Ασκήσεις Αριθµητικής Ανάλυσης και Στοιχεία Θεωρίας

Ασκήσεις Αριθµητικής Ανάλυσης και Στοιχεία Θεωρίας Χρήστος Α. Αλεξόπουλος Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανε ιστήµιο Πατρών Πάτρα Ιούνιος 7 Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Το παρόν βοήθηµα περιλαµβάνει λυµένες ασκήσεις και µερικά επιλεγµένα στοιχεία θεωρίας που αφορούν σε µερικά βασικά θέµατα της Αριθµητικής Ανάλυσης: Στοιχειώδης Θεωρία Σφαλµάτων, Επαναλητικοί Αλγόριθµοι Επίλυσης µη Γραµµικών Εξισώσεων, Αριθµητική Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων- ιασπάσεις, Ανάλυση Σφάλµατος και Νόρµες, και Επαναληπτικές Μέθοδοι για Γραµµικά Συστήµατα. Ειδικότερα αφορούν στην ύλη των κεφαλαίων Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και VI του διδακτικού βιβλίου «Εισαγωγή στις Αριθµητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης» του Χ. Αλεξόπουλου (διδάσκοντος), το οποίο διανέµεται στους Β ετείς φοιτητές του Τµήµατος Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής στα πλαίσια του αντιστοίχουν µαθήµατος. Σκοπός του βοηθήµατος είναι να δώσει ένα συµπληρωµατικό εφόδιο και εργαλείο στους φοιτητές για την κατανόηση βασικών στοιχείων και εννοιών της Αριθµητικής Ανάλυσης,, να τους φέρει πιο κοντά σε πεδία εφαρµογών και να βοηθήσει στην εµβάθυνση στη σχετική ύλη. Με αυτή την έννοια µπορεί να θεωρηθεί ως συµπληρωµατικό βοήθηµα σε σχέση µε το εν λόγω διδακτικό βιβλίο. Οι περισσότερες ασκήσεις έχουν τεθεί σε διάφορες γραπτές εξετάσεις (εξεταστικών περίοδων ή πρόοδων) του µαθήµατος «Αριθµητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης». Η λύσεις δίνονται µε υποδειγµατικό τρόπο και είναι λεπτοµερείς. Για καλύτερη εµπέδωση της ύλης,, οι ασκήσεις περιλαµβάνουν συχνά πρόσθετες ερωτήσεις, αναλυτικούς και εναλλακτικούς τρόπους απαντήσεων, καθώς και δυνητικές επεκτάσεις, στο πνεύµα πάντα των παραδόσεων και του διδακτικού βιβλίου, στο οποίο γίνονται κατ ευθείαν αναφορές, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο. Ορισµένα θέµατα θεωρίας από την Αριθµητική Ανάλυση και τη Γραµµική Άλγεβρα έχουν εισαχθεί στο Παράρτηµα. Λειτουργούν ως συµπληρώσεις των αντιστοίχων παραγράφων του διδακτικού βιβλίου και ταυτόχρονα ως παραποµπές στη θεωρία. τις ε από τις υποδειγµατικές λύσεις. Η συνδροµή της γλώσσας Mtlb (και του υπολογιστικού της περιβάλλοντος ) κρίνεται εξαιρετικά χρήσιµη έως και αναγκαία σε πολλές περιπτώσεις, όπως άλλωστε απαιτεί και το µάθηµα. Συχνά, και στα πλαίσια των υπολογισµών που περιλαµβάνονται στις απαντήσεις των ασκήσεων, ο αναγνώστης, ενθαρρύνεται ή παρακινείται να ανατρέξει για επαλήθευση και για περισσότερες ιδέες σε ενδογενή χαρακτηριστικά και εντολές που υλοποιούν στοιχειώδεις µαθηµατικούς υπολογισµούς της Γραµµικής Άλγεβρας και της Αριθµητικής Ανάλυσης ή ακόµα και σε πηγαίο κώδικα που περιλαµβάνεται στα αντίστοιχα κεφάλαια ή στο παράρτηµα Β (Εισαγωγή στο Mtlb) του διδακτικού βιβλίου. Τέλος, θα πρέπει να τονιστεί ότι, για την κατανόηση της µεθοδολογίας, προαπαιτείται ένα ικανό γνωστικό υπόβαθρο από την Γραµµική Άλγεβρα (εξοικείωση στις πράξεις και ιδιότητες πινάκων, απαλοιφή Guss, διάσπαση LU, ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα κλπ.), όπως και από την Κλασσική Μαθηµατική Α- νάλυση (παράγωγοι, θεωρία συναρτώσεων, ακολουθίες, σειρές Tylor κ.λ.π.). Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Περιεχόµενα. Ανα αράσταση αριθµών και Θεωρία Σφαλµάτων Σελ. Άσκηση.... Ε αναλη τικοί Αλγόριθµοι για µη Γραµµικές Εξισώσεις Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση.5.. Άσκηση.6.. Άσκηση.7... Γραµµικά Συστήµατα- ιασ άσεις-ανάλυση Σφάλµατος-Νόρµες Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση.. Άσκηση.5. Άσκηση.6. Άσκηση.7. Άσκηση.8. Άσκηση.9. Άσκηση. Άσκηση.. Ε αναλη τικές Μέθοδοι για Γραµµικά Συστήµατα Άσκηση.. Άσκηση.. Άσκηση.. Άσκηση.. Άσκηση.5. Άσκηση.6. Άσκηση.7. Άσκηση.8. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Άσκηση.9.. Παράρτηµα - Στοιχεία Θεωρίας... Θετικά Ορισµένα Μητρώα... Συµπληρωµατικά στοιχεία για τις επαναληπτικές µεθόδους Guss-Seidel και Jobi... Νόρµες Μητρώων - Ιδιότητες και Εφαρµογές..... 5. Ευρετήριο θεµάτων.... 6. Βιβλιογραφία-Αναφορές. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

. Αναπαράσταση αριθµών και Θεωρία Σφαλµάτων Άσκηση. Σε ποιο διάστημα βρίσκονται οι αριθμοί που προσεγγίζουν τον αριθμό με ακρίβεια σημαντικών ψηφίων; (Σημ.: εναλλακτική διατύπωση: «που συμφωνούν» με το σε 5 σ.ψ.) Απ: Η έννοια της «ακρίβειας» µιας προσέγγισης * ενός αριθµού σε r σ.ψ., σχετίζεται άµεσα µε την τάξη µεγέθους ή το στενότερο φράγµα για το σχετικό σφάλµα e r () *- / του, το οποίο παρατηρείται όταν αυτός αναπαρίσταται σε α.κ.υ. r σ.ψ. µε στρογγύλευση (βλ. Κεφ. Ι διδακτικού βιβλίου). Το φράγµα αυτό είναι, όπως εύκολα αποδεικνύεται, το δ.5 -r 5 -r. Συνεπώς µια προσέγγιση * του έχει ακρίβεια r σ.ψ. (σε σχέση µε τον ουσιαστικά άγνωστο ) όταν: * - er ( ) 5 r, όπου r µέγιστο Εποµένως όλοι οι αριθµοί-προσεγγίσεις * που προσεγγίζουν τον µε ακρίβεια σ.ψ., ικανοποιούν την ανισότητα: * - 5* - *- 5*..5 -.5 *-.5 -.5 *.5 9.85 *.5 Πανεπιστήμιο Πατρών -5-6//9

. Eπαναληπτικοί Αλγόριθµοι για µη Γραµµικές Εξισώσεις Άσκηση. Έστω ότι για την εύρεση του (7) / χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της διχοτόμησης. (Υπόδειξη: το όποια δεδομένα απαιτεί η μέθοδος επιλέγονται από εσάς) α) Βρείτε την η προσέγγιση (επανάληψη). β) Δώστε φράγμα για το απόλυτο σφάλμα μετά την ή επανάληψη. Απαντήσεις: α) Ο αριθµός 7 / είναι ρίζα της συνάρτησης f() -7 η οποία είναι συνεχής σε όλο το R. Επιλέγουµε τώρα ένα διάστηµα (,b) της ρίζας ξ τέτοιο ώστε να ισχύει f()f(b)<. Ας θεωρήσουµε το (.5, ), µε f(.5)f()-.65<. Λαµβάνουµε τις διαδοχικές προσεγγίσεις:.5, b b: (.5)/.75 και f( )*f(b ) -.66 <, άρα ξ (, b )., b b : (.75)/.875 και f( )*f(b ) -.8<, άρα ξ (, b )., b b : (.875)/.975 β) Αν e είναι το σφάλµα στην προσέγγιση, γνωρίζουµε ότι ισχύει η ανισότητα e (b - )/ Για λαµβάνουµε: e.5*.8e-7 (µε α.κ.υ. 5 σ.ψ.) Άσκηση. Δίνεται η εξίσωση: - * - 5*. Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρούμε ότι ισχύει α.κ.υ. σ.ψ. α) Με τη μέθοδο του «εγκλεισμού» των ριζών βρείτε ένα διάστημα [,b], αρκούντως μικρό, στο οποίο να ανήκει μια πραγματική ρίζα της. β) Στη συνέχεια, με εφαρμογή βημάτων της μεθόδου της διχοτόμησης, βρείτε μια προσέγγιση * της παραπάνω ρίζας. γ) Πόσες επαναλήψεις θα χρειαστούν το πολύ για να βρεθεί μια προσέγγιση της ρίζας με απόλυτο σφάλμα e< -? Δικαιολογείστε την απάντησή σας. δ) Ποιό συγκεκριμένο κριτήριο τερματισμού του αλγορίθμου θα προτείνατε στην περίπτωση σύγκλισης? ε) Με αρχική προσέγγιση την πρώτη προσέγγιση της μεθόδου διχοτόμισης, εφαρμόστε τώρα τη μέθοδο Newto-Rphso, για να βρείτε μια προσέγγιση της ρίζας με ακρίβεια σ.ψ. Αναφέρατε συμπεράσματα και συγκρίνατε τις δύο μεθόδους. Απαντήσεις Για τη συνάρτηση f() - * - 5* είναι f ()- 6-5< µε 6-*5-< και συνεπώς f ()< για κάθε R. Εποµένως η f είναι συνεχώς παραγωγίσηµη και φθίνουσα σε όλο το Πανεπιστήμιο Πατρών -6-6//9

R. Άρα υπάρχει µια µόνον πραγµατική ρίζα r (οι υπόλοιπες δυο είναι µιγαδικές συζυγείς). Μια γραφική παράσταση της f φαίνεται στο γράφηµα. Ελέγχοντας τα πρόσηµα της f σε διαδοχικά διαστήµατα πλάτους h έχουµε: f(-)f(-), f(-)f(), f()f()-<. Συνεπώς r (,). Με µια αρχική διχοτόµηση, λαµβάνουµε τελικά ένα ακόµα πιο στενό διάστηµα της ρίζας: επειδή f()f(.5)-.875<, παίρνουµε r (,.5). 6 - - -6 - -.5.5.5 Γράφημα. Γράφημα της f() - * - 5* β) Εφαρµόζουµε τη µέθοδο της διχοτόµισης ξεκινώντας από το αρχικό διάστηµα [,.5] της ρίζας. Οι ζητούµενες επαναλήψεις παριλαµβάνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ο πίνακας αυτός περιέχει προαιρετικά τα µήκη των εγκλειοµένων διαστηµάτων και τον έλεγχο ακρίβεια σε σχέση µε µια δοθείσα ανοχή epsilo - : Προσέγγιση ιάστηµα εισόδου f( ) Μήκος διαστήµατος - έλεγχος.5 [,.5] -.78.5>.55e-.5 [,.5].99.5>5e-.875 [.5,.5].6.5>5e-.87 [.875,.5].95.65>5e- [.875,.5].5<5e- Η.87 είναι η ζητούµενη προσέγγιση. Σηµείωση. Στο Mtlb η συµβολική εντολή solve('-^*^-5*') ή solve('-^*^-5*') υπολογίζει την προσέγγιση της πραγµατικής ρίζας της f() µε ακρίβεια και 6 σ.ψ. αντίστοιχα:.98975 % formt log.98975e- % formt log e Παρατήρηση : Στον παρακάτω πίνακα (που συµπεριλαµβάνει και την 5 η επανάληψη) φαίνεται καθαρά η βραδύτητα της µεθόδου διχοτόµισης στην επίτευξη ικανοποιητικής ακρίβειας σε συνδυασµό µε τη γραµµικό- Πανεπιστήμιο Πατρών -7-6//9

τητα µείωσης του σφάλµατατος στις διαδοχικές επαναλήψεις. (Υπόµνηση: ως γνωστόν για µεγάλο ισχύει e e - /). Ενώ το σχετικό σφάλµα e ( -)/ είναι ικανοποιητικό στην πρώτη επανάληψη (ακρίβεια σ.ψ., η αρχική διχοτόµιση «πέφτει» συµπτωµατικά κοντά στη ρίζα), χειροτερεύει στη η και η (ακρίβεια σ.ψ.), για να βελτιωθεί στη συνέχεια (ακρίβεια σ.ψ.), πάντα όµως γραµµικά. Προσέγγιση ιάστηµα Σχετ. σφάλµα ακρίβεια προσέγγισης.5 [,.5].9<.55e- σ.ψ..5 [,.5].5<.5 σ.ψ..875 [.5,.5].85<.5 σ.ψ..87 [.875,.5].5<.55e- σ.ψ. 5. [.875,.5].<.5 σ.ψ. Η προσέγγιση.87 που βρήκαµε είναι ακριβής σε σ.ψ. και σε σχέση µε την προσέγγιση της ρίζας της f στην αναπαράσταση πραγµατικών double. Συγκεκριµένα ισχύει: (.87-.98975e-)/.98975e-.5966687e-<5e- (γ) Το απόλυτο σφάλµα φράσσεται από την ανισότητα e (b - )/. Ο µέγιστος αριθµός επαναλήψεων για να επιτευχθεί (απόλυτο) σφάλµα e µικρότερο από την ανοχή - είναι: N log(b - ) - log(e) log(.5- ) - log(.e- ) log() log().89 m Σηµείωση. Ισοδύναµα, στο Mtlb δίνουµε την εντολή Νmroud((log(.5)-log(.e-))/log()) (δ) Ο αλγόριθµος της διχοτόµισης τερµατίζεται όταν το µήκος του διαστήµατος [, b] γίνει «αρκούντως µικρό». Στην τελευταία στήλη του πίνακα του ερ. (β) φαίνονται οι σχετικοί έλεγχοι πάνω σε µια δοθείσα ανοχή. Συνεπώς δεχόµαστε µια ανοχή delt- (ενδεικτικά 5). Κατόπιν αυτού το κριτήριο µπορεί να διατυπωθεί: if bs(-b)>e-5, bre; (δ) Προφανώς f C [,.5] και συνεπώς συντρέχουν όλες οι προϋποθέσεις σύγκλισης της ακολουθίας Newto-Rphso στην απλή πραγµατική ρίζα r:.5 - - 5,,,... - 6 5 Η σύγκλιση προφανώς θα είναι τετραγωνική για h στην περιοχή της ρίζας, και -πιο συγκεκριµέναστο επιλεγέν διάστηµα (,.5): e () g ( h) e * f (r) f (r) e -r - 6r 6 6r -5 e - r -r 6r -5 e ( ) - r e r 6r 5 Πανεπιστήμιο Πατρών -8-6//9

Ξεκινώντας µε.5 και εκτελώντας τις πράξεις σε α.κ.υ. σ.ψ., λαµβάνουµε τις εξής διαδοχικές προσεγγίσεις, µαζί µε τις τιµές της προσέγγισης σχετικού σφάλµατος e ( - - )/ -. Προσέγγιση Σχετικό σφάλµα e Έλεγχος σφάλµατος.88.875 <.55e-.9. <.55e-.9 < 5e- Παρατηρούµε ότι χρειάστηκαν µόλις επαναλήψεις για έχουµε ακρίβεια σ.ψ. Σηµείωση. Η προσέγγιση.9 είναι ακριβής ως προς την ρίζα r και στα σ.ψ.: (.9-.98975)/.98975 7.96768889e-5 < 5e- Παρατήρηση Αν εργαστούµε σε περιβάλλον µε αναπαράσταση πραγµατικών double (π.χ. Mtlb), λαµβάνουµε τις εξής διαδοχικές προσεγγίσεις, της ακολουθίας Ν-R, µαζί µε τις τιµές του σχετικού σφάλµατος e ( - - )/ -. Προσέγγιση Σχετικό σφάλµα e Έλεγχος σφάλµατος ακριβή σ.ψ..885599e- 8.7576786e- < 5e-.98958566e-.7777959e- < 5e-.989757e-.97678799986e-7 < 5e-7 7.989759e- 5.88697899e-5 < 5e- Παρατηρούµε ότι η η προσέγγιση συµφωνεί µε την ρίζα r σε σ.ψ (ακρίβεια σ.ψ.). Άσκηση. α. Ποια είναι η ακολουθία Newto-Rphso για την προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας ε- νός θετικού αριθμού ; β. Βρείτε με την παραπάνω μέθοδο μια προσέγγιση της 7 με ακρίβεια 5 σημ. ψηφίων. Να γραφούν όλες οι ενδιάμεσες προσεγγίσεις και να δικαιολογηθεί το αποτέλεσμα. γ. Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της παραπάνω μεθόδου; Και ποια η μαθηματική της σημασία στην περίπτωση αυτή; Απαντήσεις α) Βλ. παράδειγµα βιβλίου. β) Είναι 7, συνεπώς αναζητούµε µια από τις δύο λύσεις της f() -7 (έστω τη θετική) που είναι συνεχώς παραγωγίσιµος σε όλο το R. H ακολουθία N-R είναι: 7,,, Πανεπιστήμιο Πατρών -9-6//9

Επιλέγουµε o (η αρχική προσέγγιση είναι ακριβής σε ένα σ.ψ.) Εφαρµόζοντας τώρα έλεγχο στο απόλυτο και στο σχετικό σφάλµα αντίστοιχα (βλ. κριτήρια σελίδας I-5 διδακτικού βιβλίου), λαµβάνουµε διαδοχικά: -( -7)/(* ).75 µε -.75.75e και ( - )/.75e- -( -7)/(* ).677 µε -..e- και ( - )/.7e- -( -7)/(* ).658 µε -.9.9e- και ( - )/ 7.76e- -( -7)/(* ).658 µε - και ( - )/ Συνεπώς η ζητούµενη προσέγγιση είναι η. Χρειάστηκαν συνολικά 5 για την επίτευξη της ζητούµενης ακρίβειας. log επαναλήψεις Γράφημα : Γράφημα της f() -7 στο διάστημα [,] και επαναλήψεις της μεθόδου Ν-R γ) Η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική, εφ όσον η ρίζα της f() -7 είναι απλή: f (r)r. Τετραγωνική σύγκλιση σηµαίνει ότι, αν e -r είναι το απόλυτο σφάλµα, τότε η ακολουθία e / e συγκλίνει σε ένα θετικό αριθµό. Τότε θα ισχύει και η πρσεγγιστική σχέση: e () g ( h) e όπου g είναι η συνάρτηση επανάληψης (σταθερού σηµείου) στην περίπτωση της Ν-R, g()f()/f () και h ικανοποιητικά κοντά στη ρίζα r. Άσκηση. (α) Να υπολογισθεί η μικρότερη πραγματική λύση της εξίσωσης f() -e με εφαρμογή του αλγορίθμου Newto-Rphso και με ακρίβεια σ.ψ. Να καθορισθεί αρχικά διάστημα της λύσης με τη βοήθεια γραφικής παράστασης. Για την αρχική προσέγγιση να εφαρμοσθεί Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

η μέθοδος διχοτόμησης ( επαναλήψεις). Να γραφούν τέλος, τα ενδιάμεσα βήματα και να δικαιολογηθεί η τελική προσέγγιση. (β) Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της µεθόδου Newto-Rphso, όπως εφαρµόστηκε στο ερώτηµα (α) και τι σηµαίνει αυτό για το σφάλµα; Απαντήσεις (α) H f είναι προφανώς συνεχής σε ολόκληρο το R. ίνουµε το γράφηµά της f στο διάστηµα [-, ], στο οποίο εµφαίνεται ότι υπάρχουν ρίζες. Για τον εντοπισµό τους αναζητούµε τις ρίζες εντός του [,] µε βήµα (προφανώς είναι f()f()<). Λαµβάνουµε διαδοχικά: f(-)*f(-).9e> f(-)*f(-) 9.755> f(-)*f(-).9> f(-)*f() -.6< f()*f() -.87< f()*f().99> f()*f().88> f()*f() -5.67< Εποµένως οι ρίζες ανήκουν στα διαστήµατα (-,), (,) και (,) (το παραπάνω συµπέρασµα µπορεί να εξαχθεί και κατόπιν µελέτης της f ως προς τη µονοτονία και τοπικά ακρότατα). Θεωρούµε τώρα το διάστηµα (-,) της µικρότερης λύσης. Εφαρµόζοντας τη µέθοδο της διχοτόµισης για τον καθορισµό µιας αρχικής προσέγγισης, έχουµε: (-)/ και f(-/)f() -.5 και εποµένως η ρίζα ανήκει στο (-/,). (-/)/-/-.5 Γράφημα. Γράφημα της -e για τον εντοπισμό της μικρότερης ρίζας. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Λαµβάνουµε τώρα σαν αρχική προσέγγιση u της µεθόδου Ν-R την, οπότε ο επαναληπτικός τύπος δίνεται: δηλαδή: f ( u ) u u,,,... µε u f '( u ) e u u,,,... µε u -.5 6 e Λαµβάνουµε διαδοχικά τις επαναλήψεις: u -.595, µε u - u.595 u -.68, µε u - u.87 u -.59, µε u - u.8.8*e-<.5 e- και αποµένως απαιτήθηκαν µόνον επαναλήψεις για να επιτευχθεί η ζητούµενη ακρίβεια. (β) Η ρίζα που βρέθηκε είναι απλή. Εποµένως η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική και η ακολουθία e / e συγκλίνει: e e g (h) /, όπου g()-f()/f () ή: e * f (ξ) f (ξ) e * 6 - e ξ 6ξ - e ξ e (ξ είναι η ρίζα) Αυτό σηµαίνει ότι το απόλυτο σφάλµα στο βήµα είναι ανάλογο του τετραγώνου του σφάλµατος στο βήµα -. Άσκηση.5 (α) Να δοθεί η ακολουθία Newto-Rphso για την προσέγγιση της ρίζας 7 /. (β) Βρείτε με την παραπάνω μέθοδο μια προσέγγιση της 7 / με ακρίβεια σημ. ψηφίων. Για την αρχική προσέγγιση να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος διχοτόμησης. Να γραφούν όλες οι ενδιάμεσες προσεγγίσεις και να δικαιολογηθεί το αποτέλεσμα. (γ) Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της μεθόδου Newto-Rphso, όπως εφαρμόστηκε στο ερώτημα (α) και τι σημαίνει αυτό για το σφάλμα; Απαντήσεις: (α) Είναι f() -7 και f (). Προφανώς η f είναι συνεχώς παραγωγήσιµη µέχρι ης τάξης σε ολόκληρο το R. Η ακολουθία Ν-R είναι: - -f( - )/f ( - ),, από όπου: - - ( - -7)/ -, Σαν αρχική προσέγγιση λαµβάνουµε µια τιµή στην «περιοχή της ρίζας», π.χ..6. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

(β) Επιλέγουµε το αρχικό «επαρκώς κοντά» στη ρίζα µε τη µεθοδο διχοτόµισης: Είναι f(.5) -.75 και f(.6).576 µε f(.5)*f(.6)<, οπότε η ρίζα ανήκει στο (.5,.6). ιχοτοµούµε: (.5.6)/.55 µε f(.55)-.86. Το νέο διαστηµα της ρίζας είναι το (.55,.6). Με νέα διχοτόµηση έχουµε (.55.6).58. Ακριβώς αυτή θα ληφθεί ως αρχική προσέγγιση για τη µέθοδο Newto-Rphso στη συνέχεια. Λόγω συνέχειας των παραγώγων µέχρι δευτέρας τάξης, αναµένουµε σύγκλιση αν ξεκινήσουµε στην περιοχή της ρίζας. Εφαρµόζοντας τώρα την επανανάληψη Newto-Rphso µε.58, λαµβάνουµε διαδοχικά (τα υπόλοιπα δ.ψ. παραλέιπονται, λόγω εφαρµογής α.κ.υ. σ.ψ.): ο - ( -7)/ fl(.57).57 - ( -7)/ fl(.57).57 (!) δηλαδή η απαιτούµενη ακρίβεια επιτυγχάνεται µε µια µόνον επανάληψη και η ζητούµενη προσέγγιση είναι.57. Παρατήρηση : Το γεγονός ότι χρειάστηκε µόνον µια επανάληψη οφείλεται ακριβώς στο ότι λάβαµε την αρχική προσέγγιση πολύ κοντά στη ρίζα. (γ) Προφανώς η ρίζα ξ της f() -7 είναι απλή (τυπική δικαιολόγηση: είναι f () για ). Συνεπώς η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική, δηλ. ο λόγος e / e συγκλίνει και θα ισχύει: e e g (h) /. Αυτό σηµαiνει ότι το απόλυτο σφάλµα στο βήµα είναι ανάλογο του τετραγώνου του απολύτου σφάλµατος στο βήµα -. Συνεπώς, αν µια προσέγγιση είναι ακριβής σε ένα σ.ψ. σε κάποιο βήµα της επανάληψης, µετά από βήµατα θα είναι ακριβής σε σ.ψ. Παρατήρηση : Με άλλα λόγια, στην περίπτωση της τετραγωνικής σύγκλισης, αν η αρχική προσέγγιση είναι ακριβής σε σηµαντικό ψηφίο, τότε για να επιτευχθεί ακρίβεια σε m σηµαντικά ψηφία, απαιτούνται το πολύ log m επαναλήψεις. Άσκηση.6 ώστε µε κατάλληλη αιτιολόγηση ένα γρήγορο αλγόριθµο για τον υπολογισµό της ποσότητας 5. Να επιλεγεί κατάλληλη αρχική προσέγγιση και να γίνουν επαναλήψεις. Απάντηση Βρίσκουµε αρχικά ποιας εξίσωσης f αποτελεί λύση η πoσοσότητα 5. Έχουµε: -(5) ½ -(5) ½ ( -) -5 f() 6 - - Μια σύντοµη µελέτη της f καθώς και ένα γράφηµά της είναι χρήσιµα. H f είναι συνεχώς παραγωγήσιµος σε όλο το R. Επίσης: f ()6 5-6 6 ( -) f ()> για > (f αύξουσα) και f ()< για < (f φθίνουσα). Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

f () -6(5 -) Τα ακρότατα της f βρίσκονται στα σηµεία όπου f (), δηλ. στα και. Το είναι σηµείο καµπής (f ()), ενώ το ελάχιστο. (f ()8>). Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα: - - << << << f - -5 f - - - f 5 8 - Η f έχει λοιπόν πραγµατικές ρίζες, µια θετική και µια αρνητική και µιγαδικές (ανά δύο συζυγείς). Αναζητούµε φυσικά τη θετική ρίζα. Μια γραφική παράσταση της f φαίνεται στο γράφηµα. Γράφημα. Γραφική παράσταση της f() 6 - - και της παραγώγου της ( Στο Mtlb: fplot('[f6(),f6d()]',[- -5.5 ]),grid; ) Η αναζητούµενη ρίζα είναι θετική και είναι απλή αφού f ()> για r (, ). Προκειµένου να βρούµε προσεγγίσεις τις θετικής ρίζας r, παρατηρούµε f(.)*f(.5) -.56, εποµένως r (.,.5). Λαµβάνουµε µια πρώτη προσέγγιση µε διχοτόµιση: (..5)/.5. Θεωρώντας τώρα την επαναληπτική µέθοδο Newto-Rphso, ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις σύγκλισης και επιπλέον η σύγκλιση θα είναι τετραγωνική επειδή η ρίζα είναι απλή. Η επαναληπτική ακολουθία είναι: - - -,,,... 6 ( ) δοθέν 6 - - Θέτοντας.5 παίρνουµε τις ακόλουθες προσεγγίσεις (παραλείπουµε τα υπόλοιπα δεκαδικά ψηφία, αφού θεωρούµε ότι οι πράξεις γίνονται µε α.κ.υ. 5 σ.ψ.): Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

.8.79.79 Παρατηρούµε ότι, δηλ. η είναι ακριβής σε 5 σ.ψ. Εποµένως χρειάστηκαν µόνον επαναλήψεις για να επιτευχθεί ακρίβεια 5 σ.ψ. Σηµείωση Σύντοµη απάντηση: Η µελέτη της f και το γράφηµα είναι προαιρετικά. Χρειάστηκαν για να διαπιστώσουµε µε ασφάλεια σε ποια πραγµατική ρίζα της f αντιστοιχεί η δοθείσα ποσότητα, καθώς και για τον εγκλωβισµό της ρίζας αυτής. Θα µπορούσαµε πάντως να να εγκλωβίσουµε άµεσα τη θετική ρίζα χρησιµοποιώντας το διάστηµα h.5 και ελέγχοντας το πρόσηµο στα άκρα των διαστηµάτων [,.5] και [.5,]. Πράγµατι, f()f(.5)< δηλ. r (.5,.5). ιχοτοµούµε:.5 και θέτουµε το σαν αρχική προσέγγιση της N-R. Λαµβάνουµε διαδοχικά τις προσεγγίσεις καθώς και τις προσεγγίσεις του σχετικού σφάλµατος µε α.κ.υ. 5 σ.ψ.): - e (παραλείπουµε τα υπόλοιπα σ.ψ. αφού οι πράξεις γίνονται - Προσέγγιση Σχετικό σφάλµα e Έλεγχος σχετικού σφάλµατος.779.66e- >5*e-5.55 9.e- >5*e-5 %θα σταµατούσαµε εδώ!.889.78e- >5*e-5.79 6.9e- >5*e-5 5.79.57e- <5*e-5 %ακρίβεια 5 σ.ψ. 6.79 5.87e-8 <5*e-5 % περαιτέρω επαναλήψεις 7.79.658e- <5*e-5..................................... ηλ. χρειάστηκαν 5 επαναλήψεις για να επιτευχθεί ακρίβεια 5 σ.ψ. Οι επόµενες επαναλήψεις 6, 7, είναι ακριβείς σε περισσότερα σηµαντικά ψηφία. Άσκηση.7 Δώστε με κατάλληλη αιτιολόγηση ένα γρήγορο αλγόριθμο υπολογισμού της ποσότητας 5. Να επιλεγεί κατάλληλη αρχική προσέγγιση και να γίνουν επαναλήψεις. Απάντηση Παρατηρούµε κατ αρχήν ότι η υπολογιστέα ποσότητα είναι φανταστικός αριθµός και γράφεται: 5 5 5 ( ) i Πανεπιστήμιο Πατρών -5-6//9

Συνεπώς αρκεί να υπολογισθεί η: u img( ) 5. Έχουµε: 5 u u 5 u 5 u u δηλ. η u αποτελεί λύση της διτετράγωνης εξίσωσης: f ( ) Η f (βλ. γράφηµα 5) είναι συνεχής παντού, άρτια και αύξουσα στο [, ). Συνεπώς έχει δύο πραγµατικές και αντίθετες ρίζες και δύο µιγαδικές συζυγείς. Η u είναι η θετική της ρίζα, την οποία και αναζητάµε. Επιπλέον είναι f()f()<, δηλ. u (,) και f C [,], συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις σύγκλισης της ακολουθίας Newto-Rphso. Επιλέγουµε ως αρχική προσέγγιση το µέσον.5 του [,]: 8 6 - - -6-8 - - -.5 - -.5.5.5 Γράφημα 5. Γραφική παράσταση της f() - και της παραγώγου της ( Στο Mtlb: fplot('[f6(),f6d()]',[- - ]),grid; ) u u.5 u u u - ( u ) ),,,... Η ρίζα u είναι απλή, συνεπώς αναµένουµε τετραγωνική σύγκλιση. Λαµβάνουµε τις εξής διαδοχικές επαναλήψεις µε αναπαράσταση πραγµατικών διπλής ακρίβειας (εµφάνιση σε formt log e): Πανεπιστήμιο Πατρών -6-6//9

Προσέγγιση 9.58e- 8.858677569e- 7.877799867e- 7.86579579e- 7.86577766758e- 7.86577757e- 7.86577757e- Σχετικό σφάλµα 9.66666666666665e-.6555e-.757796887e-.675578668e-.9698796e-6 9.569686e- Ακρίβεια σ.ψ. 6 6 Συνεπώς µετά από 6 επαναλήψεις επιτυγχάνεται ακρίβεια σε 6 σ.ψ. Η ζητούµενη προσέγγιση είναι: u*7.86577757e- Πανεπιστήμιο Πατρών -7-6//9

. Γραµµικά Συστήµατα- ιασπάσεις-ανάλυση Σφάλµατος- Νόρµες Άσκηση. Δίνεται το μητρώο Α [ ; ; ]. Για όλα τα ερωτήματα υποθέτουμε ότι οι πράξεις γίνονται με α.κ.υ. σ.ψ. και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα στρογγύλευσης. α. Βρείτε το δείκτη κατάστασης του Α με χρήση των φυσικών νορμών, και «άπειρο». β. Βρείτε με τη μέθοδο Guss μια λύση για το σύστημα Α(,-5,) Τ, δουλεύοντας με α.κ.υ. σημαντικών ψηφίων και στρογγύλευση. γ. Θεωρώντας μόνον σφάλματα στρογγύλευσης κατά τους υπολογισμούς, βρείτε φράγματα για το σχετικό σφάλμα της λύσης του παραπάνω συστήματος. δ. Εξετάστε αν ο πίνακας Α είναι θετικά ορισμένος, χωρίς να γίνει χρήση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Στη συνέχεια επαληθεύστε, υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές. ε. Θεωρούμε συστήματα της μορφής Ab, όπου Α[ 6 ; - ; 9 ; 7 ] και b τυχαίο διάνυσμα. Να διατυπωθεί τυπικά και να υπολογισθεί η πλέον αποδοτική διάσπαση για το μητρώο Α. Απαντήσεις α) Υπολογίζουµε τώρα τον Α - µε τη µέθοδο Guss-Jord: [Α Ι] [Ι Α - ]. Λόγω της ειδικής µορφής του Α, παρατηρούµε ότι τα µηδενικά στοιχεία των στηλών και παραµένουν και στον α- ντίστροφο! (απλή εφαρµογή Γραµµικής Άλγεβρας). Λαµβάνουµε τελικά: A. -.5.5 -.667. ουλεύοντας τώρα µε κάθε νόρµα ξεχωριστά έχουµε: Νόρµα : Α, Α -.667, (Α) Α Α - *.667.6667 Νόρµα «άπειρο»: Α, Α -.5, (A)6 Νόρµα : Α ρ ( A). Εδώ θα πρέπει να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές του Α Τ Α. Ο Α A Τ δεν είναι συµµετρικός, οπότε θα είχαµε Α ρ ( A) ρ ( A ) A Τ ( ρ ( A)) ρ(α). Οδηγούµαστε λοιπόν υποχρεωτικά στην εύρεση των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου φ(λ)det(α Τ Α-λI) που είναι ένα πλήρες πολυώνυµο τρίτου βαθµού, όχι εύκολα παραγοντοποιήσιµο. Θα υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές µε τη βοήθεια του Mtlb (επαληθεύστε τα αποτελέσµατα!): eig(a'*a) [.759,.586,.88] Τ Biv(Α); Πανεπιστήμιο Πατρών -8-6//9

eig(b'*b) [.99,.9,.76] Τ απ όπου: Α. 88. 988 και Α -.76.79 και εποµένως: (A) Α Α -.7866. Επιβεβαιώνουµε: od(a,).7866 Παρατηρούµε ότι ο δείκτης κατάστασης είναι µικρός, οπότε µπορούµε να δεχθούµε το σχετικό υπόλοιπο ως ενδεικτικό για την τάξη µεγέθους του σχετικού σφάλµατος. [ ιαβάστε εδώ την παραποµπή ] β) Εφαρµόζουµε απαλοιφή στον επαυξηµένο [Α b], µε b(,-5,) Τ, εκτελώντας τις πράξεις σε α.κ.υ. σ.ψ. Λαµβάνουµε: [ A b] -5-5 5/ - 5.5 Εφαρµόζοντας απαλοιφή και πίσω αντικατάσταση, υπολογίζουµε τελικά µια προσεγγιστική λύση *: *[.5, -.5,.67] Τ Παρατηρούµε ότι µε α.κ.υ..σ.ψ. υπάρχει κατ αρχήν απώλεια σ.ψ. στη διαίρεση /.5.66., οπότε η τρίτη συνιστώσα δεν είναι ακριβής! γ) Εφαρµογόζουµε τη διπλή ανισότητα για τον δείκτη κατάστασης. r σ / (A) ε σ r σ * (A) () Υπολογίζουµε τις εµπλεκόµενες ποσότητες, ενδεικτικά µε τη νόρµα «άπειρο»: r r σ b b A b * (σχετικό υπόλοιπο-residul) Είναι * b A [,, -.] ] Τ * (αυτό το περιµέναµε!), b 5, b A., οπότε: r σ.e- Η () γράφεται: Πανεπιστήμιο Πατρών -9-6//9

Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9.e-5 ε σ..e- δ) Από το θεώρηµα των κύκλων Gerhgori προκύπτει λ- λ, λ- λ (βρέθηκε η µια ιδιοτιµή) λ- λ, που συναληθεύουν στο [, ]. Εξ άλλου o A είναι προφανώς αντιστρέψιµος και εποµένως το δεν είναι ιδιοτιµή. Εποµένως λ (,] και άρα ο Α είναι θετικά ορισµένος. Οι ιδιοτιµές του Α υπολογίζονται άµεσα από την det(a-λι): ) )( )( ( ) ( λ - λ - λ - ) det( λ λ λ λ λ λ A και συνεπώς λ, λ, λ, όλες θετικές και ρ(α). ε) O Α είναι ταινιακός. Θα µπορούσαµε βέβαια να διαπιστώσουµε ότι είναι και αντιστρέψιµος ε- λέγχοντας την ορίζουσα (εδώ det(a)8 ), αλλά αυτό µπορεί να ελεγχθεί κατά την εφαρµογή του αλγορίθµου διάσπασης!. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν εναλλαγές γραµµών (PI), επιχειρούµε λοιπόν τη διάσπαση. Αν δεν ισχύει η υπόθεση, θα προκύψει µη επιτρεπτή πράξη: διαίρεση δια (ο οδηγός είναι, δηλ. µη συµβιβαστό σύστηµα): 6 6 6 7 9 6 u l u l u l u l u l l u u u l l l LU A από όπου παίρνουµε το σύστηµα: l 6l u u -6 l u 9 l 9/(-6) -.565 -l u u * (-.565).875 l u 7 l 7/.875.7 l u u -*.7 -.9 Εποµένως ο Α είναι άµεσα διασπάσιµος. Σηµείωση: Επιβεβαιώνουµε στο Mtlb:

>> L*U s. 6... -. 9... 6.9999. Παρατήρηση: Το Mtlb στη διάσπαση LU εφαρµόζει µερική οδήγηση (και στους ταινιακούς πίνακες). Συνεπώς, όταν P I (εναλλαγή οδηγού µε άλλον µεγαλύτερο σε απόλυτη τιµή), οι L και U δεν έχoυν την παραπάνω µορφή στην έξοδο. Αντ αυτού θα ισχύει PALU. οκιµάζουµε: >> [L, U, P]lu(A) L.....596 -.587. U.. -. 9... 7.. -.6 P Πράγµατι P I και εύκολα επαληθεύουµε ότι PΑLU. Άσκηση. Στα παρακάτω ερωτήματα υποθέτουμε ότι δουλεύουμε με α.κ.υ. 5 σημαντικών ψηφίων. Δίνεται ο πίνακας : A 5 α) Με βάση ιδιότητες του Α (βρείτε τις και αιτιολογείστε τις), υπολογίστε μια γρήγορη διάσπαση LU του Α, χωρίς να εφαρμοσθεί η κλασσική απαλοιφή (Guss). β) Είναι όλες οι ιδιοτιμές του Α πραγματικές και γιατί; γ) Εξετάστε αν ο Α είναι θετικά ορισμένος χωρίς να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές του. Βρείτε διαστήματα στα οποία ανήκουν οι ιδιοτιμές δ) Εξετάστε τώρα αν υπάρχει απλούστερη διάσπαση για τον Α. Εάν υπάρχει, δώστε την, υ- πολογίζοντας τον ή τους απαιτούμενους πίνακες. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Απαντήσεις: α) Ο Α προφανώς έχει αυστηρή διαγώνια κυριαρχία και εποµένως είναι αντιστρέψιµος και άµεσα διασπάσιµος: ΑLU. Επειδή είναι και είναι τρισδιαγώνιος, οι τριγωνικοί πίνακες L και U έχουν τις γνωστές ειδικές µορφές: Ο L περιέχει στην η διαγώνιο, τα στοιχεία l i,i (i,,) (κάτω διαγώνιος του L) στην κάτω διαγώνιο και στα υπόλοιπα στοιχεία. Ο U περιέχει τα u ii (i,,) στη η διαγώνιο και τα i,i (i,,) της πάνω διαγωνίου του Α στην πάνω διαγώνιό του: l A LU l l u l u l u l u u u * l u l u u u l u Από την ταυτότητα ALU καταλήγουµε συστηµατικά στις παρακάτω εξισώσεις ως προς l ij και u ii. L () U () u L () U () l u l.5 5L () U l u u.75 -L () U () l u l -.5 L () U () l u u.7895 L U l u l.585 L U l u u.65 και εποµένως οι L και U έχουν καθοριστεί πλήρως. β) Παρατηρούµε ότι ο Α είναι συµµετρικός και συνεπώς έχει πραγµατικές ιδιοτιµές, σύµφωνα µε γνωστή πρόταση της Γραµµικής Άλγεβρας. γ) Βρήκαµε ότι οι ιδιοτιµές του Α είναι πραγµατικές. Εφαρµόζουµε τώρα το Θεώρηµα των κύκλων του Gershgori και λαµβάνουµε ότι οι ιδιοτιµές λ ανήκουν στην εξής ένωση κύκλων: Ε(Α) C[(,), ] C[(5,), ] C[(,), ] C[(,), ] ή ισοδύναµα κάθε ιδιοτιµή λ πληροί µια από τις ανισότητες: λ-, λ-5, λ-, λ- από όπου προκύπτουν οι ανισότητες ή: - λ-, - λ-5, - λ-, - λ- λ 5, λ 7, λ 5, λ Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9 Παρατηρούµε ότι όλες οι ιδιοτιµές οριοθετούνται σε θετικά διαστήµατα, εποµένως είναι θετικές. Πιο συγκεκριµένα, οι παραπάνω ανισότητες συναληθεύουν στο διάστηµα Ε(Α)[,7], άρα θα είναι λ >. Αφού ο πίνακας Α είναι συµµετρικός και έχει θετικές ιδιοτιµές, από σχετικό θεώρηµα (βλ. παραποµπή ) είναι θετικά ορισµένος. Παρατήρηση: Το ότι ο Α είναι θ.ο., µπορεί να εξαχθεί άµεσα: είναι συµµετρικός, παρουσιάζει α.δ.κ. και έχει θετικά διαγώνια στοιχεία (βλ. παραποµπή ). δ) Η απλούστερη διάσπαση είναι η διάσπαση Cholesi, η οποία ισχύει στην περίπτωσή µας, αφού ο Α είναι συµµετρικός και θ.ο.: Α L L T όπου L κάτω τριγωνικός πίνακας. Επειδή ο Α είναι τρισδιαγώνιος, ο L θα έχει διδιαγώνια µορφή: α β α β α β α L Η Α L L T τώρα γράφεται: * T LL A β β β β β β β β β β β β β β β Οι άγνωστοι α i και β j υπολογίζονται από το σύστηµα ij L (i) (L T ) (j) L (i) L (j) T, i,j,..,, το οποίο προφανώς ανάγεται (λόγω συµµετρίας) σε σύστηµα 7 διαφορετικών εξισώσεων µε 7 αγνώστους, το οποίο αναµένουµε φυσικά να έχει πραγµατικές λύσεις: α α α β β.5 β α 5 α 5 (.5).75 α.79 α β - β -/.79 -.588 β α α (-.588).7895 α.67 α β β /.67.5987 β α α (.5987).66 α.8 Συνεπώς:

. L.5.79.588.67.5987, µε ΑLL T.8 Άσκηση. Δίνεται ο πίνακας A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ]. Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε σε α.κ.υ. σημ. ψηφίων με εφαρμογή στρογγύλευσης και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε απώλεια ακρίβειας κατά τους υπολογισμούς. α) Αφού εξετάσετε διεξοδικά και αναφέρετε όλες τις ιδιότητες του Α, να δικαιολογήσετε και να δώσετε την απλούστερη δυνατή (από πλευράς μνήμης-ταχύτητας) διάσπαση του Α, υπολογίζοντας τους εμπλεκόμενους πίνακες. β) Πόσο «καλός» υπολογιστικά είναι ο Α για την επίλυση ενός συστήματος Ab (b R ) και γιατί; Παίζει ρόλο το b; γ) Για ποια πραγματικά συγκλίνει η επαναληπτική μέθοδος A- ( R, δοθέν) για κάθε αρχικό ; Απαντήσεις α) Ο Α είναι συµµετρικός τρισδιαγώνιος, έχει α.δ.κ. και θετικά διαγώνια στοιχεία. Οι δύο τελευταιες ιδιοότητες εξασφαλίζουν το ότι είναι θ.ο. Εποµένως ο Α επιδέχεται την απλούστερη και πλέον αποδοτική σε µνήµη και ταχύτητα διάσπαση, τη διάσπαση Cholesi: ALL T. O L θα είναι της µορφής: α L α β α α Από την ταυτότητα: A L T L β β β Λαµβάνουµε 5 εξισώσεις µε 5 αγνώστους. Βρίσκουµε τελικά: Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

. L.88.7678.79. ) Υπολογίζουµε το δείκτη κατάστασης: Α.5 A.5 -.8 -.8.5.5 Α -.5 Άρα (A)6.5. Λόγω της µικρής τιµής του (A), o Α είναι υπολογιστικά καλός ανεξαρτήτως της τιµής του σταθερού διανύσµατος b. Μπορούµε λοιπόν να εµπιστευθούµε το σχετικό υπόλοιπο έναντι του σχετικού σφάλµατος. ) Η επαναληπτική µέθοδος συγκλίνει εάν και µόνον εάν ρ(a)<, δηλαδή θα πρέπει ρ(α)< ή </ρ(α). Βρίσκουµε λοιπόν τις ιδιοτιµές του Α: λ λ 8 λ det(λι-α) ( )( ) ( 8) 5 ( )( )( )( ) 5 5 λ 8 λ λ λ Συνεπώς ρ(α) και η ζητούµενη συνθήκη είναι: </. λ λ λ λ Άσκηση. Δίνεται ο πίνακας (μητρώο) A και το διάνυσμα b: A[ ; 8 ; 8 ; ], b[ -] Τ Έστω επίσης ότι ισχύει α.κ.υ. σ.ψ. Με εφαρμογή της μεθόδου Guss-Jord (ή στο Mtlb ) βρίσκουμε τον Α - : Α - [. ;.667 -.8 ; -.8.667 ;.5] α) Κάνοντας τους κατάλληλους υπολογισμούς, πόσο «καλός» περιμένετε να είναι ο Α για την υπολογιστική επίλυση ενός συστήματος A και γιατί; Παίζει ρόλο σ αυτό και η τιμή του σταθερού διανύσματος ή όχι; Πανεπιστήμιο Πατρών -5-6//9

β) Θεωρούμε τώρα το συγκεκριμένο σύστημα Αb. Να δώσετε με συστηματικό τρόπο και με πλήρη δικαιολόγηση φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ της λύσης. α) Χωρίς καν να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές βρείτε διαστήματα στα οποία αυτές βρίσκονται. Υπάρχει κάποιο συμπέρασμα? β) Ποιες είναι τώρα οι ιδιοτιμές του Α και ποια η φασματική ακτίνα ρ(α); [Υπόδειξη:όλες οι ιδιοτιμές είναι ακέραιοι] γ) (α) Με βάση και τα παραπάνω, δώστε τώρα όλες τις μέχρι τώρα εμφανείς ιδιότητες του Α:,, κλπ. (β) Χωρίς να εφαρμοσθεί οποιοδήποτε σύνθετος υπολογισμός στον Α, πως μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο Α μπορεί να παραγοντοποιηθεί χωρίς να απαιτούνται εναλλαγές γραμμών? δ) Ο αλγόριθμος του Grout, υπολογίζει συστηματικά και άμεσα τον L και U, από την απαίτηση ALU, χωρίς να εφαρμόζει τυπικά τη γνωστή μέθοδο LU. Εφαρμόστε τoν συστηματικά, για τον υπολογισμό των L και U, αφού λάβετε υπ όψη και άλλη ιδιότητα του Α (από το ερώτημα (γ)) για την εύρεση των τελικών μορφών των L και U. ε) Λαμβάνοντας τώρα υπ όψιν όλες τις ιδιότητες του Α, υπάρχει απλούστερη ακόμα παραγοντοποίηση για τον Α και ποια είναι αυτή; Προσαρμόστε τον αλγόριθμο Grout στην περίπτωση αυτή, υπολογίζοντας τον, ή τους, εμπλεκόμενους πίνακες. Απαντήσεις: α) Αρκεί να βρούµε το δείκτη κατάστασης (A) του Α. Με χρήση της νόρµας «άπειρο» βρίσκου- µε: Α, Α - και άρα (A) Α Α -. Παρατηρούµε ότι ο (A) είναι σχετικά µικρός και εποµένως ο Α θα είναι υπολογιστικά καλός (συµφωνία σφάλµατος και υπολοίπου). Το σταθερό διάνυσµα δεν παίζει ρόλο. β) Αν ε σ το σχετικό σφάλµα, ως γνωστόν ισχύει η ανισότητα r σ / (A) ε σ r σ * (A) όπου r σ b-a * / b το σχετικό υπόλοιπο. Λύνοντας το Αb µε Guss και ακρίβεια σ.ψ., υπολογίζουµε την προσεγγιστική λύση * : * (.,.667, -.8, -.5) Τ Βρίσκουµε τώρα: rb-a *.e-5 *(,.,., -.) Τ b r σ r / b.e-6 και τελικά:.85e-7 ε σ.665e-5 Πανεπιστήμιο Πατρών -6-6//9

α) Σύµφωνα µε το Θ. των κύκλων του Gershgori οι ιδιοτιµές βρίσκονται στην ένωση κύκλων: C[(,), ] C[(8,), ] C[(,),], δηλ. ικανοποιούν τις ανισότητες -λ, 8-λ, -λ, που συναληθεύουν στην λ. Συνεπώς λ> και άρα ο Α είναι θετικά ορισµένος. Σηµείωση: Το ότι ο πίνακας Α είναι συµµετρικός και θ.ο. συνάγεται άµεσα από το γεγονός ότι έχει α.δ.κ. και θετικά τα διαγώνια στοιχεία (βλ. Παραποµπή ). Εποµένως θα είναι και λ>. β) Οι ιδιοτιµές είναι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου φ(λ)det(a-λι). Αναπτύσσοντας την ορίζουσα προκύπτει αµέσως: λ det((a-λι) 8λ 8λ λ (-λ)(-λ)[(8-λ) - ] (-λ)(-λ)[(8-λ-)(8-λ) (-λ)(-λ)(-λ)(-λ) Συνεπώς οι ιδιοτιµές είναι οι,, και. Η φασµατική ακτίνα είναι ρ(α). γ) (α) Ο Α είναι συµµετρικός, τρισδιαγώνιος και θετικά ορισµένος. Επιπλέον έχει α.δ.κ. και ως εκ τούτου αντιστρέψιµος. (β) Επειδή ο Α είναι α.δ.κ. (ή επειδή ο Α είναι θ.ο.), σύµφωνα µε σχετικό θεώρηµα, ισχύει η άµεση διάσπαση ΑLU (δεν υπάρχουν εναλλαγές γραµµών, ή PI). δ) Επειδή ο Α είναι τρισδιαγώνιος θα ισχύει η διάσπαση (οι L και U θα έχουν απαραίτητα διδιαγώνια µορφή): ΑLU l u u u u όπου οι προσδιοριστέοι άγνωστοι είναι µόνον 5: οι l και u ii, i,,. Εξισώνοντας συστηµατικά κατά στήλες, λαµβάνουµε τελικά (εδώ παραλείπονται οι ενδιάµεσες εξισώσεις):. L..5., U. 8 6 ε) Επειδή ο Α είναι συµµετρικός και θ.ο. ισχύει η διάσπαση Cholesi ALL T, όπου L κάτω τριγωνικός. Αφού ο Α είναι και τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα είναι και ο L, δηλαδή θα ισχύει: Πανεπιστήμιο Πατρών -7-6//9

L(,)L(,)L(,). Επιπλέον, παρατηρούµε αµέσως ότι θα είναι και L(,)L(,). Επο- µένως οι προσδιοριστέοι άγνωστοι είναι µόνον. Θέτουµε: l L l l l και l l Α l l l l l l l l l Εξισώνοντας συστηµατικά κατά στήλες, λαµβάνουµε τελικά (εδώ παραλείπονται οι ενδιάµεσες εξισώσεις):. L.88..95. Άσκηση.5 Δίνεται ο πίνακας A και το διάνυσμα b: A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ], b[ -] Τ Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε σε α.κ.υ. σημ. ψηφίων με εφαρμογή στρογγύλευσης και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε απώλεια ακρίβειας κατά τους υπολογισμούς. Υπόδειξη: O Α - υπολογίζεται εύκολα. Έχει την ίδια μορφή με τον Α με Α - (,)/α, Α - (,)/α και με κεντρικό μπλόκ ίσο με το αντίστροφο του αντίστοιχου μπλοκ του Α: Α - (:, :) [A(:, :)] - ) Εξετάζοντας προσεκτικά και διεξοδικά τις ιδιότητες του Α, δώστε και δικαιολογείστε την απλούστερη δυνατή παραγοντοποίηση LU του Α, υπολογίζοντας τους απαραίτητους πίνακες. ) Πόσο «καλός» υπολογιστικά είναι ο Α για την επίλυση ενός συστήματος A ( R ) και γιατί; ) Δώστε με συστηματικό τρόπο και με πλήρη δικαιολόγηση αριθμητικά φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ της λύσης του συστήματος Αb. Να γίνει χρήση της νόρμας «άπειρο». Πανεπιστήμιο Πατρών -8-6//9

Πανεπιστήμιο Πατρών -9-6//9 Απαντήσεις ) ιαπιστώνουµε άµεσα ότι ο Α είναι τρισδιαγώνιος, συµµετρικός, µε αυστηρή διαγώνια κυριαρχία και µε θετικά διαγώνια στοιχεία. Εποµένως σύµφωνα µε το κριτήριο (iv) της της παραπο- µπής, είναι θετικά ορισµένος και συνεπώς επιδέχεται διάσπαση Cholesi ΑL T L όπου L κάτω τριγωνικός (εναλλακτικά µπορούµε να φθάσουµε στο ίδιο συµπέρασµα εφαρµόζοντας το Θεώρη- µα των κύκλων Gershgori). Όπως και στην άσκηση, συµπεραίνουµε ότι ο L θα έχει τη διδιαγώνια µορφή: α α β α α L και συνεπώς θα είναι: * T LL A β β β β β Έχουµε 5 εξισώσεις µε 5 αγνώστους. Επιλύοντας συστηµατικά τις προκύπτουσες εξισώσεις µε α.κ.υ. σ.ψ., λαµβάνουµε τελικά:..8.768.88 L ) Θα υπολογίσουµε το δείκτη κατάστασης (A) µε χρήση της νόρµας. Ο Α - θα είναι παρο- µοίως τρισδιαγώνιος και συµµετρικός και υπολογίζεται εύκολα: Α.5.5 -.8 -.8.5 A Α - (A)* O δείκτης κατάστασης είναι της τάξης του και συνεπώς το µητρώο Α αναµένεται να έχει καλή υπολογιστική συµπεριφορά για την επίλυση ενός συστήµατος Α: δηλ. µπορούµε να εµπιστευτούµε το σχετικό υπόλοιπο για την τάξη µεγέθους του σχετικού σφάλµατος.

) Το σχετικό σφάλµα ε σ ως γνωστόν φράσσεται: r σ / (A) ε σ r σ * (A) όπου r σ b-a * / b το σχετικό υπόλοιπο. Λύνοντας το Αb µε Guss και ακρίβεια σ.ψ., υπολογίζουµε την προσεγγιστική λύση * : * (.,.5, -.8, -.5) Τ Εξ άλλου είναι (οι υπολογισµοί πάντα σε α.κ.υ. σ.ψ. και στρογγύλευση!): rb-a *.e-5 *(,., -., -.) Τ b r σ r / b fl(.85e-6).85e-6 και τελικά:.e-7 ε σ.5e-5 Άσκηση.6 Δίνεται ο πίνακας Α Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε με αριθμητική κινητής υποδιαστολής σημαντικών ψηφίων. () Εξηγείστε, κάνοντας τους απαραίτητους υπολογισμούς, πως μπορεί να διαπιστωθεί ότι ο Α είναι μη ιδιάζων (αντιστρέψιμος). (α) Πoια ιδιότητα θα πρέπει να είχε ο Α, για να μπορούσε να διαπιστωθεί με το ελάχιστο υπολογιστικό κόστος (χωρίς να γίνει απαλοιφή) ότι είναι αντιστρέψιμος; (β) Πoια ιδιότητα θα πρέπει να είχε ο Α, για να μπορούσε να διαπιστωθεί με το ελάχιστο υπολογιστικό κόστος ότι είναι άμεσα παραγοντοποιήσιμος (δηλ. ALU); () Υποθέτουμε ότι εφαρμόζουμε εις το εξής απαλοιφή με μερική οδήγηση για την παραγοντοποίηση LU του Α. Τότε, παρατηρώντας προσεκτικά τη μορφή του Α και χωρίς καμία α- πολύτως αριθμητική πράξη, δώστε σε ένα βήμα μια οικονομική μορφή παραγοντοποίησης του Α, υποδεικνύοντας τους αγνώστους που πρέπει να υπολογισθούν. Δικαιολογείστε. () Υπολογίστε συστηματικά τους αγνώστους, όπως προκύπτουν από την μορφή παραγοντοποίησης της (.), εφαρμόζοντας α.κ.υ. σημαντικών ψηφίων. (5) Τι περιμένετε να σας επιστρέψει η κλήση [L, U, P]lu(Α) της συνάρτησης lu στη γλώσσα MATLAB; (6) Φράξτε τις ιδιοτιμές του Α σε διαστήματα, χωρίς να τις υπολογίσετε. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

(7α) Καλώντας τη συνάρτηση eig(b) της MATLAB για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών του πίνακα Β[e ; e ; e ; e]a, λαμβάνουμε: s.775.685777998 -.69777679.765659969 Είναι ο Β είναι θετικά ορισμένος και γιατί; (7β) Τι μπορείτε τότε να συμπεράνετε για την επιτυχία της διάσπασης Cholesi για τον πίνακα Β; Απαντήσεις () Εφαρµόζουµε απαλοιφή Guss (µε ή χωρίς οδήγηση). Καταλήγουµε τελικά στον αναγµένο κλιµακωτό πίνακα RΙ R, άρα ο Α είναι µη ιδιάζων (αντιστρέψιµος). (α) Αν είχε α.δ.κ., οπότε, όπως γνωρίζουµε, θα ήταν αντιστρέψιµος. (β) Αν και πάλι είχε α.δ.κ., οπότε, όπως γνωρίζουµε, θα ήταν ΑLU µε PI. () Εναλλάσσοντας τις γραµµές και (>) έχουµε Β PA, µε P[e ; e ; e ; e ] Παρατηρούµε όµως ότι ο Β είναι τρισδιαγώνιος. Tότε γνωρίζουµε ότι o Β παραγοντοποιείται ως εξής: Β LU l l l u * u u u (δεύτερη διαγώνιος του U δεύτερη διαγ. του B) και άρα µια οικονοµική µορφή διάσπασης είναι B PΑ LU l l l u * u u u Σηµ. Παρατηρούµε ότι η περαιτέρω απαλοιφή δεν εναλλάσσει γραµµές. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

() Σύµφωνα µε τα παραπάνω, ξεκινάµε από την ανάπτυξη της ταυτότητας BPΑLU και υπολογίζουµε συστηµατικά τους αγνώστους l i,i- και u ii από τις εξισώσεις που προκύπτουν. Αναπτύσσοντας τις χρήσιµες εξισώσεις κατά στήλες του Α λαµβάνουµε: b L U u b L U l u, άρα l.5 b - L U (l,,, ) (, u,, ) Τ l u, άρα u -.5 b L U (, l,, ) (, u,, ) Τ l u, και άρα l fl(-.666666666666667) -.667 (α.κ.υ. σ.ψ.).5 και παροµοίως: u.67 (α.κ.υ. σ.ψ.), l.75 και u.5. (5) Ακριβώς τα αποτελέσµατα που πήραµε παραπάνω, µαζί µε τον πίνακα µετάθεσης: [L, U, P]lu(Α) L.5.667.75, U.5.67..5 P (6) Από το Θ. των κύκλων του Gershgori έχουµε ότι οι ιδιοτιµές βρίσκονται στην ένωση των κύκλων C(( ii, ), R i ) του µιγαδικού επιπέδου µε R i Σ ij, i j. Για την περίπτωση του Α έχουµε: R, R, R, R και εποµένως για τις ιδιοτιµές λ ικανοποιούνται οι σχέσεις: λ- <, λ- <, λ- <, λ- < δηλαδή οι λ βρίσκονται στην ένωση των κύκλων: C((, ), ) C((, ), )[, 6]. (7α) H τρίτη ιδιοτιµή είναι αρνητική. Συνεπώς ο Α δεν είναι θ.ο. αφού δεν ισχύει η ικανή και α- ναγκαία συνθήκη λ>. (7β) Αφού ο Β δεν είναι θ.ο., η διάσπαση δεν είναι εφικτή. Σηµείωση: Πράγµατι στο Μtlb θα είχαµε: R hol(a) %hol: προκαθορισµένη συνάρτηση του συστήµατος που υλοποιεί την µέθοδο Cholesi??? Error usig > hol Mtri must be positive defiite. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Άσκηση.7 Δίνεται το σύστημα Ab με A[ -; --; -] και b[..6 -.] Με εφαρμογή της μεθόδου Guss-Jord (ή στο Mtlb ) βρίσκουμε τον Α - : Α - [.67.5.8 ;.5.75.5 ;.8.5.67] α) Χωρίς καν να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές βρείτε διαστήματα στα οποία αυτές βρίσκονται. β) Να δοθούν τώρα οι νόρμες, και «άπειρο» του Α. Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του Α και ποια η φασματική ακτίνα ρ(α); [Υπόδειξη: τουλάχιστον μια ιδιοτιμή που θα βρείτε είναι ακέραιος αριθμός] γ) Με βάση και τα παραπάνω, δώστε τώρα όλες τις μέχρι τώρα εμφανείς ιδιότητες του Α: αντιστρέψιμος,,, κλπ. δ) Ενδιαφερόμαστε για την παραγοντοποίηση LU του Α. Χωρίς να εφαρμοσθεί οποιοδήποτε σύνθετος υπολογισμός, πως μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο Α μπορεί να παραγοντοποιηθεί χωρίς να απαιτούνται εναλλαγές γραμμών? ε) Ο αλγόριθμος του Grout που διδάχτηκε στο μάθημα, υπολογίζει συστηματικά τον L και U, από την απαίτηση ALU, χωρίς να εφαρμόζει τυπικά τη γνωστή μας από την Γραμμική Άλγεβρα μέθοδο LU. Λαμβάνοντας τώρα υπ όψιν και άλλη τυχόν ιδιότητα του Α (από το ερώτημα (γ)). εφαρμόστε τoν συστηματικά, δίνοντας τελικά τα L και U. ζ) Λαμβάνοντας τώρα υπ όψιν όλες τις ιδιότητες του Α, υπάρχει απλούστερη παραγοντοποίηση για τον Α? Προσαρμόστε τον αλγόριθμο Grout στην περίπτωση αυτή, υπολογίζοντας τον, ή τους, εμπλεκόμενους πίνακες. Απαντήσεις α) Οι ιδιοτιµές φράσσονται σε διαστήµατα που υπαγορεύονται από το Θ. κύκλων Guersgori. Εποµένως έχουµε ότι οι ιδιοτιµές ανήκουν στην εξής ένωση κύκλων κέντρων ( ii, ) και ακτίνων R i Σ ij, j,, µε j i: λ C[(,), )] C[(,), )] C[(,), )] δηλ. τελικά λ [, ]. Επιπλέον, επειδή det(a-*i)det(a), το δεν είναι ιδιοτιµή (δηλ. ο Α είναι αντιστρέψιµος) και συνεπώς λ (, ], δηλαδή όλες οι ιδιοτιµές είναι θετικές και άρα ο Α είναι θετικά ορισµένος (από σχ. θεώρηµα). β) Υπολογίζουµε έυκολα: A, και A Αφού ο Α είναι συµµετρικός, αναµένουµε πραγµατικές ιδιοτιµές. Έχουµε: Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

λ Det(A-λΙ) λ λ (-λ)[(-λ)(-λ)-][-(-λ)](-λ)(λ -5λ5-)(-λ)(λ -5λ) απ όπου λ και 5 ± 56 5± λ,, δηλαδή: λ και λ Εποµένως η φασµατική ακτίνα ρ(α). Προφανώς ο Α είναι συµµετρικός. Η νόρµα συµµετρικού µητρώου προκύπτει άµεσα, συγκεκρι- µένα είναι ίση µε τη φασµατική του ακτίνα (βλ. και παραποµπή ): A Τ ρ(α Α) ρ(αα) ρ(α ) ( ρ(α) ) ρ(α) δηλαδή A στην περίπτωσή µας. Σηµείωση: Εναλλακτικός υπολογισµός της ορίζουσας µε χρήση γραµµικότητας (δεν προτιµάται εδώ, αλλά καλόν είναι να εφαρµόζεται για µεγέθη µητρώων >): λ λ λ λ λ (λ) λ ( λ) λ λ ( λ) λ (-)(-λ) [-(-λ)(-λ)] (λ-)[-λ 5λ-] λ λ γ) Οι άµεσα ορατές ιδιότητες είναι: συµµετρικός και τρισδιαγώνιος (ταινιακός). Επίσης είναι θετικά ορισµένος, αφού όλες οι ιδιοτιµές είναι θετικές όπως βρέθηκε, και άρα αντιστρέψιµος (από σχετικό θεώρηµα). δ) Ο Α είναι θετικά ορισµένος και άρα από σχετικό θεώρηµα είναι ΑLU (δεν απαιτούνται εναλλαγές γραµµών, δηλ. PI) ε) Αφού ο Α είναι και τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα ισχύει και για τους U και L. Άρα στην ταυτότητα Α LU, θα είναι: L(l ij ) κάτω τριγωνικός µε L(i,i) και L(,) U(u ij ) άνω τριγωνικός µε στοιχεία της ης διαγωνίου u(,)(,)- και u(,) (,)- και u((,). Συνεπώς υπάρχουν συνολικά 5 άγνωστοι. Εξισώνοντας συστηµατικά λαµβάνουµε τελικά: Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

L. και.6 U.667. (Παραλείπονται εδώ οι ενδιάµεσες εξισώσεις, ο αναγνώστης µπορεί να επαληθεύσει). ζ) Ναι. Αφού ο Α είναι θετικά ορισµένος (ιδιοτιµές θετικές) και συµµετρικός, επιδέχεται διάσπαση Cholesi: Α LL T ή ΑU T U () Αφού Α τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα είναι και ο U. Συνεπώς, για την προσαρµογή του αλγορίθµου Grout, απαιτούµε να ισχύει η (), όπου U (u ij )άνω τριγωνικός και u(,). Άρα υπάρχουν συνολικά 5 άγνωστα u ij. Εξισώνοντας συστηµατικά και µε ανάλογο τρόπο όπως πιο πάνω βρίσκουµε τελικά:.7 U L T.577.9.775.59 Άσκηση.8 Δίνεται το σύστημα Ab με A[ - ; - - ; - ] και b[..6 -.] Τ α) Πόσο «καλός» περιµένετε να είναι ο Α για την υπολογιστική επίλυση ενός συστήµατος A και γιατί; Παίζει ρόλο σ αυτό και η τιµή του σταθερού διανύσµατος ή όχι; β) Θεωρούµε τώρα το συγκεκριµένο σύστηµα Αb. Να δώσετε µε συστηµατικό τρόπο και µε πλήρη δικαιολόγηση φράγµατα για το σχετικό σφάλµα ε σ της λύσης. Απαντήσεις: α) Βρίσκουµε πρώτα τον αντίστροφο του Α µε εφαρµογή της µεθόδου Guss-Jord: [A I] [I A - ] Εύκολα βρίσκουµε:.67.5.8.5.75.5.8.5.67 A και A -.5 Κριτήριο για την υπολογιστική συµπεριφορά του Α είναι ο δείκτης κατάστασης (Α). Eίναι (A) A Α - *.5 5 που βρίσκεται πολύ κοντά στο, δηλ. ο Α έχει καλή κατάσταση: το σχετικό σφάλµα συµβαδίζει µε το σχετικό υπόλοιπο, το οποίο είναι «αξιόπιστο» ως προς την ακρίβεια της υπολογιστικής επίλυσης του συστήµατος A ανεξάρτητα της τιµής του. Πανεπιστήμιο Πατρών -5-6//9

β) Για το σχετικό σφάλµα ε σ ισχύει η ανισότητα: r σ / (A) < ε σ < r σ * (A) () Το σχετικό υπόλοιπο ορίζεται: r σ r / b b-a * / b Επιλύουµε πρώτα το Ab µε τη µέθοδο Guss βρίσκοντας µια προσέγγιση * του : * [.8667. -.6667] Όσον αφορά τα υπόλοιπα µεγέθη, είναι: rb-a * [-.e-6.e-6] r 8.88e-6 b 7., και άρα r σ.e-6 Αντικαθιστώντας στην () βρίσκουµε τα συγκεκριµένα φράγµατα:.67e-7 < ε σ < 6.68Ε-6 Σηµ. Το πόσο καλός είναι ο Α ((A)5) επαληθεύεται ακριβώς από τη «στενότητα» του παραπάνω διαστήµατος. Άσκηση.9 Δίνεται ο πίνακας A και το διάνυσμα b: A[. -. ; -. ;. ], b[ ] T Υποθέτουμε ότι εργαζόμαστε με αριθμητική κ. υ. σ.ψ. α) Μπορεί να διασπασθεί ο Α στη μορφή ΑPLU με PI και γιατί; (εξηγείστε χωρίς να εφαρμόσετε μέθοδο Guss) β) Να βρεθούν οι L και U και P (με ή χωρίς οδήγηση) της διάσπασης LU, χωρίς να εφαρμοσθεί απαλοιφή Guss. Τι παρατηρείτε αν εφαρμόζατε μερική οδήγηση; γ) Να βρεθεί ο δείκτης κατάστασης του Α. (νόρμα ). δ) Να βρεθούν φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ του συστήματος Ab. Διατυπώστε και εξηγείτε με σαφήνεια τα απαιτούμενα βήματα Απαντήσεις: α) O A έχει προφανώς α.δ.κ. και ως εκ τούτου (όπως γνωρίζουµε από σχετικό θεωρητικό αποτέλεσµα), διασπάται άµεσα : ΑLU (δεν υπάρχουν ανταλλαγές γραµµών ή ισοδύναµα PI) Πανεπιστήμιο Πατρών -6-6//9

β) Γράφουµε την ταυτότητα ALU απαιτώντας l(i,i), Lκάτω τριγ. και Uάνω τριγ. Α l * l l u u u u u u που δίνει ένα γραµµικό σύστηµα µε 9 αγνώστους (l ij και u ij ). Εξισώνοντας συστηµατικά τα Α(i,j) µε τα στοιχεία του Α κατά στήλες, λαµβάνουµε: Στοιχεία ης στήλης: A(,) L U u(,) A(,) L U l(,) u(,) l(,) A(,). L U l(,) u(,) l(,). Στοιχεία ης στήλης: A(,). L U u(,) A(,)- L U l(,) u(,)u(,) u(,) - *. -. A(,) L U l(,) u(,)l(,)u(,) l(,) -.*./(-.) fl(.65).6 Στοιχεία ης στήλης: A(,)-. L U u(,) A(,). L U l(,) u(,)u(,) u(,). *(-.). A(,) L U l(,) u(,)l(,)u(,)u(,) u(,) (.)*(-.)-.65*(.) fl(.85).8 Εποµένως οι L και U έχουν καθορισθεί πλήρως. γ) Είναι A. Υπολογίζουµε τώρα τον Α µε τη µέθοδο Guss-Jord. Τελικά λαµβάνουµε κάνοντας πράξεις σε α.κ.υ. σ.ψ.:.958 A -.8 -.5.96 -.55 -.5.6.679.98 οπότε: A - fl(.995). Τελικά έχουµε (A) A A -. δ) Αν e r το σχετικό σφάλµα και r r r b το σχετικό υπόλοιπο, τότε ισχύει η ανισότητα: r r /(A) e r r r * (A) () Υπολογίζουµε τώρα το r r : Πανεπιστήμιο Πατρών -7-6//9

r r r b b A b * όπου * είναι η υπολογιζόµενη λύση του Α * b. Λύνουµε τώρα το Α * b εφαρµόζοντας απαλοιφή Guss και µε α.κ.υ. σ.ψ. Τελικά λαµβάνουµε: * [.88,.,.958 ] τ Στη συνέχεια βρίσκουµε τις απαιτούµενες υπόλοιπες ποσότητες: b, και: b-a * [, -., -.] τ b-a * 7.77e-6 οπότε τελικά λαµβάνουµε: r r 7.77e-6/.9e-6 Άρα η () γίνεται:.9e-6/. e r.*.9e-6 6.e-7 e r 6.56e-6 Το σχετικό σφάλµα εποµένως φράσσεται (όπως αναµενόταν) σε πολύ στενό διάστηµα. Ερώτηση: σε πόσα τουλάχιστον σ.ψ. θα είναι ακριβής η προσεγγιστική λύση? (βλ. Κεφ. Ι, ο- ρισµός ακρίβειας) Άσκηση. Δίνεται ο πίνακας A[- ; ; 6] και θεωρούμε τον ΒΑ Τ Α. Υποθέτουμε επίσης ότι δουλεύουμε με αριθμητική κινητής υποδιαστολής 5 σ.ψ. και ότι ισχύουν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε στρογγύλευση κατά τους υπολογισμούς. α) Χωρίς σύνθετους υπολογισμούς, να ελέγξετε αν ο Β είναι θετικά ορισμένος. Δικαιολογείστε πλήρως την απάντησή σας. β) Βρείτε τη νόρμα του Β ( B ). γ) Υπολογίστε το δείκτη κατάστασης του Β (με χρήση της νόρμας ). Σχολιάστε σχετικά. δ) Να υπολογισθούν επακριβώς όλες οι ιδιοτιμές του Β. Ποιο το συμπέρασμά σας? ε) Αναφέρατε ποιές μορφές διάσπασης επιδέχεται ο Β και γιατί. Στη συνέχεια δικαιολογείστε και υπολογίστε επακριβώς την απλούστερη δυνατή μορφή διάσπασής του. ζ) Δίνεται τώρα το διάνυσμα b[ ] T. Πως μπορεί να λυθεί κατόπιν της (ε), το σύστημα Bb? Βρείτε τη λύση του. Πανεπιστήμιο Πατρών -8-6//9

η) Δώστε αριθμητικά φράγματα για το σχετικό σφάλμα της προσεγγιστικής λύσης του Bb που βρήκατε στο ερώτημα (η). θ) Γράψτε εντολές στη Mtlb για τον υπολογισμό/επαλήθευση των ζητούμενων ή αναφερομένων στα ερωτήματα (β)-(ζ) Απαντήσεις: α) Η απλούστερη αιτιολόγηση δεν απαιτεί καν την εύρεση του γινοµένου Α Τ Α: αφού ο Α είναι αντιστρεπτός (υπολογίζουµε µόνον την ορίζουσα και βρίσκουµε det(a) -66, ή βρίσκουµε εναλλακτικά ότι οι οδηγοί είναι µη µηδενικοί), τότε σύµφωνα µε την Πρόταση 5 της. της παραπο- µπής, ο ΒΑ Τ Α είναι θ.ο. ος τρόπος: Υπολογίζουµε το γινόµενο: B A T A 6 Ο Α Τ Α είναι συµµετρικός και έχει α.δ.κ. µε θετικά διαγώνια στοιχεία. Εποµένως είναι θ.ο. ος τρόπος: Με εφαρµογή του Θ. των κύκλων Gershgori διαπιστώνουµε εύκολα ότι λ(α Τ Α)>, άρα ο Α Τ Α είναι θ.ο. λ m (Β). Υπολογίζουµε τις ιδιοτιµές. Προφα- β) Ο Β είναι συµµετρικός και θ.ο. και συνεπώς B νώς λ 6 και οι υπόλοιπες δύο λαµβάνονται από: λ ( λ)( λ) 6 λ λ λ απ όπου λαµβάνουµε τελικά: λ 8.59 και λ.85. Συνεπώς B λ m (Β)6. γ) Υπολογίζουµε: B 6 και B.7.8.8.86 B / 6.78 m j,..., bij (.7.8). i.7.8.8.86 / 6.78 Συνεπώς: Πανεπιστήμιο Πατρών -9-6//9

(A) B B.76 (μικρή τιμή κοντά στο!) Η τιµή του δείκτη κατάστασης είναι µικρή και κοντά στο. Εποµένως η υπολογιστική συµπεριφορά του Β αναµένεται να είναι καλή για τη λύση ενός συστήµατος Ab. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να εµπιστευτούµε την τιµή του σχετικού υπολοίπου r σ (b-a*) / b (* είναι η υπολογιζόµενη προσέγγιση της λύσης του Ab) για την εκτίµηση του σχετικού σφάλµατος. δ) Οι ιδιοτιµές του Β υπολογίσθηκαν ήδη στο ερώτηµα (β). Παρατηρούµε ότι είναι θετικές, γεγονός άλλωστε αναµενόµενο: αφού ο Β είναι συµµετρικός και θ.ο. θα έχει θετικές ιδιοτιµές. ε) Ελέγχουµε τις δυνατότητες παραγοντοποίησης του Β, µια προς µια: Επειδή ο Β έχει α.δ.κ. (εναλλακτικά: επειδή ο Β είναι συµµετρικός και θ.ο.), επιδέχεται διάσπαση LU: ΒLU, όπου L κάτω τριγωνικός µε στην κύρια διαγώνιο και U άνω τριγωνικός. Αρκετοί από τους αγνώστους υπολογίζονται άµεσα: αφού ο Β είναι ταινιακός, ο U θα έχει στην επάνω διαγώνιό του τα στοιχεία της διαγωνίου του Β (- και ). Επιπλέον, επειδή η η γραµµή του Β έχει εκτός από το διαγώνιο στοιχείο, το ίδιο θα συµβαίνει και για την αντίστοιχη γραµµή του L (άµεσο συµπέρασµα από τον πολλαπλασιασµό µητρώων!). Ανάλογη παρατήρηση ισχύει και για την η στήλη του U σε σχέση µετην η στήλη του Β, αν και έχουµε ήδη καλυφθεί, αφού έχουµε βρει µηδενικά στις αντίστοιχες θέσεις. Συνεπώς έχουµε τελικά µόνον αγνώστους! B LU l 6 u u u εν θα τους υπολογίσουµε αφού επικεντρωνόµαστε στην ύπαρξη και δεύτερης διάσπασης: Επίσης, ο Β είναι συµµετρικός και θ.ο. και άρα επιδέχεται διάσπαση Cholesi: AC T C, ό- που C κάτω τριγωνικός. Πρόκειται, ως γνωστόν, για την αποδοτικότερη διάσπαση από άποψη µνήµης (απαιτείται µόνο ένας τριγωνικός πίνακας) και υπολογιστικού χρόνου (µικρότερος αριθµός πράξεων, βλ. διδακτικό βιβλίο). Αυτή ακριβώς αναλύουµε στη συνέχεια. Επειδή η η γραµµή (και η η στήλη) του Β έχουν µηδενικά στις µη διαγώνιες θέσεις, το ίδιο πρέπει να συµβαίνει και για την η γραµµή (και στήλη) του C. Συνεπώς προκύπτουν και πάλι άγνωστοι: B C T C d 6 b d b Λαµβάνουµε συστηµατικά: α.6 d- d -/.6 -.987 d b b(-.987 ) /.785 6 b6 Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9