ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε υμπεράματα για τη μορφή της καταομής: f(x; θ) όπου θ μία ή περιότερες άγωτες παράμετροι. Για τη εκτίμηη τω τιμώ του θ χρηιμοποιούμε δεδομέα: Χ, Χ,..., Χ εός τυχαίου δείγματος (τ.δ). Τα Χ i είαι τ.μ. και ακολουθού τη καταομή του χαρακτηριτικού που εκπροωπού το πληθυμό. Για τη εκτίμηη τω τιμώ του θ χρηιμοποιούμε υαρτήεις τω Χ, Χ,..., Χ που οομάζοται τατιτικές υαρτήεις (..) ή απλά τατιτικά, π.χ. ο αριθμητικός μέος ή η δειγματική διαπορά. Τα τατιτικά είαι τ.μ. με πιθαοτική υμπεριφορά που περιγράφεται από καταομές: δειγματοληπτικές καταομές 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης
Καταομή της δειγματικής μέης τιμής Έτω Χ, Χ,..., Χ τ.δ. απόπληθυμόμεμέητιμή μ και διαπορά. Ο αριθμητικός μέος είαι.. και μελετάμε τη δειγματοληπτική της καταομή. () Για έα τ.δ. ήαπλότ.δ. ιχύει: E( ) = μ Η μέη τιμή της () Για έα τυχαίο δείγμα ιχύει: i i = = είαι ίη με τη μέη τιμή του πληθυμού. Var( ) = κα ι = δηλ. ότα αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, τότε μειώεται η μεταβλητότητα του και αυξάεται η ακρίβεια της εκτίμηης του μ. (τυπικό φάλμα : η τυπική απόκλιη της δειγμ. μέης τιμής) 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης
Καταομή της δειγμ. μέης τιμής (υέχεια) (3) Έτω Χ, Χ,..., Χ τ.δ. απόπληθυμόμεκαοική καταομή μέης τιμής μ και διαποράς : N (μ, ). Τότεηδειγματικήμέητιμή έχειεπίηςκαοική καταομή μέης τιμής μ και διαποράς / : N ( μ, ). (4) Κετρικό Οριακό Θεώρημα (για τυχαία δείγματα) Έτω Χ, Χ,..., Χ τ.δ. απόπληθυμόμεμέητιμήμ και διαπορά (και οποιαδήποτε καταομή). Η καταομή της τ.μ. τείει τη τυπική καοική μ / N (0, ) καθώς το τείει το. 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 3
Καταομή της δειγματικής ααλογίας Έτω ότι μας εδιαφέρει το ποοτό (p) εός πληθυμού που έχει κάποιο χαρακτηριτικό (π.χ. το ποοτό τω φοιτητώ που καπίζου). Παίρουμε τ.δ. μεγέθους και ορίζουμε τις τ.μ. α έχει το χαρακτηριτικό i = i =,,..., 0 α δε έχει το χαρακτηριτικό Οι τ.μ. Χ i έχου καταομή Berulli με πιθαότητα επιτυχίας p. Κατακευάζουμε τη τ.μ. Y i που έχει διωυμική i = καταομή με παραμέτρους (γωτή) και p(άγωτη). Η τατιτική υάρτηη pˆ i είαι δειγματική i = μέη τιμή και λέγεται δειγματική ααλογία. = Y = = 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 4
Καταομή της δειγμ. ααλογίας (υέχεια) Η δειγματική ααλογία ˆp έχει μέη τιμή και διαπορά: E( pˆ) = p, Var( pˆ) = pq και pˆ = [δειγματική μέη τιμή τω Χ i από Berulli (p)] (Κ.Ο.Θ. για τη δειγματική ααλογία). ˆp Α είαι η δειγματική ααλογία ε τ.δ. μεγέθους από πληθυμό Berulli (p), τότε η καταομή της τ.μ. pˆ pq p / τείει τη καοική N (0, ) καθώς το τείει το. pq 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 5
Καοική προέγγιη της διωυμικής Παρατηρούμε ότι: 007 pˆ p pˆ p = = pq / pq διότι η τ.μ. Υ ακολουθεί διωυμική καταομή και E( Y ) = p, Var( Y ) = pq (Κ.Ο.Θ. για τη διωυμική καταομή). Α Υ είαι τ.μ με καταομή B(,p), τότεηκαταομήτης τ.μ. Y p pq τείει τη καοική N (0, ) καθώς το τείει το. [εμπειρικά εφαρμόζεται ότα >30, p >5, q >5] Έτι προφαώς ιχύει: a p b p P ( a Y b) P Z pq pq Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 6 Y μ Y Y
Καοική προέγγιη της διωυμικής (υέχεια) ιόρθωη της προέγγιης Επειδή προεγγίζουμε μια διακριτή καταομή με μία υεχή η προέγγιη είαι καλύτερη ότα διορθώουμε το προηγούμεο τύπο ως εξής: ( a ) p ( b + ) p P ( a Y b) P Z pq pq 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 7
Η καταομή χ-τετράγωο Μια υεχής τ.μ. U έχει τη καταομή ελευθερίας) ότα η.π.π. είαι: ( ) ( ) f u = Γ u (με βαθμούς Ειδική περίπτωη της Γάμμα (α =/, β=). Οπότε: E( U ) =, Var(U) = u χ e u > 0 0 αλλού Λοξή προς τα δεξιά, τείει α γίει υμμετρική και α πληιάει τη καοική ότα μεγαλώει αρκετά το. ηλαδή: U N (0,) ότα Ο πίακας Π5 δίει τα ατίτροφα ποοτιαία ημεία για τα οποία P( U χ ) = a από έως 30 β.ε. χ α, a, 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 8
Η καταομή χ-τετράγωο (υέχεια) Θεώρημα : (Το τετράγωο της τυπικής καοικής καταομής δίει χ με β.ε.) N ( μ, ) ( Χ μ ) Θεώρημα : Έτω Χ, Χ,..., Χ αεξάρτητες τ.μ. Τότε ιχύει: i i i N ( μ i, i) =,..., χ i = i i Θεώρημα 3: (Προθετική ιδιότητα) Έτω U, U,..., U k αεξάρτητες τ.μ. Τότε ιχύει: χ ( μ ) k i χ =,..., =, όπου i i χ = i i= i= U i k U U 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 9
Η καταομή της δειγματικής διαποράς Θεώρημα:Έτω Χ, Χ,..., Χ τ.δ. από πληθυμό με καταομή N (μ, ). Τότε ιχύει: α) η δειγματικήμέητιμήκαιηδειγματική διαπορά είαι αεξάρτητες τ.μ. και (β) ( ) ( Χ ) i i = = χ 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 0
Η καταομή t (tudet-t) t) Μια υεχής τ.μ. T έχει τη καταομή ότα η.π.π. είαι: Συμμετρική γύρω από το 0 t + (με βαθμούς ελευθερίας) + t Γ ( ) Γ ( ) ft () t = + < t < π E( T ) = 0, Var( T ) = Μέγιτητιμήτο0 Γραφική παράταη παρόμοια με τη τυπική καοική Ότα μεγαλώει αρκετά το η καταομή t υμπίπτει με τη τυπική καοική καταομή. ΟπίακαςΠ6 δίει τα ατίτροφα ποοτιαία ημεία,, δηλ. εκεία για τα οποία P( T t ) = a από έως 30 β.ε. Ιχύει ότι: t = t a, α, a, t α 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης
Η καταομή t (υέχεια) Θεώρημα : Έτω Ζ και U δύο αεξάρτητες τ.μ. και Ζ ~ Ν(0,) εώ U ~. Τότε χ T Z = U t Θεώρημα :Έτω Χ, Χ,..., Χ τυχαίο δείγμα από καοικό πληθυμό Ν(μ,). Τότε μ T = t (δηλ. η δειγματική μέη τιμή έχει καταομή t ότα το δείγμα προέρχεται από καοικό πληθυμό και η διαπορά είαι άγωτη) 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης
Καταομή της διαφοράς δειγματικώ μέω τιμώ Έτω Χ, Χ,..., Χ, τ. δ. απόπληθυμόμεμέητιμή μ και διαπορά και Χ, Χ,..., Χ, τ. δ. απόπληθυμόμεμέητιμή μ και διαπορά. Εά οι αριθμητικοί μέοι για το πρώτο και δεύτερο δείγμα είαι και, ατίτοιχα, τότε η διαφορά τους είαι τ.μ. και ιχύει: () Η μέη της τιμή ιούται με τη διαφορά τω μέω τιμώ του πληθυμού : E( ) = μ μ (η είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου μ μ ) () Εά επιπλέο τα δείγματα είαι αεξάρτητα και μεταξύ τους, τότε η διαπορά της διαφοράς και το τυπικό φάλμα της είαι: = Var( ) = + και = + 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 3
Καταομή της διαφοράς δειγματικώ μέω τιμώ τιμώ (υέχεια) (3) Έτω ότι τα τ.δ. προέρχοται από πληθυμούς με καοικές καταομές N (μ, ) και N (μ, ), ατίτοιχα. Τότε η δειγματοληπτική καταομή της.. είαι επίης καοική μέης τιμής μ μ και διαποράς. (4) Στη περίπτωη που οι διαπορές τω πληθυμώ είαι άγωτες αλλά ίες = =, τότε η τ.μ. T = + ( μ μ ) p + έχει καταομή. t +, όπου ( ) + ( ) p = + 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 4
Καταομή της διαφοράς ααλογιώ Έτω δύο πληθυμοί Berulli, όπου κάποιο υγκεκριμέο χαρακτηριτικό υπάρχει ε ααλογίες p και p, ατίτοιχα. Παίρουμε δύο αεξάρτητα τ. δ. μεγέθους και. Υπολογίζουμε τις δειγματικές ααλογίες ˆ και ˆ. Τότε εφ όο τα μεγέθη τω δειγμάτω είαι αρκετά μεγάλα, η καταομή της τ. μ. pˆ pˆ προεγγίζεται από τη καοική καταομή. Συεπώς: p = i i = Z p i i = = = pˆ pˆ ( p p ) pq p q + N (0,) Επίης προεγγιτικά ιχύει: Z = pˆ pˆ ( p p ) pq ˆ ˆ pˆ qˆ + N (0,) 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 5
Η καταομή F Μια υεχής τ.μ. F έχει καταομή F (με και β. ε.) ότα η.π.π. είαι: ( ) + ( ) Γ f ( ) f 0 + > Γ( ) Γ( ) g( f ) = + f 0 αλλού ( + ) E( F) =, ( > ) Var( ) =,( > 4) F ( 4)( ) Λοξή προς τα δεξιά και τείει α γίει υμμετρική ότα μεγαλώου αρκετά τα και. Ο πίακας Π7 δίει ατίτροφα ποοτιαία ημεία της για διαφορετικές τιμές τω και : P( F F ) = a av,, v 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 6
Η καταομή F (υέχεια) Θεώρημα: Έτω U και U αεξάρτητες τ.μ. και U U χ εώ U χ. Τότε, U όπου οι β.ε. του αριθμητή και οι β.ε. του παροοματή Λήμμα: Α F ~ F, τότε /F ~ F, και ιχύει F a,, = F a,, ότα F av,, v είαι το ημείο με PF ( < F ) = a. F = F av,, v 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 7
Καταομή του λόγου διαπορώ Έτω δύο πληθυμοί με καταομές N (μ, ) και N (μ, ), ατίτοιχα. Παίρουμε δύο αεξάρτητα τ. δ. μεγέθους και και έτω ς και ς οι δειγματικές διαπορές τους. Τότε ιχύει: = F, 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 8
ιατήματα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού () Πληθυμός καοικός N (μ, ) και γωτή διαπορά. (-α)% δ.ε γιατομ: ± z a () Πληθυμός καοικός N (μ, ) και άγωτη / διαπορά. (-α)% δ.ε γιατομ: ± t a /, (3) Πληθυμός αεξαρτήτου καταομής και αρκετά μεγάλο δείγμα : (-α)% δ.ε για το μ: ± z a / 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 9
.Ε. για τη διαφορά μ μ μέω τιμώ δύο πληθυμώ - με αεξάρτητα δείγματα () Πληθυμοί καοικοί N (μ, ), N (μ, ), και γωτές διαπορές. (-α)% δ.ε: () Πληθυμοί καοικοί N (μ, ), N (μ, ), και άγωτες αλλά ίες διαπορές. (-α)% δ.ε: ± t p + a, + όπου (3) Πληθυμοί αεξαρτήτου καταομής και αρκετά μεγάλα δείγματα. (-α)% δ.ε: ± z a / + ( ) + ( ) p = + ± z a / + 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 0
.Ε. για τη διαφορά μ μ μέω τιμώ δύο πληθυμώ - με δείγματα κατά ζεύγη Υποθέτουμε καοικούς πληθυμούς: N(μ, ) και N(μ, ) και τα δεδομέα αποτελούται από αεξάρτητα ζεύγη: (Χ, i Y ), i i =,,,. Υπολογίζουμε τις διαφορές: D i = Χ i -Y i και προκύπτει τ.δ. (τω διαφορώ) από καοικό πληθυμό με δειγματική μέη τιμή: D = Y. Ιχύει ότι: μ D = E( Y ) = E( ) E( Y ) = μ μ Το (-α)% δ.ε. για τη διαφορά μ -μ τω μέω τιμώ είαι: D ± t a /, D 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης
.Ε. για ααλογίες () Για τη ααλογία p εός πληθυμού Υποθέτουμε ότι το δείγμα είαι αρκετά μεγάλο. Το (-α)% δ.ε. είαι: pˆˆ q pˆ ± z a / () Για τη διαφορά p -p τω ααλογιώ δύο πληθυμώ Υποθέτουμε ότι τα δείγματα είαι αρκετά μεγάλα. Το (-α)% δ.ε. είαι: pˆ qˆ pˆ qˆ pˆ ˆ p ± z a / + 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης
.Ε. για διαπορές ()Για τη διαπορά εός πληθυμού Πληθυμός καοικός N (μ, ). Το (-α)% δ.ε. είαι: ( ) ( ), χ χ a, a, () Για το λόγο / τω διαπορώ δύο πληθυμώ Πληθυμοί καοικοί N (μ, ), N (μ, ). Το (-α)% δ.ε. είαι: F a,,, F a,, 007 Δειγματοληπτικές Καταομές - Διατήματα Εμπιτούης 3