Τοµογραφική Ανακατασκευή εικόνας 1
htt://www.dsguide.com/ch25/5.htm 2
htts://engineering.urdue.edu/~malcolm/ct/ 3
Βασικές έννοιες της τοµογραφικής ανακατασκευής Κάθε απεικονιστικό σύστηµα µετρά την τιµή µίας φυσικής ποσότητας, συντελεστής εξασθένιση µ ακτίνων Χ που διέρχονται από τους ιστούς στον αξονικό τοµογράφο (CT) Συγκέντρωση ραδιοϊσοτόπου σε SPECT, PET Χρόνοι αποκατάστασης, πυκνότητα πρωτονίων (MRI) Η µετρήσιµη ποσότητα µ παρουσιάζει χωρική κατανοµή µ(x,y), αλλά η µέτρηση των τιµών της γίνεται έµµεσα, υπολογίζοντας το ολοκλήρωµα των τιµών κατά µήκος ευθυγραµµων διαδροµών Ανακατασκευή (reconstruction): o υπολογισµός της αριθµητικής τιµής µίας φυσικής ποσότητας µ σε κάθε θέση (x,y) ενός επιλγµένου επιπέδου («τοµή») Κάθε τοµή ψηφιοποιείται σε µια µήτρα συντελεστών µ(i x,j y) που αντιστοιχούν στους διαφορετικούς ιστούς της τοµής. Κάθε στοιχείο της µήτρας (τυπικά µεγέθους x y ~1x1 mm) θεωρείται ότι παρουσιάζει σταθερό συντελεστή µ. 4
ύο προσεγγίσεις Οι ανατοµικές δοµές µιας 2-D τοµής µπορούν να ανακατασκευαστούν από πολλαπλές προβολές της τοµής που λαµβάνονται από διαφορετικές γωνίες Αλγεβρική θεώρηση: η ανακατασκευή µπορεί να γίνει σαν επίλυση ενός υπερκαθορισµένου γραµµικού συστήµατος εξισώσεων µε επαναληπτικό τρόπο. 5
Το φαινόµενο της εξασθένησης δέσµης ακτίνων Χ Βάσει του νόµου απορρόφησης του Beer για παράλληλη µονοενεργειακή δέσµη ακτίνων Χ η οποία διέρχεται από υλικό µε συντελεστή γραµµικής απορρόφησης µ (cm -1 ), ισχύει: x Ν 0 Ν µ 1 µ 2 µ 3 µ 1 4 Όπου: N ( µ + µ + µ + µ ) Ν 0,Ν 1 το πλήθος των προσπίπτοντων και εξερχόµενων φωτονίων x το στοιχειώδες µήκος κατά το οποίο θεωρείται ο συντελεστής µ σταθερός. Ας σηµειωθεί ότι αντί του πλήθους Ν 0,Ν 1 το πλήθος των φωτονίων, µπορεί να χρησιµοποιηθεί ισοδύναµα η ροή τους, ή η ένταση της δέσµης 1 = N 0 e x 1 2 3 4 6
Η έννοια της ανακατασκευής της κατανοµής συντελεστών µ(x,y), από ένα αριθµό παράλληλων προβολών z y x (α) Επιλέγεται τοµή στο ύψος z 0 ενός αντικειµένου (α). Μία ανακατασκευασµένη εγκάρσια τοµή του CT έχει την ακόλουθη τιµή για κάθε ixel (i,j): µ ιστου ( i x, j y) µ νερου I( i, j) = µ νερου (β) Τοµή στο ύψος z 0 7
Αξονικός τοµογράφος: Ανακατασκευή εγκάρσιας τοµής στο επίπεδο α) της ουροδόχου κύστης, β) του ήπατος 8
Ορισµός της παράλληλης προβολής Εστω σώµα του οποίου απεικονιζόµενη ποσότητα µ είναι συνάρτηση της θέσης µ=f(x,y), η προβολή P θ (t) σε άξονα που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα Χ, ορίζεται ως το ολοκλήρωµα της µ(x,y) κατά µήκος µίας ευθείας κάθετη στον άξονα. s y θ x t ( t) f( t s) P =, ds θ t 9
Ορισµός της παράλληλης προβολής N = N 0 e µ ( t, s) ds µ ( t, s) ds s µ ( t, s) = ln N N 0 Αν θεωρήσουµε ένα σώµα του οποίου ο συντελεστής απορρόφησης µ είναι συνάρτηση της θέσης µ=f(x,y), τότε η προβολή σε άξονα που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα Χ, ορίζεται ως εξής: 10
Σχέση µεταξύ FT της παράλληλης προβολής και FT του µ(x,y) Μετασχηµατισµός Fourier παράλληλης προβολής Αντικατάσταση του t Η τελευταία εξίσωση αποτελεί το FT του f(x,y), δειγµατοληπτηµένο κατά ευθεία που ικανοποιεί τις σχέσεις: u=wcosθ και v=wsinθ Q θ ( w) = FT( P ( t) ) f f f f ( t, s) θ ds e = j 2πwt j 2πw( xcosθ+ ysinθ) ( t, s) e j 2π( xwcosθ+ ywsinθ) ( t, s) e j 2π( xu+ yv) ( x, y) e dt = dxdy dsdt dsdt = = 11
Θεώρηµα τοµής Fourier Fourier Slice Theorem Βάσει των προηγουµένων διατυπώνεται το Θεώρηµα: Ο FT της παράλληλης προβολής ενός αντικειµένου κατά διεύθυνση θ (ως προς Χ), ισούται µε τις τιµές του FT του αντικειµένου κατά µήκος ευθείας που διέρχεται από το σηµείο DC (u=0, v=0) και έχει διεύθυνση θ. 12
Γραφική απεικόνιση του FST s y t v t θ x θ u Πεδίο χώρου Πεδίο συχνοτήτων 13
Εφαρµογή του FST στην ανακατασκευή της εικόνας Αν συµπληρώσουµε όλα τα δεδοµένα του χώρου των συχνοτήτων F(u,v), θα ανακατασκευάσουµε το f(x,y), εφαρµόζοντας απλά τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier (IFT): f(x,y)=ift(f(u,v)). Χρησιµοποιώντας τις προβολές, συµπληρώνουµε τον χώρο των συχνοτήτων ακτινικά και όχι σε όλες τις συχνότητες (u,v). (u,v) 14
Ισοδυναµία του FST µε απλή οπισθοπροβολή x u 2D FT y Αγνωστη κατανοµή µ(x,y) v A(u,v)=log(1+abs(FFT(a)) 10000 9000 6 x 105 8000 5 7000 6000 4 Pè=0(t) 5000 4000 3000 1D IFT 3 2 2000 1000 1 0 0 20 40 60 80 100 120 140 t 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Παράλληλη προβολή 15
Ερµηνεία της ανακατασκευής µε απλή οπισθοπροβολη 14 x 105 u Παρ προβολή θ=0 FFT 12 10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 250 300 v Συµπλήρωση του FFT (2D) της εικόνας, µόνο στη γραµµή v=0, µε το FFT (1D) της προβολής. 10000 9000 8000 7000 6000 IFFT (2D) 5000 4000 3000 οπισθοπροβολή 2000 1000 0 0 50 100 150 200 250 300 16
Ανακατασκευή µε απλή οπισθοπροβολή (backrojection) Αν αγνοήσουµε ότι η συµπλήρωση του F(u,v) γίνεται µε τρόπο ακτινικό, προκύπτει η µέθοδος ανακατασκευής µε απλή οπισθοπροβολή, η οποία δεν δίνει ακριβή αποτελέσµατα: Για κάθε γωνία θ Υπολογίζεται η προβολή P θ (t) Σε όλα τα ixel της υπό κατασκευή εικόνας που συµµετείχαν στον υπολογισµό της P θ (t), προστίθεται η τιµή της P θ (t): For x=1:n_στήλες» For y=1:n_γραµµές» IF xcosθ+ysinθ=t I(x,y)=I(x,y)+ P θ (t)/n 17
Απλό παράδειγµα οπισθοπροβολής 1 2 1 2 3 4 2 4 3 5/3 3 8/3 5/3 3 8/3 5/3 3 8/3 5 9 8 P θ=0 (t) ηµιουργία της παράλληλης προβολής Οπισθοπροβολή της παράλληλης προβολής στα ixel της ανακατασκευασµένης εικόνας 18
Παράδειγµα συνθετικής εικόνας και ενδεικτικών παράλληλων προβολών 0 20 40 60 80 100 120 140 150 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 θ=π/2 50 100 P(t) è=ð/4 t 20 40 60 80 100 120 150 100 0 140 P(t) è=ð/4 50 0 0 20 40 60 80 100 120 140 t θ=0 19
Το πρόβληµα της ανακατασκευής µε απλή οπισθοπροβολή και η αναγκαιότητα για φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή (w,θ) (u,v) Ακτινική συµπλήρωση του χώρου, βάσει των παράλληλων προβολών της εικόνας Απαιτούµενη καρτεσιανή συµπλήρωση Απεικόνιση του χώρου των χωρικών συχνοτήτων. 20
Παραδείγµατα ανακατασκευής συνθετικής εικόνας µε απλή οπισθοπροβολή για διαφορετικό αριθµό προβολών Αρχική εικόνα 2 5 18 180 Ανακατασκευασµένες εικόνες: παρατηρείστε το θολό αποτέλεσµα 21
Μαθηµατική ερµηνεία της ανακατασκευής µε φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή Αν ορίσουµε τη ζητούµενη κατανοµή ως τον IFT (2D) του συµπληρωµένου χώρου (u,v) και εφαρµόδουµε πολικές συντεταγµένες καταλήγουµε: = = = ( θ) 0 π 2 ( ) 2,, j π ux + vy j πwt f x y F uv e dudv... F w, e wdwd ( ) ( ) Το FT της προβολής κατά θ, πολλαπλασιασµένη µε w και µετασχηµατισµένη κατά IFT. θ Οπισθοπροβολή των φιλτραρισµένων IFT των προβολών 22
Ανακατασκευή µε φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή Το γινόµενο (στοιχείο προς στοιχείο) F(w,θ) w αποτελεί φίλτρο στο χώρο των συχνοτήτων ισοδυναµεί µε συνέλιξη στο χώρο του χρόνου Το φίλτρο είναι υψιπερατό ενισχύει τις υψηλές συχνότητες, εκεί που λόγω της ακτινικής δειγµατοληψίας του χώρου συχνοτήτων, η δειγµατοληψία είναι «αραιή» v w=ucosθ+vsinθ u v w=ucosθ+vsinθ u απλή οπισθοπροβολή φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή 23
2.5 1.2 1 2 0.8 W 1.5 1 Real(IFFT(W)) 0.6 0.4 0.2 0 0.5-0.2-0.4 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Satial Freq. -0.6 0 20 40 60 80 100 120 140 Freq. Το φίλτρο w για δειγµατοληψία προβολής 128 σηµείων, µε το DC σηµείο στο κέντρο Το πραγµατικό µέρος του IFT του φίλτρου w για δειγµατοληψία προβολής 128 σηµείων, µε το DC σηµείο στο κέντρο. 24
Παραδείγµατα ανακατασκευής συνθετικής εικόνας για διαφορετικό αριθµό προβολών Φιλτ. Οπισθοπρ. 2 5 18 180 Αρχική εικόνα Απλή οπισθοπρ. Ανακατασκευασµένες εικόνες 25
Ανακατασκευή µε φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή (filtered backrojection) Η µέθοδος δίνει ακριβή αποτελέσµατα: Για κάθε γωνία θ Υπολογίζεται η προβολή P θ (t) Υπολογίζεται η P θ (w)=ft(p θ (t)) Πολλαπλασιάζεται το P θ (w) µε το ιδανικό φίλτρο 2π w /k Υπολογίζεται το s θ (t)=ift του προηγούµενου βήµατος Σε όλα τα ixel της υπό κατασκευή εικόνας που συµµετείχαν στον υπολογισµό της s θ (t), προστίθεται η τιµή της s θ (t): For x=1:n_στήλες For y=1:n_γραµµές IF xcosθ+ysinθ=t I(x,y)=I(x,y)+ s θ (t)/n 26
Ηµιτονόγραµµα t θ Ηµιτονόγραµµα µη φιλτραρισµένων προβολών Ηµιτονόγραµµα φιλτραρισµένων προβολών Το ηµιτονόγραµµα κατασκευάζεται σαν µία εικόνα, κάθε γραµµή της οποίας περιέχει τα δεδοµένα µίας παράλληληλης προβολής. Το Ηµιτονόγραµµα αποτελεί τα δεδοµένα εισόδου του CT τα οποία είναι απαραίτητα για την ανακατασκευή µίας εγκάρσιας τοµής. 27
Επαναληπτικές µέθοδοι ανακατασκευής εικόνας Η ανακατασκευή σαν αλγεβρικό πρόβληµα Εστω η συνάρτηση f(x,y) η οποία πρέπει να ανακατασκευαστεί Χωρίζουµε την f(x,y) σε ισοµεγέθη ixels µε συνολικό αριθµό Ν. Θεωρούµε πηγή και ανιχνευτή που καθορίζουν δέσµη (beam) µε πλάτος όσο και ένα ixel της f(x,y). Θεωρούµε D ανιχνευτές ανά προβολή και Ν θ προβολές. Υπολογίζουµε την µέτρηση j κάθε ανιχνευτή για κάθε προβολή, j=1,2, Ν θ D. 28
j όπου i=1,2, N ο συνολικός αριθµός των ixel N = i= 1 w f ij i j=1,2,.,n θ D, o συνολικός αριθµός των ανιχνευτών για κάθε προβολήn θ. Οι συντελεστές w ij υπολογίζονται ως το κλάσµα του εµβαδού του ixel i το οποίο βρίσκεται εντός της δέσµης j. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Με κόκκινο µία δέσµη πλατους τ που διέρχεται από 16x16 ixel µε γωνία θ. ιακρίνονται διαφορετικές περιπτώσεις ixel που ανήκουν ολόκληρα ή εν µέρει στην δέσµη. 29
Η προηγούµενη εξίσωση αποτελεί σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε άγνωστους τις ζητούµενες τιµές f(i,j). Η επίλυση του συστήµατος δεν είναι πρακτική, διότι, ο πίνακας w έχει πολύ µεγάλες διαστάσεις: για µία εικόνα 256x256 µε 256 ανιχνευτές και 256 προβολές, ο w είναι 65535x65536 και δεν είναι δυνατή η αντιστροφή του. Συνήθως ο ο πίνακας w έχει περισσότερες γραµµές από στήλες (Ν θ D>Ν), άρα το σύστηµα είναι υπερκαθορισµένο και απαιτεί επίλυση µε µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Επιβεβαιώστε ότι για εικόνα 2x2, µε 2 ανιχνευτές και 2 προβολές, ο πίνακας w είναι singular. 30
Εφαρµογή της προηγούµενης µεθόδου για µία συνάρτηση µεγέθους 3x3. Κατασκευή των τριών εξισώσεων που αντιστοιχούν στους 3 ανιχνευτές. Ο συµβολισµός όπως στις προηγούµενες διαφάνειες. f 1 f 2 f 3 w 12 f 4 f 5 f 6 w 41 w 42 f 7 f 8 f 9 w 71 w 72 w52 w 53 w82 W 8 3 1 = w11f 1+ w { 21f2+ w { 31f3+ w41f 4+ w { 51f5+ w { 61f6+ w71f 7+ w { 81f8+ w { 91f9 2 = w12f 1+ w22f 2+ w { 32f3+ w42f 4+ w52f 5+ w { 62f6+ w72f 7+ w82f 8+ w { 92f9 0 = w f + w f + w f + w f + w f + w f + w f + w f + w f 0 0 K= K 3 13 1 23 2 33 3 43 4 53 5 63 3 73 7 83 8 93 9 1 2 3 31
Παράδειγµα 0.8 1.5 0.2 1.8 Εστω χωρική κατανοµή συντελεστών απορόφησης, διακριτή σε 2x2 ixels. Να γίνει ανακατασκευή της µε την αλγεβρική µέθοδο. 32
Προβ. 1, γωνία 1, Εξισ. 1 0.8 1.5 0.2 1.8 1= 1.0 1 11 1 21 2 31 3 41 4 1 3 33
Προβ. 1, γωνία 1, Εξισ. 1 Προβ. 2, γωνία 1, Εξισ. 2 0.8 1.5 0.2 1.8 2 = 3.3 1= 1.0 1 = w11f 1+ w { 21f2+ w31f 3+ w { 41f4 = f1+ f3 2 12 1 22 2 32 3 42 4 2 4 34
Προβολή 1, γωνία 1 1= 1.0 2 = 3.3 Προβολή 2, γωνία 1 0.8 1.5 Προβ. 1, γωνία 2, Εξισ. 3 3 = 2.3 0.2 1.8 1 11 1 21 2 31 3 41 4 1 3 2 12 1 22 2 32 3 42 4 2 4 3 13 1 23 2 33 3 43 4 1 2 35
Προβολή 1, γωνία 1 1= 1.0 2 = 3.3 Προβολή 2, γωνία 1 0.8 1.5 0.2 1.8 Προβ. 1, γωνία 2, Εξισ. 3 3 = 2.3 Προβ. 2, γωνία 2, Εξισ. 4 4 = 2.0 1 11 1 21 2 31 3 41 4 1 3 2 12 1 22 2 32 3 42 4 2 4 3 13 1 23 2 33 3 43 4 1 2 4 14 1 24 2 34 3 44 4 3 4 36
Προβολή 1, γωνία 1 1= 1.0 2 = 3.3 Προβολή 2, γωνία 1 0.8 1.5 0.2 1.8 Προβ. 1, γωνία 2, Εξισ. 3 3 = 2.3 Προβ. 2, γωνία 2, Εξισ. 4 4 = 2.0 1 11 1 21 2 31 3 41 4 1 3 2 12 1 22 2 32 3 42 4 2 4 3 13 1 23 2 33 3 43 4 1 2 4 14 1 24 2 34 3 44 4 3 4 1 0 1 0 f 0 1 0 1 = 1 1 1 1 1 1 f 2 2 f 3 3 f4 4 Το γραµ. σύστηµα εξισ. σε µορφή πινάκων 37
Προβολή 1, γωνία 1 1= 1.0 2 = 3.3 Προβολή 2, γωνία 1 0.8 1.5 0.2 1.8 Προβ. 1, γωνία 2, Εξισ. 3 3= 2.3 Προβ. 1, γωνία 2, Εξισ. 4 4 = 2.0 1 11 1 21 2 31 3 41 4 1 3 2 12 1 22 2 32 3 42 4 2 4 3 13 1 23 2 33 3 43 4 1 2 4 14 1 24 2 34 3 44 4 3 4 5 15 1 25 2 35 3 45 4 1 4 5 = 2.6 38
Προβολή 1, γωνία 1 1= 1.0 2 = 3.3 Προβολή 2, γωνία 1 0.8 1.5 Προβ. 1, γωνία 2, Εξισ. 3 3= 2.3 0.2 1.8 1 11 1 21 2 31 3 41 4 1 3 2 12 1 22 2 32 3 42 4 2 4 3 13 1 23 2 33 3 43 4 1 2 4 14 1 24 2 34 3 44 4 3 4 5 15 1 25 2 35 3 45 4 1 4 Προβ. 1, γωνία 2, Εξισ. 4 5 = 2.6 4 = 2.0 1 0 1 0 1.0 f1 0 1 0 1 3.3 f 2 1 1 = 2.3 f 3 1 1 2.0 f 4 1 1 2.6 Το γραµ. σύστηµα εξισ. σε µορφή πινάκων 39
Επαναληπτικός τύπος ανακατασκευής Εστω w ij το ποσοστό του ixel i που είναι ορατό από τη δέσµη j. Ο δείκτης j αποτελεί συνδυασµό του ανιχνευτή D και της προβολής κατά γωνία θ. = w : το ποσοστό του ixel j εντός της δέσµης i w i { ij} i= 1,..., N Ddetector/orientation index j :1,..., N ixelindex d f f i i :the correct valueof detectori = { j} θ i i 1 = f f, j :1,..., N ixelindex υπολογισµένες τιµέςµετά την δέσµη i r i r f 1. wi di r r r w i w. w i i i=1,2,., N θ D, o συνολικός αριθµός των ανιχνευτών για κάθε προβολήn θ. f, w i είναι διανύσµατα µε µήκος ίσο µε το συνολικό αριθµό ixel, d i είναι βαθµωτό µέγεθος. 40
(α) (β) Ανακατασκευή του She-Logan hantom (32x32 ixel), 32 ανιχνευτές ανά προβολή και 180 προβολές, µε χρήση (α) του επαναληπτικού τύπου και (β) µε απευθείας λύση του υπερκαθορισµένου γραµµικού συστήµατος εξισώσεων. 41
Σύγκριση Αλγόριθµων Ανακατασκευής Συνελικτικοί Χαρακτηριστικά Μετασχηµατσιµός Fourier Φιλτράρισµα Αντίστροφος FT Οπισθοπροβολή Πλεονεκτήµατα Μικρός χρόνος ανακατασκευής / απαιτήσεις σε µνήµη Μειονεκτήµατα Μεγάλη ευαισθησία στο θόρυβο Μεγάλη ευαισθησία στον µικρό αριθµό προβολών Ακτινικά παράσιτα (image artefacts) Επαναληπτικοί Χαρακτηριστικά ιακριτοποίηση εικόνας Θεώρηση διακριτών ixel ως αγνώστους και κατασκευή συστήµατος γραµµικών εξσώσεων Επίλυση µε επαναληπτικό αλγόριθµο Πλεονεκτήµατα Μικρή ευαισθησία στο θόρυβο Μειονεκτήµατα Μεγάλος χρόνος ανακατασκευής / απαιτήσεις σε µνήµη 42