Περιεχόμενα 5 Πειραματικοί Μέθοδοι Προσδιορισμού Μεγεθών Γραμμικών Συστημάτων Ρύθμισης 5. Γενικά..................................... 5.2 Αναλυτικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μετάβασης συστημάτων αυτόματης ρύθμισης..................... 3 5.2. Υπολογισμός της συνάρτησης μετάβασης από τη συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς.................. 3 5.2.2 Πραγματικό και φανταστικό κυκλικό διάγραμμα........ 9 5.2.3 Προσεγγιστική μέθοδος προσδιορισμού της συνάρτησης μετάβασης από την πραγματική συχνοτική απόκριση (Μέθοδος Τραπεζίου).............................. 6 5.2.4 Ποιοτικά συμπεράσματα για τη συνάρτηση μετάβασης και εκτίμηση χαρακτηριστικών τιμών.................... 24 5.2.5 Προσδιορισμός της συνάρτησης μετάβασης από το σχήμα των πόλων-μηδενικών θέσεων του κλειστού βρόχου ρύθμισης.... 28 5.3 Πειραματικοί μέθοδοι προσδιορισμού χαρακτηριστικών μεγεθών γραμμικών συστημάτων αυτόματης ρύθμισης................. 34 5.3. Προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης 34 5.3.. Σύγκριση των διαφόρων μεθόδων............ 34 5.3.2 Προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών από τη συνάρτηση μετάβασης του συστήματος..................... 36 5.3.2. Δυνατότητες εφαρμογών της μεθόδου της συνάρτησης μετάβασης......................... 36 5.3.2.2 Μέθοδος γραμμικής παράστασης της συνάρτησης μετάβασης για τον προσδιορισμό χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης............... 38 5.3.2.3 Μέθοδος ημιλογαριθμικής παράστασης της συνάρτησης μετάβασης για τον προσδιορισμό χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης........... 43 5.3.3 Προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης από την πειραματικά προσδιορισμένη συχνοτική απόκριση 45 i
5.3.4 Προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης από τη λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας και τη λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας (διάγραμμα Bode)............................. 5 5.3.4. Επιδιωκόμενη δομή της λογαριθμικής χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας του ανοιχτού βρόχου κατά τον σχεδιασμό συστημάτων ρύθμισης............ 5 5.4 Παραδείγματα σε Matlab.......................... 55 5.5 Ασκήσεις κεφαλαίου............................. 6 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου............................. 6 ii
Πειραματικοί Μέθοδοι Προσδιορισμού Μεγεθών Γραμμικών Συστημάτων Ρύθμισης 5 5. Γενικά Ο προσδιορισμός της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος αυτόματης ρύθμισης, αναφέρεται στις μεταφορικές και ως εκ τούτου στις μεταβατικές ιδιότητες του συστήματος. Είναι γνωστό ότι η λειτουργία ενός συστήματος αυτόματης ρύθμισης, επειδή δρουν ταυτόχρονα εξωτερικές αλλά και εσωτερικές στοχαστικές διαταραχές, είναι και δυναμικό φαινόμενο, η γνώση του οποίου αποτελεί βασική προϋπόθεση για το σχεδιασμό του συστήματος. Στα πλαίσια των σημειώσεων αυτών, θα εξεταστούν, μόνο γραμμικά συστήματα. Αυτό που γίνεται συνήθως όταν μελετώνται μη γραμμικά συστήματα είναι μια γραμμικοποίηση τους γύρω από το σημείο λειτουργίας το οποίο αποτελεί κατά κάποιο τρόπο μια προσεγγιστική εξέταση του προβλήματος. Για την πρακτική εξέταση του συστήματος γίνεται επομένως η παραδοχή, ότι για δύο στοιχεία μεταφοράς σε σειρά (συστήματα) το δεύτερο στοιχείο δεν επιδρά επί του πρώτου. Για τη γραμμικότητα του συστήματος ισχύει: Ένα φυσικό σύστημα θεωρείται γραμμικό όταν ισχύει η αρχή της επαλληλίας (Επαλληλία σημάτων χωρίς να επιδέχονται παραμόρφωση). Για πρακτικές εφαρμογές συστημάτων αυτόματης ρύθμισης η αρχή της επαλληλίας έχει την ακόλουθη σημασία:
Ενότητα 5. 2 Σχήμα 5.: Γραμμικό σύστημα και η αρχή επαλληλίας. x i (t) x i2 (t) K x i (t) + K 2 x i2 (t) Γραμμικό Σύστημα Γραμμικό Σύστημα x a (t) x a2 (t) K x a (t) + K 2 x a2 (t) Έστω ότι δύο διαφορετικά σήματα δρουν ταυτόχρονα στην είσοδο του ίδιου συστήματος x i (t) και x i2 (t), με τα αντίστοιχα σήματα εξόδου αυτών x a (t) και x a2 (t). Τότε από το γραμμικό σύστημα απαιτείται το σήμα εισόδου: K x i (t) + K 2 x i2 (t) να ανταποκρίνεται με το ακόλουθο σήμα εξόδου (σχήμα 5.). K x a (t) + K 2 x a2 (t) Επομένως τα γραμμικά συστήματα μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς εν γένει συντελεστές. Η γενική μορφή της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές δίνεται από την ακόλουθη σχέση: A d n x a (t) dt n B d m x i (t) dt m + B d n x a (t) + A +... + A dt n n x a (t) = d m x i (t) +... + B dt m m x i (t) (5.) όπου m n. Ο προσδιορισμός της δυναμικής συμπεριφοράς των Σ.Α.Ρ. (Συστήματα Αυτόματης Ρύθμισης) μπορεί να γίνει είτε με αναλυτικές μεθόδους, από τη συνάρτηση μεταφοράς ή τη συχνοτική απόκριση, όταν είναι γνωστή η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το σύστημα είτε πειραματικά, από τον προσδιορισμό της συνάρτησης μετάβασης ή της συχνοτικής απόκρισης, εφαρμόζοντας διάφορες γνωστές μεθόδους της θεωρίας των Σ.Α.Ρ. Στα πλαίσια αυτού του βιβλίου θα δοθούν αναλυτικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνάρτησης μετάβασης, απόκριση του συστήματος στη βηματική αλλαγή του
Ενότητα 5.2 3 σήματος εισόδου, αλλά ιδιαίτερη έμφαση θα δοθεί στις πειραματικές μεθόδους προσδιορισμού της δυναμικής συμπεριφοράς των συστημάτων και ιδιαίτερα στις μεθόδους για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών μεγεθών των συστημάτων, μεγέθη που προσδιορίζουν το σύστημα. 5.2 Αναλυτικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μετάβασης συστημάτων αυτόματης ρύθμισης 5.2. Υπολογισμός της συνάρτησης μετάβασης από τη συχνοτική απόκριση του στοιχείου μεταφοράς Η μέθοδος διαχωρισμού της συχνοτικής απόκρισης G(jω), απόκριση του συστήματος στην ημιτονοειδή αλλαγή του σήματος εισόδου, σε μέτρο και φάση, για τον προσδιορισμό των μεταφορικών ιδιοτήτων του συστήματος, θα θεωρηθεί γνωστή και θα εξεταστεί η μέθοδος διαχωρισμού της συχνοτικής απόκρισης σε πραγματικό και φανταστικό μέρος. Η προαναφερόμενη μέθοδος, δίνει νέες δυνατότητες για τον υπολογισμό τη συνάρτησης μετάβασης h(t) και ως εκ τούτου για τον προσδιορισμό της δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος. Για το διαχωρισμό της συχνοτικής απόκρισης σε πραγματικό και φανταστικό μέρος ισχύει: G(jω) = P (ω) + jq(ω) (5.2) όπου: P (ω) = το πραγματικό μέρος Q(ω) = το φανταστικό μέρος Από τη γνωστή σχέση: G(s) = L {g(t)} g(t) - συνάρτηση βάρους
Ενότητα 5.2 4 προκύπτει: G(jω) = = = g(t)e jωt dt g(t)(cos ωt j sin ωt)dt g(t) cos ωt j g(t) sin ωtdt Για το πραγματικό και φανταστικό μέρος της συχνοτικής απόκρισης ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: P (ω) = Q(ω) = g(t) cos ωtdt g(t) sin ωtdt (5.3) Από τη σχέση (5.3) προκύπτει: P (ω) = P ( ω) Q(ω) = Q( ω) (5.4) Επομένως το πραγματικό μέρος P (ω), είναι μια άρτια συνάρτηση του ω και το φανταστικό μέρος είναι μια περιττή συνάρτηση του ω. Στη συνέχεια θα αναπτυχθούν σχέσεις οι οποίες επιτρέπουν τον υπολογισμό της συνάρτησης μετάβασης, από το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος της συχνοτικής απόκρισης, για τον προσδιορισμό της δυναμικής συμπεριφοράς διαφόρων στοιχείων μεταφοράς των Σ.Α.Ρ. Για την ανάπτυξη των σχέσεων θα εξεταστεί ένα ευσταθές σύστημα με τη συνάρτηση μεταφοράς F (s). Από τη σχέση: X a (s) = F (s) X i (s) υπολογίζεται αρχικά η κατά Laplace μετασχηματισμένη H(s) της συνάρτησης μετάβασης h(t): H(s) = F (s) S (5.5)
Ενότητα 5.2 5 Επειδή το σύστημα είναι ευσταθές η συνάρτηση μεταφοράς F (s) έχει πόλους μόνο στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο και ως εκ τούτου ισχύει: H(s) = F (s) s = A s + K(s) (5.6) A=σταθερό. Η συνάρτηση K(s) έχει πόλους μόνο στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο και συμπίπτουν με τους πόλους της H(s). Από τη σχέση (5.6) προκύπτει: F (s) = A + sk(s) Για τον προσδιορισμό της σταθεράς A τίθεται όπου s = οπότε προκύπτει: A = F () και ως εκ τούτου η σχέση (5.6) λαμβάνει την ακόλουθη μορφή: H(s) = F () s + K(s) (5.7) Για τη συνάρτηση K(s) σύμφωνα με τις σχέσεις (5.5) και (5.7) ισχύει: H(s) = F (s) F () s (5.8) οπότε για τη συνάρτηση μετάβασης προκύπτει: { } F () h(t) = L {H(s)} = L + L {K(s)} (5.9) s Ο αντίστροφος μετασχηματισμός υπολογίζεται από τη σχέση: h(t) = F () (t) + C+j K(s)e st ds 2πj C j
Ενότητα 5.2 6 Επειδή η συνάρτηση K(s) έχει πόλους, μόνο, στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο, μπορεί να γίνει η επιλογή C = (δηλαδή η ολοκλήρωση γίνεται στον φανταστικό άξονα του μιγαδικού συστήματος συντεταγμένων): h(t) = F () (t) + +j K(s)e st ds 2πj j Με αντικατάσταση όπου s = jω προκύπτει: h(t) = F () (t) + + K(jω)e jωt dω (5.) 2π Η K(jω) προσδιορίζεται από τη σχέση (5.8): K(jω) = G(jω) G() jω Αντικαθιστώντας τη συχνοτική απόκριση G(jω) με το διαχωρισμό σε πραγματικό και φανταστικό μέρος προκύπτει: G(jω) = P (ω) + jq(ω) Επειδή η Q(ω) είναι σύμφωνα με τη σχέση (5.3), μία περιττή συνάρτηση του ω ισχύει: Q() = και F () = P () και ως εκ τούτου προκύπτει: K(jω) = P (ω) P () jω + Q(ω) ω = Q(ω) ω P () P (ω) + j ω (5.) Για το πραγματικό και φανταστικό μέρος της συνάρτησης K(jω) χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός: P r (ω) και Q r (ω)
Ενότητα 5.2 7 Επομένως ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: P r (ω) = Q(ω) ω P () P (ω) Q r (ω) = ω (5.2) όπου: P r (ω) είναι μια άρτια συνάρτηση και Q r (ω) περιττή συνάρτηση. Για τη συνάρτηση h r (t) από τη σχέση (5.) προκύπτει: h(t) = P () (t) + h r (t) (5.3) h r (t) = + [P r (ω) + jq r (ω)](cos ωt + j sin ωt)dω (5.4) 2π h r (t) = + [P r (ω) cos ωt Q r (ω) sin ωt]dω 2π + + 2π j [P r (ω) sin ωt + Q r (ω) cos ωt]dω (5.5) Επειδή η σχέση: [P r (ω) sin ωt + Q r (ω) cos ωt] είναι μια περιττή συνάρτηση του ω, μηδενίζεται το δεύτερο ολοκλήρωμα της σχέσης (5.5) και ως εκ τούτου προκύπτει η ακόλουθη σχέση: h r (t) = + [P r (ω) cos ωt Q r (ω) sin ωt]dω (5.6) 2π Επειδή η βηματική συνάρτηση αρχίζει να δρα στο σύστημα με το χρόνο t = ισχύει: h(t) = για t <
Ενότητα 5.2 8 Επομένως ο πρώτος παράγοντας στη σχέση (5.3) μηδενίζεται για t < και ως εκ τούτου ισχύει: h r (t) = για t < h r ( t) = για t > Από τα προαναφερόμενα προκύπτει: h r ( t) = + [P r (ω) cos ωt + Q r (ω) sin ωt]dω =, για t > (5.7) 2π Με πρόσθεση της σχέσης (5.7) στη σχέση (5.6) προκύπτει: h r (t) = π h r (t) = 2 π + P r (ω) cos ωtdω = 2 π Q(ω) ω P r (ω) cos ωtdω cos ωtdω (5.8) Με αφαίρεση της σχέσης (5.7) στη σχέση (5.6) προκύπτει: h r (t) = π = 2 π + + = P () 2 π Q r (ω) sin ωtdω Q r (ω) sin ωtdω sin ωt ω dω + 2 P (ω) sin ωtdω π ω Με αντικατάσταση: sin ωt dω = π/2 ω προκύπτει: P () + 2 π P (ω) ω sin ωtdω (5.9) Με αντικατάσταση των σχέσεων (5.8) και (5.9) στη σχέση (5.3) προκύπτουν οι ακόλουθες δύο σχέσεις για τον υπολογισμό της συνάρτησης μετάβασης h(t): h(t) = 2 π P (ω) ω sin ωtdω (5.2)
Ενότητα 5.2 9 h(t) = P () + 2 π Q(ω) ω cos ωtdω (5.2) Επομένως έγινε ο προσδιορισμός της συνάρτησης μετάβασης h(t) από τη συχνοτική απόκριση του συστήματος για t >. Για την περίπτωση t < ισχύει πάντα h(t) =. Με τη βοήθεια λοιπόν μιας εκ των σχέσεων (5.2) και (5.2) μπορεί να υπολογιστεί η συνάρτηση μετάβασης ενός Σ.Α.Ρ. για την περίπτωση που είναι γνωστό το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος της συχνοτικής απόκρισης. Επειδή ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων των σχέσεων (5.2) και (5.2) είναι γενικά πολύπλοκος, παρακάτω θα δοθεί μια προσεγγιστική μέθοδος για τον προσδιορισμό των ολοκληρωμάτων αυτών. Η προαναφερόμενη μέθοδος προαπαιτεί την γραφική παράσταση των συναρτήσεων P (ω) και Q(ω), η οποία μπορεί να γίνει, σχετικά πολύ εύκολα, με τη βοήθεια του πραγματικού και φανταστικού κυκλικού διαγράμματος που θα εξεταστεί στη συνέχεια. 5.2.2 Πραγματικό και φανταστικό κυκλικό διάγραμμα Με την εφαρμογή του πραγματικού και φανταστικού κυκλικού διαγράμματος επιτυγχάνεται η γραφική παράσταση του πραγματικού και φανταστικού μέρους της συχνοτικής απόκρισης, όταν είναι γνωστός ο γεωμετρικός τόπος της συχνοτικής απόκρισης του ανοιχτού συστήματος W (jω). Ο σχεδιασμός του πραγματικού και φανταστικού κυκλικού διαγράμματος γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο: το κλειστό σύστημα ρύθμισης συνδέεται με τη συχνοτική απόκριση του ανοιχτού βρόχου ρύθμισης με την ακόλουθη σχέση: Φ(jω) = W (jω) + W (jω) Με διαχωρισμό των σχέσεων W (jω) και Φ(jω), συχνοτική απόκριση του κλειστού βρόχου ρύθμισης σε πραγματικό και φανταστικό μέρος: W (jω) = U(ω) + jv (ω) Φ(jω) = P (ω) + jq(ω)
Ενότητα 5.2 προκύπτει: P + jq = U + jv ( + U) + jv (5.22) Μετά από διαχωρισμό της σχέσης (5.22) σε πραγματικό και φανταστικό μέρος προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: P = U( + U) + V 2 ( + U) 2 + V 2 (5.23) Q = V ( + U) 2 + V 2 (5.24) Στη συνέχεια σχεδιάζονται οι καμπύλες που προκύπτουν θέτοντας όπου P = σταθερό = C. Από τη σχέση (5.23) προκύπτει: U( + U) + V 2 = C[( + U) 2 + V 2 ] Με κατάλληλο μετασχηματισμό προκύπτει η εξίσωση που δίνει τη δέσμη των κύκλων στο U V επίπεδο: [ U + 2C ] 2 + V 2 = 2( C) 4( C) 2 (5.25) Η αρχή των συντεταγμένων των κύκλων δίνεται από το σημείο: [ 2C ] 2( C), j και οι ακτίνες είναι: r = 2( C) Η γραφική αυτή παράσταση της δέσμης των καμπυλών ονομάζεται πραγματικό κυκλικό διάγραμμα (σχήμα 5.2). Με την προϋπόθεση ότι P = σταθερό = C, προκύπτει στο U V επίπεδο επίσης μια δέσμη κύκλων, η οποία ονομάζεται φανταστικό κυκλικό διάγραμμα (σχήμα 5.3).
Ενότητα 5.2 Σχήμα 5.2: Πραγματικό κυκλικό διάγραμμα. 6 5 jv 4 3 2 2.5.2.3.7.8.85 U 3 4..9 5.5.95 6 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 Από τη σχέση (5.2) με Q = C προκύπτει: V = C [ ( + U) 2 + V 2] και (U + ) 2 + ( V ) 2 = (5.26) 2C 4C 2 Η αρχή των συντεταγμένων δίνεται από το σημείο: ( ), 2C και οι ακτίνες είναι: 2 C Η εφαρμογή των κυκλικών διαγραμμάτων για τη γραφική παράσταση του πραγματικού και φανταστικού μέρους της συχνοτικής απόκρισης ενός συστήματος, γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο: στο πραγματικό κυκλικό διάγραμμα χαράσσεται ο γεωμετρικός τόπος της συχνοτικής απόκρισης του ανοιχτού βρόχου ρύθμισης W (jω). Αν ο γεωμετρικός τόπος της συχνοτικής απόκρισης W (jω) τέμνει για τη συχνότητα
Ενότητα 5.2 2 Σχήμα 5.3: Φανταστικό κυκλικό διάγραμμα. 6 5 4.5..5.2 jv 3.3 2.4 U 2 3 -.4 -.3 4 -.2 5 -.5 -. -.5 6 9 8 7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 ω = ω, έναν κύκλο, ο οποίος ανήκει στην παράμετρο δέσμης C = C, τότε η πραγματική συχνοτική απόκριση P (ω) του κλειστού βρόχου, για ω = ω, έχει την τιμή C. Συνεχίζοντας την πρακτική αυτή, με περισσότερες κατάλληλα επιλεγμένες συχνότητες ω, προκύπτει η γραφική παράσταση της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης P (ω) του συστήματος. Με μία ανάλογη κατασκευή προκύπτει και η γραφική παράσταση της φανταστικής συχνοτικής απόκρισης, από το φανταστικό κυκλικό διάγραμμα. Για την καλύτερη κατανόηση του προβλήματος δίνεται στη συνέχεια ένα παράδειγμα από την πράξη. Παράδειγμα 5.2.. Η συνάρτηση μεταφοράς του ανοιχτού συστήματος του καζανιού προσυμπυκνώσεως τύπου Mangini, μιας γραμμής παραγωγής ντοματοπελτέ, προσδιορίστηκε πειραματικά με τη μέθοδο της βηματικής αλλαγής του σήματος εισόδου και δίνεται από την ακόλουθη σχέση: W (jω) = + jω = + ω ω 2 + ω j 2 Η επιλογή του απλού αυτού παραδείγματος έγινε σκόπιμα, για την σύγκριση των αποτελεσμάτων του κυκλικού διαγράμματος, με τα αποτελέσματα της αναλυτικής μεθόδου προσδιορισμού της συχνοτικής απόκρισης του κλειστού συστήματος Φ(jω).
Ενότητα 5.2 3 Για τη συχνοτική απόκριση του κλειστού συστήματος ισχύει: Φ(jω) = +jω + jω+ = 2 + jω Με διαχωρισμό σε πραγματικό και φανταστικό μέρος προκύπτει: P (ω) = 2 ω, Q(ω) = 4 + ω2 4 + ω 2 Στον πίνακα 5. δίνονται οι τιμές για την πραγματική και φανταστική συχνοτική απόκριση του κλειστού συστήματος. ω P (ω) ω Q(ω)..5...5.47.5.2..4..2.5.32.5.24 2.5.9 2.5.24 4....96 Πίνακας 5. Το πραγματικό κυκλικό διάγραμμα με τον γεωμετρικό τόπο της συχνοτικής απόκρισης W (jω) δίνεται στο σχήμα 5.4. Στο σχήμα 5.5 δίνεται η πραγματική συχνοτική απόκριση του κλειστού βρόχου ρύθμισης P (ω) που προσδιορίστηκε από το κυκλικό διάγραμμα. Το φανταστικό κυκλικό διάγραμμα με τον γεωμετρικό τόπο της συχνοτικής απόκρισης του ανοιχτού βρόχου ρύθμισης W (jω) δίνεται στο σχήμα 5.6. Η φανταστική συχνοτική απόκριση Q(ω) του κλειστού βρόχου ρύθμισης που προσδιορίζεται από το φανταστικό κυκλικό διάγραμμα δίνεται στο σχήμα 5.7. Από τη σύγκριση μεταξύ των τιμών του πίνακα 5. και των καμπυλών των σχημάτων 5.5 και 5.7, διαπιστώνεται η μεγάλη ακρίβεια που παρουσιάζουν τα κυκλικά διαγράμματα για τον προσδιορισμό της πραγματικής και φανταστικής συχνοτικής απόκρισης του κλειστού βρόχου ρύθμισης, από τον γεωμετρικό τόπο της συχνοτικής απόκρισης του ανοιχτού συστήματος.
Ενότητα 5.2 4 Σχήμα 5.4: Πραγματικό κυκλικό διάγραμμα με τον γεωμετρικό τόπο W (jω). 2 jv.5.6.4 2 ω.3 ω= U 2 3 2 2 Σχήμα 5.5: Πραγματική συχνοτική απόκριση του κλειστού συστήματος από σχήμα 5.4. P(ω).5.4.3.2. 2 3 4 5 ω
Ενότητα 5.2 5 Σχήμα 5.6: Φανταστικό κυκλικό διάγραμμα με τον γεωμετρικό τόπο W (jω). 2 jv ω ω= U -. -.5 -.2 -.3 -.4 2 3 2 2 Σχήμα 5.7: Φανταστική συχνοτική απόκριση του κλειστού συστήματος. 2 3 4 5 6 7 8 9..2 Q( )
Ενότητα 5.2 6 5.2.3 Προσεγγιστική μέθοδος προσδιορισμού της συνάρτησης μετάβασης από την πραγματική συχνοτική απόκριση (Μέθοδος Τραπεζίου) Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάστηκε η περίπτωση υπολογισμού της συνάρτησης μετάβασης, από την πραγματική και φανταστική συχνοτική απόκριση του συστήματος. Επειδή ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων των σχέσεων (5.2) και (5.2) είναι κατά κανόνα πολύ δύσκολος, δίνεται η ακόλουθη προσεγγιστική μέθοδος του W.W.Solodownikow [, 2] για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μετάβασης. Από τη σχέση (5.2): h(t) = 2 π P (ω) ω sin ωtdω αρχικά προσεγγίζεται η πραγματική συχνοτική απόκριση P (ω), με ένα πολύγωνο που συμβολίζεται με P (ω) (σχήμα 5.8i) για το οποίο ισχύει: P (ω) P (ω) (5.27) Με αρχή τα σημεία των γωνιών του πολυγώνου σχεδιάζονται παράλληλοι προς τον ω-άξονα (σχήμα 5.8i). Από το σχήμα 5.8i διαπιστώνεται ότι η συνάρτηση P (ω) μπορεί να παραστεί ως άθροισμα των συναρτήσεων p i (ω) (σχήμα 5.8ii), οι οποίες έχουν τη μορφή ενός τραπεζίου (σχήμα 5.9). Τα τραπέζια προσδιορίζονται από το ύψος p oi αυτών και τις συχνότητες ω di και ω si. Σχήμα 5.9: Πραγματική συχνοτική απόκριση σε μορφή τραπεζίου.
Ενότητα 5.2 7 P(ω) i P o ω d ωs ω
Ενότητα 5.2 8 Σχήμα 5.8: Διαχωρισμός της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης ενός συστήματος σε τραπέζια. P( ) ~ P( ) P( ) (i) P( ) p 2 p p 3 p 4 (ii)
Ενότητα 5.2 9 Σύμφωνα με τα σχήματα 5.8 και 5.9 ισχύει: p oi για ω ω di [ ] p i (ω) = p oi ω ω di ω si ω di για ω di ω ω si για ω > ω si (5.28) Από τη σχέση (5.27) προκύπτει: n P (ω) = p i (ω) (5.29) i= Με αντικατάσταση της σχέσης (5.29) στη σχέση (5.2) προκύπτει μία προσέγγιση h(t) για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μετάβασης h(t): h(t) = 2 π n = i= + 2 π n i= + p i (ω) ω p i (ω) ω sin ωtdω n sin ωtdω = h i (t) (5.3) i= όπου: h i (t) = 2 π + p i (ω) ω sin ωtdω (5.3) Ως εκ τούτου οι συναρτήσεις h i (t) είναι συναρτήσεις μετάβασης στοιχείων, των οποίων η πραγματική συχνοτική απόκριση έχει μορφή τραπεζίου. Με αντικατάσταση της σχέσης (5.28) στη σχέση (5.3) προκύπτει: h i (t) = 2 π p oi ωdi sin ωt ω dω + ωsi ω di ω si ω sin ωt dω (5.32) ω si ω di ω Για την απλούστευση των περαιτέρω υπολογισμών εφαρμόζεται το ολοκλήρωμα του ημιτόνου: S i (t) = t sin θ dθ (5.33) θ
Ενότητα 5.2 2 S i (t) = α sin ωt dω (5.34) ω όπου α =σταθερά. Από τις σχέσεις (5.32) και (5.34) προκύπτει: h i (t) = 2 π p oi S i(ω di t) (5.35) ω si + [S i (ω si t) S i (ω di t)] ω si ω di [ ] cos ωsi t cos ω di t + ω si ω di t Με αντικατάσταση: k = ω d ω s ( k ) (5.36) και εφαρμογή της συνάρτησης h(t, k) προκύπτει: h(t, k) = 2 π S i(k, t) + [ S i (t) S i (k, t) + k ] cos t cos kt t (5.37) Από τα προαναφερόμενα ισχύει: ( ) t h i = p oi h(t, ki ) ω si όπου k i = ω di ω si Από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει η σημαντική σχέση: h i (t) = p oi h(ωsi t, k i ) (5.38)
Ενότητα 5.2 2 Σύμφωνα με τη σχέση (5.38) η συνάρτηση μετάβασης h i (t) μπορεί να προσδιορισθεί για τυχαίες τιμές των p oi, ω si και ω di. Για τον υπολογισμό της προσεγγιστικής συνάρτησης μετάβασης h(t) καθορίζονται κατ αρχάς οι τιμές του πρωτεύοντος ορίσματος t, για τις οποίες θα υπολογιστεί η συνάρτηση h(t). Οι συναρτήσεις μετάβασης h i (t) πρέπει επίσης να υπολογιστούν για αυτά τα σημεία. Ο υπολογισμός των επιμέρους προσεγγιστικών συναρτήσεων μετάβασης για κάθε τραπέζιο p i (ω) γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Η αντίστοιχη συνάρτηση μετάβασης h i (t) καθορίζεται από τις παραμέτρους p oi, ω di και ω si. Αρχικά υπολογίζεται ο «συντελεστής κλίσης» k από τη σχέση (5.36). Στη συνέχεια προσδιορίζονται οι τιμές των h(t, k i ) για τα πρωτεύοντα ορίσματα t = ω si t οι οποίες πρέπει να πολλαπλασιαστούν με το ύψος p oi του τραπεζίου. Με αυτόν τον τρόπο προσδιορίζεται η συνάρτηση h i (t) στις θέσεις t. Μετά από τον προσδιορισμό των συναρτήσεων μετάβασης των αντίστοιχων τραπεζίων, προστίθενται για κάθε τιμή της t οι συναρτήσεις h i (t ), όπου (i =,..., n), με αποτέλεσμα να προκύπτουν οι προσεγγιστικές συναρτήσεις μετάβασης h(t) στις θέσεις t. Σημειώνεται ότι τα τραπέζια μπορεί να εξελιχθούν σε τρίγωνα και σε ορθογώνια. Στις ειδικές αυτές περιπτώσεις αντιστοιχεί «ο συντελεστής κλίσης» k = και k =. Παράδειγμα 5.2.2. Δίνεται το παράδειγμα 5.2. με την ακόλουθη συχνοτική απόκριση του κλειστού βρόχου ρύθμισης: Φ(jω) = 2 + jω Η πραγματική συχνοτική απόκριση είναι γνωστή από το σχήμα 5.5. Στο σχήμα 5. δίνεται η ίδια καμπύλη με την κατάλληλη κλίμακα. Τα τέσσερα τραπέζια του σχήματος 5. ορίζονται από τα ακόλουθα σημεία: p (ω) : p o =. ω d =. ω s =.2 k =. p 2 (ω) : p o2 =.25 ω d2 =.2 ω s2 = 2.7 k 2 =.44 p 3 (ω) : p o3 =. ω d3 = 2.7 ω s3 = 5.5 k 3 =.49 p 4 (ω) : p o4 =.5 ω d4 = 5.5 ω s4 = 5. k 4 =.37 Ο υπολογισμός των συναρτήσεων h i (t) δίνεται στον πίνακα 5.2.
Ενότητα 5.2 22 Σχήμα 5.: Πραγματική συχνοτική απόκριση της Φ(jω). P( ).5.4.3 2.2. 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 t t ω s h(ωs t, k ) h (t ) t ω s2 h(ωs2 t, k 2 ) h 2 (t )........5.6.89.9.35.585.46..2.367.37 2.7.982.245.5.8.525.53 4.5.27.282 2. 2.4.655.66 5.4.97.274 t t ω s3 h(ωs3 t, k 3 ) h 3 (t ) t ω s4 h(ωs4 t, k 4 ) h 4 (t )........5 2.75.4. 7.5.6.5. 5.5.87.9 5..987.49.5 8.25.967.97 22.5.6.5 2...992.99 3..998.5 Πίνακας 5.2: Υπολογισμός των συναρτήσεων h i (t). Με πρόσθεση των τιμών των συναρτήσεων h i (t) προκύπτουν οι τιμές της προσεγγιστικής συνάρτησης μετάβασης h(t) που δίνονται στον πίνακα 5.3. Από τη σχέση: X a (s) = F (s) X i (s)
Ενότητα 5.2 23 t h(t ) h (t ) h 2 (t ) h 3 (t ) h 4 (t ).......5.37.9.46..5..44.37.245.9.49.5.482.53.282.97.5 2..489.66.274.99.5 Πίνακας 5.3: Τιμές της προσεγγιστικής συνάρτησης μετάβασης. προκύπτει η αναλυτικά προσδιορισμένη συνάρτηση μετάβασης του συστήματος: H(s) = Φ(s) s = s(2 + s) = /2 s /2 s + 2 h(t) = 2 2 e 2t Στο σχήμα 5. δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης μετάβασης του κλειστού βρόχου ρύθμισης. Σχήμα 5.: Συνάρτηση μετάβασης του κλειστού βρόχου ρύθμισης. h(t).5.4.3.2..5.5 2 2.5 t Από τη σύγκριση των τιμών του πίνακα 5.3 και της αναλυτικά προσδιορισμένης
Ενότητα 5.2 24 συνάρτησης μετάβασης διαπιστώνεται, ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση, οι αποκλίσεις των τιμών της προσεγγιστικής συνάρτησης μετάβασης, από τις τιμές της αναλυτικά προσδιορισμένης είναι τόσο ελάχιστες, που βρίσκονται μέσα στα γενικά όρια της ακρίβειας σχεδιάσεως της καμπύλης. Γενικά όμως η ακρίβεια της μεθόδου του τραπεζίου, εξαρτάται από την ακρίβεια της γραφικής παράστασης της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης P (ω) και την επιλογή του πολυγώνου. 5.2.4 Ποιοτικά συμπεράσματα για τη συνάρτηση μετάβασης και εκτίμηση χαρακτηριστικών τιμών Με τη βοήθεια της σχέσης (5.2) μπορούν να δοθούν ποιοτικά συμπεράσματα για τη μεταβατική συμπεριφορά του συστήματος, όταν είναι γνωστή η πραγματική συχνοτική απόκριση του συστήματος P (ω) και να γίνει μια πρώτη εκτίμηση για τα χαρακτηριστικά μεγέθη διαφόρων στοιχείων του συστήματος.. Αλλαγή της κλίμακας κατά μήκος του άξονα συντεταγμένων. Από τη σχέση (5.2): h(t) = 2 π P (ω) ω sin ωtdω nh(t) = 2 π np (ω) ω sin ωtdω (5.39) Σύμφωνα με τη σχέση (5.39) αν μεταβληθεί η κλίμακα του άξονα των τεταγμένων της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης P (ω) κατά n-φορές, τότε μεταβάλλεται και η κλίμακα της συνάρτησης μετάβασης h(t) κατά μήκος του άξονα των τεταγμένων με την ίδια αναλογία. 2. Μεταβολή της κλίμακας του άξονα των τετμημένων. Με αντικατάσταση όπου nω = ω από τη σχέση (5.2) προκύπτει: h( t n ) = 2 π P (nω) ω sin ωtdω (5.4) Σύμφωνα με τη σχέση (5.4) αν μεταβληθεί η κλίμακα της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης κατά μήκος του ω-άξονα κατά τον συντελεστή n, τότε η
Ενότητα 5.2 25 κλίμακα της συνάρτησης μετάβασης h(t) στον t-άξονα, μεταβάλλεται κατά τον συντελεστή /n, και ως εκ τούτου εξάγεται το συμπέρασμα, ότι όσο πιο ομαλή είναι η καμπύλη της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης P (ω) ενός συστήματος, τόσο πιο σύντομο είναι το μεταβατικό φαινόμενο h(t) του συστήματος (σχήμα 5.2). 3. Προσδιορισμός της τιμής της συνάρτησης μετάβασης για t : Σύμφωνα με τον κανόνα για τις οριακές τιμές του μετασχηματισμού κατά Laplace ισχύει: lim t (s) h(t) = lim sf s s Με αντικατάσταση όπου s = jω προκύπτει: = lim s F (s) G(jω) = P (ω) + jq(ω)
Ενότητα 5.2 26 Σχήμα 5.2: Πραγματικές συχνοτικές αποκρίσεις ενός συστήματος και οι αντίστοιχες συναρτήσεις μετάβασης. P( ) P( ) P( 2 ) Ι ΙΙ (i) h(t) h 2 (t) h (t) ΙΙ Ι t (ii)
Ενότητα 5.2 27 Επειδή Q() = ισχύει: lim h(t) = lim [P (ω) + jq(ω)] = lim P (ω) = P () (5.4) t ω ω Επομένως η τιμή της συνάρτησης μετάβασης ενός συστήματος ρύθμισης για t είναι ίση με την αρχική τιμή της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης. 4. Προσδιορισμός της αρχικής τιμής της συνάρτησης μετάβασης ενός συστήματος από την πραγματική συχνοτική απόκριση. Ανάλογα με το σημείο 3 από τον κανόνα της οριακής τιμής του μετασχηματισμού κατά Laplace προκύπτει: lim h(t) = lim P (ω) (5.42) t ω Επομένως η αρχική τιμή h() της συνάρτησης μετάβασης h(t) του συστήματος, είναι ίση με την οριακή τιμή της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης P (ω) για ω. 5. Ασυνεχείς θέσεις και αιχμές της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης. Για το σκοπό αυτό θα εξεταστεί ένα στοιχείο μεταφοράς, του οποίου η πραγματική συχνοτική απόκριση P (ω) έχει την ασυνεχή θέση ω = ω i με αποτέλεσμα να ισχύει: [P (ω)] ω ω (5.43) το οποίο σημαίνει: [G(jω)] ω ω (5.44) Από τη σχέση (5.44) εξάγεται το συμπέρασμα, ότι ο παρονομαστής της συχνοτικής μεταφοράς G(s), για s = jω i, έχει μια μηδενική θέση. Επομένως η χαρακτηριστική εξίσωση του στοιχείου μεταφοράς έχει μια ρίζα στον φανταστικό άξονα του μιγαδικού συστήματος συντεταγμένων. Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι, όταν η πραγματική συχνοτική απόκριση ενός συστήματος P (ω) έχει μια ασυνεχή θέση ω, τότε το σύστημα ρύθμισης βρίσκεται στο όριο ευστάθειας.
Ενότητα 5.2 28 Για την πρακτική εφαρμογή του συστήματος το γεγονός αυτό σημαίνει ότι αιχμές στην καμπύλη της πραγματικής συχνοτικής απόκρισης δεν είναι επιθυμητές, γιατί οι αιχμές έχουν ως αποτέλεσμα να θέτουν το σύστημα στο όριο ευστάθειας. 6. Συνθήκες για το εύρος υπέρβασης του ορίου της ταλάντωσης. Για την περίπτωση που η πραγματική συχνοτική απόκριση P (ω) είναι μια θετική για ω μη αυξανόμενη συνάρτηση όπου: P (ω), dp dω τότε το εύρος υπέρβασης του ορίου της ταλάντωσης δεν υπερβαίνει το 8%. Για την περίπτωση που η πραγματική συχνοτική απόκριση έχει ένα μέγιστο P max, τότε για την υπέρβαση ισχύει: σ% <.8P max P () % P () 7. Αναγκαία συνθήκη (αλλά όχι όμως και ικανή) για την μονότονη μεταφορά του μεταβατικού φαινομένου στην μόνιμη κατάσταση είναι η συνθήκη. P (ω) P () Οι κανόνες 6 και 7 παρέχονται χωρίς απόδειξη. Για μια εκτενέστερη ανάλυση μπορεί να ανατρέξει κανείς στην σχετική βιβλιογραφία [, 2, 3]. 5.2.5 Προσδιορισμός της συνάρτησης μετάβασης από το σχήμα των πόλων-μηδενικών θέσεων του κλειστού βρόχου ρύθμισης Το σχήμα των πόλων-μηδενικών θέσεων του κλειστού βρόχου ρύθμισης προσδιορίζεται από τον γεωμετρικό τόπο ριζών, για κάθε συντελεστή ενίσχυσης K του ανοιχτού βρόχου. Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος μπορεί να δοθεί στη γνωστή μορφή: Φ(s) = K (s s )...(s s m ) s(s s )(s s 2 )...(s s n ) (5.45)
Ενότητα 5.2 29 όπου m < n. Για την περίπτωση που στο κλειστό σύστημα ρύθμισης δράσει η διαταραχή (t), τότε για τη μετασχηματισμένη κατά Laplace H(s) της συνάρτησης μετάβασης ισχύει: H(s) = Φ(s) s = K (s s )...(s s m ) s(s s )(s s 2 )...(s s n ) (5.46) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός της H(s) θα γίνει με διαχωρισμό σε μερικά κλάσματα. Η δομή της σχέσης που προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό εξαρτάται, από το αν οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του κλειστού συστήματος Φ(s) είναι όλοι πραγματικοί (απλοί ή πολλαπλοί) ή είναι συζυγείς μιγαδικοί. Στη συνέχεια θα εξεταστεί ο τρόπος προσδιορισμού των συντελεστών των μερικών κλασμάτων από το σχήμα των πόλων-μηδενικών θέσεων του συστήματος. Ο διαχωρισμός σε μερικά κλάσματα έχει την ακόλουθη μορφή: [ H(s) = K c s + c s s + c 2 s s +... + c ] n 2 s s n (5.47) Με αντίστροφο μετασχηματισμό προκύπτει: h(t) = K [ c + c e s t + c 2 e s 2 t +... + c n e s n t ], για t Οι συντελεστές c k, όπου (k =,..., n), προσδιορίζονται με τον ακόλουθο τρόπο: Αρχικά ισχύει: H(s)/K = Φ(s)/K s Μετά τον πολλαπλασιασμό με (s s k ) τίθεται όπου s = s k. Ο συντελεστής c προσδιορίζεται πολλαπλασιάζοντας τη σχέση H(s)/K με s και
Ενότητα 5.2 3 θέτοντας όπου ϵ =, δηλαδή όταν στη σχέση Φ(s)/K θέσουμε τη μιγαδική μεταβλητή s ίση με μηδέν: c k = H(s)(s s k = K ) s=s k (s k s ) +... + (s k s m ) s k (s k s )...(s k s k )...(s k s n ) (5.48) όπου k =...n. c = Φ(s) K = ( s )...( s m ) s= ( s )...( s n ) (5.49) Ο συντελεστής c k (k =,..., n) προσδιορίζονται από το σχήμα των πόλων-μηδενικών θέσεων του κλειστού συστήματος, μετρώντας τις αποστάσεις όλων των μηδενικών θέσεων από τον k πόλο. Κατ αρχήν για το μέτρο του συντελεστή c k ισχύει: c k = Γινόμενο των αποστάσεων όλων των μηδενικών θέσεων από τον πόλο s k Γινόμενο των αποστάσεων όλων των άλλων πόλων από τον πόλο s k Για το πρωτεύον όρισμα c k ισχύει: (5.5) m arg(c k ) = arg(s k s i ) i= n arg(s k s j ) 8 o (5.5) j= j k Επειδή όμως έγινε παραδοχή ότι οι s j είναι πραγματικοί ισχύει: arg(s k s j o για s j αριστερά του s k ) = 8 o για s j δεξιά του s k Για τις μηδενικές θέσεις ισχύει ανάλογα το ίδιο με τη μόνη διαφορά, ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση μπορούν να προκύψουν ζεύγη συζυγών μιγαδικών μηδενικών θέσεων. Οι φάσεις των εκφράσεων (s k s i ) που ανήκουν σε δύο συζυγείς μιγαδικές μηδενικές θέσεις συμπληρώνονται στις o και ως εκ τούτου είναι χωρίς επίδραση.
Ενότητα 5.2 3 Για πραγματικές μηδενικές θέσεις ισχύει ανάλογα με το τους πραγματικούς πόλους: arg(s k o για s i αριστερά του s k s i ) = 8 o για s i δεξιά του s k Επομένως για τους συντελεστές c k προκύπτει: c k = c k e j (r+) 8o = c k ( ) r+ (5.52) όπου r είναι ο αριθμός των πραγματικών μηδενικών-θέσεων και πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του κλειστού συστήματος Φ(s), που βρίσκονται δεξιά του πόλου s k. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει: c k = ± Γινόμενο των αποστάσεων όλων των μηδενικών θέσεων από το πόλο s k Γινόμενο των αποστάσεων όλων των άλλων πόλων από το πόλο s k Κανόνας για το πρόσημο: (5.53) Στη σχέση (5.53) το θετικό πρόσημο ισχύει, όταν ο αριθμός των πόλων και μηδενικών θέσεων της συνάρτησης μεταφοράς του κλειστού συστήματος Φ(s), που βρίσκονται δεξιά του πόλου s k, είναι περιττός. Το αρνητικό πρόσημο ισχύει, όταν ο αριθμός των πόλων και μηδενικών θέσεων της Φ(s), που βρίσκονται δεξιά του πόλου s k, είναι άρτιος. Παράδειγμα 5.2.3. Δίνεται ο γεωμετρικός τόπος ριζών (σχήμα 5.3) ενός συστήματος το οποίο σε κατάσταση ανοιχτού βρόχου έχει την ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς: s + 2 W (s) = K (s + )(s + 3)(s + 6) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μετάβασης του συστήματος για K = 2. Λύση: Κατ αρχάς προσδιορίζεται το σχήμα των πόλων-μηδενικών θέσεων του κλειστού συστήματος (σχήμα 5.4) από τον γεωμετρικό τόπο ριζών (σχήμα 5.3). Οι πόλοι του κλειστού συστήματος είναι:
Ενότητα 5.2 32 Σχήμα 5.3: Γεωμετρικός τόπος ριζών. 3 j 2 2 3 8 6 4 2 2 4 s.2 s = 2 s 2 3.45 s 3 5.35 Επομένως για τη συνάρτηση μετάβασης h(t) ισχύει: h(t) = K [ c + c e.2t + c 2 e 3.45t + c 3 e 5.35t] για t και K = K = 2.
Ενότητα 5.2 33 j Σχήμα 5.4: Σχήμα πόλων-μηδενικών θέσεων του κλειστού βρόχου. * * * P 3 P 2 P P 6 5 4 3 2 Οι συντελεστές c και c k (k =, 2, 3) προσδιορίζονται από τις σχέσεις (5.49) και (5.48): s 2 c = s s 2 s = 3.2 3.45 5.35 =.9.8 c =.2 2.25 4.5 =.7, 45 c 2 = 3.45 2.25.9 =.98 3.35 c 3 = 5.35.9 4.5 =.79 Με αντικατάσταση των συντελεστών προκύπτει: h(t) = 2 [.9.7e.2t.98e 3.45t +.79e 5.35t] για t Η καμπύλη της συνάρτησης μετάβασης δίνεται στο σχήμα 5.5.
Ενότητα 5.3 34 Σχήμα 5.5: Συνάρτηση μετάβασης. h(t).8.6.4.2..8.6.4.2.5.5 2 2.5 3 3.5 4 t 5.3 Πειραματικοί μέθοδοι προσδιορισμού χαρακτηριστικών μεγεθών γραμμικών συστημάτων αυτόματης ρύθμισης 5.3. Προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης 5.3.. Σύγκριση των διαφόρων μεθόδων Ο προσδιορισμός των μεταφορικών ιδιοτήτων γραμμικών στοιχείων μπορεί να γίνει από την πειραματικά προσδιορισμένη συνάρτηση μετάβασης, την πειραματικά προσδιορισμένη συχνοτική απόκριση ή από τις στατιστικές μετρήσεις στοχαστικών σημάτων εισόδου και εξόδου.
Ενότητα 5.3 35 Ο πειραματικός προσδιορισμός της συνάρτησης μετάβασης συστημάτων ρύθμισης, χωρίς εσωτερικές διαταραχές, είναι σχετικά εύκολος και επιτρέπει τον προσδιορισμό της δυναμικής συμπεριφοράς συστημάτων ρύθμισης με ικανοποιητική ακρίβεια, για πρακτικές εφαρμογές. Η εφαρμογή των διαφόρων άλλων γνωστών μεθόδων, περιορίζεται στον προσδιορισμό των παραμέτρων των συστημάτων ρύθμισης το ανώτερο μέχρι 3 ου βαθμού. Για περιπτώσεις συστημάτων ρύθμισης ανώτερου βαθμού μπορούν να γίνονται, μόνο, γενικές προσεγγίσεις, όπως π.χ. η μέθοδος ίσων σταθερών χρόνου. Η μέθοδος πειραματικού προσδιορισμού της συχνοτικής απόκρισης απαιτεί πολύ χρόνο και ιδιαίτερα στις περιπτώσεις εκείνες που πρόκειται για τον προσδιορισμό της συχνοτικής απόκρισης συστημάτων ρύθμισης με μεγάλη καθυστέρηση, γιατί σε κάθε μέτρηση είναι απαραίτητη η αναμονή της μόνιμης κατάστασης του συστήματος. Κατά τον πειραματικό προσδιορισμό της συχνοτικής απόκρισης επιτυγχάνεται μεγαλύτερη ακρίβεια, επιλέγοντας την ταχύτητα της συνεχούς αλλαγής της συχνότητας, ίση με τη συχνότητα μέτρησης. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση, μέτρηση συχνοτικής απόκρισης, εφαρμόζοντας όργανα μέτρησης που σχηματίζουν το γινόμενο των παραμέτρων μέτρησης (μέτρηση ισχύος) επιτυγχάνεται η απαλοιφή διαταραχών, των οποίων η συχνότητα δεν είναι ακριβώς η ίδια με τη συχνότητα του σήματος εισόδου του συστήματος (σχήμα 5.6). Σχήμα 5.6: Πειραματικός προσδιορισμός της συχνοτικής απόκρισης. ιεργ. 2 A Γεννητ. ~ 2 B Οι μέθοδοι της στατιστικής ανάλυσης συστημάτων αυτόματης ρύθμισης επιτρέπουν την εξέταση σε λειτουργία συστημάτων με εσωτερικές διαταραχές, χωρίς την επιβολή εξωτερικών σημάτων διαταραχής. Σχετικά πολύ μικρά στοχαστικά σήματα εισόδου χρησιμοποιούνται μόνο σε ειδικές περιπτώσεις. Για την αξιολόγηση των συναρτήσεων συσχέτισης που προκύπτουν από την στατιστική εξέταση του συστήματος και στην συνέχεια προσδιορισμό της δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος, ισχύουν οι ίδιες δυνατότητες με τη μέθοδο της συνάρτησης μετάβασης.
Ενότητα 5.3 36 5.3.2 Προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών από τη συνάρτηση μετάβασης του συστήματος 5.3.2. Δυνατότητες εφαρμογών της μεθόδου της συνάρτησης μετάβασης Ο προσδιορισμός της χρονικής σταθεράς καθυστέρησης και της χρονικής σταθεράς προπορείας, από τη συνάρτηση μετάβασης του συστήματος, απλών στοιχείων μεταφοράς, μπορεί να γίνει εύκολα από τα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά που δίνονται στον πίνακα 5.4. Τα χαρακτηριστικά μεγέθη του T 2 -στοιχείου (στοιχείο με ταλάντωση) προσδιορίζονται από την πειραματικά ή αναλυτικά προσδιορισμένη συνάρτηση μετάβασης με βάση τα κατασκευαστικά μεγέθη της συνάρτησης μετάβασης (ή συχνοτικής απόκρισης) που δίνονται στα σχήματα 5.7 και 5.8. Σχήμα 5.7: Γεωμετρικός τόπος, F (s) = +2DsT. +s 2 T 2 Im /2D =/T Re Για συστήματα ρύθμισης υψηλότερου του τρίτου βαθμού, η γραφική-αναλυτική
Ενότητα 5.3 37 [ Σχήμα 5.8: Συνάρτηση μετάβασης, όπου T m = πt, h = exp D 2 πd D 2 ]. h(t) h T m t μέθοδος προσδιορισμού των χαρακτηριστικών μεγεθών του συστήματος γίνεται συνήθως πολύπλοκος και χωρίς την απαιτούμενη ακρίβεια, με αποτέλεσμα να εφαρμόζεται η μέθοδος προσέγγισης του συστήματος με n ίσες σταθερές χρόνου. Η ακρίβεια της προαναφερόμενης μεθόδου των, n ίσων σταθερών χρόνου, είναι ικανοποιητική για την πρακτική εξέταση συστημάτων ρύθμισης υψηλότερου του τρίτου βαθμού. Καλύτερα αποτελέσματα δίνει βέβαια η μέθοδος της πειραματικής εξέτασης της δυναμικής συμπεριφοράς συστημάτων ρύθμισης με τη βοήθεια ενός υπολογιστή. Με τη μέθοδο του υπολογιστή, για την πειραματική εξέταση των συναρτήσεων μετάβασης του συστήματος, επιτυγχάνεται ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης με καθυστέρηση και προπορεία καθώς επίσης συστημάτων με φθίνουσα και μη φθίνουσα ταλάντωση. Η προαναφερόμενη μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί ακόμη και στην περίπτωση των μη βηματικών απεριοδικών σημάτων εισόδου του συστήματος. Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν δύο μέθοδοι, με βάση τη συνάρτηση μετάβασης, προσδιορισμού των χαρακτηριστικών μεγεθών τεχνικών συστημάτων ρύθμισης, από τις οποίες η πρώτη ασχολείται με τη γραμμική παράσταση της συνάρτησης μετάβασης, που αποτελεί κατά κάποιο τρόπο τη συμπλήρωση της μεθόδου - προσδιορισμός των τιμών για τη βαθμονόμηση των ρυθμιστών με βάση την καλύτερη προσέγγιση της συνάρτησης μετάβασης της διεργασίας ρύθμισης - και η δεύτερη
Ενότητα 5.3 38 μέθοδος χρησιμοποιεί την ημιλογαριθμική παράσταση της συνάρτησης μετάβασης, η οποία θεωρητικά μπορεί να εφαρμοστεί για τον προσδιορισμό περισσότερων από δύο σταθερών χρόνου. Οι περιορισμένες όμως δυνατότητες που υπάρχουν στην πράξη, για την ακριβή μέτρηση της περιοχής εκκίνησης της συνάρτησης μετάβασης, περιορίζουν πρακτικά και αυτή τη μέθοδο στον προσδιορισμό μέχρι δυο σταθερών χρόνου. 5.3.2.2 Μέθοδος γραμμικής παράστασης της συνάρτησης μετάβασης για τον προσδιορισμό χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης Η σταθερά καθυστέρησης T ενός T -στοιχείου, αναλογικό στοιχείο με καθυστέρηση ης τάξης, προσδιορίζεται ως εφαπτόμενη της καμπύλης της συνάρτησης μετάβασης και η εφαπτομένη μπορεί να τεθεί σε οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης μετάβασης (σχήμα 5.9). Ακριβέστερος προσδιορισμός της σταθεράς χρόνου T του T -στοιχείου επιτυγχάνεται με τη βοήθεια των ακόλουθων σημείων ελέγχου της συνάρτησης μετάβασης: h(t ) =.63 (5.54) h(, 2T ) =.7 (5.55) h(3t ) =.95 (5.56) Στο σχήμα 5.9 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης μετάβασης του T - στοιχείου. Η συνάρτηση μετάβασης του T 2 -στοιχείου, αναλογικό στοιχείο μεταφοράς με καθυστέρηση 2 ας τάξης, με τις σταθερές χρόνου T > T 2 δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις: h = h + h 2 (5.57)
Ενότητα 5.3 39 h = T T T 2 e t/t (5.58) h 2 = T 2 T T 2 e t/t 2 (5.59) Από το σχήμα 5.2 συμπεραίνεται, ότι για μεγαλύτερους χρόνους t ισχύει μόνο η περιοχή: h = h Σχήμα 5.9: Συνάρτηση μετάβασης του T -στοιχείου. h(t) T 3T T.9.8.7.6.5.4.3.2. T=s 2 3 4 5 6 t της συνάρτησης μετάβασης με τη σταθερά χρόνου T. Επομένως η σταθερά χρόνου T μπορεί να προσδιοριστεί ως εφαπτόμενη της συνάρτησης μετάβασης, όταν η εφαπτομένη τεθεί στο δεύτερο μέρος της συνάρτησης μετάβασης, για το οποίο προφανές ισχύει η σταθερά χρόνου T (σχήμα 5.2). Ως δεύτερο χαρακτηριστικό μέγεθος της συνάρτησης μετάβασης του συστήματος ισχύει ο χρόνος t.7, για τον οποίο η συνάρτηση μετάβασης φτάνει στο 7% της τελικής τιμής: h(t.7 ) =.7 (5.6)
Ενότητα 5.3 4 Σχήμα 5.2: Συνάρτηση μετάβασης ενός T 2 -στοιχείου. h(t) T.8.6.4.2 h 2 h -h T =s T =.2s 2.2.5.5 2 2.5 t Για τον χρόνο t.7 ισχύει: t.7 =.2(T + T 2 ) (5.6) Από τη σχέση (5.6) προκύπτει η ακόλουθη σχέση, για την σταθερά χρόνου T 2 του συστήματος: T 2 = t.7.2 T (5.62) Το συστηματικό σφάλμα που συνδέεται με τη σχέση (5.62) είναι πάντα <.7%. Για την περίπτωση εκείνη που ισχύει: T T 2 είναι προφανές ότι δεν μπορεί να γίνει εφαρμογή της μεθόδου γραμμικής παράστασης της συνάρτησης μετάβασης για τον προσδιορισμό των δύο σταθερών χρόνου T και T 2 και εφαρμόζεται η προσεγγιστική μέθοδος των n ίσων σταθερών χρόνου.
Ενότητα 5.3 4 Πίνακας 5.4: Βασικά στοιχεία ρύθμισης με τη συνάρτηση μεταφοράς, το γεωμετρικό τόπο και τη συνάρτηση μετάβασης αυτών. Τύπος Συνάρτηση Γεωμετρικός Συνάρτηση Μεταφοράς Τόπος Μετάβασης Im h(t) P -στοιχ. K s K p Re K p t Im h(t) I -στοιχ. K T s K Re K t Im h(t) K p D -στοιχ. K D s Re t Im h(t) T T -στοιχ. +st.5 Re -.5j ω=/t t Im h(t) T T 2 -στοιχ. (+st )(+st 2 ) (TT) -/2 2 T+T 2 Re ω.7 -/2 ω=(tt) 2.2(T+T) 2 (T>T) 2 t Im h(t) h -πd h=exp[ (-D) /2] T 2 -στοιχ. +2DsT +s 2 T 2 /2D Re ω ω=/t T = πt m (-D) /2 t T D -στοιχ. + st D Im ωt D - Re h(t) t
Ενότητα 5.3 42 Πίνακας 5.4: Συνέχεια. Im h(t) T S -στοιχ. e T Re t Im h(t) Kp T P T -στοιχ. K s +st Kp Re Im =/T h(t) t I T -στοιχ. K t s(+st ) Re KT KT Im /T h(t) T t D T -στοιχ. K D s +st Re Kp/ T Kp T Im h(t) T T t T T S -στοιχ. e st +st Re Ti t Im h(t) T T T D -στοιχ. +st D +st T > T D Tp/T Re Tp T Im =/T /T h(t) t T D T -στοιχ. +st D +st T < T D TD T Re TD T T t
Ενότητα 5.3 43 5.3.2.3 Μέθοδος ημιλογαριθμικής παράστασης της συνάρτησης μετάβασης για τον προσδιορισμό χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης Γνωστό είναι ότι με την ημιλογαριθμική παράσταση μιας απλής εκθετικής συνάρτησης προκύπτει μια ευθεία (σχήμα 5.2). Στη συγκεκριμένη περίπτωση η σταθερά χρόνου T προσδιορίζεται από την διαφορά δύο τιμών των τετμημένων που ανήκουν σε δύο τιμές τεταγμένων που διαφέρουν μεταξύ των κατά τον συντελεστή e. Σχήμα 5.2: Ημιλογαριθμική παράσταση της συνάρτησης μετάβασης h = e t/t, όπου T = sec. T lge h 2 2 3 3.5 t Για τον προσδιορισμό των σταθερών χρόνου T και T 2 αναλογικών συστημάτων ρύθμισης 2 ης τάξης, δεν σχεδιάζεται η συνάρτηση μετάβασης, αλλά η διαφορά αυτής από την τελική τιμή στην μόνιμη κατάσταση: h = h = h h 2 (5.63) όπου h και h 2 οι συναρτήσεις που δίνονται από τις σχέσεις (5.58) και (5.59). Με αυτόν τον τρόπο, για μεγαλύτερους χρόνους t, προκύπτει μία - μόνο - ευθεία, η οποία εξαρτάται από την συνάρτηση h, για τον προσδιορισμό της σταθεράς χρόνου T (σχήμα 5.22).
Ενότητα 5.3 44 Η δεύτερη σταθερά χρόνου της διεργασίας ρύθμισης T 2 προσδιορίζεται από την ευθεία h 2 σχεδιάζοντας τις αποκλίσεις από την ευθεία (ή ευθείες h 2 ) αυτή, h 2 = h h (σχήμα 5.22 γραμμοσκιαστή περιοχή) για μικρότερους χρόνους t. Η μέθοδος μπορεί να συνεχιστεί για τον προσδιορισμό τρίτης (T 3 ) και περισσοτέρων σταθερών χρόνου. Το αυξανόμενο σφάλμα, που παρουσιάζεται για μικρότερους χρόνους t, περιορίζει όμως την ακρίβεια και αυτής της μεθόδου μέχρι τρεις το ανώτερο σταθερές χρόνου. Σχήμα 5.22: Ημιλογαριθμική παράσταση της συνάρτησης h = h h 2 και T = 5T 2 = s. h * h T h 2 lge h lge T 2 2 2 3 3.5 t
Ενότητα 5.3 45 5.3.3 Προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης από την πειραματικά προσδιορισμένη συχνοτική απόκριση Ο προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών από τον πειραματικά προσδιορισμένο γεωμετρικό τόπο της συχνοτικής απόκρισης, είναι σχετικά πιο εύκολος και παρουσιάζει μεγαλύτερη ακρίβεια για διεργασίες ρύθμισης των οποίων η συνάρτηση μεταφοράς δεν κατέχει τέλειες μηδενικές θέσεις. Η προσεγγιστική αυτή μέθοδος προσδιορισμού χαρακτηριστικών μεγεθών, χρησιμοποιεί ως προσέγγιση του πειραματικά προσδιορισμένου γεωμετρικού τόπου της συχνοτικής απόκρισης: G(jω) = U(ω) + jv (ω) = G(jω) e jφ(ω) (5.64) μια προσεγγιστική συχνοτική απόκριση που περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση: G (jω) = K (jω) m [ + n i= a i (jω) i ] = G (jω) e jφ (ω) (5.65) Επομένως για τον προσδιορισμό της προσεγγιστικής συχνοτικής απόκρισης της διεργασίας ρύθμισης, που δίνεται από τη σχέση (5.65), απαιτείται ο προσδιορισμός των παραμέτρων K, m και a i, i =,..., n. Προσδιορισμός των παραμέτρων m και n: Η παράμετρος m ισούται με τον αριθμό των τεταρτοκυκλίων του G(jω)-επιπέδου που βρίσκονται, με αρνητική μαθηματική κατεύθυνση (κατεύθυνση δεικτών του ρολογιού), μεταξύ του θετικού πραγματικού άξονα του ορθογωνίου μιγαδικού συστήματος και του τεταρτοκυκλίου στο οποίο αρχίζει ο γεωμετρικός τόπος της συχνοτικής απόκρισης με ω = (σχήμα 5.23). Η παράμετρος n ισούται με τον αριθμό των τεταρτοκυκλίων στο G(jω)- επίπεδο που τέμνει ο γεωμετρικός τόπος της συχνοτικής απόκρισης (σχήμα 5.23). Για την περίπτωση που η συνάρτηση μεταφοράς της συγκεκριμένης διεργασίας ρύθμισης ή του συστήματος αυτόματης ρύθμισης δεν κατέχει τέλειες μηδενικές θέσεις, το πραγματικό σύστημα ρύθμισης και το σύστημα που προσεγγίζεται με τη βοήθεια της σχέσης (5.65) είναι της ίδιας τάξεως n.
Ενότητα 5.3 46 Σχήμα 5.23: Προσδιορισμός των παραμέτρων m, n και επιλογή των σημείων της γραμμικής παρεμβολής για τον προσδιορισμό των συντελεστών α i. jv 3 2 ( ) 3 4 m= ( n=j ) i ( ) 2 ( ) m= n=4 Προσδιορισμός των συντελεστών α i : Οι n συντελεστές a i προσδιορίζονται από τον υπολογισμό της σχέσης: Φ (ω ) Φ(ω i ) = (5.66) όπου i =, 2,..., n, για n σημεία μέτρησης του γεωμετρικού τόπου της συχνοτικής απόκρισης. Για τον προσδιορισμό των συντελεστών a i προκύπτουν ιδιαίτερα απλές σχέσεις, όταν γίνει η επιλογή ως πρώτου σημείου (ω ) της γραμμικής παρεμβολής το σημείο εκείνο, για το οποίο ισχύει για πρώτη φορά: U(ω) = V (ω) και ως επόμενα (ω 2,, ω n ) σημεία της γραμμικής παρεμβολής επιλέγονται τα n σημεία τομής του γεωμετρικού τόπου της συχνοτικής απόκρισης, με τους άξονες του ορθογωνίου μιγαδικού συστήματος συντεταγμένων (σχήμα 5.23), για τα οποία ισχύει: U(ω) = ή V (ω) =
Ενότητα 5.3 47 Από τα προαναφερόμενα προκύπτει: Φ(ω ) = mπ/2 π/4 (5.67) Φ(ω i ) = mπ/2 (i )π/2 (5.68) όπου i = 2, 3,..., n. Επομένως για τους συντελεστές a i της προσεγγιστικής συχνοτικής απόκρισης της διεργασίας ρύθμισης ισχύει: a = ω ( ω 2 /ω 2 2)( ω 2 /ω 2 4)( ω 2 /ω 2 6) ( ω 2 /ω 2 3)( ω 2 /ω 2 5)( ω 2 /ω 2 7) (5.69) a 2 = ω 2 2 + ω 2 4 + ω 2 6 (5.7) ) a 3 = a ( ω 2 3 + ω 2 5 + ω 2 7 (5.7) a 4 = ω 2 2ω 2 4 + ω 2 2ω 2 6 + ω 2 4ω 2 6 (5.72) a 5 = a ( ω 2 3ω 2 5 + ω 2 3ω 2 7 + ) ω5ω 2 7 2 (5.73) a 6 = ω 2 2ω 2 4ω 2 6 (5.74) a 7 = ω 2 3ω 2 5ω 2 7 (5.75)
Ενότητα 5.3 48 Από τις σχέσεις (5.69) ως (5.75) συμπεραίνεται, ότι για τον προσδιορισμό των συντελεστών a i απαιτείται μόνο ο προσδιορισμός των συχνοτήτων ω, ω 2,..., ω n, οι οποίες πληρούν τις σχέσεις (5.67) και (5.68). Για την συγκεκριμένη περίπτωση που ισχύει n < 7 όλες οι συχνότητες ω i με i > n στις σχέσεις (5.69) και (5.75) τίθενται ίσες με το άπειρο.
Ενότητα 5.3 49 Προσδιορισμός της παραμέτρου K Ο προσδιορισμός της παραμέτρου K της προσεγγιστικής συχνοτικής απόκρισης γίνεται από την ενίσχυση του συστήματος ρύθμισης στη μόνιμη κατάσταση ή από το εύρος της συχνοτικής απόκρισης G(jω ) στο σημείο της γραμμικής παρεμβολής, ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου m. Για την περίπτωση που η παράμετρος m είναι ίση με μηδέν, η παράμετρος K προσδιορίζεται από την μέτρηση της στατιστικής ενίσχυσης, ενίσχυση του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση: K = lim ω F (jω) (5.76) Αν όμως η παράμετρος m, είναι μεγαλύτερη του μηδενός, τότε η παράμετρος K προσδιορίζεται από την μέτρηση του μέτρου F (ω), για τη συχνότητα ω (σχέση (5.67)), σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση: K = F (ω ) 2ω m ( ω2 ω 2 2 )( ω2 ω 2 4 )( ω2 ) (5.77) ω6 2 Για τις περιπτώσεις εκείνες, που οι συναρτήσεις μεταφοράς των συστημάτων ρύθμισης κατέχουν τέλειες μηδενικές θέσεις, είναι δύσκολος ο προσδιορισμός της τάξης του παρονομαστή και του αριθμητή, από το γεωμετρικό τόπο της συχνοτικής απόκρισης και ως εκ τούτου η εφαρμογή της μεθόδου γίνεται πολύπλοκη.
Ενότητα 5.3 5 5.3.4 Προσδιορισμός χαρακτηριστικών μεγεθών συστημάτων ρύθμισης από τη λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας και τη λογαριθμική χαρακτηριστική φάσης-συχνότητας (διάγραμμα Bode) 5.3.4. Επιδιωκόμενη δομή της λογαριθμικής χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας του ανοιχτού βρόχου κατά τον σχεδιασμό συστημάτων ρύθμισης Η επιδιωκόμενη δομή της λογαριθμικής χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας του ανοιχτού βρόχου κατά τον σχεδιασμό συστημάτων αυτόματης ρύθμισης είναι περίπου της μορφής του σχήματος 5.24. Σχήμα 5.24: Επιθυμητή λογαριθμική χαρακτηριστική εύρους-συχνότητας. I II III lg F / s Κατά την εξέταση της λογαριθμικής χαρακτηριστικής εύρους-συχνότητας γίνεται διαχωρισμός της καμπύλης σε τρεις περιοχές (Ι, ΙΙ, ΙΙΙ) με τα ακόλουθα όρια: ω/ω s =.5 ω/ω s =. ή αντίστοιχα: ω/ω s = ω/ω s = 2 (σχήμα 5.24) Περιοχή Ι (ω/ω s =.5)
Ενότητα 5.3 5 Η περιοχή Ι έχει επίδραση κυρίως στη συμπεριφορά του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση, στατική συμπεριφορά, και η επίδραση της στη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος είναι τόσο ελάχιστη που μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η απαιτούμενη κλίση της συχνοτικής απόκρισης στις χαμηλές συχνότητες, εξαρτάται από τη φύση της μεταβλητής καθοδήγησης W (t) ή αντίστοιχα από τη φύση της διαταραχής z(t). Για να επιτευχθεί μια συγκεκριμένη μόνιμη ρυθμιστική απόκλιση x w, της ρυθμιζόμενης μεταβλητής κατά τη βηματική αλλαγή της μεταβλητής καθοδήγησης, ασκεί μόνο η σύνδεση ενός αναλογικού στοιχείου (P-στοιχείο) στο σύστημα ρύθμισης. Αν όμως μεταβάλλεται γραμμικά ή τετραγωνικά, η μεταβλητή καθοδήγησης τότε είναι απαραίτητη η σύνδεση ενός ολοκληρωτικού στοιχείου (Ι-στοιχείο) πρώτης ή δεύτερης τάξης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση οι συντελεστές σφάλματος προσδιορίζονται άμεσα από το σημείο τομής με την τεταγμένη ω. Για περιοδικές διαταραχές προσδιορίζονται κατ αρχάς τα εύρη της βασικής και των υπόλοιπων αρμονικών z i (ω i ) που μεταφέρονται στην έξοδο της διεργασίας ρύθμισης και στη συνέχεια με διαίρεση των ευρών με τη μέγιστη επιτρεπόμενη ρυθμιστική απόκλιση x ωεπιτ. προκύπτει η απαιτούμενη ενίσχυση του συστήματος για τις επιλεγόμενες συχνότητες ω i. Μεταφέροντας τα προαναφερόμενα αποτελέσματα στο διάγραμμα Bode προσδιορίζεται σχετικά πολύ εύκολα η απαιτούμενη συχνοτική απόκριση του συστήματος για τις χαμηλές συχνότητες. Για τις περιπτώσεις εκείνες που δίνεται η γραφική παράσταση των γενικών σημάτων εισόδου του συστήματος εφαρμόζεται η προαναφερόμενη μέθοδος, προσαρμόζοντας τις ημιτονοειδείς ταλαντώσεις και στη συνέχεια προσδιορίζονται τα εύρη και οι συχνότητες. Περιοχή ΙΙ (.5 < ω/ω s < 2) Η περιοχή ΙΙ προσδιορίζει την δυναμική συμπεριφορά του συστήματος ρύθμισης. Για την ύπαρξη ευστάθειας και την επίτευξη μιας ικανοποιητικής απόσβεσης για το φαινόμενο αντιστάθμισης του συστήματος απαιτείται η συχνότητα τομής ω s, του εύρους της συχνοτικής απόκρισης, να παρουσιάζει μια κλίση K =. Η συχνότητα τομής ω s περιορίζεται προς τα κάτω από τον μέγιστο επιτρεπόμενο χρόνο
Ενότητα 5.3 52 ταλάντωσης, χρόνος ως προς το μέγιστο της ταλάντωσης T m : T m π/ω s Περιορισμός ως προς τις υψηλές συχνότητες υφίσταται όταν η ρυθμιζόμενη μεταβλητή δεν επιτρέπεται να υπερβεί μια συγκεκριμένη επιτάχυνση (d 2 x/dt 2 ) max. Για την περίπτωση που ω max είναι το μέγιστο εύρος της βηματικής αλλαγής προκύπτει: ( d 2 ) x dt 2 max W max ω 2 s (5.78) και ως εκ τούτου για τη συχνότητα τομής ισχύει: [( d 2 ) ] /2 x π/t m < ω s < /W dt 2 max (5.79) max Στη συγκεκριμένη περίπτωση συχνότητες διαταραχής, για τις οποίες ισχύει, ω < ω s δεν μεταφέρονται. Γι αυτό το λόγο η επιλογή της συχνότητας τομής ω s (σχήμα 5.25), πρέπει να γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε για όλες τις συχνότητες διαταραχής να ισχύει: ω < ω s ή ω >> ω s (5.8) Το μήκος της μέσης περιοχής συχνοτήτων με την κλίση K = προσδιορίζει το περιθώριο φάσης και ως εκ τούτου και την απόσβεση (εύρος υπέρβασης ταλάντωσης) του συστήματος ρύθμισης. Το κατώτατο όριο της περιοχής αυτής βρίσκεται συνήθως στην περιοχή Ι, η οποία όπως είναι γνωστό, δεν έχει καμία επίδραση στη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Ένα ανώτατο όριο με μια σταθερά χρόνου T = /ω δίνει σε σχέση με ω /ω s = T s /T = α το εύρος υπέρβασης της ταλάντωσης h. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ισχύει T s = /ω s η αντίστροφη τιμή της συχνότητας τομής. Από τις συναρτήσεις μετάβασης συμπεραίνεται η διαφορετική αξιολόγηση των κριτηρίων του εύρους υπέρβασης και του χρόνου αντιστάθμισης του συστήματος.