιςμόσ z Px (άρα και μεταςχθματίηει το ςφςτθμα ςτο x 1 P z ) ο οποίοσ z Az bu όπου A PAP 1 και b Pb. Οι μιτρεσ A και b είναι τελικά ςτθ μορφι 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A, 0 0 0 0 1 an an 1 an a a1 b 0 0 0 0 1 (.19) όπου ai είναι οι ςυντελεςτζσ του χαρακτθριςτικοφ πολυωνφμου τθσ μιτρασ A : det( s1 A) s a s a s... a s a (.0) n n1 n n 1 n1 n 5

Η εφρεςθ τθσ μιτρασ P γίνεται μζςω τθσ μιτρασ Q. Δθλαδι, πρϊτα δθμιουργοφμε τθ μιτρα Q ωσ εξισ Q q1 q q n [... ] όπου qn b και τα i q βρίςκονται μζςω τθσ qn 1 Aqn i1 aiqn, για i1,,..., n 1 και ςτθ ςυνζχεια θ μιτρα P προκφπτει αντιςτρζφοντασ τθν Q, δθλαδι P Q 1 Ζτςι, αν το ηεφγοσ ( Ab, ) είναι ελζγξιμο, θ μιτρα P μεταςχθματίηει το ςφςτθμα ςτθν ελζγξιμη κανονική μορφή(controllable canonical form)..6.5 ταθεροποίηςη υςτημάτων Αν υποκζςουμε ςφςτθμα ςτθ γενικι μορφι (.14-.15). Σο ηεφγοσ ( AB, ) λζγεται ςταθεροποιήςιμο(stabilizable) αν όλεσ οι αςτακείσ ιδιοτιμζσ τθσ μιτρασ A είναι ελζγξιμεσ..6.6 Βέλτιςτοσ Έλεγχοσ υςτημάτων Παρουςιάςτθκε ςε προθγοφμενθ παράγραφο θ τεχνικι τοποκζτθςθσ πόλων του κλειςτοφ ςυςτιματοσ ςε επικυμθτά ςθμεία, που ςυνεπάγεται και κάποια επικυμθτι ςυμπεριφορά του ςυςτιματοσ κλειςτοφ βρόχου. Αυτι θ κατθγορία τεχνικϊν δεν μονοπωλεί το ςχεδιαςμό ελζγχων για ςυςτιματα. Ζνασ άλλοσ τρόποσ ςχεδίαςθσ είναι με βάςθ τθν ικανοποίθςθ ςυγκεκριμζνων κριτθρίων κόςτουσ που αφοροφν ςυγκεκριμζνουσ περιοριςμοφσ ςτισ καταςτάςεισ και τισ ειςόδουσ του ςυςτιματοσ. Με τον πρϊτο τρόπο ςχεδίαςθσ εξαςφαλίηονται θ ευςτάκεια και ο επικυμθτόσ ρυκμόσ απόςβεςθσ τθσ εξόδου, αφινεται δε και μια ελευκερία για τθ διαμόρφωςθ τθσ μεταβατικισ ςυμπεριφοράσ του ςυςτιματοσ. Ο δεφτεροσ τρόποσ, εξαςφαλίηει τθν ευςτάκεια και επιπλζον μπορεί να διαμορφϊνει τθ μεταβατικι ςυμπεριφορά του ςυςτιματοσ και να πετυχαίνει εφικτζσ τιμζσ ειςόδων ςφμφωνα με τα κριτιρια κόςτουσ..6.6.1 Σο Γραμμικό Σετραγωνικό Πρόβλημα Ρύθμισης-Linear Quadratic Regulation Σο γραμμικό τετραγωνικό πρόβλθμα ρφκμιςθσ αποτελεί ζνα χαρακτθριςτικό και ευρζωσ χρθςιμοποιοφμενο παράδειγμα τθσ εφαρμογισ του βζλτιςτου ελζγχου ςε γραμμικά δυναμικά ςυςτιματα τθσ γενικισ μορφισ, δθλαδι x( t) A( t) x( t) B( t) u( t) ζτςι ϊςτε να ελαχιςτοποιείται κάποιο τετραγωνικό(quadratic) κριτιριο κόςτουσ 6

t f 1 T T 1 T J x ( t) Q( t) x( t) u ( t) R( t) u( t) dt x ( t f) Sx( t f) t0 όπου τα t 0, xt ( 0) και t f κεωροφνται δεδομζνα, ενϊ το xt ( f ) αφινεται ελεφκερο. Για το παραπάνω τετραγωνικό ωσ προσ τισ καταςτάςεισ κριτιριο, κεωροφμε ότι οι μήτρεσ βάρουσ QRκαι, S είναι ςυμμετρικζσ τετραγωνικζσ και ότι επιπλζον θ μιτρα R είναι κετικά οριςμζνθ και οι Q και S είναι κετικά θμιοριςμζνεσ. Ο νόμοσ ελζγχου κλειςτοφ βρόχου δίνεται από τθ ςχζςθ 1 T u( t) K( t) x( t) R B P( t) x( t) (.1) όπου θ μιτρα P, θ οποία είναι ςυμμετρικι και κετικά οριςμζνθ, δίνεται από τθ λφςθ τθσ διαφορικήσ εξίςωςησ Riccati με οριακι ςυνκικθ P( t f ) T 1 T P PA A P PBR B P Q (.) S. τθν περίπτωςθ που t f, δθλαδι ςτθ λφςθ άπειρου χρόνου ζχουμε 1 T T J x ( t) Q( t) x( t) u ( t) R( t) u( t) dt t0 και για ζνα ευςτακζσ ςφςτθμα οδθγεί ςε μια μόνιμθ κατάςταςθ λειτουργίασ. Ζτςι προκφπτει ότι K() t αλγεβρική εξίςωςη Riccati, δθλαδι 0 K, P 0 και τελικά θ μιτρα P υπολογίηεται πλζον από τθν T 1 T PA A P PBR B P Q (.3) με το κζρδοσ ανάδραςθσ 1 T K() t R B P K ct. Ζτςι θ λφςθ κλειςτοφ βρόχου είναι εξαρχισ(από το t 0 ) ςτακερι, αφοφ θ P δεν εξαρτάται απ τον χρόνο. Λόγω τθσ προφανοφσ απλοφςτευςθσ ςτθ λφςθ τθσ εξίςωςθσ Riccati που οδθγεί ςε ςτακερι μιτρα ανάδραςθσ, θ βζλτιςτθ λφςθ απείρου χρόνου είναι θ περιςςότερο διαδεδομζνθ και πρακτικά εφαρμόςιμθ μζκοδοσ ςχεδιαςμοφ βζλτιςτου ελζγχου για γραμμικά δυναμικά ςυςτιματα. 7

.7 Υποεπενεπγούμενα Μησανικά Σςζηήμαηα Σα υποεπενεργοφμενα(underactuated) μθχανικά ςυςτιματα είναι ςυςτιματα με λιγότερουσ ενεργοποιθτζσ (ελζγχου) από βακμοφσ ελευκερίασ που πρζπει να ελεγχκοφν. Ορισμός.1 Αν κεωρθκοφν ςυςτιματα που μποροφν να γραφοφν ςτθ μορφι q f ( q, q) G( q) u (.4) όπου q είναι το διάνυςμα κατάςταςθσ (ανεξάρτθτων γενικευμζνων ςυντεταγμζνων), f () είναι το διανυςματικό πεδίο που αντιπροςωπεφει τθ δυναμικι του ςυςτιματοσ, q είναι το γενικευμζνο διάνυςμα ταχφτθτασ, G είναι ο πίνακασ ειςόδου και u είναι ζνα διάνυςμα ειςόδων(γενικευμζνων δυνάμεων). Η διάςταςθ του q ορίηεται ωσ οι βακμοί ελευκερίασ του.σο ςφςτθμα(.4) λζγεται υποεπενεργοφμενο αν οι εξωτερικζσ γενικευμζνεσ δυνάμεισ δεν είναι ικανζσ να επιβάλλουν άμεςα επιτάχυνςθ ςε όλεσ τισ κατευκφνςεισ ςτο χϊρο διαμόρφωςθσ(configuration space),δθλαδι rank ( G) dim( q). τθν δεκαετία του 1980, πλικοσ ςτρατθγικϊν ελζγχου που βαςίηονται ςτθν πακθτικότθτα(passivity), ςτθ κεωρία του Lyapunov, ςτθν γραμμικοποίθςθ μζςω αναδράςεωσ(feedback linearization) κλπ. αναπτφχκθκαν για τα πλιρωσ ενεργοποιοφμενα ςυςτιματα, τα ςυςτιματα δθλαδι με ίδιο αρικμό ενεργοποιθτϊν με τουσ βακμοφσ ελευκερίασ τουσ. Ωςτόςο, οι τεχνικζσ που αναπτφχκθκαν για τα πλιρωσ ενεργοποιοφμενα ςυςτιματα δεν ζχουν άμεςθ εφαρμογι ςτα υποενεργοποιοφμενα μθ γραμμικά μθχανικά ςυςτιματα. Σα τελευταία χρόνια, ζχει υπάρξει ζντονο ενδιαφζρον για τθν ανάπτυξθ αλγορίκμων ςτακεροποίθςθσ(stabilizing algorithms) για υποενεργοποιοφμενα μθχανικά ςυςτιματα. Σο ανεςτραμμζνο εκκρεμζσ είναι θ πιο γνωςτι περίπτωςθ ενόσ κατά ζναν βακμό υποεπενεργοφμενου ςυςτιματοσ, δθλαδι ςυςτιματοσ που ζχει βακμοφσ ελευκερίασ κατά ζνα μεγαλφτερο απ τον αρικμό ενεργοποιθτϊν. Ειδικά για τθ περίπτωςθ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ ζχουν προτακεί διάφορεσ μζκοδοι για τθν επίλυςθ του προβλιματοσ ελζγχου του. Δφο από τισ πιο μοντζρνεσ και ενδιαφζρουςεσ κα υλοποιθκοφν ςτθ ςυνζχεια και κα γίνει ςφγκριςθ ωσ προσ τα αποτελζςματα, τονίηοντασ ςθμεία υπεροχισ αλλά και μειονεκτιματα. 8

Κεφάλαιο 3 ταθεροποίηςη του Γραμμικοποιημένου υςτήματοσ Ανεςτραμμένου Εκκρεμούσ 3.1 Ειζαγωγή το κεφάλαιο αυτό κα παρουςιαςτοφν οι δφο μζκοδοι που αποτελοφν τθν βάςθ για να επιτφχουμε, με χριςθ ενόσ γραμμικοφ ελζγχου, να κάνουμε ζνα αςτακζσ ςφςτθμα ανοικτοφ βρόχου ευςτακζσ. Αναφερόμαςτε φυςικά ςτθ μζκοδο τοποκζτθςθσ ιδιοτιμϊν(πόλων) και ςτθ μζκοδο του γραμμικοφ τετραγωνικοφ ρυκμιςτι(lqr). Επίςθσ παρουςιάηεται ζνασ PID ελεγκτισ, για τον οποίο θ περιοχι ευςτάκειασ προςεγγίηεται με χριςθ κατάλλθλου αλγορίκμου. Η κεωρία που κα χρθςιμοποιθκεί παρουςιάςτθκε αναλυτικά ςτο κεφάλαιο. 3. Το γπαμμικοποιημένο μονηέλο ηος ζςζηήμαηορ Σο διάγραμμα ελεφκερου ςϊματοσ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ φαίνεται ςτο παρακάτω ςχιμα 3.1. Σο γραμμικοποιθμζνο,γφρω απ τθν αςτακι κατακόρυφθ κζςθ, μοντζλο του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ είναι x Ax Bu y Cx Du με το διάνυςμα κατάςταςθσ να είναι το T x [ x a x a] c και τισ μιτρεσ να ζχουν τθν παρακάτω γενικι μορφι c T 9

0 0 1 0 0 0 0 1 M pg A 0 0 0 M c g( M p M c) 0 0 0 lm p c 0 0 1 B M c 1 lm p c (3.1) και C 1 0 0 0 0 1 0 0 0 D 0 (3.) χιμα 3.1 Διάγραμμα ελευκζρου ςϊματοσ τθσ διάταξθσ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ Για τθν περίπτωςθ του 4-inch εκκρεμοφσ ιςχφει ότι θ μάηα του εκκρεμοφσ είναι M p lp 0.30kg, θ μάηα του cart είναι M 3.kg, το μικοσ του εκκρεμοφσ 0.330m c και φυςικά θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ ιςοφται με g 9.81 m / s. 30

Αντικακιςτϊντασ τισ παραπάνω τιμζσ προκφπτουν οι ακριβείσ τιμζσ των μθτρϊν, δθλαδι 0 0 1 0 0 0 0 1 A 0 0.7007 0 0 0 31.8314 0 0, 0 0 B 0.3106 0.9405 Ελζγχουμε τισ ιδιοτιμζσ τθσ μιτρασ Α και οι οποίεσ προκφπτουν 0 0 5.6419 5.6419 Παρατθροφμε ότι εκτόσ απ ϋ τθν αρνθτικι (ευςτακι) ιδιοτιμι, ζχουμε ζνα ηεφγοσ ιδιοτιμϊν μθδενικό και μια ιδιοτιμι με πραγματικό μζροσ κετικό. Προφανϊσ το ςφςτθμα ανοικτοφ βρόχου είναι αςτακζσ, όπωσ άλλωςτε ιταν αναμενόμενο. 3.3 Σηαθεποποίηζη ηος Γπαμμικοποιημένος Σςζηήμαηορ Είδαμε ότι το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα ανοικτοφ βρόχου είναι αςτακζσ, πράγμα ςθμαίνει ότι πρζπει εμείσ επεμβαίνοντασ μζςω του νόμου ελζγχου να το ςτακεροποιιςουμε. Πρϊτο μζλθμα μασ είναι να ελζγξουμε αν το ηεφγοσ ( AB, ) είναι ςτακεροποιιςιμο. Ζτςι, ελζγχουμε αν το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα είναι ελζγξιμο. Ζχουμε για το βακμό τθσ μιτρασ ελεγξιμότθτασ 4 3 rank B AB A B A B Άρα το ςφςτθμα είναι πλιρωσ ελζγξιμο, άρα και όλεσ οι ιδιοτιμζσ αυτοφ. Προκφπτει ότι είναι και πλιρωσ παρατθριςιμο αλλά δεν μασ ενδιαφζρει άμεςα. Σϊρα μζνει να το ςτακεροποιιςουμε επιλζγοντασ κατάλλθλο γραμμικό νόμο ελζγχου. τθ ςυνζχεια κα διερευνθκεί αν υπάρχει PID ελεγκτισ που να ςτακεροποιεί το ςφςτθμα. 3.3.1 ταθεροποίηςη με τη Μέθοδο Σοποθέτηςησ Ιδιοτιμών Πρζπει να βρεκεί ζνασ γραμμικόσ ζλεγχοσ με ανατροφοδότθςθ κατάςταςθσ, δθλαδι u Kx, όπου x το διάνυςμα κατάςταςθσ του ςυςτιματοσ. Επιλζγονται ωσ επικυμθτζσ ιδιοτιμζσ κλειςτοφ βρόχου i *, δθλαδι τθσ μιτρασ A BK, οι ακόλουκεσ 31

* 10 1 * 5 * 3 * 1 4 Ζχει παρουςιαςτεί ςτθν παράγραφο.5.4 θ ςχετικι κεωρία. Εδϊ κα αρκεςτοφμε ςτθν εντολι place του Matlab, απ όπου και προκφπτει ότι αρκεί ζνασ γραμμικόσ ζλεγχοσ με κζρδοσ K 10.8384 140.5580 19.5091 5.5803 3.3. ταθεροποίηςη Μέςω του Γραμμικού Σετραγωνικού Ρυθμιςτή(LQR) Αν επικυμοφμε να πετφχουμε ςτακεροποίθςθ και επιπλζον βελτιςτοποίθςθ ενόσ (τετραγωνικοφ) κριτθρίου, με κατάλλθλθ επιλογι των μθτρϊν του οποίου μποροφμε να πετφχουμε επικυμθτά χαρακτθριςτικά για κάποιεσ τιμζσ, ςτρεφόμαςτε ςτον LQR ζλεγχο. Θα παρουςιαςτεί ζνα παράδειγμα ενόσ τζτοιου ελεγκτι ςτθ ςυνζχεια. Αν επιλεγοφν μιτρεσ Q και R οι 10 0 0 0 0 5 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 0 0.1, R 1 τότε για το εκκρεμζσ μικουσ 4-inch κα ζχουμε καλϊντασ τθν εντολι lqr του Matlab ζνα κζρδοσ K 3.163 86.0357 5.8007 15.368 T T και οι ιδιοτιμζσ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ, με u Kx και x [ x a x a] κα είναι οι 5.6468 0.113 iκαι 0.6770 0.6755i που κακιςτοφν το ςφςτθμα κλειςτοφ βρόχου ευςτακζσ. το ςχιμα 3. παρακάτω φαίνεται θ (μοναδιαία) βθματικι απόκριςθ του ςτακεροποιθμζνου ςυςτιματοσ με αρχικι κατάςταςθ T x0 0 0 0 0 T, για τισ καταςτάςεισ x c και a, ενϊ ςτο ςχιμα 3.3 θ κρουςτικι απόκριςθ του για τθν ίδια αρχικι ςυνκικθ. c c 3

χιμα 3. Βθματικι απόκριςθ του ςτακεροποιθμζνου ςυςτιματοσ με αρχικι κατάςταςθ T x0 0 0 0 0 T. χιμα 3.3 Κρουςτικι απόκριςθ του ςτακεροποιθμζνου ςυςτιματοσ με αρχικι κατάςταςθ T x0 0 0 0 0 T. Παρατθροφμε ςτο ςχιμα 3. ότι θ μεν γωνία επανιλκε ςτθν αρχικι τθσ κζςθ( a 0 ) όμωσ θ κζςθ του κινθτοφ ζχει αλλάξει ςε ςχζςθ με τθν αρχικι( x 0 ), δθλαδι υπάρχει παραμζνον μόνιμο ςφάλμα τελικισ κατάςταςθσ. 33

Θα παρουςιαςτεί ακόμθ μια εκδοχι του LQR ελεγκτι, αυτι τθ φορά με διάνυςμα ςφάλματοσ και μιτρεσ Q και R τισ [ x,,,,,, ] T c xc d a vx va xc xc d dt (3.3) 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.001, R 1 Ζχουμε τα παρακάτω αποτελζςματα. Η μετατόπιςθ του κινθτοφ παρακάτω ςχιμα 3.4. xc φαίνεται ςτο χιμα 3.4 Η μετατόπιςθ x c του κινθτοφ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου. 34

Η γωνία του εκκρεμοφσ a φαίνεται ςτο ςχιμα 3.5, ενϊ θ είςοδοσ ςχιμα3.6. I m φαίνεται ςτο χιμα 3.5 Η γωνία a του κινθτοφ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου. χιμα 3.6 Η είςοδοσ I m του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου. Σα αντίςτοιχα πειραματικά αποτελζςματα ςτο εκκρεμζσ του Εργαςτθρίου υςτθμάτων Αυτομάτου Ελζγχου(Quanser-Single Inverted Pendulum) παρατίκενται ςτθ ςυνζχεια. το ςχιμα 3.7 φαίνεται θ κζςθ του κινθτοφ ενϊ ςτα ςχιματα 3.8 και 3.9 35

χιμα 3.7 Η μετατόπιςθ x c του κινθτοφ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε πειραματικά. φαίνονται θ γωνία του εκκρεμοφσ και θ είςοδοσ ςτο ςφςτθμα, όπου οι αιχμζσ προζρχονται από διαταράξεισ που προκαλζςαμε ςτο ςφςτθμα εξωτερικά, για λόγουσ παρατιρθςθσ τθσ ςυμπεριφοράσ του και ελζγχου τθσ ςκεναρότθτασ του ελζγχου. χιμα 3.8 Η γωνία a του εκκρεμοφσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε πειραματικά. 36

χιμα 3.9 Η είςοδοσ I m του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε πειραματικά. 3.3.3 ταθεροποίηςη μέςω PI(D) Ελεγκτή τθν παράγραφο αυτι κα παρουςιαςτεί θ απόπειρα να ςτακεροποιθκεί το αςτακζσ ςφςτθμα ανοικτοφ βρόχου με ζνα μη γραμμικό PID-ζλεγχο με ανατροφοδότθςθ τθσ εξόδου. Ζτςι ςε κάκε ζξοδο του ςυςτιματοσ, δθλαδι ςτισ xc και a, αντιςτοιχίηουμε ζναν PID ελεγκτι. το παράρτθμα φαίνεται ο ςχετικόσ κϊδικασ υλοποίθςθσ. Αποδεικνφεται ότι παρόλο που το ςφςτθμα είναι πλιρωσ ελζγξιμο για ζλεγχο με ανατροφοδότθςθ κατάςταςθσ, όταν αρκοφμαςτε ςε ανατροφοδότθςθ τθσ εξόδου, περιοριηόμαςτε ωσ προσ το πόςο μποροφμε να επθρεάςουμε τισ ιδιοτιμζσ του ςυςτιματοσ κλειςτοφ βρόχου. Πιο ςυγκεκριμζνα, μποροφμε να επθρεάςουμε το γινόμενο των ιδιοτιμϊν όχι όμωσ και το άκροιςμα τουσ το οποίο και παραμζνει ςτακερό. Ζτςι, λαμβάνοντασ υπ όψιν ότι ο αςτακισ πόλοσ (ανοικτοφ βρόχου) ζχει τιμι 5.6419 που είναι ίςθ και αντίκετθ με τον ευςτακι 5.6419, αντιλαμβανόμαςτε ότι το καλφτερο που μποροφμε να πετφχουμε είναι να κάνουμε όλεσ τισ ιδιοτιμζσ μθδενικζσ και το ςφςτθμα τελικά να οδθγθκεί ςτθν αςτάκεια. 3.3.3.1 Μελέτη της Περιοχής Ευστάθειας του Κλειστού υστήματος τθν παράγραφο αυτι επιχειρείται μια διευρεφνθςθ τθσ περιοχισ ελκτικότθτασ του ςυςτιματοσ κλειςτοφ βρόχου για διάφορουσ ελζγχουσ. Πρακτικά, αναηθτοφμε τθν μεγαλφτερθ περιοχι γφρω από μια κατάςταςθ ιςορροπίασ απ τθν οποία αν το 37

ςφςτθμα ξεκινιςει, δθλαδι αν οι αρχικζσ του ςυνκικεσ βρίςκονται εντόσ τθσ περιοχισ αυτισ, το ςφςτθμα κα ςυνεχίςει να λειτουργεί ςτθν ιςορροπία αυτι. το παράρτθμα παρουςιάηεται ζνασ αλγόρικμοσ που αντιμετωπίηει διαιςκθτικά το πρόβλθμα τθσ εφρεςθσ τθσ περιοχισ ελκτικότθτασ. Η προςζγγιςθ γίνεται με βάςθ τθν υπερςφαίρα όμωσ είναι πολφ απαιτθτικόσ ςε υπολογιςτικό χρόνο. 38

Κεφάλαιο 4 υνδυαςμόσ Ενεργειακού και LQR Έλεγχου- Η Περίπτωςη του Dual Mode Ελεγκτή 4.1 Ειζαγωγή το κεφάλαιο αυτό παρουςιάηεται ζνασ ελεγκτισ τθσ επικρατοφςασ λογικισ ςτο ςχεδιαςμό ελεγκτϊν για τθ λφςθ του προβλιματοσ ελζγχου του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ. φμφωνα με τθ λογικι αυτι ςχεδιάηονται ξεχωριςτά ζνασ ελεγκτισ για τθ λφςθ του προβλιματοσ τθσ ανφψωςθσ(swing up) και ζνασ balance ελεγκτισ που επιλζχκθκε να είναι ζνασ LQR (βζλτιςτοσ) ελεγκτισ. 4. Μονηελοποίηζη ηος ζςζηήμαηορ HFLC και SESIP(από εγσειπίδιο HFLC) Οι εξιςϊςεισ Euler-Langrange του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ είναι cos ( ) d ( ) sin ( ) d M a t a t l M a t a( t) l ( M M ) d x ( t) F dt dt dt p p p p c p c c d d p p p p c p p M l a( t) M cos a( t) l x ( t) M g sin a( t) l 0 dt dt Η λφςθ των (μθ γραμμικϊν) εξιςϊςεων κίνθςθσ αυτϊν είναι d M sin a( t) l a( t) d M cos a( t) g sin a( t) F dt M M M a t M M M a t p p dt p c x () c t c p p cos ( ) c p p cos ( ) d cos a( t) M sin a( t) a( t) d cos a( t) F g sin a( t) M M g sin a( t) dt M M M a t M M M a t l p dt c c p at () c p p cos ( ) ( c p p cos ( ) ) p 39

Για να το φζρουμε ςε μορφι καταςτατικϊν εξιςϊςεων επιλζγεται το διάνυςμα κατάςταςθσ T T x [ x a x a] x x x x c c 1 3 4 και ζχουμε τισ μθ γραμμικζσ καταςτατικζσ εξιςϊςεισ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ x x x 1 3 x 4 T x M sin x l x M cos x g sin x F p p 4 p c 3 M c M p M p cos x M c M p M p cos x x cos x M sin x x cos x F g sin x M M g sin x p 4 c c p 4 M c M p M p cos x ( M c M p M p cos x ) lp Σο γραμμικοποιθμζνο μοντζλο του ςυςτιματοσ δόκθκε ςτθν παράγραφο 3.. 4.3 Σσεδιαζμόρ Ελεγκηή κοπόσ του ελεγκτι είναι να ανυψϊςει(swing up) το εκκρεμζσ απ τθν κζςθ που είναι κρεμαςμζνο(hanging position) ςτθν κατακόρυφθ κζςθ(upright position) και ςτθ ςυνζχεια να το ιςορροπιςει(balance) ςτθ κζςθ αυτι, διατθρϊντασ παράλλθλα το κινθτό ςε μια επικυμθτι κζςθ(position setpoint). Όπωσ φαίνεται και ςτθν εικόνα ο εναλλάςςων ελεγκτισ ζχει δυο τρόπουσ(modes) λειτουργίασ: ανυψωτικό(swing up) και ιςορροποιθτικό(balance). Αρχικά, το εκκρεμζσ βρίςκεται κρεμαςμζνο και ακίνθτο ςτθν κζςθ ανάρτθςθσ του όπου και ιςορροπεί, ενϊ ακίνθτο είναι και το κινθτό. Εν ςυνεχεία, δίνεται εντολι ςτο κινθτό να μετακινθκεί κατά μια μικρι μετατόπιςθ ϊςτε να διαταράξει(perturb) το εκκρεμζσ. Σότε ενεργοποιείται ο ελεγκτισ swing up ο οποίοσ ςτθ ςυνζχεια κινεί το εκκρεμζσ εμπρόσ-πίςω μζχρισ ότου το εκκρεμζσ φτάςει ςτθν κατακόρυφθ(upright) κζςθ. O ελεγκτισ swing up είναι ζνασ ενεργειακισ βάςθσ(energy based) αλγόρικμοσ ο οποίοσ παρουςιάςτθκε από τουσ Astrom και Furuta [10]. 40

χιμα 4.1 Ο dual mode ελεγκτισ κλειςτοφ βρόχου. Η αλλαγι(switch) ςτον ελεγκτι που αναλαμβάνει τθν εξιςορρόπθςθ(balance) γίνεται όταν θ γωνία του εκκρεμοφσ βρίςκεται μζςα ςε μια ςυγκεκριμζνθ περιοχι ανοχισ(tolerance) γφρω απ τθν κατακόρυφθ κζςθ του εκκρεμοφσ και θ κυκλικι ταχφτθτα του είναι μικρότερθ από ζνα κακοριςμζνο όριο. Η λογικι τθσ αλλαγισ μεταξφ των modes του ελεγκτι κα γίνει πιο κατανοθτι ςτθ ςυνζχεια τθσ παραγράφου. 4.3.1 Ενεργειακόσ Swing-Up Έλεγχοσ Η μθ γραμμικι εξίςωςθ κίνθςθσ του εκκρεμοφσ είναι θ όπου inch M p d J p( a( t)) M sin( ( )) cos( ( )) pgl p a t M pul p a t (4.1) dt J p, M p και l p είναι οι παράμετροι του ςυςτιματοσ και ςυγκεκριμζνα για το 4- εκκρεμζσ J p 3 7.8810 kg m θ αδρανειακι ροπι του εκκρεμοφσ, 0.30kg θ μάηα του εκκρεμοφσ, l 0.330m το μικοσ του εκκρεμοφσ, g είναι p επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ και u είναι θ γραμμικι επιτάχυνςθ του κινθτοφ. Η δυναμικι ενζργεια του εκκρεμοφσ δίνεται απ τθ ςχζςθ M gl (1 cos( a( t))) (4.) p p p και θ κινθτικι ενζργεια απ τθ d () dt 1 Ek J p a t (4.3) 41

Οπότε θ ςυνολικι ενζργεια του ςυςτιματοσ προκφπτει απ το άκροιςμα των δυο παραπάνω ςχζςεων, δθλαδι 1 d E Ek Ep J p a( t) M pgl p 1 cos( a( t)) dt (4.4) Παίρνοντασ τθν χρονικι παράγωγο τθσ ολικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ ζχουμε d d E a( t) J p a( t) M sin( ( )) pgl p a t t dt dt (4.5) Προκειμζνου να ειςαχκεί θ μεταβλθτι ελζγχου u, θ (4.1) επιλφεται ωσ προσ sin(α) οπότε ζχουμε d J p a( t) cos( ( )) M pul p a t dt sin( ( t)) (4.6) M gl p p Αντικακιςτϊντασ (4.6) ςτθν (4.5) καταλιγουμε ςτθν ζκφραςθ d E M pul pcos( a( t)) a( t) t dt (4.7) Ο μθ γραμμικόσ ελεγκτισ που ςτρζφει το εκκρεμζσ για να επιτευχκεί μια επικυμθτι ενζργεια(ι ενζργεια αναφοράσ) r είναι d u ( E Er )cos( a( t)) a( t) dt (4.8) Προκειμζνου θ ενζργεια να μεταβάλλεται γριγορα το εφροσ(magnitude) του ςιματοσ ελζγχου πρζπει να είναι μεγάλο. αν αποτζλεςμα αυτοφ, υλοποιείται ο ακόλουκοσ swing-up ελεγκτισ d u satng ( E Er ) signcos a( t) a( t) dt (4.9) Ο ζλεγχοσ αυτόσ προςκζτει μια ςυνάρτθςθ sign ςτθν ζκφραςθ τθσ γωνίασ του εκκρεμοφσ και ζνα ρυκμιηόμενο κζρδοσ μ ενϊ περιορίηεται(saturation) ςτθ μζγιςτθ επιτάχυνςθ προερχόμενθ από το κινθτό(ςε μονάδεσ g αντί για m/ s ), ng, όπου g max n (4.10) g 4

είναι ο ςυντελεςτισ επιτάχυνςθσ. Για το εκκρεμζσ θ ενζργεια αναφοράσ τίκεται Er 1.5[ J] (4.11) που ιςοφται με τθν ολικι ενζργεια του εκκρεμοφσ όταν ιςορροπεί ςτθν κατακόρυφθ κζςθ, ενϊ το swing-up κζρδοσ μ είναι mu 1 m sj (4.1) που είναι ικανό να ανυψϊςει το εκκρεμζσ ςε 4-5 ςτροφζσ και ο ςυντελεςτισ επιτάχυνςθσ προκφπτει n 0.6608 4.3. Ανάλυςη τησ Λογικήσ τησ Αλλαγήσ του Ελεγκτή Όπωσ αναφζρκθκε ςτα προθγοφμενα, το δεφτερο πρόβλθμα που καλείται να αντιμετωπίςει ο ελεγκτισ είναι, αφοφ ζχει φζρει το εκκρεμζσ ςτθν κατακόρυφθ κζςθ, να το ιςορροπιςει ςε αυτι. Αυτό το πετυχαίνει αλλάηοντασ το mode του από swingup ςε balance και αντίςτροφα. Οι ςυνκικεσ για να γίνει θ αλλαγι mode του ελεγκτι από swing-up ςε balance είναι d up 0 at ( ) 0 dt (4.14) όπου θ κατακόρυφθ(upright) γωνιακι κζςθ ορίηεται ωσ mod( a, ) (4.15) up Αυτι είναι θ γωνία του εκκρεμοφσ ςε ςχζςθ με τθ κατακόρυφθ κζςθ(δθλαδι up = 0 αντιςτοιχεί ςτθν ακριβϊσ κατακόρυφθ γωνία ). Αυτζσ οι ςυνκικεσ ερμθνεφονται ωσ εξισ: Αν θ γωνία του εκκρεμοφσ είναι μικρότερθ από εκατζρωκεν τθσ κατακόρυφου και επιπλζον θ γωνιακι ταχφτθτα του δεν ξεπερνά μια μζγιςτθ τιμι, αρχίηει θ λειτουργία του balance ελεγκτι. Οι ςυνκικεσ για να παραμείνει ο ελεγκτισ ςε balance mode είναι d up 0 at ( ) 0 dt (4.16) Αν δθλαδι το εκκρεμζσ πάει ςε γωνία μεγαλφτερθ τθσ β τότε ο ελεγκτισ επιςτρζφει ςε swing-up mode. 43

Για το εκκρεμζσ επιλζχκθκαν οι τιμζσ ε= 14.5 [deg] θ= 810 [deg/s] και β= 5.5 [deg] Παρατιρθςθ: H ςυνκικθ τθσ γωνίασ του εκκρεμοφσ είναι πιο περιοριςτικι όταν είναι ιδθ ςε balance mode, δθλαδι. Αυτό πρακτικά ςθμαίνει ότι όταν το εκκρεμζσ είναι ιδθ ςε balance mode θ αντοχι είναι μικρότερθ που πρακτικά εξθγείται απ το ότι ςτο β χρθςιμοποιιςαμε το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα που είναι προςζγγιςθ του μθ γραμμικοφ. ε περίπτωςθ που χρθςιμοποιοφςαμε το μθ γραμμικό κα ζπρεπε να προκφψει. 4.3.3 Balance Ελεγκτήσ Όταν το εκκρεμζσ ζχει ανυψωκεί αρκετά κοντά ςτθν κατακόρυφθ κζςθ, θ λογικι αλλαγισ mode ενεργοποιεί τον balance ελεγκτι. Σο κινθτό(cart) πρζπει, εκτόσ του να ιςορροπιςει το εκκρεμζσ εκεί, να βρίςκεται ςε μια κζςθ αναφοράσ που επικυμοφμε. Αυτό ςθμαίνει ότι θ κζςθ του κινθτοφ, x c,ακολουκεί μια επικυμθτι κζςθ(setpoint) που του τίκεται, x cd,, και ταυτόχρονα θ γωνία του εκκρεμοφσ, α, ςτακεροποιείται γφρω απ το μθδζν. Πρόκειται ακριβϊσ για τον ελεγκτι που είδαμε ςτθν παράγραφο 3.3.. Τποκζτοντασ ότι δεν ζχουμε κορεςμό ςτον ζλεγχο, m u, κεωροφμε τον νόμο ελζγχου με ανατροφοδότθςθ κατάςταςθσ όπου c c, d,, x, a, c c, d u K (4.17) x x a v v x x dt (4.18) είναι το επαυξθμζνο διάνυςμα ςφάλματοσ(error state). H ταχφτθτα του κινθτοφ v x,υπολογίηεται μζςω του υψιπερατοφ (high-pass) φίλτρου V ( s) D ( s) X ( s) (4.19) x 1 c και θ γωνιακι ταχφτθτα του εκκρεμοφσ, v a, υπολογίηεται μζςω τθσ V s ( ) a D ( ) ( ) s a s (4.0) 44

όπου οι παρατθρθτζσ υψθλοφ κζρδουσ(high-gain observers) δεφτερθσ τάξθσ ορίηονται ωσ εξισ c,1 1() s 1 c,1 c,1 D s s (4.1) όπου c,1 είναι θ ςυχνότθτα αποκοπισ(cutoff frequency) που κακορίηει ποιεσ ςυχνότθτεσ κα κόβει το φίλτρο και 1 είναι ο ςυντελεςτήσ απόςβεςησ(damping ratio) που κακορίηει βαςικά το χρόνο απόκριςησ(response time) του φίλτρου. Όμοια c, () s c, c, D s s (4.) όπου τα c,, είναι αντίςτοιχα με πριν, απλά ζχουν διαφορετικζσ τιμζσ. Ζτςι με βάςθ το μοντζλο του ςυςτιματοσ και με χριςθ τθσ εντολισ lqr του Matlab με βάρθ τισ παρακάτω μιτρεσ και 50 0 0 0 0 0 10 0 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.001 R=10 προκφπτει το κζρδοσ του ελεγκτι (4.19).4 4.8 1.3 0.63 0.01 Με το κζρδοσ που υπολογίςτθκε για τον ελεγκτι, θ κατάςταςθ η ςυγκλίνει ςτο μθδζν. Ζτςι, θ κζςθ του κινθτοφ ςυγκλίνει ςτθν κακοριςμζνθ κζςθ(setpoint), xc ( t) xc, d ( t) και θ γωνία του εκκρεμοφσ ρυκμίςτθκε γφρω απ το μθδζν, at ( ) 0. Ο ολοκλθρωτικόσ όροσ βελτιϊνει το ςφάλμα μόνιμθσ κατάςταςθσ(steady state error) τθσ κζςθσ του εκκρεμοφσ. Σο μζγεκοσ του κζρδουσ επιλζχκθκε ϊςτε να επιτυγχάνεται ομαλι αλλαγι από το swing-up ςτο balance mode. Ζνα μεγαλφτερο κζρδοσ κα ζκανε τθν αλλαγι λιγότερο ομαλι. 45

4.4 Πποζομοίωζη ηος Κλειζηού Σςζηήμαηορ με ηον Dual Mode Ελεγκηή Παρατίκενται τα αποτελζςματα τθσ προςομοίωςθσ του ςυςτιματοσ με τον προτεινόμενο switch mode ελεγκτι. Η κζςθ xc του κινθτοφ δίνεται ςτο ςχιμα 4.. χιμα 4. Η κζςθ xc του κινθτοφ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε από τθν προςομοίωςθ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ. θ γωνία του εκκρεμοφσ a δίνεται ςτο ςχιμα 4.3 ενϊ θ είςοδοσ και θ ενζργεια 46

χιμα 4.3 Η γωνία a του εκκρεμοφσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε από τθν ςτα ςχιματα 4.4 και 4.5 αντίςτοιχα. προςομοίωςθ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ. χιμα 4.4 Η είςοδοσ του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε από τθν προςομοίωςθ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ. 47

χιμα 4.5 Η ενζργεια του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε από τθν προςομοίωςθ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ. 4.5 Επγαζηηπιακά Αποηελέζμαηα ηος Dual Mode Ελεγκηή Ο ελεγκτισ με τθν λογικι switch mode δοκιμάςτθκε πειραματικά ςτο εκκρεμζσ του Εργαςτθρίου υςτθμάτων Αυτομάτου ελζγχου. Σα εργαςτθριακά αποτελζςματα του ελεγκτι φαίνονται παρακάτω. το ςχιμα 4.6 φαίνεται θ κίνθςθ(κζςθ x c πάνω ςτον άξονα) του κινθτοφ. το ςχιμα 4.7 φαίνεται θ γωνιακι κζςθ του εκκρεμοφσ ενϊ ςτα ςχιματα 4.8 και 4.9 φαίνονται θ είςοδοσ του ςυςτιματοσ και θ ενζργεια του. 48

χιμα 4.6 Η κζςθ xc του κινθτοφ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε πειραματικά ςτο εργαςτιριο. χιμα 4.7 Η γωνία του εκκρεμοφσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε πειραματικά ςτο εργαςτιριο. 49

χιμα 4.8 Η είςοδοσ του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε πειραματικά ςτο εργαςτιριο. χιμα 4.9 Η ενζργεια του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε πειραματικά ςτο εργαςτιριο. 50

Παρατίκενται, επίςθσ, τα αντίςτοιχα διαγράμματα όταν το εκκρεμζσ δζχεται εξωτερικά τόςο μεγάλθ διαταραχι που φεφγει κάτω απ τθν οριηόντιο. Παρατθροφμε ότι κάνει πλιρθ περιςτροφι για να επιςτρζψει, παρουςιάηοντασ αξιοςθμείωτθ ςκεναρότθτα. Η ςυμπεριφορά του ςυςτιματοσ φαίνεται ςτα ςχιματα 4.10 ζωσ 4.13. χιμα 4.10 Η κζςθ του κινθτοφ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε από τθν πειραματικι διαδικαςία του κλειςτοφ ςυςτιματοσ, όταν το εκκρεμζσ δζχεται εξωτερικι διαταραχι που το ςτζλνει κάτω απ τθν οριηόντιο. 51

χιμα 4.11 Η γωνία του εκκρεμοφσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε από τθν πειραματικι διαδικαςία του κλειςτοφ ςυςτιματοσ, όταν το εκκρεμζσ δζχεται εξωτερικι διαταραχι που το ςτζλνει κάτω απ τθν οριηόντιο. χιμα 4.1 Η είςοδοσ του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε από τθν πειραματικι διαδικαςία του κλειςτοφ ςυςτιματοσ, όταν το εκκρεμζσ δζχεται εξωτερικι διαταραχι που το ςτζλνει κάτω απ τθν οριηόντιο. 5

χιμα 4.13 Η ενζργεια του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου, όπωσ προζκυψε από τθν πειραματικι διαδικαςία του κλειςτοφ ςυςτιματοσ, όταν το εκκρεμζσ δζχεται εξωτερικι διαταραχι που το ςτζλνει κάτω απ τθν οριηόντιο. 53

Κεφάλαιο 5 Ενιαίοσ Ελεγκτήσ 5.1 Ειζαγωγή το κεφάλαιο αυτό παρουςιάηεται ζνασ νζοσ ελεγκτισ για τθ λφςθ του προβλιματοσ ελζγχου του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ. Χαρακτθρίηεται νζοσ γιατί ξεφεφγει από τθν πεπατθμζνθ λογικι του ςυνδυαςμοφ ελζγχων ςε ζνα υβριδικό ζλεγχο όπωσ παρουςιάςτθκε ςτο προθγοφμενο κεφάλαιο. Η κεντρικι ιδζα είναι ότι επιδιϊκεται ο ζλεγχοσ του εκκρεμοφσ με ζνα ενιαίο ζλεγχο και για να επιτευχκεί μελετάται, αρχικά, χωριςτά το εκκρεμζσ και ςτθ ςυνζχεια ολόκλθρο το ςφςτθμα. 5. Μονηελοποίηζη ηος ζςζηήμαηορ [9] Οι εξιςϊςεισ Euler-Lagrange για το ςφςτθμα είναι M m x ml cos( ) ml sin( ) F (5.1) xcos( ) l g sin( ) (5.) όπου x είναι θ κζςθ του κινθτοφ και θ γωνία του εκκρεμοφσ όταν τθ μετράμε από τθν πάνω κζςθ. Σο μοντζλο του εκκρεμοφσ πάνω ςε κινθτό μετά από μερική γραμμικοποίηςη μζςω ανατροφοδότηςησ(partial feedback linearization) και κανονικοποίηςη(normalization) δίνεται x v v (5.3) u (5.4) (5.5) sin( ) cos( )u (5.6) όπου x είναι θ κζςθ του κινθτοφ, θ γωνία του εκκρεμοφσ όταν τθ μετράμε από τθν πάνω κζςθ, v θ ταχφτθτα του κινθτοφ, θ γωνιακι ταχφτθτα του εκκρεμοφσ και u ο ζλεγχοσ. 54

Από τισ καταςτατικζσ του ςυςτιματοσ επιλζγεται να μθν χρθςιμοποιθκεί θ (5.3) με αποτζλεςμα να γίνει πιο εφκολοσ ο υπολογιςμόσ του ηθτοφμενου ελζγχου όμωσ χωρίσ πλζον να μποροφμε να κακορίςουμε ςε ποια κζςθ κα ιςορροπιςει το κινθτό. Ζχουμε τελικά x x 1 (5.7) x sin x cos x u (5.8) x3 1 1 u (5.9) όπου χρθςιμοποιείται διαφορετικόσ ςυμβολιςμόσ και ςυγκεκριμζνα x 1 είναι γωνιακι κζςθ του εκκρεμοφσ, x είναι θ γωνιακι ταχφτθτα του εκκρεμοφσ, x 3 θ ταχφτθτα του κινθτοφ ενϊ u είναι ο ζλεγχοσ(θ δφναμθ που αςκείται ςτο κινθτό). Οι δφο πρϊτεσ αφοροφν ςτο εκκρεμζσ ενϊ θ τρίτθ ςτο κινθτό. 5.3 Σσεδιαζμόρ Ελεγκηή 5.3.1 Έλεγχοσ του υποςυςτήματοσ εκκρεμέσ Η ανάλυςθ που ακολουκεί προζρχεται από τισ δθμοςιεφςεισ [6],[7]. Αν αρχικά κεωριςουμε μόνο το εκκρεμζσ ζχουμε x x 1 x sin x cos x u 1 1 Εν τθ απουςία του u, το μόνο ευςτακζσ ςθμείο ιςορροπίασ είναι το ςθμείο όπου το εκκρεμζσ είναι κρεμαςμζνο, δθλαδι x1. H κατακόρυφθ κζςθ x1 0 είναι ςαγματικό ςθμείο(saddle point). Ακολουκεί απόδειξθ μζςω ενεργειακισ κεϊρθςθσ. Η ενζργεια του υποςυςτιματοσ του εκκρεμοφσ(με u 0 ) είναι το άκροιςμα τθσ δυναμικισ και κινθτικισ ενζργειασ του, δθλαδι x H( x1, x) cos x1 1 (5.10) Ο ςτόχοσ είναι να ςχεδιαςτεί ζνασ ελεγκτισ που κα είναι ικανόσ αφ ενόσ να μπορεί να ανυψϊςει(swing up) το εκκρεμζσ ςχεδόν από κάκε αρχικι κατάςταςθ και αφ ετζρου να ςυγκρατεί το εκκρεμζσ ςτθν άνω κατακόρυφθ κζςθ, δθλαδι να το ςτακεροποιεί. Ο ςχεδιαςμόσ κα βαςιςτεί ςτθ μζκοδο ενεργειακισ διαμόρφωςθσ τθσ δυναμικισ ενζργειασ(potential energy-shaping method), επιλζγοντασ Χαμιλτονιανι ςυνάρτθςθ(hamiltonian function) τθσ μορφισ 55

x Hd( x1, x) Vd( x1 ) (5.11) όπου θ επικυμθτι δυναμικι ενζργεια Vd πρζπει να ζχει μοναδικό ελάχιςτο ςτθν επικυμθτι κατακόρυφθ κζςθ. Ζνα γενικευμζνο Χαμιλτονιανό ςφςτθμα ςτόχοσ/αναφοράσ(hamiltonian target system) με τθν είναι H d ωσ Χαμιλτονιανι ςυνάρτθςθ x 0 1 Dx H 1 1 d x 1 k a DxH d (5.1) όπου το k a είναι ο ςυντελεςτισ απόςβεςθσ(damping coefficient) και μπορεί να είναι ςτακερά ι μπορεί ακόμα να είναι μια ςυνάρτθςθ των x1 και x. Με τθν ςχζςεισ (5.11) και (5.1) καταλιγουμε x 1 d από τισ x (5.13) x V ( x ) k x d 1 a (5.14) Σο πρόβλθμα με τθν επιλογι κατάλλθλθσ Vd ( x1 ) ςυνάρτθςθσ ςχετίηεται με τον όρο cos x 1 που πολλαπλαςιάηεται με τον ζλεγχο u ςτισ εξιςϊςεισ (5.7)-(5.8).Για παράδειγμα, θ πιο προφανισ επιλογι είναι Vd cos x1, θ οποία ζχει κατάλλθλο ςχιμα(δθλαδι μοναδικό ελάχιςτο ςτο επικυμθτό ςθμείο, x1 0 ) όμωσ οδθγεί ςτον νόμο ελζγχου u tan x1 (για k a =0) που δεν μπορεί να υλοποιθκεί ςε όλο τθν περιοχι x γιατί για x1 / ο νόμοσ δεν είναι φραγμζνοσ. 1 Για να αντιμετωπιςτοφν τα προβλιματα αντιςτοίχθςθσ/ταιριάςματοσ(matching problems) μεταξφ ανοικτοφ και κλειςτοφ βρόχου και για να αποφευχκεί διαίρεςθ με cos x 1, μια καλι επιλογι ςυνάρτθςθσ V d είναι V sin x cos x ( x ) (5.15) d 1 1 1 και με επιλογι ka 0, u ( x1 )(θ περίπτωςθ ka 0 κα μελετθκεί ςτθ ςυνζχεια). Κάποιεσ επιπλζον ςυνκικεσ πρζπει να επιβλθκοφν ςτθ (). Πρϊτον, (0) 0 που εγγυάται ότι το ςθμείο (0,0), δθλαδι θ αρχι(origin), είναι ςθμείο ιςορροπίασ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ. Κακϊσ το εκκρεμζσ μελετάται ςε κυλινδρικό χϊρο κατάςταςθσ, το ςφςτθμα κλειςτοφ βρόχου πρζπει να παρουςιάηει κάποια περιοδικότθτα. Ζτςι, είναι λογικό να ζχουμε ( x1 ) sin x1 (cos x1 ). Αυτι θ επιλογι διευκολφνει τθν ολοκλιρωςθ τθσ (5.15) για να προκφψει θ ιςχφει Vd( x1) Vd( x1) και κατά ςυνζπεια V d( x1) V d( x1). V d. Πρζπει επίςθσ να απαιτιςουμε να 56

Μια οικογζνεια ςυναρτιςεων, ςχζςθ άρα και V d, που ικανοποιεί αυτζσ τισ ςυνκικεσ δίνεται απ τθ V a cos x a cos x a cos x... (5.16) d 3 0 1 1 3 1 V D V sin x a sin x cos x 3a sin x cos x... d x1 d 1 1 1 3 1 1 sin x sin x cos x (a 3a cos x...) (5.17) 1 1 1 3 1 θ οποία ξεκάκαρα μασ επιτρζπει να βροφμε το ( x1 ) που να ταιριάηει με τθν (5.15). Κατά ςυνζπεια, ζχουμε μια οικογζνεια ςυναρτιςεων, του εκκρεμοφσ. V d, που επιλφουν το πρόβλθμα Η απλοφςτερθ περίπτωςθ αυτισ τθσ οικογζνειασ προκφπτει επιλζγοντασ 0 1, και 0 για k, που οδθγεί ςτθν k V ( x ) cos x acos x a 1 (5.18) d 1 1 1 Φυςικά υπάρχουν πλικοσ άλλων επιλογϊν*αναφορά *5+ ςτθν [6]+. Με αυτι τθν επιλογι Vd ζχουμε V sin x acos x sin x d 1 1 1 (5.19) και με τον νόμο ελζγχου u asin x (5.0) 1 που ορίηεται παντοφ, ζχει λυκεί το πρόβλθμα αντιςτοιχίασ μεταξφ ςυςτιματοσ ανοικτοφ και κλειςτοφ βρόχου. Όμωσ θ ςυνάρτθςθ V ζχει και άλλα ελάχιςτα(εκτόσ του x1 0 ), τα οποία είναι d ανεπικφμθτα. Σο ίδιο ςυμβαίνει για κάκε ςυνάρτθςθ τθσ οικογζνειασ (5.16). Για να αντιπαρζλκουμε αυτό το πρόβλθμα, υιοκετοφμε ζναν όρο απόςβεςθσ(damping), για το επικυμθτό ςφςτθμα κλειςτοφ βρόχου, τθσ μορφισ kxcos x1(δθλαδι ka k cos x1 ςτ εξίςωςθ (5.14)). Με τον όρο αυτό, για τιμζσ τθσ x 1,τζτοιεσ ϊςτε / x1, και λόγω του πρόςθμου τθσ cos x 1, αντί για απόςβεςθ ζχουμε ζγχυςη(injection) ενζργειασ. Με τθν ζγχυςθ ενζργειασ το εκκρεμζσ τείνει να ξεπεράςει τθν οριηόντιο, οδθγοφμενο ςε μια περιοχι όπου θ V d ζχει μόνο ζνα ελάχιςτο, το επικυμθτό. Κατά ςυνζπεια, ο όροσ kxcos x1 ζχει ςαν αποτζλεςμα θ ιςορροπία ςτθ βάςθ των 57

επιπλζον (ανεπικφμθτων) ελαχίςτων να γίνει από ευςτακισ, αςτακισ. Πρζπει να ςθμειωκεί ότι το k a δεν ζχει δεδομζνο πρόςθμο και ςυνεπϊσ το κλειςτό ςφςτθμα χάνει τθ δομι γενικευμζνου Χαμιλτονιανοφ ςυςτιματοσ του, οπότε θ ευςτάκεια του πρζπει να μελετθκεί μζςω άλλων μεκόδων. υνοπτικά, μζχρι ςτιγμισ προτείνεται ζνα ςφςτθμα ςτόχοσ με δομι x1 0 1 Dx1H d x 1 k cos x 1 DxH d (5.1) που είναι όπου αν θ x x 1 x V ( x ) kx cos x d 1 1 H d δίνεται απ τθ ςχζςθ x Hd ( x1, x) cos x1 cos x1 (5.) ή ή το ςφςτθμα ςτόχοσ είναι x x 1 x sin x acos x sin x kx cos x 1 1 1 1 που προφανϊσ αντιςτοιχεί ςτο ςφςτθμα (5.7)-(5.8) με νόμο ελζγχου u asin x kx 1 Η τοπικι ευςτάκεια που επιτυγχάνεται μζςω του παραπάνω ελζγχου, μπορεί να αποδειχκεί επιλζγοντασ τθν (5.) ωσ ςυνάρτθςθ Lyapunov. Αξίηει να ςθμειωκεί ότι το swing up πρόβλθμα μπορεί να κεωρθκεί ότι διαχωρίηεται ςε δυο εκδοχζσ. Η πρώτη ή αυςτηρή(strict), είναι θ περίπτωςθ που οι αρχικζσ ςυνκικεσ είναι x1 και x 0 και για τθν οποία ο παραπάνω ζλεγχοσ λφνει ικανοποιθτικά το πρόβλθμα. τθ δεφτερη ή καθολική(global) πιο ςφνκετθ εκδοχι, λαμβάνεται υπ όψιν ςχεδόν κάκε αρχικι κατάςταςθ. Ο παραπάνω ζλεγχοσ ζχει ζνα μεγάλο μειονζκτθμα όταν καλείται να λφςει τθν δεφτερθ εκδοχι του swing up: Εγχζει ενζργεια ςε κάκε περίπτωςθ όταν το εκκρεμζσ βρίςκεται κάτω απ τθν οριηόντιο, ακόμθ κι αν το εκκρεμζσ ζχει αρκετι ενζργεια να περιςτραφεί και να ξεπεράςει τθν 58

οριηόντιο. ε αυτι τθν περίπτωςθ το ςφςτθμα μπορεί να οδθγθκεί ςε ζνα οριακό κφκλο, φαινόμενο που παρουςιάηει μεγάλο ενδιαφζρον όμωσ είναι ςίγουρα ανεπικφμθτο(ςτθ δθμοςίευςθ δίνονται ςχετικζσ αναφορζσ για τον ενδιαφερόμενο). Όταν μια τροχιά(trajectory) βρίςκεται ςτθν λεκάνθ(basin) ενόσ ανεπικφμθτου ελαχίςτου, πρζπει να εγχφςουμε ενζργεια ϊςτε να ωκιςουμε το ςφςτθμα να ξεφφγει απ τθν τροχιά αυτι. Αυτό ερμθνεφεται ωσ απαίτθςθ για ζγχυςθ ενζργειασ μόνο ςτθν περίπτωςθ που θ ενζργεια του εκκρεμοφσ δεν είναι αρκετι για να φφγει απ τθν περιοχι από μόνο του. Ορίηουμε τθν παρακάτω ςυνάρτθςθ * 1 k if Hd ( x1, x) H cosx1 ( x1, x) a k ύ (5.3) όπου k 0 είναι μια παράμετροσ για ρφκμιςθ(tuning). Η ( x1, x) είναι αρνθτικι μόνο ςτισ περιοχζσ που πρζπει να εγχυκεί ενζργεια ενϊ είναι κετικι οπουδιποτε αλλοφ. Όπωσ κα γίνει φανερό ςτθ ςυνζχεια, θ ςυνάρτθςθ ( x1, x) κα κακορίηει το πρόςθμο τθσ ταλάντωςθσ και κατά ςυνζπεια κα εξαχκεί ζνασ ενεργειακόσ ζλεγχοσ pumping-dumping. Με βάςθ τθν ( x1, x) προτείνεται το παρακάτω ςφςτθμα ςτόχοσ x x 1 (5.4) x sin x acos x sin x ( x, x ) x cos x 1 1 1 1 1 Προφανϊσ, ο ζλεγχοσ που ταιριάηει ςυςτιματα(5.7)-(5.8) και το ςφςτθμα ςτόχο (5.4) είναι ο u asin x ( x, x ) x cos x (5.5) 1 1 1 Ο παραπάνω ζλεγχοσ είναι ζγκυροσ ςε όλο το κυλινδρικό χϊρο κατάςταςθσ, επιτρζποντασ ζγχυςθ ι απόςβεςθ ενζργειασ ανάλογα. Ακολουκεί μελζτθ τθσ ςυμπεριφοράσ του ςυςτιματοσ(5.4). Κατ αρχιν, τα ςθμεία ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ προκφπτουν εφκολα: (0,0),( arccos(1/ a),0 ) και (,0). Για 0.5,το (0,0) είναι ευςτακζσ ενϊ τα (,0) αςτακι. Η ευςτάκεια των άλλων ςθμείων, δθλαδι των ( arccos(1/ a),0 ), δεν είναι εφκολο να προςδιοριςτεί γιατί περνάει απ αυτά θ γραμμι αλλαγισ (switching curve). Ακολουκεί θ ςχετικι ανάλυςθ. Για τθν H d ιςχφει H ( x, x ) x cos x d 1 1 59

που ςθμαίνει ότι κακϊσ το πρόςθμο τθσ μεταβάλλεται, ζγχυςθ ι απόςβεςθ ενζργειασ προκφπτει ςτο ςφςτθμα. Μια υποψιφια ςυνάρτθςθ Lyapunov είναι με τον αυςτθρό οριςμό δεν είναι ςυνάρτθςθ Lyapunov αφοφ δεν είναι κετικϊσ οριςμζνθ, όμωσ θ παρακάτω ανάλυςθ ιςχφει γιατί υπάρχει κάτω φράγμα θ παρακάτω x V ( x, x )( H H ) ( x, x ) cos x a cos x H * * 1 d 1 1 1 (5.6) Πάνω ςτθν καμπφλθ αλλαγισ τθσ,θ V δεν είναι διαφορίςιμθ(differentiable) ενϊ ςε όλα τα άλλα ςθμεία ιςχφει V x cos x 0 1 Η ςυμπεριφορά γφρω απ τθν καμπφλθ αλλαγισ μπορεί να αναλυκεί μζςω ενεργειακισ κεϊρθςθσ: επειδι θ καμπφλθ αυτι αποτελεί μζροσ τθσ καμπφλθσ επιπζδου(level curve) και θ ενζργεια αυξάνεται όταν είναι μικρότερθ απ αυτι που αντιςτοιχεί ςε αυτό το επίπεδο, ενϊ μειϊνεται όταν είναι μεγαλφτερθ, μπορεί να ςυναχκεί ότι θ καμπφλθ είναι ελκτικι(attractive). Αφοφ μετατροπζσ(commutations) εμφανίηονται ςτθν καμπφλθ,μια sliding motion παράγεται πάνω τθσ. Η κατεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ κακορίηεται από τθν εξίςωςθ x1 xκαι ζτςι μποροφμε να δοφμε ότι θ sliding mode κακιςτά τα ςθμεία ιςορροπίασ ςτο x1 arccos(1/ a) ελκτικά, μιασ και το sliding manifold οδθγεί τθν κίνθςθ προσ αυτά. Σο γεγονόσ αυτό είναι ανεπικφμθτο και μποροφμε να ςυνάγουμε ότι ο ελεγκτισ (5.5) δεν δουλεφει καλά. τθ ςυνζχεια, κα προτακοφν δυο βελτιϊςεισ του ελζγχου προκειμζνου να βελτιωκεί θ ςυμπεριφορά του κλειςτοφ ςυςτιματοσ: αρχικά, θ ευςτάκεια του ανεπικφμθτου ςθμείου ιςορροπίασ αναιρείται και ςτθ ςυνζχεια αποφεφγεται και το sliding mode. Επιτυγχάνοντασ ςχεδόν ολικι ευςτάκεια Προκειμζνου να αποφφγουμε τθν ελκτικότθτα των ανεπικφμθτων ςθμείων ιςορροπίασ x1 arccos(1/ a), θ καμπφλθ αλλαγισ(switching curve) μεταβάλλεται από H H* ςε H H* με 0 1. Η αλλαγι αυτι γίνεται μεταβάλλοντασ d τθν ςυνάρτθςθ αλλαγισ ςε d * 1 k if Hd ( x1, x) H cosx1 ( x1, x) a k ύ Ο νόμοσ ελζγχου είναι πλζον u asin x ( x, x ) x cos x (5.7) uc 1 1 1 ud 60

Πρόταση 5.1 Η αρχι(origin) του ςυςτιματοσ (5.7)-(5.8) με νόμο ελζγχου τον (5.7) είναι ςχεδόν ολικά αςυμπτωτικά ευςτακισ(globally Asymptotically Stable-GAS). Αποφεφγοντασ το sliding mode ε πολλζσ εφαρμογζσ ελζγχου, οι sliding modes δεν είναι αποδεκτζσ λόγω εμφάνιςθσ φαινομζνων chattering. Ο νόμοσ ελζγχου που προτάκθκε προθγοφμενα παρουςιάηει sliding motions λόγω τθσ αςυνζχειασ ςτθν Hd H. Ζνασ τρόποσ επίλυςθσ αυτοφ του προβλιματοσ προτείνεται παρακάτω. Η ιδζα είναι να τροποποιιςουμε τθ ςυνάρτθςθ αλλαγισ(switching function) με τζτοιο τρόπο ϊςτε να είναι μθδενικι και ςτισ δυο πλευρζσ τθσ καμπφλθσ. Ζτςι, θ ςυνάρτθςθ αλλαγισ κα είναι ςυνεχισ ςτθν καμπφλθ αλλαγισ και δεν κα μποροφν να εμφανιςτοφν sliding motions. Αυτό μπορεί να επιτευχκεί, πολλαπλαςιάηοντασ τθ ςυνάρτθςθ με Hd ( x1, x) H * όταν cos x1 1/ ( a). Με αυτό τον τρόπο, το ud κα είναι ίςο με μθδζν ςτο επίπεδο τθσ καμπφλθσ?? Hd H αποφεφγοντασ τθν sliding motion. Ζτςι το ςφςτθμα κα τείνει αςυμπτωτικά ςε αυτι τθν καμπφλθ επιπζδου. Αφοφ όταν x [ /, / ] είναι επικυμθτό οι τροχιζσ να διαςταυρϊνονται με τθν καμπφλθ επιπζδου(level curve), θ δεν πρζπει να αλλάξει ςε αυτι τθν περιοχι. Προκφπτει ότι k( H ( x, x ) H * ) cos x d 1 1 ( x1, x) k ύ 1 a Ο προκφπτων ζλεγχοσ είναι u asin x ( x, x ) x cos x (5.8) 1 1 1 uc ud Πρόταση 5. Η αρχι(origin) του ςυςτιματοσ (5.7)-(5.8) με νόμο ελζγχου τον (5.8) είναι ςχεδόν ολικά αςυμπτωτικά ευςτακισ(gas). 61

5.3. Έλεγχοσ του ςυνολικού ςυςτήματοσ-ταμάτημα του κινητού Ο ζλεγχοσ που ζχει εξαχκεί (5.8) τονίςαμε ότι λφνει το swing up πρόβλθμα, ωςτόςο, δεν λαμβάνει υπ όψιν του κακόλου το κινθτό. τθ ςυνζχεια, προκειμζνου να χειριςτοφμε και το κινθτό(cart) ειςάγουμε ςτον ζλεγχο αυτό ζναν επιπλζον όρο, τον v, και ζχουμε ~ 1 1 u asin x x cos x v (5.9) Όταν αυτόσ ο ζλεγχοσ εφαρμοςτεί ςτο ςφςτθμα (5.7)-(5.9), ζχουμε x x 1 (5.30) ~ sin 1 cos 1 sin 1 cos 1 cos 1 x x a x x x x x v (5.31) ~ 3 sin 1 cos 1 x a x x x v (5.3) Η αναγκαιότθτα τθσ φπαρξθσ του όρου v είναι φανερι αφοφ χωρίσ αυτόν θ μεταβλθτι x 3 δεν ανατροφοδοτείται και κατά ςυνζπεια κα ζτρεχε χωρίσ να τθν ελζγχουμε, οδθγοφμενθ από τισ κινιςεισ των x1 και x που λαμβάνουν χϊρα κακϊσ το εκκρεμζσ πλθςιάηει τθν κατακόρυφθ κζςθ. Μόλισ το εκκρεμζσ φτάςει ςτθν κατακόρυφθ κζςθ, τότε x1 x 0 όμωσ θ x3 0. Ζτςι ζχουμε ~ 3 1 1 x (asin x x cos x ) dt 0 και, κατά ςυνζπεια, αφοφ θ x 3 είναι διάφορθ του μθδενόσ, το κινθτό ζχει ολίςκθςθ(drift) που κακιςτά τθν κίνθςθ του μθ φραγμζνθ. Σο ςφςτθμα (5.30)-(5.3) είναι ςφςτθμα ςε ςειρά(cascade) με feedforward δομι. Εκφράηοντασ το ςτθν μορφι αυτι ζχουμε και προκφπτει [ x1 x] T και x3 1 z z h( ) g ( ) v (5.33) f ( ) g ( ) v (5.34) Όπου οι εξιςϊςεισ ζχουν αναδιαταχκεί. Η εξίςωςθ (5.33) αντιςτοιχεί ςτο κινθτό και θ (5.34) ςτο εκκρεμζσ. Επιπλζον, θ f ( ) είναι αςυμπτωτικά ευςτακισ ςχεδόν 6

παντοφ(gas), με παράδειγμα μιασ ςυνάρτθςθσ Lyapunov να ζχει δοκεί ςτθν προθγοφμενθ παράγραφο. Σο πρόβλθμα πλζον είναι να προςδιοριςτεί ζνασ όροσ ανατροφοδότθςθσ v( x1, x, x 3), τζτοιοσ ϊςτε και θ ταχφτθτα του κινθτοφ να ελεγχκεί και θ κατακόρυφθ κζςθ ιςορροπίασ να παραμείνει ευςτακισ. Ζνασ τρόποσ να λφςουμε το πρόβλθμα είναι με χριςθ ςυναρτιςεων κορεςμοφ(saturation functions) και ςυγκεκριμζνα μζςω τθσ μεκόδου των Kaliora και Astolfi[1]. Θεωροφμε τον νόμο ελζγχου v x 3 (5.35) όπου ς είναι θ ςυνάρτηςη κορεςμοφ(saturation function) που ορίηεται ωσ ( y) sgn( y)min{ y,1}, με λ μια ςχεδιαςτικι παράμετρο και μια μικρι κετικι ςτακερά. Χρθςιμοποιείται το για να διακρίνεται απ το που χρθςιμοποιικθκε προθγοφμενα. Αντικακιςτϊντασ ςτον ζλεγχο (5.9) παίρνουμε ~ 3 sin 1 cos 1 u a x x x x (5.36) Η ειςαγωγι του νζου όρου v ζχει τον παρακάτω ςκοπό: Παρατθροφμε ότι όλεσ οι μθ γραμμικότθτεσ του ςυςτιματοσ κλειςτοφ βρόχου δεν εξαρτϊνται απ το x 3. Κατ αρχιν, κεωροφμε τθν περίπτωςθ που το εκκρεμζσ είναι κοντά ςτθν κατακόρυφθ κζςθ, ζχοντασ ταυτόχρονα μικρι ταχφτθτα-δθλαδι τα x1, x κοντά ςτο μθδζν- και ταχφτθτα του κινθτοφ να είναι οποιαδιποτε. τθν κατάςταςθ αυτι, και λόγω του προθγοφμενου γεγονότοσ, το ςφςτθμα μπορεί να γραμμικοποιθκεί γφρω απ το ( x1, x) (0,0) καταλιγοντασ κατ αυτό τον τρόπο ςε ζνα γραμμικό ςφςτθμα με ζνα κορεςμό, που είναι τθσ οικογζνειασ των ςυςτθμάτων Lure. Η παράμετροσ μπορεί να επιλεγεί ϊςτε να ςτακεροποιιςει(stabilize) το ςφςτθμα. Σότε, αν το εκκρεμζσ πλθςιάςει ςτθν περιοχι ( x1, x) (0,0) και παραμείνει ςε αυτι, το κινθτό τελικά κα ςταματιςει. Σο πρόβλθμα τϊρα είναι αν υπάρχει κάποια εγγφθςθ ότι το εκκρεμζσ τελικά κα φτάςει ςτθν περιοχι αυτι και ότι κα παραμείνει εκεί. Παρατθροφμε ότι με v 0 αυτά ιςχφουν και επίςθσ ιςχφει ότι v ϊςτε να μπορεί να γίνει πολφ μικρό. Ο νόμοσ που προζκυψε (5.36) κα δουλζψει αν θ ςυμπεριφορά του εκκρεμοφσ για μικρζσ τιμζσ του v είναι όμοια με αυτι για v 0. Αυτό μασ το εξαςφαλίηει θ ευςτάκεια ειςόδουκατάςταςθσ(iss)( βλζπε παράγραφο.). 63

Πρόταση 5.3 Σο ςφςτθμα (5.30)-(5.3) είναι τοπικά ISS για x 0.095. κιαγράφθμα απόδειξθσ: Επιλζγουμε τθν υποψιφια ςυνάρτθςθ Lyapunov x V ( x, x ) cos x acos x a 1 x x 1 1 1 v 1 H V ικανοποιεί τα κριτιρια του κεωριματοσ 5., του [1], για x 0.095. Επειδι ενδιαφερόμαςτε για ζνα γενικό(global) ζλεγχο που είναι ςε κζςθ και να ςθκϊνει(swing up) το εκκρεμζσ, πρζπει να ςυμπεριλάβουμε και μια ακόμθ αςυνζχεια: επιλζγουμε v 0 με ςτόχο να φτάςουμε ςτθν περιοχι εντόσ τθσ οποίασ το ςφςτθμα (5.30)-(5.31) είναι τοπικά ευςτακζσ ειςόδου-κατάςταςθσ(locally ISS). Μόλισ ειςζλκει ςτθν περιοχι αυτι, χρθςιμοποιοφμε τον νόμο ελζγχου (5.36) οφτωσ ϊςτε να ςτακεροποιιςουμε επιπλζον τθν (5.3). υνοψίηοντασ, ο νόμοσ ελζγχου ςτον οποίο καταλιξαμε είναι u u v e όπου το ue δίνεται ςτθν (5.9) και το v είναι 0 for x 0.095 v x 3 for x 0.095 (5.37) Αφοφ το u e ειςάγει κι αυτό μια αςυνζχεια, ο τελικόσ νόμοσ ελζγχου κα ζχει δφο ςθμεία αςυνζχειασ: το πρϊτο όταν cos x1 1/ ( a) (λόγω αςυνζχειασ του ) και το δεφτερο όταν x 0.095 (λόγω αςυνζχειασ ςτο v ). Παρατθροφμε ότι το εφροσ των δφο αςυνεχειϊν μπορεί να γίνει αυκαίρετα μικρό μειϊνοντασ τα και. Ωςτόςο, θ μείωςθ του χειροτερεφει τθ απόδοςθ του ςυςτιματοσ, με τθν ζννοια ότι μπορεί να κάνει περιςςότερο χρόνο το κινθτό να ςταματιςει. ε κάκε περίπτωςθ, αυτι θ αςυνζχεια μπορεί να αποφευχκεί μζςω ρφκμιςθσ με μία ςυνάρτθςθ που πθγαίνει ςτο μθδζν όταν το x είναι μεγαλφτερο από κάποια τιμι. 64

5.4 Πποζομοίωζη ηος Κλειζηού Σςζηήμαηορ με ηον Ενιαίο Ελεγκηή τθ ςυνζχεια παρατίκενται τα αποτελζςματα τθσ προςομοίωςθσ του ςυςτιματοσ του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ για δφο αρχικζσ ςυνκικεσ, θ μια ςχεδόν κρεμαςμζνο και θ άλλθ όντασ κοντά ςτθν κατακόρυφθ κζςθ ιςορροπίασ. Επειδι μασ ενδιαφζρει και θ κζςθ του κινθτοφ, τθν εντάξαμε κι αυτι, παίρνοντασ κατ αυτό τον τρόπο το ςφνολο των καταςτατικϊν του ςυςτιματοσ. Ζτςι για αρχικι κατάςταςθ T T x0 [0.99 0 0 0], δθλαδι για τθν αυςτθρι(strict) περίπτωςθ του swing-up, φαίνονται ςτο ςχιμα 5.1 το ςφνολο των μεταβλθτϊν κατάςταςθσ του ςυςτιματοσ, όπου και γίνεται φανερό ότι θ κζςθ του κινθτοφ, θ οποία αγνοικθκε κατά τθν εξαγωγι του ενιαίου ελζγχου, δεν ςτακεροποιείται. χιμα 5.1 Οι μεταβλθτζσ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ ςαν ςυναρτιςεισ του χρόνου. Παρουςιάηονται ςτθ ςυνζχεια ςτο χϊρο των φάςεων, θ γωνία με τθ γωνιακι ταχφτθτα του εκκρεμοφσ ςτο ςχιμα 5. και θ κζςθ του κινθτοφ με τθν (γραμμικι) ταχφτθτα του ςτο ςχιμα 5.3. 65

χιμα 5. Η γωνία με τθ γωνιακι ταχφτθτα του εκκρεμοφσ ςτο επίπεδο των φάςεων. χιμα 5.3 Η κζςθ και θ γραμμικι ταχφτθτα του κινθτοφ ςτο επίπεδο των φάςεων. 66

ενϊ ςτο ςχιμα 5.4 φαίνεται θ είςοδοσ ςτο ςφςτθμα. χιμα 5.4 Η είςοδοσ του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου. Ενδιαφζρον παρουςιάηει θ ςυμπεριφορά του ελεγκτι και για αρχικι κατάςταςθ τθν T x0 0.1 0 0 0 T, που είναι μια περίπτωςθ του κακολικοφ(global) swing-up, με τα αντίςτοιχα διαγράμματα να φαίνονται ςτα ςχιματα 5.5 ζωσ 5.8. χιμα 5.5 Οι μεταβλθτζσ κατάςταςθσ ςαν ςυναρτιςεισ του χρόνου. 67

χιμα 5.6 Η γωνία με τθ γωνιακι ταχφτθτα του εκκρεμοφσ ςτο επίπεδο των φάςεων. χιμα 5.7 Η κζςθ και θ γραμμικι ταχφτθτα του κινθτοφ ςτο επίπεδο των φάςεων. 68

χιμα 5.8 Η είςοδοσ του ςυςτιματοσ ςαν ςυνάρτθςθ του χρόνου. 69

Κεφάλαιο 6 Επίλογοσ τθν παροφςα διπλωματικι είδαμε το πϊσ μποροφμε να αντιμετωπίςουμε επιτυχϊσ το πρόβλθμα του ελζγχου του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ. Δθμιουργικθκαν διάφοροι ελεγκτζσ για τθν ςτακεροποίθςθ του γραμμικοποιθμζνου, γφρω από τθν κατακόρυφθ κζςθ ιςορροπίασ, ςυςτιματοσ του εκκρεμοφσ ενϊ παρουςιάςτθκαν και δφο ελεγκτζσ, ζνασ από κάκε κατθγορία, λφςθσ του προβλιματοσ ελζγχου του ανεςτραμμζνου εκκρεμοφσ. Όπου κατζςτθ δυνατόν, ο αντίςτοιχοσ ζλεγχοσ εφαρμόςτθκε και ςτθν πράξθ, με τα πειράματα να πραγματοποιοφνται ςτο ανεςτραμμζνο εκκρεμζσ του Εργαςτθρίου Αυτομάτου Ελζγχου του τμιματοσ Ηλεκτρολόγων Μθχανικϊν και Σεχνολογίασ Τπολογιςτϊν του Πανεπιςτθμίου Πατρϊν. Επίςθσ ζγιναν κάποιεσ απόπειρεσ διερεφνθςθσ τθσ περιοχισ ελκτικότθτασ του ςυςτιματοσ με χριςθ ενόσ απλοφ αλγορίκμου. Και τα δφο προβλιματα ςυνδζκθκαν με εκτεταμζνθ αναηιτθςθ τθσ ςχετικισ βιβλιογραφίασ, που κατζλθξε, κατόπιν ςταχυολόγθςθσ, ςτθν παρουςίαςθ κάποιων απ τισ πιο ενδιαφζρουςεσ δθμοςιεφςεισ ςε ειδικό κεφάλαιο εντόσ τθσ βιβλιογραφίασ. Όπωσ είναι φυςικό, υπάρχουν πολλοί τομείσ τισ διπλωματικισ αυτισ που κα μποροφςαν να βελτιωκοφν μζςω περαιτζρω ζρευνασ. 1. Αντιμετϊπιςθ του προβλιματοσ τθσ πειραματικισ εφαρμογισ του ενιαίου νόμου ελζγχου. Για να επιτευχκεί αυτό, κα πρζπει ςτον ενιαίο ζλεγχο να λθφκεί υπ όψιν και θ καταςτατικι εξίςωςθ τθσ κζςθσ του κινθτοφ. Αυτό όμωσ κακιςτά τθν εξαγωγι του ελζγχου αρκετά πιο πολφπλοκθ.. Χρθςιμοποίθςθ ενόσ πιο high-tech αλγορίκμου για μια λιγότερο ςυντθρθτικι και άρα ακριβζςτερθ εκτίμθςθ τθσ περιοχισ ελκτικότθτασ του ςυςτιματοσ για τουσ ελζγχουσ που μασ ενδιαφζρουν. Κάποιοι τζτοιοι αλγόρικμοι προτείνονται ςε ξεχωριςτι παράγραφο τθσ βιβλιογραφίασ. 3. Εξεφρεςθ ελζγχων με ακόμθ καλφτερθ απόδοςθ ωσ προσ τθν ταχφτθτα, τθν ομαλότθτα ι άλλα χαρακτθριςτικά. 70

Βιβλιογραφία [1] H. K. Khalil, Nonlinear Systems, nd ed. Prentice Hall: Englewood Cliffs, NJ, 1996. [] Γ. Μπιτςϊρθσ, χεδιαςμόσ Δυναμικϊν υςτθμάτων I&II, Πανεπιςτθμιακζσ θμειϊςεισ, Πάτρα. [3]I. Fantoni, R. Lozano, Non-linear Control for Underactuated Mechanical Systems, Springer, 001. [4] Α. Αλεξανδρίδθσ, Βζλτιςτοσ Ζλεγχοσ υςτθμάτων, Εκδόςεισ Πανεπιςτθμίου Πατρϊν. [5] Quanser, High Fidelity Linear Cart User and Experiments Manuals and www.quanser.com [6] F. Gordillo, J. Aracil. A new controller for the inverted pendulum on a cart. International Journal of Robust and Nonlinear Control 008; 18:1607-161. [7] F. Gordillo, J. Aracil and J.A. Acosta. A control strategy for the cart-pendulum system. [8] Javier Aracil, Fancisco Gordillo. The inverted pendulum: A benchmark in nonlinear control. [9] Mark W. Spong. Energy based control of a class of underactuated mechanical systems. [10] K.J. Astrom and K. Furuta. Swinging up a pendulum by energy control. Paper from 13 th IFAC World Congress, San Francisco, CA, 1996. [11] G. Stein. Respect the unstable. Control Systems Magazine, 3(4):1 5, 003. [1] G. Kaliora, A. Astolfi. Nonlinear control of feedforward systems with bounded control. IEEE Transactions on Automatic Control 004; 49(11): 1975-1990. [13]R. Lozano, I. Fantoni, D.J. Block. Stabilization of the inverted pendulum around its homoclinic orbit. Systems & Control Letters 40 (000) 197-04. [14]Reza Olfati-Saber. Nonlinear control of underactuated mechanical systems with application to Robotics and Aerospace vehicles. Ph.d thesis, Massachusetts Institute of Technology, 001 71

Ενδιαφζρουςεσ Δθμοςιεφςεισ Ζλεγχοσ του Ανεςτραμμζνου Εκκρεμοφσ [1] J. Zhao, M.W. Spong. Hybrid control for global stabilization of the cart-pendulum system. Automatica 37 (001) 1941-1951. []R. Lozano, D. Dimogianopoulos. Stabilization of a chain of integrators with nonlinear perturbations: Application to the inverted pendulum. Proceedings of the 4nd IEEE Conference on Decision and control, 003. [3]K.J. Astrom, J. Aracil, J.A. Acosta. A new family of smooth strategies for swinging up a pendulum. Sixteenth IFAC World Congress, Prague, Czech Republic, 005. Εκτίμθςθ Περιοχισ Ελκτικότθτασ [1]U. Topcu, A.K. Packard, P. Seiler, and G.J. Balas. Robust Region-of-Attraction Estimation. IEEE Transactions on Automatic Control, vol 55, no.1, January 010. []A. Barreiro, J. Aracil, and D. Pagano. Detection of Attraction Domains of Nonlinear Systems using the Bifurcation Analysis and Lyapunov Functions. International Journal of Control, vol 75, no.5, pp 314-37, 00. [3]W. Tan, A. Packard. Stability region analysis using polynomial and composite polynomial Lyapunov functions and sum of squares programming. 7

Παράρτημα Κώδικερ Εξομοίωζηρ Παρουςιάηονται αναλυτικά όλοι οι κϊδικεσ που χρθςιμοποιικθκαν ςτθν παροφςα διπλωματικι ανά παράγραφο. Σο λογιςμικό πακζτο που χρθςιμοποιικθκε είναι το Matlab R010a τθσ εταιρίασ MathWorks (www.mathworks.com). τουσ κϊδικεσ υπάρχουν βαςικά ςχόλια ϊςτε να καταςτοφν πιο κατανοθτοί και πιο εφχρθςτοι. Παράγραφοσ 3.3.1 %Μέθοδορ pole placement για ηοποθέηηζη ηων ιδιοηιμών ηος γπαμμικοποιημένος ζηιρ επιθςμηηέρ θέζειρ μέζω αναηποθοδόηηζηρ καηάζηαζηρ. Οι ηιμέρ Mp και lp αθοπούν ζηο 4-inch εκκπεμέρ ηηρ Quanser. clc clear Mp=0.30; Mc=3.; g=9.81; lp=0.330; A( 1, 1 ) = 0; A( 1, ) = 0; A( 1, 3 ) = 1; A( 1, 4 ) = 0; A(, 1 ) = 0; A(, ) = 0; A(, 3 ) = 0; A(, 4 ) = 1; A( 3, 1 ) = 0; A( 3, ) = Mp*g/Mc; A( 3, 3 ) = 0; A( 3, 4 ) = 0; A( 4, 1 ) = 0; A( 4, ) = g*(mc+mp)/(lp*mc); A( 4, 3 ) = 0; A( 4, 4 ) = 0; B( 1, 1 ) = 0; B(, 1 ) = 0; B( 3, 1 ) = 1/Mc; B( 4, 1 ) = 1/lp/Mc; C=zeros(,4); C( 1, 1 ) = 1;C(, ) = 1; D( 1, 1 ) = 0; D(, 1 ) = 0; 73

p=[-10-5 - -1];%οι επιθςμηηέρ νέερ ιδιοηιμέρ ηος κλειζηού Σ k=place(a,b,p); Παράγραφοσ 3.3. %Σσεδιαζμόρ βέληιζηος LQR για ηο γπαμμικοποιημένο Σ ηηρ Quanser. Οι ηιμέρ ηων Mp και lp αθοπούν ζηο 4-inch εκκπεμέρ. clc clear Mp=0.30; Mc=3.; g=9.81; lp=0.330; A( 1, 1 ) = 0; A( 1, ) = 0; A( 1, 3 ) = 1; A( 1, 4 ) = 0; A(, 1 ) = 0; A(, ) = 0; A(, 3 ) = 0; A(, 4 ) = 1; A( 3, 1 ) = 0; A( 3, ) = Mp*g/Mc; A( 3, 3 ) = 0; A( 3, 4 ) = 0; A( 4, 1 ) = 0; A( 4, ) = g*(mc+mp)/(lp*mc); A( 4, 3 ) = 0; A( 4, 4 ) = 0; B( 1, 1 ) = 0; B(, 1 ) = 0; B( 3, 1 ) = 1/Mc; B( 4, 1 ) = 1/lp/Mc; C=zeros(,4); C( 1, 1 ) = 1;C(, ) = 1; D=zeros(,1); CPlin=ss(A,B,C,D); Q=diag([50,10,0,0]);R=10;%οπιζμόρ ηων μηηπών Q,R [K,S,E] = lqr(cplin,q,r);%ςπολογιζμόρ ηος κέπδοςρ Κ CPlinclosed=ss(A-B*K,B,C,D); [y,t]=impulse(cplinclosed);%κποςζηική απόκπιζη ηος κλειζηού Σ ενϊ θ δεφτερθ ζκδοςθ ελεγκτι είναι θ: 74

χιμα Α Σο κλειςτό ςφςτθμα HFLC+SIP. χιμα Β Σο μοντζλο Simulink που χρθςιμοποιικθκε για τθν εξομοίωςθ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ. 75

χιμα Γ Σο μοντζλο Simulink του πειράματοσ. Παράγραφοσ 3.3.3 %Πποζπάθεια εύπεζηρ PID ελεγκηή για ηο γπαμμικοποιημένο Σ ηηρ Quanser(4-inch). Έσοςμε δύο PID ελεγκηέρ, έναν για κάθε έξοδο clc clear Mp=0.30; Mc=3.; g=9.81; lp=0.330; A( 1, 1 ) = 0; A( 1, ) = 0; A( 1, 3 ) = 1; A( 1, 4 ) = 0; A(, 1 ) = 0; A(, ) = 0; A(, 3 ) = 0; A(, 4 ) = 1; A( 3, 1 ) = 0; A( 3, ) = Mp*g/Mc; A( 3, 3 ) = 0; A( 3, 4 ) = 0; A( 4, 1 ) = 0; A( 4, ) = g*(mc+mp)/(lp*mc); A( 4, 3 ) = 0; A( 4, 4 ) = 0; B( 1, 1 ) = 0; B(, 1 ) = 0; B( 3, 1 ) = 1/Mc; 76