Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

7.1 Εισαγωγή Η επίλυση κυκλωμάτων με πυκνωτές και πηνία είναι δύσκολη λόγω της διαφορικής σχέσης τάσης ρεύματος των στοιχείων αυτών. Η εφαρμογή μιας πηγής σε ένα κύκλωμα που περιέχει πηνία ή πυκνωτές δημιουργεί μεταβατικά φαινόμενα, επειδή τα στοιχεία αυτά αποθηκεύουν ενέργεια, την οποία αποδίδουν σε μεταγενέστερο χρόνο. Θα εξετάσουμε πρώτα τη συμπεριφορά κυκλωμάτων που έχουν μόνο ένα στοιχείο αποθήκευσης ενέργειας (πηνίο ή πυκνωτή) και δεν έχουν πηγές. Τα ρόλο της πηγής θα παίζει η αποθηκευμένη ενέργεια στο πηνίο ή τον πυκνωτή. Οι αποκρίσεις του κυκλώματος τότε (ρεύματα ή τάσεις) λέγονται φυσικές ή μεταβατικές αποκρίσεις.

Έχουμε ένα πηνίο συνδεδεμένο σε σειρά με μία αντίσταση (ή μήπως παράλληλα;). Τη χρονική στιγμή μηδέν το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα I 0, δηλαδή έχει αποθηκευμένη ενέργεια ίση με: L I 0 i(t) V L V R R Έχουμε σημειώσει την τάση στο πηνίο και την αντίσταση, με πολικότητα ώστε όταν και το ρεύμα και η τάση είναι θετικά τα στοιχεία να καταναλώνουν ισχύ. Προφανώς, για να υπάρξει ροή ενέργειας στο κύκλωμα, κάποια μεγέθη θα πρέπει να βρεθούν αρνητικά.

Σύμφωνα με την εξίσωση του νόμου τάσεων του Kirchhoff έχουμε: i(t) Αντικαθιστώντας τις τάσεις παίρνουμε μια εξίσωση με άγνωστο το ρεύμα: L I 0 V L V R R Ξεχωρίζουμε τις μεταβλητές και ολοκληρώνουμε:

Το ρεύμα του κυκλώματος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Τη χρονική στιγμή t=0 ισούται με το αρχικό ρεύμα του πηνίου και όσο περνάει ο χρόνος φθίνει, ενώ σε άπειρο χρόνο μηδενίζεται. Το πηλίκο L/R έχει διαστάσεις χρόνου, λέγεται σταθερά χρόνου του κυκλώματος και συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα τ. Η σταθερά χρόνου καθορίζει το ρυθμό με τον οποίο μειώνεται το ρεύμα. Είναι ανάλογη της αυτεπαγωγής του πηνίου και αντιστρόφως ανάλογη της ωμικής αντίστασης.

Όσο μεγαλύτερη είναι η αυτεπαγωγή του πηνίου τόσο περισσότερο διαρκεί το μεταβατικό φαινόμενο, διότι περισσότερη ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο πηνίο. Όσο μεγαλύτερη είναι η αντίσταση τόσο πιο γρήγορα μηδενίζεται το ρεύμα, διότι ο ρυθμός κατανάλωσης της ενέργειας του πηνίου (η ισχύς της αντίστασης) αυξάνεται. Χρόνος (τ) e t/τ Ποσοστό του αρχικού ρεύματος 1 0,3679 36,8 % 2 0,1353 13,5 % 3 0,0498 5 % 4 0,0183 1,83 % 5 0,0067 0,67 % 6 0,0025 0,25 %

Η ενέργεια που θα καταναλώσει η αντίσταση σε άπειρο χρόνο είναι: Όλη η αρχικά αποθηκευμένη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου μεταφέρεται στην αντίσταση, όπου μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια.

Η τάση στα άκρα της αντίστασης δίνεται από το νόμο του Ωμ: i(t) Η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι θετική και ακολουθεί το ρεύμα. Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι: L I 0 V L V R R Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι αρνητική και ίση με την τάση στα άκρα της αντίστασης, ώστε να ικανοποιείται ο νόμος τάσεων του Kirchhoff. Αναμέναμε να είναι αρνητική η τάση στα άκρα του πηνίου, διότι το πηνίο παρέχει ισχύ στο κύκλωμα.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα δύο i L (t) i R (t) στοιχεία συνδέονται παράλληλα. Ορίζουμε με αντίθετη πολικότητα την τάση στα άκρα του πηνίου, ώστε η L V L V R R τάση αυτή να είναι ίδια με την τάση I στα άκρα της αντίστασης, ενώ 0 ορίζουμε το ρεύμα του πηνίου με τέτοια φορά ώστε αυτό να καταναλώνει ισχύ. Σύμφωνα τώρα με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff θα πρέπει το άθροισμα των ρευμάτων του πηνίου και της αντίστασης να ισούται με μηδέν:

Παραγωγίζουμε την παραπάνω σχέση ως προς το χρόνο και έχουμε: i L (t) i R (t) L V L V R R Ξεχωρίζουμε τις μεταβλητές για να ολοκληρώσουμε και έχουμε: I 0

Έχοντας βρει την τάση της αντίστασης και του πηνίου μπορούμε να βρούμε το ρεύμα της αντίστασης, του οποίου η φορά συμπίπτει με αυτή του μοναδικού ρεύματος που είχαμε πάρει όταν κάναμε τους υπολογισμούς ξεκινώντας από το νόμο τάσεων του Kirchhoff: L I 0 V L i L (t) i R (t) V R R Εναλλακτικά, μπορούμε να βρούμε το ρεύμα του πηνίου, το οποίο όμως έχουμε ορίσει με αντίθετη φορά, άρα θα πρέπει να είναι με αντίθετο πρόσημο, από τη σχέση τάσης ρεύματος του πηνίου:

Το αποτέλεσμα είναι σε συμφωνία με αυτό που βρήκαμε πριν από το νόμο του Ωμ στην αντίσταση, αλλά και με αυτό που είχαμε βρει όταν αρχικά επιλύσαμε το κύκλωμα θεωρώντας ότι το πηνίο και η αντίσταση συνδέονται σε σειρά, όπου εφαρμόσαμε το τόμο τάσεων του Kirchhoff.

Παράδειγμα 71: Το πηνίο έχει αρχικό ρεύμα ίσο με 1 Α τη χρονική στιγμή μηδέν. Να υπολογιστούν όλες οι τάσεις και τα ρεύματα που υπάρχουν στο κύκλωμα. Η ισοδύναμη αντίσταση που «βλέπει» το πηνίο είναι: V R1 I 0 R 1 =30 Ω i 1 α 0,1 H V L V R23 β i 2 i 3 R 2 =60 Ω R 3 =30 Ω Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι:

Το ρεύμα του πηνίου και της αντίστασης R 1 που συνδέεται σε σειρά με αυτό είναι: I 0 α 0,1 H β V L i 2 i 3 V R1 R 1 =30 Ω V R23 R 2 =60 Ω R 3 =30 Ω Τα ρεύματα των αντιστάσεων R 2 και R 3 υπολογίζονται από τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος: i 1

Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι: I 0 0,1 H α β V L i 2 i 3 Οι τάσεις των αντιστάσεων προκύπτουν από το νόμο του Ωμ: V R1 R 1 =30 Ω i 1 V R23 R 2 =60 Ω R 3 =30 Ω Η ισχύς του πηνίου είναι: Το πηνίο παρέχει ισχύ στο κύκλωμα, την οποία καταναλώνουν οι αντιστάσεις.

Η ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση R 1 είναι: Για την ισχύ που καταναλώνουν οι άλλες δύο αντιστάσεις έχουμε: Ολοκληρώνοντας τις παραπάνω σχέσεις της ισχύος που καταναλώνουν οι αντιστάσεις από το μηδέν μέχρι το άπειρο θα βρούμε ότι η ενέργεια που θα καταναλώσουν και οι τρεις αντιστάσεις σε άπειρο χρόνο ισούται με την αρχικά αποθηκευμένη ενέργεια στο πηνίο, που είναι:

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Παράδειγμα 72: Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης του κυκλώματος ανοίγει. Να βρεθούν οι τάσεις και τα ρεύματα πριν και μετά το άνοιγμα του διακόπτη. Πριν ανοίξει ο διακόπτης και αφού το κύκλωμα έχει παραμείνει σε αυτή την κατάσταση για πολύ χρόνο, το πηνίο μπορεί να θεωρηθεί σαν βραχυκύκλωμα. Η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος που βλέπει η πηγή τάσης είναι: t=0 ± i 1 V s =100 V R 0,1 H 1 =25 Ω α β i 2 V L i 3 V R2 V R3

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Το ρεύμα που δίνει η πηγή (το ρεύμα i 1 ) είναι: Το ρεύμα αυτό μοιράζεται στα ρεύματα i 2 και i 3 σύμφωνα με τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος: t=0 ± i 1 V s =100 V R 0,1 H 1 =25 Ω α β i 2 V L i 3 V R2 V R3 Το ρεύμα i 3 είναι το αρχικό ρεύμα του πηνίου όταν ανοίξει ο διακόπτης. Τότε η πηγή και η αντίσταση R 1 δεν διαρρέονται από ρεύμα και οι αντιστάσεις R 2 και R 3 συνδέονται σε σειρά.

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: Το ρεύμα i 3 του πηνίου και της αντίστασης R 3 που συνδέεται σε σειρά με αυτό είναι: t=0 ± i 1 V s =100 V R 0,1 H 1 =25 Ω α β i 2 V L i 3 V R2 V R3 Το ρεύμα της αντίστασης R 2 είναι το ίδιο με αυτό του πηνίου και της αντίστασης R 3, αλλά έχει αντίθετη φορά από αυτήν που είναι σημειωμένη στο σχήμα:

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Η τάση που αναπτύσσεται στο πηνίο είναι: t=0 ± i 1 V s =100 V R 0,1 H 1 =25 Ω α β i 2 V L i 3 V R2 V R3 Η τάση αυτή μοιράζεται στις δύο αντιστάσεις σύμφωνα με τη σχέση του διαιρέτη τάσης:

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Στο σχήμα φαίνεται η τάση στα άκρα της αντίστασης R 2 συναρτήσει του χρόνου, πριν και μετά το άνοιγμα του διακόπτη. t=0 i 1 R 1 =25 Ω α 0,1 H β ± V s =100 V i 2 V L i 3 V R2 V R3

R 1 =200 Ω L 2 =0,3 H L 3 =0,6 H V s =100 V 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Παράδειγμα 73: Έχουμε ένα κύκλωμα t=0 με δύο αντιστάσεις και τρία πηνία (Σχήμα 17). Να βρεθούν οι τάσεις και τα ρεύματα του κυκλώματος μετά το ± άνοιγμα του διακόπτη. Όταν ο διακόπτης είναι κλειστός έχουμε ρεύμα 0,5 Α στην αντίσταση R 1 και ρεύμα i 1 =1 Α στο πηνίο L 1 και την αντίσταση R 2. Τα αρχικά ρεύματα στα άλλα δύο πηνία είναι: i 1 L 1 =0,1 H R 2 =100 Ω i 2 i 3

R 1 =200 Ω L 2 =0,3 H L 3 =0,6 H V s =100 V 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Η ισοδύναμη αυτεπαγωγή του κυκλώματος είναι: t=0 i 1 L 1 =0,1 H R 2 =100 Ω i 2 i 3 Η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος είναι: ± Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: Όλα τα ρεύματα και οι τάσεις του κυκλώματος θα είναι της μορφής:

R 1 =200 Ω L 2 =0,3 H L 3 =0,6 H V s =100 V 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο L 1 και τις δύο αντιστάσεις θα είναι: t=0 i 1 L 1 =0,1 H R 2 =100 Ω i 2 i 3 ± Τα ρεύματα στα άλλα δύο πηνία θα είναι: Η τάση στα άκρα της αντίστασης R 1 θα είναι: Η τάση στα άκρα της αντίστασης R 2 θα είναι:

R 1 =200 Ω L 2 =0,3 H L 3 =0,6 H V s =100 V 7 Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Η τάση στα άκρα του πηνίου L 1 θα είναι: t=0 i 1 L 1 =0,1 H R 2 =100 Ω i 2 i 3 ± Η τάση στα άκρα του πηνίου L 2 θα είναι: Η τάση στα άκρα του πηνίου L 3 θα είναι ίδια με την τάση στα άκρα του πηνίου L 2, αφού τα δύο πηνία συνδέονται παράλληλα:

Παράδειγμα 74: Τη χρονική στιγμή t=0 και τα δύο πηνία διαρρέονται από ίσα ρεύματα i 1 (0 )=i 2 (0 )=10 A. Να βρεθούν α) Τα ρεύματα των πηνίων και της αντίστασης τη χρονική στιγμή t=0, β) Η τάση του κυκλώματος μετά τη χρονική στιγμή t=0, γ) Τα ρεύματα των πηνίων και της αντίστασης μετά τη χρονική στιγμή t=0, δ) Η αρχική ενέργεια των πηνίων, η ενέργεια που θα καταναλώσει η αντίσταση σε άπειρο χρόνο και τα ρεύματα που θα παραμείνουν στο βρόχο των πηνίων σε άπειρο χρόνο. i R i 1 i 2 L 1 =0,2 H L 2 =0,8 H V 200 Ω

Τη χρονική στιγμή αμέσως μετά τη σύνδεση του κυκλώματος τα ρεύματα των πηνίων δεν μπορούν να αλλάξουν απότομα, άρα θα συνεχίσουν να διαρρέονται από το αρχικό τους ρεύμα, ενώ η αντίσταση θα διαρρέεται από το άθροισμα των ρευμάτων των δύο πηνίων: i R i 1 i 2 L 1 =0,2 H L 2 =0,8 H V 200 Ω Τα πηνία συνδέονται παράλληλα και η ισοδύναμη αυτεπαγωγή τους είναι:

Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος καθορίζεται από την ισοδύναμη αυτεπαγωγή: i 1 i 2 i R L 1 =0,2 H L 2 =0,8 H V 200 Ω Το ρεύμα της αντίστασης χαρακτηρίζεται από την αρχική του τιμή και τη σταθερά χρόνου του κυκλώματος: Η τάση στα άκρα της αντίστασης δίνεται από το νόμο του Ωμ:

Η ίδια τάση εφαρμόζεται και στα πηνία. Για να βρούμε τα ρεύματα των πηνίων θα χρησιμοποιήσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση τάσης ρεύματος για κάθε πηνίο. Η φορά των ρευμάτων των πηνίων είναι αντίθετη από αυτήν που υποδεικνύει η σύμβαση θετικού προσήμου, οπότε θα πρέπει να πάρουμε την τάση αρνητική: i R i 1 i 2 L 1 =0,2 H L 2 =0,8 H V 200 Ω

Ομοίως για το ρεύμα του δεύτερου πηνίου έχουμε: i 1 i 2 i R L 1 =0,2 H L 2 =0,8 H V 200 Ω Παρατηρούμε τα εξής: α) Κάθε χρονική στιγμή το ρεύμα της αντίστασης ισούται με το άθροισμα των ρευμάτων των πηνίων, β) Σε άπειρο χρόνο θα παραμείνει ρεύμα ίσο με 6 Α που θα κυκλοφορεί στο βρόχο που σχηματίζουν τα πηνία, άρα θα παραμείνει αποθηκευμένη ενέργεια στα πηνία.

Η αρχική ενέργεια των πηνίων είναι: i R i 1 i 2 L 1 =0,2 H L 2 =0,8 H V 200 Ω Η ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση είναι: Η συνολική ενέργεια που θα καταναλώσει η αντίσταση μέχρι να μηδενιστεί το ρεύμα της σε άπειρο χρόνο είναι:

Από τα 50 Joules που είχαν αρχική ενέργεια τα πηνία τα 32 θα καταναλωθούν στην αντίσταση και τα υπόλοιπα 18 θα παραμείνουν ως αποθηκευμένη ενέργεια στα πηνία, και συγκεκριμένα για το κάθε πηνίο: i R i 1 i 2 L 1 =0,2 H L 2 =0,8 H V 200 Ω