ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Εισωή Η ημιοί τω μιικώ ιθμώ οφείλετι στη ποσπάθει επίλσης τω εξισώσεω ο θμού Α στη ax x x θέσομε x y κι a εκτελέσομε τις πάξεις τότε ποκύπτει μι εξίσωση της μοφής x px q Στις χές το 6ο ιώ οι Ιτλοί λειστές S del Ferro κι N Tartagla κάλψ μι μέθοο επίλσης τέτοιω εξισώσεω πο με σημειό σμολισμό ισομεί με το τύπο q q q p x D D όπο D Στη πείπτωση πο η ικίοσ D είι θετική ο τύπος τός ίει μέσως μι ίζ της εξίσωσης Γι πάειμ στη x 9x 8 είι D 69 κι ο τύπος ίει x πο είι η μοική πμτική ίζ Διπιστώθηκε ό- μως τότε έ φιόμεο τελείως ιφοετικό πό τη πείπτωση τω εξισώσεω ο θμού: Υπάχο εξισώσεις με πμτικές ίζες όπως ι πάειμ η x 5x πο έχει μι ποφή ίζ το οι άλλες ύο είι οι λλά η ικίοσ D είι ητική! Ο τύπος στη σκεκιμέη πείπτωση ίει x Όπως είι φεό οι μθημτικοί έθηκ εώ μποστά σε έ ίλημμ: ή θ έπεπε εκτλείψο τη μέθοο τω Ferro-Tartagla ως εική μέθοο επίλσης εξισώσεω ο θμού ή εχτού ότι ές σκεκιμέος ιθμός όπως το μποεί εκφστεί με πστάσεις πο πειέχο τετωικές ίζες ητικώ ιθμώ Η εύτεη άποψη φιότ ιόητη λλά τό ε εμπόισε τη εφμοή τω λεικώ πάξεω σε τέτοιες πστάσεις Στ μέσ το 6ο ιώ ο R Bombell κάοτς τολμηές ποθέσεις ήκε ότι To κεφάλιο τό έχει ληφθεί πό το ιλίο: «Μθημτικά Β Τάξης Ειίο Λκείο Θετικής Κτεύθσης» τω: Αμόπολο Λ Βισκοάκη Β Γλά Δ Πολύζο Γ κι Σέκο Α
86 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ισχύει κι Ατικθιστώτς τές τις ισότητες στη ποκύπτει μέσως ότι x ηλή το ιόητο ίετι πμτικότητ! Οι ιθμοί της μοφής a με πο οομάστηκ χικά φτστικοί κι ότε μιικοί έι πό τότε πόσπστο ελείο τω Μθημτικώ κι τω εφμοώ τος στις άλλες επιστήμες Ο J Hadamard ο οποίος το 896 πέειξε με χήση της μιικής άλσης το θεώημ τω πώτω ιθμώ έψε ότι: Ο στομότεος όμος άμεσ σε ύο λήθειες στο πείο τω πμτικώ πεά μέσ πό το πείο τω μιικώ Το Σύολο τω Μιικώ Αιθμώ Γωίζομε ότι η ετεοάθμι εξίσωση με ητική ικίοσ ε έχει λύση στο σύολο τω πμτικώ ιθμώ Ειικότε η εξίσωση x ε έχει λύση στο σύολο τω πμτικώ ιθμώ φού το τετάωο κάθε πμτικού ιθμού είι μη ητικός ιθμός Γι ξεπεάσομε τη μί τή ιεύομε το σύολο σε έ σύολο το οποίο έχει τις ίιες πάξεις με το τις ίιες ιιότητες τω πάξεω τώ κι στο οποίο πάχει μί τολάχιστο ίζ της εξίσωσης x ηλή έ στοιχείο τέτοιο ώστε Σύμφω με τις ποχές τές το ιεμέο σύολο θ έχει ως στοιχεί: Όλος τος πμτικούς ιθμούς Όλ τ στοιχεί της μοφής το κι πο είι ιόμε τω στοιχείω το με Όλ τ θοίσμτ της μοφής με κι πμτικούς ιθμούς Τ στοιχεί το λέοτι μιικοί ιθμοί κι το σύολο τω μιικώ ιθμώ Επομέως: Το σύολο τω μιικώ ιθμώ είι έ πεσύολο το σόλο τω πμτικώ ιθμώ στο οποίο: Επεκτείοτι οι πάξεις της πόσθεσης κι το πολλπλσισμού έτσι ώστε έχο τις ίιες ιιότητες όπως κι στο με το μηέ είι το οέτεο στοιχείο της πόσθεσης κι το έ το οέτεο στοιχείο το πολλπλσισμού Υπάχει έ στοιχείο τέτοιο ώστε Κάθε στοιχείο το άφετι κτά μοικό τόπο με τη μοφή όπο
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 87 Η έκφση + Î είι κιώς ότι λέμε μιικό ιθμό Είι η σύθεση ύο ιθμώ το πμτικού κι το το οποίο οομάζομε φτστικό ιθμό Ο λέετι πμτικό μέος το κι σημειώετι Re εώ ο λέετι φτστικό μέος το κι σημειώετι Im Ε- πιπλέο στο κάθε πμτικός ιθμός εκφάζετι ως εώ κάθε φτστικός ιθμός εκφάζετι ως Στη σέχει ότ λέμε ο μιικός εοούμε ότι οι κι είι πμτικοί ιθμοί κι το εοός τό ε θ τοίζετι ιιίτε Ισότητ Μιικώ Αιθμώ Επειή κάθε μιικός ιθμός άφετι με μοικό τόπο στη μοφή ύο μιικοί ιθμοί κι είι ίσοι κι μόο κι Δηλή ισχύει: κι Επομέως επειή έχομε κι Μετά το οισμό της ισότητς μιικώ ιθμώ ημιοείτι το εώτημ ιτάσσοτι οι μιικοί ιθμοί Γωίζομε ότι κτά τη επέκτση πό το στο οι πάξεις η ιάτξη κι οι ιιότητες τώ οι οποίες ισχύο στο μετφέοτι κι στο Τ ίι σμίο κι ι τις επεκτάσεις πό το στο κι πό το στο Στη επέκτση όμως πό το στο εώ οι πάξεις κι οι ιιότητες τώ πο ισχύο στο εξκολοθού ισχύο κι στο ε τούτοις η ιάτξη κι οι ιιότητές της ε μετφέοτι Γεωμετική Πάστση Μιικώ Kάθε μιικό ιθμό μποούμε το τιστοιχίσομε στο σημείο M εός κτεσιού επιπέο Αλλά κι τιστόφως κάθε σημείο M το κτεσιού τού επιπέο μποούμε το τιστοιχίσομε στο μιικό Το σημείο M λέετι εικό το μιικού A θέσομε τότε το σημείο M μποούμε το σμολίζομε κι με M Ο a x Έ κτεσιό επίπεο το οποίο τ σημεί είι εικόες μιικώ ιθμώ θ φέετι ως μιικό επίπεο Ο άξος x x λέετι πμτικός άξος φού ήκο σε τό τ σημεί M πο είι εικόες τω πμτικώ ιθμώ εώ ο άξος y y λέετι φτστικός άξος φού y M ή Μ
88 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ήκο σε τό τ σημεί M πο είι εικόες τω φτστικώ Ές μιικός OM το σημείο M πιστάετι επίσης κι με τη ισμτική κτί ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφω με το οισμό το η πόσθεση κι ο πολλπλσισμός ύο μιικώ ιθμώ ίοτι όπως κιώς κι οι τίστοιχες πάξεις με ιώμ x στο όπο έι τί ι x έχομε το Έτσι: Γι τη πόσθεση ύο μιικώ ιθμώ κι έχομε: Γι πάειμ 5 6 5 6 8 Γι τη φίεση το μιικού ιθμού πό το επειή ο τίθετος το μιικού είι ο μιικός έχομε: Δηλή Γι πάειμ 5 6 5 6 Α M κι M είι οι εικόες τω κι τιστοίχως στο μιικό επίπεο τότε το άθοισμ y M M+ + πιστάετι με το σημείο M Επομέως OM OM OM ηλή: M Ο x
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 89 Η ισμτική κτί το θοίσμτος τω μιικώ κι είι το άθοισμ τω ισμτικώ κτίω τος y Μ Επίσης η ιφοά Μ πιστάετι με το σημείο N Ο x Επομέως ON OM OM ηλή: Ν Μ Η ισμτική κτί της ιφοάς τω μιικώ κι είι η ιφοά τω ισμτικώ κτίω τος Γι το πολλπλσισμό ύο μιικώ κι έχομε: Δηλή Γι πάειμ 5 6 5 8 5 8 9 Ειικότε έχομε: το Ο ιθμός κι σμολίζετι με Δηλή λέετι σζής Επειή είι κι οι λέοτι σζείς μιικοί Τέλος ι εκφάσομε το πηλίκο όπο στη μοφή κ λ πολλπλσιάζομε τος όος το κλάσμτος με το σζή το ποομστή κι έχομε: Δηλή
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ 9 Γι πάειμ: 7 7 9 6 Δύμη Μιικού Οι άμεις εός μιικού ιθμού με εκθέτη κέιο οίζοτι κιώς όπως κι στος πμτικούς ηλή οίζομε: κι εικά ι κάθε θετικο κέιο με Επίσης οίζομε ι κάθε θετικό κέιο Γι τις άμεις τω μιικώ ιθμώ ισχύο οι ίιες ιιότητες πο ισχύο κι ι τις άμεις τω πμτικώ ιθμώ Ιιίτε ι τις άμεις το έχομε: Στη σέχει πτηούμε ότι είι: 7 6 5 ηλή μετά το οι τιμές το επλμάοτι Ά ι πολοίσομε σκεκιμέη ύμη το άφομε το εκθέτη στη μοφή όπο το πηλίκο κι το πόλοιπο της εκλείεις ιίεσης το με το οπότε έχομε: - Γι πάειμ: 9 6 5 Ιιότητες Σζώ Επειή οι σζείς μιικοί όπως θ ούμε στις επόμεες πάφος μς ιεκολύο στη μελέτη τω μιικώ ιθμώ θ φεθούμε ιιιτέως σε τούς
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Στο μιικό επίπεο οι εικόες M κι M ύο σζώ μιικώ κι είι σημεί σμμετικά ως πος το πμτικό άξο Γι ύο σζείς μιικούς ιθμούς κι μποούμε εύκολ με εκτέλεση τω πάξεω ιπιστώσομε ότι: Α κι είι ο μιικοί ιθμοί τότε: Οι ιιότητες τές μποού ποειχτού με εκτέλεση τω πάξεω Γι πάειμ έχομε: Οι ππάω ιιότητες κι ισχύο κι ι πεισσότεος πό ο μιικούς ιθμούς Είι ηλή: Ιιίτε είι τότε η τελετί ισότητ ίετι: Γι πάειμ 5 5 5 Ο x M M y
9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Επίλση της Εξίσωσης με κι Επειή κι η εξίσωση x έχει στο σύολο τω μιικώ ιθμώ ύο λύσεις τις x κι x Ομοίως η εξίσωση x έχει στο σύολο τω μιικώ ιθμώ ύο λύσεις τις x κι x φού ή Εύκολ όμως μποούμε ιπιστώσομε ότι κι κάθε εξίσωση εύτεο θμού με πμτικούς στελεστές έχει πάτ λύση στο σύολο C Πάμτι έστω η εξίσωση με κι Εζόμστε όπως στη τίστοιχη πείπτωση στο κι τη μετσχημτίζομε με τη μέθοο σμπλήωσης τετώω στη μοφή: Δ η ικίοσ της εξίσωσης Έτσι έχομε τις εξής πειπτώ- όπο σεις: Δ Δ Tότε η εξίσωση έχει ύο πμτικές λύσεις: Δ Tότε έχει μι ιπλή πμτική λύση: Δ Tότε επειή η εξίσωση ά- φετι: Δ Ά οι λύσεις της είι: Δ Δ Δ ι Δ Δ Δ οι οποίες είι σζείς μιικοί ιθμοί Γι πάειμ η εξίσωση 5 6 έχει Δ 5 κι οι λύσεις 5 5 της είι: Όμως η εξίσωση έχει Δ 8 κι οι λύσεις της είι οι σζείς μιικοί ιθμοί: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Πτηούμε ότι κι εώ ισχύο οι σχέσεις: κι ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Γι τις ιάφοες τιμές το θετικού κέιο πολοιστεί το άθοισμ S ΛΥΣΗ Οι ποσθετέοι το θοίσμτος έχο πλήθος κι είι ιοχικοί όοι εω- μετικής ποόο με πώτο όο κι λόο επίσης Επομέως S οπότε λόω της ισότητς της εκλείεις ιίεσης το με το έχομε τις εξής πειπτώσεις: Τότε οπότε S Τότε οπότε S Τότε οπότε S Τότε οπότε S Ν εθεί το σύολο τω εικόω τω μιικώ στις πειπτώσεις κτά τις οποίες ο ιθμός είι φτστικός πμτικός ΛΥΣΗ Α x y τότε: