www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε ότι g g, για κάθε ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g g g 4. Δίνονται οι συναρτήσεις. Να βρείτε τις συναρτήσεις: i. S g ii. P g iii., T g και g 1, 5. Δίνεται η συνάρτηση σύνολο 5 7, η οποία έχει πεδίο ορισμού το i. Να αποδείξετε ότι 1 ii. Να βρείτε την τιμή του έτσι, ώστε η καμπύλη της να διέρχεται από το σημείο A1, 1 Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
6. Δίνεται η συνάρτηση καμπύλης της συνάρτησης www.apodeiis.gr 4. Να βρείτε τα κοινά σημεία της i. με τον άξονα ii. με τον άξονα yy 7. Δίνεται η συνάρτηση, i. Να βρείτε τα κοινά σημεία της καμπύλης της με τον άξονα ii. Να λύσετε την ανίσωση 0 iii. Να βρείτε τα κοινά σημεία της καμπύλης της με την ευθεία y 8. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο i. Να λύσετε την εξίσωση 0 ii. Να λύσετε την ανίσωση 0 iii. Να βρείτε τους,, αν ο τύπος της συνάρτησης είναι για κάθε y O 1 1 y 9. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y Γ 0,1,, όπου,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. i. Να αποδείξετε ότι 1 O y A B ii. Να βρείτε πόσες ρίζες έχει η εξίσωση 0 iii. Να αποδείξετε ότι 4 0 Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
10. Δίνεται η συνάρτηση 5 i. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. ii. Για κάθε 1 ισχύει η σχέση 0 www.apodeiis.gr 4 5,. Να αποδείξετε ότι: 11. Δίνεται η συνάρτηση 9 ln i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. e, 1. Δίνεται η συνάρτηση i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να βρείτε το κοινό σημείο της καμπύλης της με τον άξονα yy iii. Να λύσετε την ανίσωση 1 1. Δίνεται η συνάρτηση, 0, i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. 1 1 ii. Να βρείτε την τιμή iii. Να λύσετε την ανίσωση 4 1 14. Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης με πεδίο ορισμού το διέρχεται από τα σημεία A 1, και B,7 i. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να λύσετε την ανίσωση 1 7 Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
6 1, 15. Δίνεται η συνάρτηση i. Να λύσετε την ανίσωση 0 www.apodeiis.gr ii. Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1 0 4 16. Δίνονται οι συναρτήσεις g 1,. Να αποδείξετε ότι: 4 6, και i. η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για ii. η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό μέγιστο για 1 iii. η καμπύλη της g βρίσκεται κάτω από την καμπύλη της 17. Δίνεται η συνάρτηση 1 4 Ν αποδείξετε ότι: i. για κάθε, ii. η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. 18. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού y 4 B, 4 το σύνολο. Να βρείτε: i. τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης ii. τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης A 0,1 O 6 Γ 6, 19. Να υπολογίσετε τα όρια: 4 7 i. 1 ii. 4 1 iii. 5 0 e 1 Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
0. Να υπολογιστούν τα όρια: i. 16 5 ii. 56 9 iii. www.apodeiis.gr 0 4 5 1. Να υπολογίσετε τα όρια: i. 7 ii. 4 5 4 4. Να υπολογίσετε τα όρια: i. 4 0 ii. ln 1 ln ln ln. Έστω δύο συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το σύνολο A,1 1, και τέτοιες ώστε Να υπολογίσετε τα όρια: i. g 1. 4. Δίνεται η συνάρτηση i. Να υπολογίσετε το όριο 1 και g 1 1 ii g 1 5 6,, ii. Να βρείτε την τιμή του, ώστε η να είναι συνεχής στο 5. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο 1,4, να υπολογίσετε τα όρια: i. 1 ii. 1 4 4 Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com o
www.apodeiis.gr 6. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε 1 για κάθε 1 i. Να αποδείξετε ότι ii. Να βρείτε την τιμή 1 7. Δίνεται η συνάρτηση της συνάρτησης στο σημείο o 0 για κάθε 1,. Να βρείτε την παράγωγο 6 h h 5h για 8. Έστω μια συνάρτηση τέτοια ώστε κάθε h i. Να υπολογίσετε την παράγωγο της στο ii. Αν επιπλέον η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο A, έχει εξίσωση y, να αποδείξετε ότι:. 5. 7 o 9. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και τέτοια ώστε 1 h 1 h 4h για κάθε h i. Να αποδείξετε ότι 1 4 ii. Αν επιπλέον ισχύει η σχέση. Την τιμή 1 8, να βρείτε:. Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο A 1, 1 Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
0. Η ευθεία www.apodeiis.gr με εξίσωση y 5 εφάπτεται στη γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο i. Να βρείτε την τιμή ii. Να αποδείξετε ότι 1 1 5 A 1, 1 7 1. Η εφαπτομένη της καμπύλης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο της A 1,0 σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 o i. Να βρείτε την τιμή 1 ii. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας iii. Να αποδείξετε ότι 1 h 1 h0 h. Δίνεται η συνάρτηση ln, 0, i. Να αποδείξετε ότι ii. Να βρείτε το όριο 1 ln h ln h 0 h. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: 1 i., 5 ii., 0 iii. e, Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
4. Δίνεται η συνάρτηση συν i. Να βρείτε τη συνάρτηση, www.apodeiis.gr ii. Να αποδείξετε ότι, για κάθε 8 5. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: i. 1 5,. iii. ln, 0 iv. ii, 1 e, 6. Δίνεται η συνάρτηση,. Να βρείτε τις συναρτήσεις: i.. ii 7. Έστω, g δύο συναρτήσεις οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο και τέτοιες ώστε g, για κάθε i. Να αποδείξετε ότι g, για κάθε ii. Αν επιπλέον ισχύει η σχέση. Την τιμή g 1 8, να βρείτε: 1. Την γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της καμπύλης της g στο σημείο A, g με τον άξονα 8. Έστω, g, h τρεις συναρτήσεις οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο και τέτοιες ώστε h g 5, g, g για κάθε. Να βρείτε: 5 5 10 και Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
i. την τιμή h ii. την τιμή h iii. Την εξίσωση της ευθείας συνάρτησης στο h στο σημείο www.apodeiis.gr που εφάπτεται στην καμπύλη της A, h 9 9. Δίνεται η συνάρτηση i. Να βρείτε τη συνάρτηση ii. Να αποδείξετε ότι e 1, 0 h 1 h0 h 40. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το ορθογώνιο OAB. Το σημείο B βρίσκεται στο τεταρτημόριο. i. Να αποδείξετε ότι 0 ii. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, ως προς, όταν 1 y y Γ 0, O B, A,0 41. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα τρεις πλευρές μιας ορθογώνιας περιοχής εμβαδού 100 είναι m, τότε: m. Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί i. Να εκφράσετε το μήκος του συρματοπλέγματος ως συνάρτηση του ii. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του μήκους του συρματοπλέγματος, όταν 10 m Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
4. Τα σημεία A 1, και 4, www.apodeiis.gr B είναι τα μοναδικά σημεία της καμπύλης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στα οποία οι εφαπτόμενες ευθείες είναι παράλληλες ή συμπίπτουν με τον άξονα i. Να γράψετε τις εξισώσεις αυτών των ευθειών. ii. Να λύσετε την εξίσωση 0 10 4. Δίνεται η συνάρτηση 4,, όπου σταθερός πραγματικός αριθμός. i. Να βρείτε την τιμή του, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο A 0, 0 να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 o ii. Για 1, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης, με τους άξονες και yy 44. Δίνεται η συνάρτηση πραγματικός αριθμός.,, όπου σταθερός i. Να βρείτε την τιμή του για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση y 5 ii. Για A, είναι, να λύσετε την ανίσωση 7 45. Δίνεται η συνάρτηση i. Τη συνάρτηση,,. Να βρείτε: ii. Τα σημεία της καμπύλης στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
46. Δίνεται η συνάρτηση e v i. Τη συνάρτηση www.apodeiis.gr,. Να βρείτε: ii. Την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της στο σημείο της με τετμημένη o 0 11 47. Δίνεται η συνάρτηση 1, i. Να βρείτε το σημείο της καμπύλης στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση 1 y 4 5 ii. Να βρείτε την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης. 48. Δίνεται η συνάρτηση 4 5, i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της η με εξίσωση y 11 ii. Να αποδείξετε ότι η καμπύλη της συνάρτησης είναι η ευθεία οποία είναι παράλληλη στην ευθεία 49. Δίνεται η συνάρτηση πραγματικοί αριθμοί.,, όπου, σταθεροί i. Να βρείτε τους,, ώστε η ευθεία με εξίσωση y 1 εφάπτεται στην καμπύλη της στο σημείο της A 1, 1 ii. Για 1 και, να υπολογίστε το όριο 1 1 1 Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
www.apodeiis.gr 50. Ένα σώμα κινείται σε έναν άξονα έτσι ώστε η θέση του κάθε χρονική στιγμή t 0,10 να δίνεται από τον τύπο t 6t t μετριέται σε δευτερόλεπτα s και το σε μέτρα m, όπου ο χρόνος t i. Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος κάθε χρονική στιγμή t ii. Να προσδιορίσετε πότε το σώμα είναι ακίνητο. iii. Να βρείτε τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του είναι μηδέν. 51. Η θέση ενός υλικού σημείου που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση πάνω σε άξονα δίνεται από τον τύπο t t 9t 1t, 0,0 χρόνος t μετριέται σε δευτερόλεπτα και το σε μέτρα. i. Πότε η ταχύτητα του σημείου είναι μηδέν; t, όπου ο ii. Πότε το σημείο κινείται προς τη θετική και πότε προς την αρνητική κατεύθυνση; iii. Να βρείτε το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο στη διάρκεια των πρώτων δευτερολέπτων της κίνησής του. 5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση γνησίως αύξουσα. e, είναι 1 5. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση 5,, 54. Δίνεται η συνάρτηση 4 i. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο A 0, 0 Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
www.apodeiis.gr 55. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση ln, 0 1 56. Δίνεται η συνάρτηση ότι: i. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. ii. 9 99 10 100 4,. Να αποδείξετε 57. Δίνεται η συνάρτηση i. Να βρείτε τη συνάρτηση e ii. Να λύσετε την εξίσωση 0 1, iii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. 58. Δίνεται η συνάρτηση e, i. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης ii. Να αποδείξετε ότι e e για κάθε 59. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 00m. Αν το μήκος της μιας πλευράς είναι m, τότε: i. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του ορθογωνίου είναι E 100 για κάθε 0,100 ii. Να βρείτε την τιμή του για την οποία το εμβαδό του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο. iii. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του ορθογωνίου. Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
www.apodeiis.gr 14 60. Το κόστος παραγωγής ενός μηχανήματος και η τιμή πώλησής του K t δίνονται (σε χιλιάδες ευρώ) από τους τύπους 54 t 00, 0,10 E t t και t αντιστοίχως, όπου t ο χρόνος (σε ώρες) που απαιτείται για την παραγωγή του, ώστε το κέρδος να γίνεται μέγιστο. Ποιο είναι το μέγιστο κέρδος; 61. Το κόστος (σε ευρώ) για την παραγωγή μονάδων ενός προϊόντος μιας εταιρείας είναι K 100 10.000, 0,00 μονάδας είναι 400 ευρώ.. Η τιμή πώλησης κάθε i. Πόσες μονάδες πρέπει να παράγει η εταιρεία για να έχει μέγιστο κέρδος; ii. Αν κάθε μονάδα προϊόντος φορολογηθεί επιπλέον με 10 ευρώ, να βρείτε ποια πρέπει να είναι η τιμή πώλησής της ώστε η εταιρεία να έχει μέγιστο κέρδος; 6 8 1, 6. Δίνεται η συνάρτηση i. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της σε κάθε σημείο της M, ii. Ποιο είναι το σημείο της γραφικής παράστασης της στο οποίο η εφαπτομένη ευθεία έχει τον ελάχιστο δυνατό συντελεστή διεύθυνσης; 6. Κατά μήκος της μιας πλευράς ενός οικοπέδου υπάρχει ένας τοίχος. Έχει κάποιος στη διάθεσή του 100 μέτρα συρματοπλέγματος και θέλει να περιφράξει μια ορθογώνια περιοχή χρησιμοποιώντας τον τοίχο ως μία πλευρά. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου που έχει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδό. Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com
www.apodeiis.gr 64. Το κέρδος σε ευρώ μιας εταιρείας από την πώληση κάποιου προϊόντος t έτη μετά την παραγωγή του δίνεται από τον τύπο ν Pt 1000t 5t t 0,10. Να βρείτε: i. Για πόσα χρόνια η εταιρεία δεν θα έχει ζημιά. ii. Σε πόσα χρόνια η εταιρεία θα έχει μέγιστο κέρδος;, iii. Σε πόσα χρόνια ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους γίνεται μέγιστος. 15 65. Ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τετράγωνη βάση πλευράς cm είναι ανοικτό από πάνω και έχει όγκο 500 cm i. Ν αποδείξετε ότι το εμβαδό E της επιφάνειας του κουτιού δίνεται από τον τύπο 000 E για κάθε 0 ii. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του, ώστε για την κατασκευή του να χρειάζεται το ελάχιστο δυνατό υλικό. Τηλ: 6977865 Email 1: ino@apodeiis.gr - Email : nikos.kariniotakis@gmail.com