ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab ± b 4. (a+β+γ) = a + b + g + ab + bg + ga 3 3 5. a ± b = ( a ± b )( a m ab + b ) 6. a + b = ( a + b ) - ab 3 3 3 7. a + b = ( a + b) - 3ab ( a + b) 3 3 3 1 8. a + b + g - 3abg = ( a + b + g )[( a - b ) + ( b - g ) + ( g - a) ] 3 3 3 9. Αν a+β+γ=0 ή a=β=γ τότε : a + b + g = 3abg -1 - - -1 10. a -b = ( a - b )( a + a b +... + ab + b ) β ) Τριώνυμο Έστω f (x)= ax + b x + g, a¹ 0, a,β,γîr, Δ= b - 4ag (Διακρίνουσα) 1. Ρίζες τριωνύμου Δ>0 ¾ ¾ Το τριώνυμο έχει άνισες ρίζες στον R με ρίζες - b ± D ρ 1, = a - b Δ=0 ¾ ¾ Το τριώνυμο έχει 1 διπλή ρίζα την ρ= a Δ<0 ¾ ¾ Το τριώνυμο δεν έχει ρίζες στο σύνολο των πραγματικών.. Παραγοντοποίηση τριωνύμου Δ>0 ¾ ¾ τότε: f(x)=α (x-ρ 1 )(x-ρ ) όπου ρ 1, ρ οι ρίζες. Δ=0 ¾ ¾ τότε: f(x)=α (x-ρ) όπου ρ η διπλή ρίζα του τριωνύμου. Δ<0 ¾ ¾ τότε: Δεν παραγοντοποιείται στον R.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 11 3. Πρόσημο Τριωνύμου (ax +βχ +γ > ή <0) Δ>0 à Ομόσημο του α εκτός των ριζών δηλαδή στην ένωση ( -, ρ 1 )È (ρ,+ ) και ετερόσημο του α εντός των ριζών (ρ 1,ρ ). Δ=0 à Ομόσημο του α στο διάστημα (-,ρ) È (ρ,+ ). Δ<0 à Ομόσημο του α σε όλο το R. γ ) Η εξίσωση : x = a Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : ν άρτιος και α >0 à x = a Û x = ± a ν άρτιος και α <0 à x = a Û η εξίσωση είναι αδύνατη. ν περιττός και α >0 à x = a ν περιττός και α <0 à x = a Û x = a Û x = - a Σχόλιο : Θυμίζουμε επίσης την ιδιότητα των δυνάμεων : α m m = a, μ, ν À Î. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 1 3 Μονώνυμο : Κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής a k λ οπού η μόνη πράξη που υπάρχει μεταξύ των μεταβλητών είναι ο πολλαπλασιασμός, καλείται μονώνυμο. Το 1 ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου και το υπό- λοιπο α 3 k λ ονομάζεται κύριο μέρος του μονωνύμου. Πρόσθεση Αφαίρεση μονωνύμων : Για να προσθέσουμε τώρα δυο μονώνυμα πρέπει να έχουν τα ίδια κύρια μέρη. Ομοίως με την πρόσθεση γίνεται και η αφαίρεση. -1 Πολυώνυμο : Κάθε παράσταση της μορφής: a x + a -1 x +... + a1 x + a0 συμβολίζεται με Ρ ( x ). ( πολυώνυμο = πολλά μονώνυμα )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1 Σταθερό πολυώνυμο : Το Ρ ( x ) = α 0, α 0 ¹ 0 καλείται σταθερό πολυώνυμο. Μηδενικό πολυώνυμο : Το Ρ ( x )= 0 καλείται μηδενικό. Βαθμός Πολωνύμου : Ο μεγαλύτερος εκθέτης του x ονομάζεται βαθμός ενός πολυωνύμου Ρ ( x ). Ίσα Πολυώνυμα : Δυο πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν το ίδιο βαθμό και ίσους τους αντίστοιχους συντελεστές τους. Βαθμός πρόσθεσης και αφαίρεσης Πολυωνύμων : Αν βαθμός του Ρ ( x ) είναι μ και βαθμός του Q( x ) είναι ν και μ³ ν τότε βαθμός του Ρ ( x ) ± Q( x ) είναι ή μηδενικό πολυώνυμο ή πολυώνυμο βαθμού ρ μ. Βαθμός Πολλαπλασιασμού Πολυωνύμων : Ο βαθμός του Ρ ( x ) Q( x ) είναι μ+ν Τιμή πολυωνύμου : Ο πραγματικός αριθμός Ρ (ρ) που προκύπτει από το πολυώνυμο Ρ ( x ) αν αντικαταστήσουμε το x με τον πραγματικό αριθμό ρ καλείται τιμή του Ρ ( x ). Ρίζα πολυωνύμου : Κάθε πραγματικός αριθμός ρ με Ρ (ρ) =0 καλείται ρίζα του Ρ ( x ).. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ( ταυτότητα διαίρεσης ) Αν Δ( x ) και δ( x ) είναι πολυώνυμα με δ( x ) ¹ 0, τότε υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π( x ) και υ( x ) τέτοια ώστε : Δ( x ) = δ( x ) π( x ) + υ( x ), 0 βαθμός υ( x ) < βαθμού δ( x ) Δ( x ) : διαιρετέος δ( x ) : διαιρέτης π( x ) : πηλίκο υ( x ) : υπόλοιπο. ΘΕΩΡΗΜΑ ( υπολογισμός υπολοίπου ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ ( x ) με το x -ρ είναι το σταθερό πολυώνυμο : υ = Ρ (ρ). ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω Ρ ( x ) πολυώνυμο. Το x -ρ είναι παράγοντας του Ρ ( x ) Û Ρ (ρ) =0.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 13 Παρατήρηση : Σύμφωνα με το παραπάνω Θεώρημα οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες. 1. Το Ρ ( x ) διαιρείται με το x - ρ.. Το x - ρ διαιρεί το Ρ ( x ). 3. Το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ ( x ). 4. Η διαίρεση του Ρ ( x ) με το x - ρ είναι τέλεια. 5. Ο αριθμός ρ είναι ρίζα του Ρ ( x ). 6. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το x - ρ είναι μηδέν. 7. Ρ (ρ) = 0. ΘΕΩΡΗΜΑ ( ακεραίων ριζών ) -1 Έστω πολυωνυμική εξίσωση : a x + a -1 x +... + a1 x + a0 = 0 με ακέραιους συντελεστές. Ο ακέραιος ρ ¹ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης Þ ο ρ είναι ρίζα του σταθερού όρου α 0. Σχόλιο : Το αντίστροφο του Θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή κάθε διαιρέτης του α 0 δεν είναι κατά ανάγκη και ρίζα του πολυωνύμου Ρ ( x ). 3. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ερώτηση : Ποια είναι τα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση; Με προσοχή ακολουθούμε τα εξής 5 βήματα: Βήμα 1 Ο : Παίρνουμε περιορισμούς. Οι παρανομαστές πρέπει να είναι ¹ 0 για να ορίζονται τα κλάσματα. Βήμα Ο : Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π των παρανομαστών. Βήμα 3 Ο : Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε. Κ. Π και κάνουμε απλοποιήσεις. Βήμα 4 Ο : Μετά από πράξεις καταλήγουμε σε εξίσωση 1 ΟΥ ή ΟΥ βαθμού που λύνουμε όπως παραπάνω. Βήμα 5 Ο : Δεν ξεχνάμε να τσεκάρουμε τη λύση, με τους περιορισμούς. Δεχόμαστε αυτές που ικανοποιούν τους περιορισμούς. ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η κλασματική εξίσωση: x - x = + x - x 4 x -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14 Βήμα 1 Ο : Παίρνουμε περιορισμούς. Πρέπει χ ¹ 0, -χ ¹ 0, χ -χ ¹ 0 χ ¹ 0Þ χ ¹ 0 (1) χ- ¹ 0Þ χ ¹ () χ -χ ¹ 0 Þ χ(χ-) ¹ 0 Þ χ ¹ 0 και χ- ¹ 0 Þ χ ¹ 0 και χ ¹ (3) Η (1) και () και (3) συναληθεύουν για χ ¹ 0 και χ ¹. Βήμα Ο -3 Ο : Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π. Καταρχήν αναλύουμε τους παρανομαστές. Ο ένας παρανομαστής χ -χ=χ (χ-), ο δεύτερος χ-, ο τρίτος χ. Ε. Κ. Π αυτών είναι το γινόμενο των κοινών και των μη κοινών παραγόντων, οπότε Ε. Κ. Π= (χ) (χ-). Πολλαπλασιάζω τώρα κάθε όρο με το Ε. Κ. Π x - 4 (χ)(χ-) = (χ)(χ-) + x x - x - x (χ)(χ-) Þ (χ-) = (χ)+ 4 Βήμα 4 Ο : Λύνουμε την εξίσωση που θα προκύψει μετά από πράξεις Þ (χ -4χ+4)=4χ+8 Þ χ -8χ-4 = 0 Þ Δ= 64+16=80 χ 1, 16 ± 80 = Βήμα 5 Ο : Δεχόμαστε και τις δυο λύσεις γιατί επαληθεύουν τους περιορισμούς. 4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ Ερώτηση : Ποια είναι τα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε μια εξίσωση με ριζικά ; Με προσοχή ακολουθούμε τα εξής 5 βήματα: Βήμα 1 Ο : Παίρνουμε περιορισμούς. Οι ποσότητες που είναι μέσα στις ρίζες πρέπει να είναι ³ 0 για να ορίζονται οι ρίζες. Βήμα Ο : Απομονώνουμε το ριζικό. Βήμα 3 Ο : Υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δυο μέλη της εξίσωσης. Βήμα 4 Ο : Μετά από πράξεις καταλήγουμε σε εξίσωση 1 ΟΥ ή ΟΥ βαθμού που λύνουμε με γνωστούς τρόπους. Βήμα 5 Ο : Δεν ξεχνάμε να τσεκάρουμε τη λύση, με τους περιορισμούς. Αντικαθιστούμε την λύση που βρήκαμε στην αρχική εξίσωση για να δούμε αν την επαληθεύει. Δεχόμαστε αυτές που την επαληθεύουν.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 15 ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η εξίσωση : 3 x - = 4 Βήμα 1 Ο : 3x- ³ 0 Þ 3x ³ Þ x ³ 3. Βήμα Ο - 3 Ο - 4 Ο :: ( 3 = x - ) 4 Þ 3x- =16 Þ 3x = 18Þ x = 6. Βήμα 5 Ο : 3 6 - = 18 - = 16 = 4. Δεκτή η x = 6 ( επαληθεύει και τον περιορισμό ). ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ -1 Έστω Ρ ( x ) = a x + a -1 x +... + a1 x + a0. ( με ακέραιους συντελεστές ) v Αν ρ είναι ρίζα του Ρ ( x ) τότε μπορούμε να γράψουμε: Ρ ( x ) = ( x - ρ ) Π ( x ) όπου Π ( x ) πολυώνυμο βαθμού ν-1. v Αν το Ρ ( x ) έχει ρίζα ακέραιο τότε αυτή είναι διαιρέτης του α 0. Ενώ αν έχει ρίζα ρητό l k, τότε ο κ είναι διαιρέτης του α 0 και ο λ διαιρέτης του α. v Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το α x + β, α ¹ 0 είναι το : Υ = Ρ (- a b ). à ( Άσκηση Βιβλίου σελ. 73 ) v Αν το Ρ ( x ) διαιρείται δια του x -α και δια του x -β όπου α ¹ β τότε διαιρείται και με το γινόμενο ( x -α) ( x -β). à ( Αποδείξτε το! ) v Για να λυθεί μια πολυωνυμική εξίσωση χρησιμοποιούμε : α ) παραγοντοποίηση β ) σχήμα Χορνερ γ ) μετασχηματισμούς ή συνδυασμό των παραπάνω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν Ρ ( x ) = x 3 - x και Q (x) = x -3 x -1, να βρεθεί το πολυώνυμο Ρ ( x )-Q (x).. Να βρεθεί ο λîâ ώστε το πολυώνυμο Ρ ( x )=(λ+) x 3 -(λ +λ-) x +λ -4, να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 16 3. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x + x +5. Να βρεθεί ο κî Â αν Ρ (κ-1)=13. 4. Να βρεθούν οι πραγματικοί α, β, γ ώστε τα πολυώνυμα Ρ ( x ) = 3 x -7 x +5 και Q (x) = α x ( x +1)+β x +γ να είναι ίσα. 5. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ ώστε το πολυώνυμο : Ρ ( x )=(α+1) x +(3β-1) x +γ+β-α να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 6. Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λî Â ο βαθμός του πολυωνύμου Ρ ( x )= (λ 4-8λ) x 4 +(4-λ ) x +(λ+) x +λ. 7. Να βρεθούν τα κ, λ Î Â ώστε το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x 3 +κ x +(λ-) x +6 να έχει ρίζες το x = -1 και x =. 8. Να βρεθεί το πολυώνυμο Ρ ( x ) για το οποίο ισχύει : (χ+1) Ρ ( x )= x 3-9 x -3 x +1 για κάθε x Î Â. 9. Να γίνουν οι διαιρέσεις : ι) ( x 4-7 x 3 + x -15) : ( x +5) ιι) ( x 6-3 x 5 - x 4 + x 3 - x +1): ( x 3 + x -1) 10. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ ( x ):Q (x) όπου : 000 1999 1998 1997 Ρ ( x ) = 000 x + 1999x + 1998x + 1997x και Q (x) = x +1. 11. Να βρεθεί ο κî Â ώστε το πολυώνυμο Ρ ( x )= x 4 +(κ-) x 3 -κ x - x +κ να έχει παράγοντα τον x -. 1. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x 4-5 x 3 +8 x -7 x +3. Να δειχθεί ότι το Ρ ( x ) έχει παράγοντες τους x -1 και x -3. 13. Να δειχθεί ότι το Q (x)= x -1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου : + 1 + + 1 Ρ ( x ) = x - ( + 1) x + ( + 1) x -1. 14. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x 3 +λ x -0 x +6, λî Â. Να βρεθεί ο λ ώστε το Ρ ( x ) να έχει παράγοντα το x -3. k l 15. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) = ( x -3) + ( x - ) -1, κ, λ ÎÀ-{0}. Να δείξετε ότι το x -3 είναι παράγοντας του Ρ ( x ). 16. Αν το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x 3 +λ x +3 x -15, λî Â έχει ρίζα τον αριθμό ρ =1, να βρεθούν οι άλλες ρίζες του. 17. Το πολυώνυμο Ρ ( x ) =α x 3 -β x -5 x +4 διαιρούμενο με το x + δίνει υπόλοιπο 6, διαιρούμενο με το x -1 δίνει υπόλοιπο. Να βρεθούν τα α, βî Â. 18. Να βρεθεί το Ρ ( x ) βαθμού ου το οποίο διαιρείται με το Q (x)= x -1 και ικανοποιεί τις συνθήκες : Ρ (1)+ Ρ (-1) = Ρ (0) και Ρ (0) = 6.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 17 19. Να βρεθεί ο κî Â ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ ( x ):Q (x) να είναι -1 όπου: Ρ ( x ) = x 3 -κ x +(κ-) x +κ και Q (x)= x -κ. 0. Να γίνει η διαίρεση Ρ ( x ):Q (x) όπου : Ρ ( x )= x 4 + x 3-7 x +κ x +λ, κ, λ Î Â και Q (x)= x - x +3. Να βρεθούν τα κ, λ ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια. 1. Πολυώνυμο Ρ ( x ) διαιρείται με το Q (x)= x -4 x +3 και δίνει υπόλοιπο υ( x ) = 3 x -5. Να βρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων Ρ ( x ): ( x -1) και Ρ ( x ) : ( x -3).. Το πολυώνυμο Ρ ( x ) διαιρείται με το x -1 και με το x - και δίνει υπόλοιπο και -3 αντίστοιχα. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ ( x ) : ( x -3 x +). 3. Να λυθούν οι εξισώσεις : ι ) x 3 +4 x -8 x +4 =0 ιι ) x 4-4 x 3 +1 x -9 =0 ιιι ) x 4-4 x 3 +5 x -4 x +4 =0 ιν ) 6 x 3-11 x -3 x + =0 4. Να λυθούν οι ανισώσεις : ι ) 3 x 3 +10 x + x -3 > 0 ιι ) x 4 +5 x 3-5 x - < 0 ιιι ) 4 x 4-4 x 3-5 x + x + < 0 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x 3 - x -5 x +6, να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γρ. παράσταση της f ( x ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. 6. Να βρεθεί ο κ Î Â ώστε η εξίσωση : 3 x 3 -κ x +4κ x -5 =0, να έχει ρίζα τον αριθμό ρ= 3. 7. Να βρεθούν τα α, β Î Â ώστε η εξίσωση : α x 3 + x -β x +4 = 0, να έχει ρίζες τους αριθμούς -1 και. 8. Να βρεθούν αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : f ( x ) = x 3 +4 x +4 x και g ( x ) = x 9, x ÎÂ -{0}. 9. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x 3 - x -5 x +6. Να βρεθούν τα διαστήματα τα οποία η f ( x ) είναι πάνω από τον x x. 30. Να λυθούν οι εξισώσεις : ι ) ιιι ) x 5 45 = ιι ) x -16 x - = x x x + 6 x +5 x 3-4 = 0 ιν ) x - x + 6 = x - 3 31. Ομοίως οι εξισώσεις :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 18 ι ) x - 8 = x x - 6 ιιι ) x - 8 + x - = x -10 ιι ) x + 3 = 16 - x -1 3. Αν για το πολυώνυμο Ρ ( x ) = a x + a -1 x +... + a1 x + a0 με ακέραιους συντελεστές γνωρίζουμε ότι : Ρ (0) =13 και Ρ (1) =004, να υπολογιστεί : ι ) ο σταθερός όρος ιι ) το άθροισμα : α + a - 1 +... + a1 ιιι ) ένας συμμαθητής σου ισχυρίστηκε ότι : Ρ () Ρ (7) Ρ (1) = 0 είναι σωστός ο ισχυρισμός του ; [ Ένθετο Παιδεία 003 ] 33. Αν τα πολυώνυμα Ρ ( x ) = α x 3 + x +9, Q (x)= β x 4 -γ x + x +11 έχουν κοινή ακέραια αρνητική ρίζα ενώ η διαίρεση του Q (x) με το x + δίνει υπόλοιπο -17 τότε : ι ) να βρείς την κοινή ακέραια αρνητική ρίζα ιι ) να υπολογιστούν τα α, β,γ ιιι ) για ποια x η γραφική παράσταση του Ρ( x ) βρίσκεται πάνω από τον x x. [ Ένθετο Παιδεία 003 ] 34. Το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x 3 - x + x +1 διαιρούμενο με το α x +β δίνει υπόλοιπο 1 και η γρ. παράσταση του α x +β τέμνει την ευθεία ψ = 3 στο σημείο Μ (, 3) τότε : ι ) να βρεθούν τα α, β Î Z -{0} ιι ) να γίνει η ευκλείδεια διαίρεση Ρ ( x ) : (α x +β) [ Ένθετο Παιδεία 003 ] 35. α ) Ποιο πολυώνυμο 1 ου βαθμού πρέπει να προσθέσουμε στο Ρ ( x ) = x 4 +3 x 3-6 x + x -7 ώστε να προκύψει πολυώνυμο Q (x) τέτοιο ώστε να έχει παράγοντα x +4. β ) Αποδείξτε ότι το Q (x) έχει παράγοντα το x -. [ Ένθετο Παιδεία 00 ] 36. Έστω το πολυώνυμο f ( x ) = 3 x το οποίο διαιρεί τα πολυώνυμα : Ρ ( x ) = x 3 +α x +β x +γ και Q (x)= Ρ (-1) x 3 +Ρ (0) x +Ρ (1) x +Ρ (). Αν δυο ρίζες του Ρ ( x ) είναι αριθμοί αντίθετοι μεταξύ τους και η καθεμία διπλάσια μιας ρίζας του Q (x), τότε να βρείτε : α ) τις ρίζες των Ρ ( x ), Q (x). β ) τα πολυώνυμα Ρ ( x ), Q (x). [ Ένθετο Ο υποψήφιος 001 ] 37. Δίνονται τα πολυώνυμα f ( x ) = x 3-3 x + και Ρ ( x ) = ( x -1) + ( x - ) -1. Να βρείτε τις τιμές του νîà-{0} για τις οποίες οι ρίζες του f ( x ) είναι και ρίζες του Ρ ( x ). [ Ένθετο Ο υποψήφιος 001 ]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 19 38. Μια βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης κάθε μονάδας ενός προϊόντος συναρτήσει του πλήθους x μονάδων παραγωγής σύμφωνα με τον τύπο : Π ( x ) = 34+43 x +1 x. Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής μιας μονάδας ενός προϊόντος είναι Κ ( x ) = x 3. Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο 4 για κάθε μονάδα προϊόντος τότε : α ) να γράψετε τη συνάρτηση που εκφράζει το κέρδος Ρ ( x ) της βιομηχανίας συναρτήσει του πλήθους x των μονάδων παραγωγής και να βρείτε το κέρδος από την πώληση μονάδων του προϊόντος. β ) να βρείτε πόσες μονάδες πρέπει να παράγονται ημερησίως ώστε η είσπραξη να είναι μεγαλύτερη του κόστους. [ Ένθετο Ο υποψήφιος 001 ] 39. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x )= x 3 - x -4 x +4. α ) να αποδείξετε ότι το 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου. β ) να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το x -1. γ ) να λύσετε την εξίσωση x 3 +4 = x +4 x δ ) να λύσετε την ανίσωση Ρ ( x ) > 0. [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 1999 ] 40. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x 3-3 x + x -6. α ) να βρείτε την τιμή του για x =3 β ) να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το x -3. γ ) να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το x -3. [ Εξετάσεις Ενιαίων Λυκείων 000 ] 41. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x 3 + x - x -λ για το οποίο ισχύει Ρ (1) =0. α ) να αποδείξετε ότι λ =. β ) να γραφεί στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Μια ρίζα του Ρ ( x ) είναι η : Α: x =0 Β: x =3 Γ: x = - Δ: x = Ε: x = -3. γ ) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το x -. [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 000 ] 4. Δίνεται το Ρ ( x )= α x 3 +(β-1) x -3 x -β+6 όπου α, β Î Â. α ) αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Ρ ( x ) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το x +1 είναι ίσο με τότε να δείξετε ότι α= και β=4. β ) για τις τιμές που βρήκατε να λύσετε την Ρ ( x ) =0 [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 000 ] 43. Δίνεται το Ρ ( x ) = x 3 - x +3 x -3. α ) να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ ( x ): ( x -) β ) να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ ( x ) : ( x -1) γ ) να λυθεί η Ρ ( x ) = 0. [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 001 ]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 0 44. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) = x 3-6 x +11 x -6. α ) να βρείτε την αριθμητική τιμή του Ρ ( x ) για x = -1. β ) να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το x -1. γ ) να λυθεί η ανίσωση Ρ ( x ) < 0. [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 00 ] 45. Δίνεται το Ρ ( x ) = κ x 3 -(κ+λ) x +λ x +1. α ) αν Ρ (- 1 )=7 και Ρ (-1) =3, να αποδείξετε ότι κ = -6 και λ = -5. β ) αφού αντικαταστήσετε τις τιμές που βρήκατε στο πολυώνυμο να κάνετε την διαίρεση Ρ ( x ) : ( x +1 ) και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. γ ) να λύσετε την Ρ ( x ) > 7 για κ = -6 και λ = -5. [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 00 ] 46. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) τρίτου βαθμού για το οποίο ισχύει η σχέση : (x-π) Ρ (συν x) - x Ρ (ημx) = x -π, για κάθε x Î Â. α ) να υπολογιστούν τα Ρ (0), Ρ (1). β ) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x ) με το x - x. γ ) αν το πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης είναι το 3 x -1 να λύσετε την ανίσωση: Ρ ( x ) < 3 x - x. 47. Δίνονται τα πολυώνυμα : Ρ ( x ) = x 3 +α x + x +, Q (x) = β x + γ x + 1, Κ( x ) = x 3 +(β+γ) x -10 x +4β, όπου α, β, γ Î Â και x Î Â. Το Ρ ( x ) έχει ρίζα το -1, το υπόλοιπο της διαίρεσης Q (x) : ( x -) είναι 15 και η αριθμητική τιμή του Κ( x ) για x =1 είναι 6. α ) να αποδείξετε ότι: α =1, β =, γ = 3. β ) να λύσετε ι ) την εξίσωση : Ρ ( x ) = Q (x) ιι ) την ανίσωση : Ρ ( x ) < Κ( x ) ιιι ) την εξίσωση : ημ 3 x - ημ x -ημ x + 1 = 0. 48. Δίνεται το πολυώνυμο όπου k πραγματικός αριθμός. Ρ(x) = x 3 -x +kx+1, α ) Για k= 3, να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το πολυώνυμο (x 3). β ) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο P(x) έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. γ ) Για k=0, να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. [ Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 003 ] 49. Να βρεθεί το σύνολο τιμών του α Î Â, ώστε το πολυώνυμο :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1 3 ( 3 hma -sua) Ρ ( x ) = x - x + x - 6, να έχει παράγοντα τον x -. 3 50. Δίνεται το πολυώνυμο : Ρ ( x ) = a - x - ax + a x - a, με α Î Â. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης : Ρ ( x ) : ( x -1 ) ισούται με -α, βρείτε : ι ) την τιμή του α και το υπόλοιπο της διαίρεσης. ιι ) να λύσετε την εξίσωση : Ρ ( x ) = - 5,για την παραπάνω τιμή του α. 51. Αν ισχύει : Ρ (1- x ) = 3 Ρ ( x ) + 8 και Ρ (1) = κ, για κάποιο πολυώνυμο Ρ ( x ), να βρεθεί η τιμή του κ ώστε : Ρ (-5) = 3.