ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/008-09.(i) S =, : 0 =, :, με + 0 {( ) } {( ) ( )( ) } {(, ):, με 0, 0 } {(, ):, με 0, 0} = + + = 0 + = 0 = (ii). 3 {( ) ( )} ( ) ( ) {(, ):, με 0 ή. } { = } S=, :, με = + =, :, με 0 = = = Για κάθε ισχύει ότι: = 0 = πολ. ( n) ( mod ) αληθεύει η ανακλαστική ιδιότητα. Αν (mod n), τότε ( ) ( ) ( ) = πολ. n και = πολ. n modn, n, δηλαδή δηλαδή ισχύει η συμμετρική ιδιότητα. mod z mod n, τότε = kn, z = mn, k, m Αν ( n ) και ( ) z = ( ) + ( z) = ( k+ m) n= πολ. ( n), δηλαδή z( mod n), δηλαδή ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. Είναι γνωστή η ισοδυναμία: = πολ n οι, διαιρούμενοι με το n δίνουν το ίδιο υπόλοιπο..( ) Τα δυνατά υπόλοιπα μιας διαίρεσης με το φυσικό αριθμό n είναι τα,,, n-, οπότε οι κλάσεις ισοδυναμίας που ορίζονται είναι οι εξής: 0 = : 0 = kn, k = : = kn, k { } { } { kn k } { kn k = : =, = : = +, }..
{ : ( n ) = kn, k } = { : = kn+ n } n =, k. Για παράδειγμα, για n =, έχουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας: { k k } { k k } 0 = : =, = σύνολο αρτίων = : = +, = σύνολο περιττών. * 3. Η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας στο, αφού είναι ανακλαστική z z z ( z + ) = z ( z + ), που ισχύει, συμμετρική [ αφού z w ( ) ( ) ( ) ( ) z w + = w z + w z + = z w + w z] z w w u και μεταβατική [ z w και w u = και = z + w + w + u + z u = z u]. z + u + Έστω α,0< α <. Τότε για z = + i,, έχουμε * * z α * + α α = { z : α z} = z : = = + i : = z + α + + + α + * ρ α = + i : + = ρ με = ρ + α +. Όμως, ισχύει: ρ α αρ ( α ) ρ α 0 ( ρ α ) = + + = ρ = 0 ρ + α + α ρ = α ή ρ = α + = α ή + =, α οπότε η κλάση ισοδυναμίας του α,0< α < είναι η ένωση δύο κύκλων με κέντρο το α α Ο ( 0,0) και ακτίνες α και. α 4. (i) Η πρόσθεση πινάκων είναι εσωτερική πράξη στο G, αφού για a b + a + b Α= G και = G G Β b a Α+Β= ( + b) + a.
Επιπλέον, η προσεταιριστική ιδιότητα αληθεύει γενικά στη πρόσθεση πινάκων, 0 0 όπως και η αντιμεταθετική ιδιότητα, ενώ ο πίνακας 0 0 είναι το μηδενικό στοιχείο της πρόσθεσης. Ακόμη, αν G, τότε το στοιχείο G, είναι το συμμετρικό του ως προς την πρόσθεση. 0 0 (ii) Ομοίως, αποδεικνύεται ότι το σύνολο G { O}, όπου Ο= 0 0, είναι ομάδα ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων, ο οποίος είναι εσωτερική πράξη στο G. Ο αντίστροφος του πίνακα G, (, ) ( 0, ) με 0 είναι ο πίνακας = +. 5. Έχουμε τον πίνακα πολλαπλασιασμού - i i - i i - - i i i i i - i i i - οπότε ο πολλαπλασιασμός στο σύνολο Α = {,, i, i} είναι εσωτερική πράξη. Η προσεταιριστική ιδιότητα αληθεύει γενικώς στ ο πολλαπλασιασμό μιγαδικών, άρα αληθεύει και στο σύνολο Α. Επιπλέον, το στοιχείο Α είναι ουδέτερο στοιχείο και κάθε στοιχείο του Α έχει αντίστροφο, για παράδειγμα =, ( ) =, i = i και ( i) = i. ( ) ( b ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab a = a bb a = aea = aa = e 6. Ισχύει ότι: και Άρα το στοιχείο b b a a b b a a b b e b b b e = = = =. a είναι το αντίστροφο του ab. 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab = a b ab ab = aa bb a b a b= aabb a abab = a aabb bab = abb = babb = abbb b a e= a b e b a = a b, για κάθε ab, G. Άρα η ομάδα είναι αβελιανή. ( G, ) 8. Ι. Αν Η υποομάδα της G, τότε από τον ορισμό, η Η είναι ομάδα με την ίδια πράξη, οπότε Η, για κάθε, Η και Η, για κάθε Η.
Έστω τώρα ότι αληθεύουν τα (α) και (β). Τότε το σύνο λο Η είναι εφοδιασμένο μ ε μία εσωτερική πράξη για την οποία ισχύουν: (i) Η προσεταιριστική ιδιότητα, αφού αυτή αληθεύει στο G και έχουμε Η G. (ii) Επειδή Η, υπάρχει Η για το οποίο από τη (β) έπεται ότι και Η, οπότε από το (α) προκύπτει και ότι = e Η, δηλαδή η μονάδα του G ανήκει στο Η και είναι μονάδα για το Η, αφού ισχύει ότι e= e =, για κάθε Η G. (iii) Αν Η, τότε λόγω της (β) και Η και = = e. ΙΙ. Αν Η υπο ομάδα της G, τότε από τον ορι σμό, για κάθε, Η θα ισχύει ότι Η και Η, οπότε θα ισχύει και ότι Η. Αντίστροφα, έστω ότι Η, για κάθε, Η. Τότε, αφού Η, θα υπάρχει Η, οπότε θεωρώντας = λαμβάνουμε από την υπόθεση ότι Η e Η. Επομένως, για κάθε Η θα ισχύει ότι e και επίση υπόθεση ( ) ς από Η Η. = Η Επομένως, ικανοποιούνται οι υποθέσεις της Ι. Άρα Η είναι υποομάδα της G. 9. Αν R, τότε R Αν, R, τότε R + και ( ) ( ) ( ) + = + + + = + + + + = + + + + + = + + = 0, για κάθε R. () + και ( ) + = + + + + = + + + + = + + = 0. () Λόγ ω της () θα έχ ουμε και + = 0 (3) Από τις () και (3) έχουμε + = + =, για κάθε, R. 0. Αν +, z+ w Α, τότε ( + ) + ( z+ w ) z+ ( w) ( )( z w ) ( z + w) ( w z) = + + Α και + + = + + Α, οπότε οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι εσωτερικές στο Α. Επιπλέον για την πρόσ θεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα καθώς και η επιμεριστική ιδιότητα, αφού αυτές ισχύουν στο. Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το 0+ 0 Α, ενώ το αντίθετο στοιχείο του + είναι το ( ) + ( ) Α. Η μονάδα του πολλαπλασιασμού προκύπτει από την ισότητα ( )( ) a+ b + = a+ b, για κάθε a+ b Α, που είναι ισοδύναμη με το σύστημα a + b = a, b + a = b, για κάθε ab,, από το οποίο προκύπτει ότι: = και = 0.
{ } Το αντίστροφο στοιχείο του a+ b Α 0+ 0 υπάρχει, όπως προκύπτει από την εξίσωση ( )( ) 0 a + b = a, b a+ b + = + = =. b + a = 0 a b a b a b a+ b = +. a b a b Άρα ισχύει: ( )