Κεφάλαιο 3: ΠΟΛΥΜΟΡΦΙΚΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 3.1 Εισαγωγή

Κεφάλαιο 3: ΠΟΛΥΜΟΡΦΙΚΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 3. Εισαγωγή Μετάδοση θερμότητας με συνδυασμό των τριών βασικών μηχανισμών μεταφοράς θερμότητας, δηλαδή αυτών της αγωγής, της συναγωγής και της ακτινοβολίας συναντάται συχνά σε πολλά τεχνολογικά πεδία και εφαρμογές. Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται η μετάδοση θερμότητας με συνδυασμό των τριών βασικών μηχανισμών στα όρια του προβλήματος, δηλαδή οι οριακές συνθήκες προκύπτουν με ισοζύγια θερμότητας που περιλαμβάνουν τους δύο ή και τους τρεις βασικούς μηχανισμούς. Στη παρούσα ανάλυση ισχύουν οι ίδιοι περιορισμοί σε σχέση με τη μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία, δηλαδή θεωρούμε ότι οι επιφάνειες είναι αδιαφανείς, ενώ το μέσο που βρίσκεται ανάμεσα στις επιφάνειες που ανταλλάσουν θερμότητα είναι απόλυτα διαπερατό στην ακτινοβολία. Το μέσο αυτό είναι πιθανόν να μεταφέρει θερμότητα με αγωγή ή/και συναγωγή αλλά δεν αλληλεπιδρά με την ακτινοβολία. Η υπόθεση αυτή ισχύει για αέρα, οξυγόνο, άζωτο αλλά δεν ισχύει για υδρατμούς, μονοξείδιο και διοξείδιο του άνθρακα που συμπεριφέρονται περισσότερο σαν στερεά). Οι διάφορες μορφές μετάδοσης θερμότητας είναι πιθανόν να συνδέονται σειριακά ή παράλληλα ή και τα δύο. Σε μερικές περιπτώσεις εξετάζεται η κάθε μία χωριστά και στη συνέχεια προστίθενται ή άλλες φορές εξετάζονται συζευγμένα. Όπως ήδη γνωρίζουμε η θερμορροή λόγω ακτινοβολίας ανάμεσα σε μέλανες επιφάνειες εξαρτάται από τη θερμοκρασία των επιφανειών στη η δύναμη. Για μη μέλανες επιφάνειες ο εκθέτης μπορεί να είναι διαφορετικός ανάλογα από την εξάρτηση της ικανότητας εκπομπής ως προς τη θερμοκρασία. Στη θερμική αγωγή η θερμορροή εξαρτάται από τη τοπική βαθμίδα θερμοκρασίας. Τέλος, στη συναγωγή η θερμορροή είναι ανάλογη της διαφοράς θερμοκρασίας συνήθως στη η δύναμη. Βέβαια ο εκθέτης εξαρτάται από τον τύπο της ροής και από την εξάρτηση των φυσικών ιδιοτήτων ως προς τη θερμοκρασία. Περιληπτικά αναφέρουμε τα εξής: Ακτινοβολία: qrad T (όταν οι ιδιότητες των επιφανειών είναι σταθερές) Αγωγή: qcond Συναγωγή: Εξαναγκασμένη: qconv T (όταν ο συντελεστής θερμικής αγωγής είναι σταθερός) T (όταν ο συντελεστής συναγωγής είναι σταθερός) h x Nu NuRe,Pr, k / L L (Re, Pr και k εξαρτώνται από το T ) Ελεύθερη: qconv n T,.5 n. h x Nu NuPr, Gr, k / L L, 3 g Gr TL, Pr

Αδιάστατοι αριθμοί Prandtl: Pr c p viscous _ diffu sion _ rate thermal _ diffu sion _ rate viscous _ diffu sion _ rate Schmidt: Sc D D mass _ diffu sion _ rate cd p D mass _ diffu sion _ rate Lewis: Le thermal _ diffu sion _ rate Οι συντελεστές, και D έχουν τις ίδιες μονάδες (m /s) Reynolds: UD ά _ ά Re ά _ ώ Mach: U Ma c U RT Nusselt: h convective_ heat_ transfer Nu / L conductive_ heat_ transfer Grashof number: 3 gtl ά _ ά Gr ά _ ώ Rayleigh: RaGr Pr Peclet: Eckert: UD UD Pe RePr V kinetic _ energy Ec c T T enthalpy p w Froude r: V Fr gl body_inertia gravitational_forces Weber: We V L

L Strouhal: St V t Fourier: Fo L Viscosity ratio: / bulk _ viscocity / viscocity k conductive _ heat Thermal diffusion: c storaged _ heat p c Specific heat ratio: c p heat_ capacity _ at_ constant_ pressure heat_ capacity_ at_ constant_ volume Expansion coefficient: ideal _ gas T Knudsen: mfp mean_ free_ path Kn L characteristic _ physical_ length 3. Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Όπως αναφέραμε οι επιφάνειες είναι αδιαφανείς δηλαδή η απορρόφηση γίνεται επιφανειακά και επομένως το ισοζύγιο ενέργειας καταλήγει να είναι οριακή συνθήκη. Η εξίσωση (*) της παραγράφου.3. που περιγράφει το θερμικό ισοζύγιο στην επιφάνεια γράφεται στη μορφή T q q q q k h T T J G cond conv rad k w g k k n wall όπου όλες οι ποσότητες είναι στο r επί της επιφάνειας όπως φαίνεται στο Σχήμα 3... Σχήμα 3..: Οριακές συνθήκες σε επιφάνεια αδιαφανούς τοιχώματος

Οι άλλες εξισώσεις που περιγράφουν τα J k και G k παραμένουν ως έχουν. Η συναγωγή διατυπώνεται με τον συντελεστή συναγωγής, ενώ οι ποσότητες T και T / n είναι οι οριακές συνθήκες για την εξίσωση θερμότητας T c p k T q t Σε πολλές περιπτώσεις αντί της παραγώγου ορίζεται η θερμότητα στο τοίχωμα και τότε το ισοζύγιο θερμότητας στην επιφάνεια γράφεται στην μορφή (βλέπε Σχήμα 3..) J G h T T q, k k w g e όπου η θερμορροή q e μπορεί να είναι ομοιόμορφη ή να εξαρτάται από τη θέση. Σχήμα 3..: Οριακές συνθήκες σε επιφάνεια αδιαφανούς τοιχώματος με ειδική θερμορροή Γενικά η επίλυση του προβλήματος μπορεί να είναι ρητή, όταν δίδονται όλες οι θερμοκρασίες και το ζητούμενο είναι οι θερμορροές ή συζευγμένη όταν μία ή περισσότερες θερμοκρασίες είναι άγνωστες και πρέπει να υπολογισθούν. Στη δεύτερη περίπτωση συνήθως είναι απαραίτητο η επίλυση να γίνει αριθμητικά.

Παράδειγμα 3..: Έστω δύο παράλληλες πλάκες πεπερασμένου πάχους μεταξύ των οποίων βρίσκεται διαπερατό αέριο (βλέπε Σχήμα 3..3). Οι θερμοκρασίες των εσωτερικών επιφανειών των πλακών είναι T και T με T T. Λόγω της διαφοράς θερμοκρασίας έχουμε μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία και ελεύθερη συναγωγή. Ο συντελεστής ελεύθερης συναγωγής είναι h. Να βρεθεί η μόνιμη θερμότητα που μεταφέρεται από την πλάκα στην πλάκα. fc Σχήμα 3..3 Η καθαρή θερμορροή που προσδίδεται στην πλάκα ώστε να παραμένει σε θερμοκρασία T είναι T T q h T T T T fc T T, Στη περίπτωση αυτή η θερμότητα ακτινοβολίας και ελεύθερης συναγωγής είναι μη συζευγμένες. Η κάθε μορφή θερμότητας υπολογίζεται ανεξάρτητα και στη συνέχεια προστίθενται. Πολλές φορές οι διάφορες μορφές θερμότητας είναι συζευγμένες. Στο ίδιο παράδειγμα έστω ότι η θερμοκρασία T είναι άγνωστη και και δίδεται η θερμοκρασία T της εξωτερικής επιφάνειας της πλάκας. Η θερμότητα λόγω αγωγής διαμέσου της πλάκας πρέπει να ισούται με το ποσό θερμότητας που μεταφέρεται από την επιφάνεια στην επιφάνεια λόγω ακτινοβολίας και ελεύθερης συναγωγής, δηλαδή T T q T T h T T T T a kw fc T T, Τώρα το πρόβλημα είναι συζευγμένο αφού ο υπολογισμός της θερμοκρασίας T θα πρέπει να προκύψει από μία εξίσωση που περιλαμβάνει όλες τις μορφές μετάδοσης θερμότητας του προβλήματος.

Παράδειγμα 3..: Έστω ένα θερμοστοιχείο (αισθητήρας μέτρησης θερμοκρασίας) και ικανότητα εκπομπής.5 εντός του πεδίου ροής ενός αερίου θερμοκρασίας Ta 35Κ πλησίον μέλανος σώματος θερμοκρασίας Tw 9Κ (βλέπε Σχήμα 3..α). Ο συντελεστής συναγωγής αερίου θερμοστοιχείου είναι h 5W/(m K). Να υπολογισθεί η θερμοκρασία T του θερμοστοιχείου. Σημείωση: στο συγκεκριμένο πρόβλημα το h είναι γνωστό ενώ συνήθως αποτελεί τμήμα της λύσης του προβλήματος. Θεωρούμε ότι ο συντελεστής όψεως του θερμοστοιχείου προς το μέλαν σώμα (τοίχωμα) είναι F w.5 (επειδή βρίσκεται πολύ κοντά) και ότι ο συντελεστής όψεως του θερμοστοιχείου προς το αέριο είναι F.5. Ισοζύγιο θερμότητας στο θερμοστοιχείο με μετάδοση θερμότητας μόνο με ακτινοβολία (βλέπε Παράγραφο.3): a Σχήμα 3..: Θερμοστοιχείο πλησίον τοιχώματος χωρίς κάλυμμα (αριστερά) και με κάλυμμα (δεξιά) Q q E J T J A b όπου J T F T F T w w a a Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω εκφράσεις βρίσκουμε q T.5T.5T w a

Ισοζύγιο θερμότητας στο θερμοστοιχείο με μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία και συναγωγή: a ht Ta T Tw Ta ha T T A q.5.5 Με επαναληπτική διαδικασία υπολογίζεται η θερμοκρασία T 5 Κ Η θερμοκρασία που μετράει το θερμοστοιχείο είναι σημαντικά διαφορετική από την θερμοκρασία του αερίου. Για το λόγο αυτό τοποθετούμε το θερμοστοιχείο εντός ιδιαίτερα λειασμένου κυλινδρικού καλύμματος (βλέπε Σχήμα 3..β) με ανοικτές τις δύο βάσεις. Το μήκος του κυλίνδρου είναι 5cmκαι η διάμετρος.5cm. Ο συντελεστής συναγωγής αερίου καλύμματος και από τις δύο πλευρές είναι 5W/(m K). Να υπολογισθεί και πάλι η θερμοκρασία T του θερμοστοιχείου (διάμετρος θερμοστοιχείου.75cm). Παράδειγμα 3..3: Επιφάνεια m βρίσκεται σε θερμοκρασία T o C και πρέπει να μονωθεί έτσι ώστε η θερμοκρασία στην εξωτερική επιφάνεια της μόνωσης να είναι T 6o C όταν η θερμοκρασία του περιβάλλοντος αέρα είναι T 3o C και τα τοιχώματα που περικλείουν τη διάταξη βρίσκονται σε T w o C (βλέπε Σχήμα 3..5). Να υπολογισθεί ο συντελεστής k / Lτης μόνωσης. Σχήμα 3..5 Ισοζύγιο θερμότητας στην επιφάνεια : k T T q h T T T T h T T h T T L όπου conv ins w conv rad w 8 hrad ins T Tw T Tw.95.7 333 93 333 93 6.35 W/m / o C

Στη συνέχεια για να βρούμε τον συντελεστή h conv πρέπει να βρούμε τον αριθμό hconvl Nu k Από Πίνακα 9. για τη συγκεκριμένη γεωμετρία /3 Nu.5Ra (9.3), όπου 3 g 3 T T l Pr 3 g T Tl Pr T T 9.83.7 Ra Gr Pr.5 5 38.7 Επομένως, Nu 93 και h 5.3 con W/m / o C Από το ισοζύγιο θερμότητας βρίσκουμε q W/m και τελικά 9 k L 6.8 W/m / o C Έστω το ίδιο πρόβλημα όμως τώρα δίδεται ότι k / LW/m / o C και πρέπει να υπολογίσουμε την θερμοκρασία T και τη θερμορροή q. Από το ισοζύγιο θερμότητας εύκολα προκύπτει ότι T k hconv TT hrad TT w T L, k hconv Thrad T L όπου βέβαια οι συντελεστές hconv και h rad εξαρτώνται από την άγνωστη θερμοκρασία T και επομένως απαιτείται επαναληπτική θερμοκρασία. Σε μερικές περιπτώσεις είναι χρήσιμο να διατυπώσουμε ανάλυση όγκου αναφοράς σε δύο διαστάσεις, ειδικά όταν το τοίχωμα έχει πολύ μικρό πάχος και η θερμοκρασία μεταβάλλεται κατά μήκος του τοιχώματος και όχι ως προς το πάχος του. Κλασσικό παράδειγμα η απώλεια θερμότητας μέση λεπτών πτερυγίων σε συσκευές που βρίσκονται στο διάστημα. Η θερμότητα άγεται κατά μήκος των πτερυγίων και αποβάλλεται από την επιφάνεια των πτερυγίων. Η ανάλυση απλοποιείται σημαντικά θεωρώντας ότι η θερμοκρασία του πτερυγίου ως προς το πάχος του είναι ομοιόμορφη. Η ανάλυση όγκου αναφοράς για τη διατύπωση του θερμικού ισοζυγίου είναι η εξής: Έστω ο όγκος αναφοράς με εμβαδό επιφάνειας dxdy και πάχος a (βλέπε Σχήμα 3..6).

Σχήμα 3..6: Ισοζύγιο θερμότητας Δ σε διαφορικό στοιχείο λεπτής πλάκας Επειδή το a είναι μικρό, T T x y. Διαπερατά ρευστά σε θερμοκρασίες T m και T m ρέουν κατά μήκος της επάνω και κάτω επιφάνειας με συντελεστές συναγωγής h και h αντίστοιχα. Η θερμοκρασία μπορεί να αλλάζει σε σχέση με το χρόνο και επίσης να παράγεται θερμότητας εντός του όγκου αναφοράς. Το ισοζύγιο θερμότητας εκφράζει ότι η αλλαγή της εσωτερικής ενέργειας ως προς το χρόνο ισούται με την ενέργεια που προσδίδεται από την εναλλαγή θερμότητας λόγω ακτινοβολίας, αγωγής και συναγωγής και από τις εσωτερικές πηγές: T T T c GJG J ka ka ht ThT Tqa p t x x y y m m Το αποτέλεσμα αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια. 3.3 Ακτινοβολία με αγωγή Μεταφορά θερμότητας με συνδυασμό ακτινοβολίας και θερμικής αγωγής είναι αρκετά συνηθισμένη σε τεχνολογικές εφαρμογές. Τυπικά παραδείγματα είναι η μεταφορά θερμότητας μέσω τοιχωμάτων δοχείων με χαμηλή εσωτερική πίεση, σε κλιβάνους, σε διαστημικές εφαρμογές, κ.τ.λ. Παρακάτω δίδονται δύο παραδείγματα που περιγράφουν μονοδιάστατη μεταφορά θερμότητας με αγωγή και ακτινοβολία:

Παράδειγμα 3.3. Λεπτό πτερύγιο με πάχος b δακτυλιοειδούς διατομής με εσωτερική και εξωτερική ακτίνα r i και r o αντίστοιχα και συντελεστή θερμικής αγωγής k είναι από τη μία πλευρά και περιμετρικά μονωμένο (βλέπε Σχήμα 3.3.). Θερμότητα μεταφέρεται στην εσωτερική κυκλική επιφάνεια μέσω ενός άξονα ακτίνας r i με αποτέλεσμα η θερμοκρασία περιμετρικά στο εσωτερικό κύκλο να είναι σταθερή και ίση με T i. Η μη μονωμένη πλευρά του δακτυλιοειδούς πτερυγίου είναι γκρίζα και διαχυτική με ικανότητα εκπομπής και εκπέμπει ακτινοβολία στο περιβάλλοντα χώρο που βρίσκεται σε θερμοκρασία Te. Να βρεθεί η θερμοκρασιακή κατανομή T Tr για r i r r o. Σχήμα 3.3.: Κυλινδρικό πτερύγιο (αριστερά) και διαφορικός όγκος (δεξιά) Θεωρούμε ότι το πτερύγιο είναι λεπτό και ότι η θερμοκρασία δεν μεταβάλλεται ως προς το πάχος b. Το ισοζύγιο θερμότητας σε στοιχειώδη όγκο αναφοράς, σύμφωνα με την εξίσωση (*) της παραγράφου 3., οδηγεί στη συνήθη διαφορική εξίσωση ης τάξης d dt kb r T rdr dr, με οριακές συνθήκες Tr i T, dt / dr Πρόκειται για ένα πρόβλημα δύο οριακών τιμών που επιλύεται αριθμητικά εισάγοντας τις T r ri r 3 r ri Ti αδιάστατες ποσότητες, R και τις παραμέτρους,. T r r r Η αδιάστατη εξίσωση είναι στη μορφή d dr i d με οριακές συνθήκες, R dr i i i d dr R r r Οι μερικές παράγωγοι επιλύονται με πεπερασμένες διαφορές και το προκύπτον μη γραμμικό σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο Newton. kb

Ο συντελεστής απόδοσης του πτερυγίου ορίζεται ως ο λόγος της θερμότητας που εκπέμπεται με βάση τη θερμοκρασία T r του πτερυγίου προς τη θερμότητα που θα εκπέμπονταν αν όλο το πτερύγιο ήταν σε θερμοκρασία T i. Επομένως, ο συντελεστής απόδοσης είναι ri r r T r rt dr R dr o i i Ο συντελεστής απόδοσης έχει υπολογισθεί στη βιβλιογραφία και φαίνεται στο Σχήμα 3.3.. Σχήμα 3.3.: Συντελεστής απόδοσης κυλινδρικού πτερυγίου Η παρούσα ανάλυση επεκτείνεται σχετικά εύκολα στη μη μόνιμη κατάσταση μεταφορά θερμότητας. Στη περίπτωση η άγνωστη θερμοκρασία του πτερυγίου είναι T T t, r και προκύπτει από τη επίλυση της μερική διαφορικής εξίσωσης T d dt cb p kb r T t r dr dr Παράδειγμα 3.3. Ψύκτης αποτελείται από λεπτή πλάκα με μήκος L και πάχος b που συνδέει δύο αγωγούς όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.3.3. Και οι δύο πλευρές της πλάκας εκπέμπουν ακτινοβολία στον περιβάλλοντα χώρο που βρίσκεται σε πολύ χαμηλή θερμοκρασία. Η πλάκα είναι διαχυτική και γκρίζα με ικανότητα εκπομπής και συντελεστή θερμικής αγωγής k. Να βρεθεί η κατανομή θερμοκρασίας στη διεύθυνση x, T T x θεωρώντας ότι οι αγωγοί είναι σε σταθερή θερμοκρασία T.

Το ισοζύγιο θερμότητας στη στοιχειώδη επιφάνεια αναφοράς bdx, σύμφωνα με την εξίσωση (*) της παραγράφου 3., οδηγεί στη συνήθη διαφορική εξίσωση ης τάξης dt T, με οριακές συνθήκες T kb dx Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με dt /, dt / dx T dx και ολοκληρώνουμε: x L kb dt 5 5 T T L dx 5 dt dx 5kb 5 5 T T L Η ποσότητα TL είναι άγνωστη. Ολοκληρώνουμε άλλη μία φορά και βρίσκουμε x 5kb T T dt 5 5 T T L Για να βρούμε τη ποσότητα TL εφαρμόζουμε τη παραπάνω λύση στη θέση x L : L 5kb T T L dt 5 5 T T L Και βρίσκουμε τη ρίζα της εξίσωσης TL. Στη συνέχεια επιστρέφουμε στη προηγούμενη εξίσωση και βρίσκουμε το x για διάφορες θερμοκρασίες T T TL, δηλαδή βρίσκουμε το x xt. Σχήμα 3.3.3: Διάταξη ψύκτη

3. Ακτινοβολία με αγωγή και συναγωγή Μεταφορά θερμότητας συνδυάζοντας τους τρεις βασικούς μηχανισμούς, δηλαδή αγωγή, συναγωγή (ελεύθερη και εξαναγκασμένη) και ακτινοβολία είναι αρκετά συνηθισμένη σε τεχνολογικές εφαρμογές. Τυπικά παραδείγματα η ψύξη συσκευών που λειτουργούν σε υψηλές θερμοκρασίες όπως θάλαμοι καύσης, η ψύξη οχημάτων που ταξιδεύουν με υπερηχητικές ταχύτητες, θερμικά ηλιακά συστήματα, κ.τ.λ. Τα θερμικά ισοζύγια και οι οριακές συνθήκες περιέχουν διαφορές θερμοκρασίας που οφείλονται στο μηχανισμό της συναγωγής, παραγώγους της θερμοκρασίας που οφείλονται στην αγωγή και διαφορές θερμοκρασίας όπου η κάθε θερμοκρασία είναι υψωμένη στη η δύναμη που οφείλονται στο μηχανισμό της ακτινοβολίας. Τις περισσότερες φορές οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές και επιλύονται αριθμητικά. Οι βασικές ιδέες και ο τρόπος επίλυσης περιγράφονται στα παρακάτω δύο παραδείγματα: Παράδειγμα 3.. Η απόδοση του κυλινδρικού πτερυγίου του Σχήματος 3.. εξαρτάται από πολυμορφική μετάδοση θερμότητας που περιλαμβάνει και τους τρεις μηχανισμούς. Το πτερύγιο έχει διατομή A, περίμετρο, μεγάλο μήκος L, δεν είναι γκρίζο με απορροφητικότητα για ακτινοβολία που δέχεται από το περιβάλλον που βρίσκεται σε θερμοκρασία T, συντελεστή θερμικής αγωγής k και συντελεστή συναγωγής h με τον αέρα που το περιβάλλει. Το ζητούμενο είναι η αξονική θερμοκρασιακή κατανομή T T x. Υποθέτουμε δηλαδή ότι η θερμοκρασία μεταβάλλεται μόνο αξονικά και όχι ακτινικά (αιτιολογείται από το γεγονός ότι το μήκος είναι πολύ μεγαλύτερο της διαμέτρου). Επίσης, υποθέτουμε ότι δεν έχουμε ανταλλαγή ακτινοβολίας ανάμεσα στο πτερύγιο και τη βάση στην οποία στηρίζεται. Η πλάκα στήριξης όπως και η βάση του πτερυγίου είναι σε θερμοκρασία T b. Σχήμα 3..: Πτερύγιο σε τοίχωμα Το ισοζύγιο θερμότητας σε όγκο αναφοράς Adx είναι dt ( ) ka dx T T dx h T x T dx

Ο όρος στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι η καθαρή αγωγή στον όγκο αναφοράς, ενώ ο πρώτος και δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης αντιστοιχούν στις απώλειες λόγω ακτινοβολίας και συναγωγής αντίστοιχα. Πολλαπλασιάζουμε με τον όρο εξίσωση και βρίσκουμε dt kadx dx και ολοκληρώνουμε την προκύπτουσα 5 dt T h T TT TT C dx ka 5 ka Η σταθερά C προκύπτει από την οριακή συνθήκη στο τέλος του πτερυγίου. Για να απλουστεύσουμε τη διαδικασία θεωρούμε T και εφόσον το πτερύγιο είναι επαρκώς μακρύ θεωρούμε ότι για μεγάλο x, T x και dt / dx. Με βάση τα παραπάνω προκύπτει C. Επιλύοντας για τη πρώτη παράγωγο της θερμοκρασίας προκύπτει dt h T T dx 5 ka ka 5 Επιλέγεται το μείον (-) επειδή η θερμοκρασία μειώνεται καθώς αυξάνει το x και η κλίση της θερμοκρασίας θα είναι αρνητική. Η παραπάνω εξίσωση ολοκληρώνεται ως προς x με βάση τη συνθήκη ότι T T : b x T dt dx T 3 h b T T 5 ka ka x K 3 / ln 3 3 Tb K K T K K ln T K K T K K 3 3 b, h όπου K και. Βλέπουμε ότι στη παρούσα απλουστευμένη ka 5 ka εφαρμογή το πρόβλημα επιλύεται αναλυτικά (closed form solution).

Παράδειγμα 3.. Συνεχίζουμε με ένα παράδειγμα με ροή εντός θερμαινόμενου αγωγού. Περιοριζόμαστε σε ρευστά που είναι απολύτως διαπερατά στην ακτινοβολία. Ένα διαφανές αέριο ρέει εντός μέλανος κυλινδρικού αγωγού διαμέτρου D και μήκους L του οποίου η εξωτερική επιφάνεια είναι μονωμένη (Σχήμα 3..). Το τοίχωμα του αγωγού είναι λεπτό και θερμαίνεται ομοιόμορφα με ηλεκτρική αντίσταση. Η θερμότητα που λαμβάνει είναι q e. Το ζητούμενο είναι η αξονική θερμοκρασιακή μεταβολή του τοιχώματος Tw Tw x και η αξονική μέση θερμοκρασιακή μεταβολή του αερίου Tg Tg x. Το αέριο έχει μέση ταχύτητα u m, θερμοχωρητικότητα c p και πυκνότητα. Ο συντελεστής συναγωγής h μεταξύ του αερίου και των εσωτερικών τοιχωμάτων θεωρείται σταθερός, ενώ η αξονική θερμική αγωγή θεωρείται αμελητέα. Η μέση θερμοκρασία του αερίου στην είσοδο και την έξοδο του αγωγού συμβολίζεται με T g και T g, ενώ η θερμοκρασία του περιβάλλοντα χώρου στην είσοδο και την έξοδο του αγωγού είναι T και T. Σχήμα 3..: Εσωτερική ροή σε αγωγό με θερμαινόμενο τοίχωμα Εάν η ακτινοβολία δεν λαμβάνονταν υπ όψιν, η τοπική προσθήκη θερμότητας στο αέριο θα ήταν ίση με την τοπική ηλεκτρική θερμότητα (καθώς τα εξωτερικά τοιχώματα του αγωγού είναι μονωμένα) και επιπλέον δεν θα διέφερε κατά μήκος της αξονικής θέσης του αγωγού. Ως αποτέλεσμα, τόσο η θερμοκρασία του αερίου όσο και η θερμοκρασία του τοιχώματος θα αυξάνονταν γραμμικά κατά μήκος του αγωγού. Εάν δεν λαμβάνονταν υπ όψιν η συναγωγή, το μόνο μέσο για απομάκρυνση θερμότητας θα ήταν η ακτινοβολία από τα άκρα του αγωγού. Σε αυτή την περίπτωση, για ίσες θερμοκρασίες περιβάλλοντος και στα δύο άκρα του αγωγού, η θερμοκρασία του τοιχώματος θα παρουσίαζε ένα μέγιστο κοντά στο κέντρο του αγωγού και θα μειωνόταν συνεχώς και προς τα δύο άκρα. Παράλληλα η θερμοκρασία το αερίου σε

αυτήν τη περίπτωση θα έμενε σταθερή και ίση με αυτή του περιβάλλοντος καθώς δεν λαμβάνει το αέριο θερμότητα με την μορφή της ακτινοβολίας. Η λύση του συνδυασμένου προβλήματος συναγωγή ακτινοβολία αναμένεται να έχει χαρακτηριστικά και των δύο παραπάνω λύσεων. Έστω η δακτυλιοειδής επιφάνεια αναφοράς Ddx στο τοίχωμα του αγωγού. Η επιφάνεια αναφοράς δέχεται θερμότητα από την ηλεκτρική αντίσταση και με ακτινοβολία από τις άλλες επιφάνειες του αγωγού και τα δοχεία εισόδου και εξόδου: L D D w w dzdx r dx r dx z q DdX T z df z x Ddz T df x T df L x Η θερμότητα που απομακρύνεται από τη δακτυλιοειδή επιφάνεια αναφοράς με συναγωγή και ακτινοβολία είναι ίση με : Ddxh Tw x Tg x Tw x DdX Εάν δεν ληφθεί υπ όψιν η αξονική αγωγή θερμότητας στο τοίχωμα του αγωγού, η ενέργεια που προσδίδεται στο δακτυλιοειδές στοιχείο πρέπει να είναι ίση με αυτή που απομακρύνεται από αυτό. Έτσι από τα παραπάνω προκύπτει η εξίσωση : L ht x T x T x q T zdf x z TdF x TdF L x w g w e w dxdz r dx r dx x Tw x και Η παραπάνω εξίσωση έχει δύο αγνώστους, Tg x. Οπότε πρέπει να βρεθεί και μια δεύτερη εξίσωση ώστε να οδηγηθούμε στη λύση. Αυτό μπορεί να γίνει σχηματίζοντας το ισοζύγιο θερμότητας στον όγκο αναφοράς D /dx εσωτερικά του αγωγού. Η θερμότητα που προσδίδεται στον όγκο αναφοράς από το αέριο που ρέει είναι um cptgx D και η θερμότητα που προστίθεται στον όγκο με συναγωγή από το τοίχωμα είναι Ddxh T x T x w g. Η θερμότητα που απομακρύνεται από τον όγκο διαμέσου του ρέοντος αερίου είναι D dtg umcp Tgx dx dx Το ισοζύγιο θερμότητας στον όγκο αναφοράς οδηγεί στην εξίσωση:

D dtg umcp htwxtgx dx Τα δύο ισοζύγια θερμότητας αποτελούν ένα σύστημα δύο μη γραμμικών εξισώσεων που επιλύεται αριθμητικά. Οι λύσεις έχουν δοθεί στη βιβλιογραφία και μερικά χαρακτηριστικά αποτελέσματα παρατίθενται στο Σχήμα 3..3. Πρέπει να σημειωθεί ότι οι θερμοκρασίες που προβλέπονται για τον συνδυασμό ακτινοβολίας συναγωγής είναι χαμηλότερες από αυτές που προβλέπονται είτε μόνο για συναγωγή ή μόνο για ακτινοβολία. Επίσης παρατηρούμε ότι για έναν μικρού μήκους αγωγό τα φαινόμενα της ακτινοβολίας είναι σημαντικά σε όλο το μήκος του αγωγού, και επίσης το διάγραμμα της μεταβολής της θερμοκρασίας κατά μήκος του αγωγού όταν έχουμε συνδυασμό ακτινοβολίας συναγωγής είναι όμοιο με αυτό που παίρνουμε όταν έχουμε μόνο ακτινοβολία. Αντίθετα, για έναν αγωγό μεγάλου μήκους, το διάγραμμα που προκύπτει για τον συνδυασμό ακτινοβολίας συναγωγής για το κεντρικό τμήμα του αγωγού τείνει προς το διάγραμμα που προκύπτει μόνο από την συναγωγή. Γενικά, η μετάδοση θερμότητας με συνδυασμό ακτινοβολίας συναγωγής είναι αποτελεσματικότερη από ότι αν έχουμε μόνο ακτινοβολία ή μόνο συναγωγή. Και αυτό φαίνεται και στα διαγράμματα που ακολουθούν καθώς σε κάθε περίπτωση οι προβλεπόμενες θερμοκρασίες του τοιχώματος είναι χαμηλότερες όταν έχουμε συνδυασμό ακτινοβολίας συναγωγής. Σχήμα 3..3: Αδιάστατη θερμοκρασία τοιχώματος κατά μήκος του αγωγού