Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

Σχετικά έγγραφα
Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 5 η : Παραδείγµατα 3 µηχανισµών. χώρο (3 )

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Θεωρία μετασχηματισμών

Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Θέση και Προσανατολισμός

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ

Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις

Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,

Αυτόματη προσγείωση τετρακόπτερου με χρήση κάμερας

Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

υναµ α ι µ κή τ ων Ρ οµ ο π µ ο π τ ο ικών Βραχιόνων

Τα ρομπότ στην βιομηχανία

Εισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών. Τα ρομπότ στην βιομηχανία

Συστήματα συντεταγμένων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Π. Ασβεστάς Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

Συναφείς µετασχηµατισµοί:

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

Διάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο.

Αναλυτική Φωτογραμμετρία

Τριγωνοµετρική (ή πολική) µορφή µιγαδικού αριθµού. Έστω z = x+ yi ένας µη µηδενικός µιγαδικός αριθµός και OM

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

Κεραίες & Ασύρματες Ζεύξεις

Συμπλήρωμα 1 2 ος νόμος του Νεύτωνα σε 3 διαστάσεις

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική

E = P t = IAt = Iπr 2 t = J (1)

cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μάθημα 10 ο. Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS. GPS Block Ι. GPS Block ΙΙ και ΙΙΑ

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

Ανεξαρτησία κάθετων μεταξύ των κινήσεων

Μηχανική - Ρευστομηχανική

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 1 η Εισαγωγή στους Μηχανισµούς

Χωρικές Περιγραφές και Ομογενείς Μετασχηματισμοί

Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας»

Εφαρμογή της γενικής λύσης

Ασκήσεις Ρομποτικής με την χρήση του MATLAB

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 2 η Βαθµοί Ελευθερίας Στερεού Σώµατος & Κινηµατικοί Περιορισµοί

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΑΣΚΗΣΗ 2 - ΔΙΚΤΥΩΤH KATAΣΚΕΥΗ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

K K. 1 2 mr. Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο. Τμήμα ΘΕΜΑ 1

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης

ΜΜ803 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

( () () ()) () () ()

Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

Transcript:

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μάθηµα 3 ο Αναπαράσταση θέσης στο επίπεδο (2 ) και στο χώρο (3 ) Οµογενής Μετασχηµατισµός Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

Μεταφορά αξόνων σε 2 X Ι Ο Ι Y Ι αδρανειακό σύστηµα αναφοράς X Β Ο Β Y Β σωµατόδετο σύστηµα αναφοράς! ΠΡΟΣΟΧΗ! Χ Ι Ο Ι Υ Ι & Χ Β Ο Β Υ Β : Έχουν ίδιο προσανατολισµό Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

Μεταφορά αξόνων σε 2 (συνέχεια) r r r r = r + r o r r r r = x i + j o o o r r r r = x + x i + + j ( ) ( ) o o x r r r r i j i j ( ) Ι xo + x = ( + ) o r r r r = x i + j r xι xo + x = x = = o+ Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

Μεταφορά αξόνων σε 2 (συνέχεια) x x xo+ x 1x + 0+ xo 1 0 xo = o = 0x 1 = o 0 1 + + + o 14243 1 2 3 { x T, x ιάνυσµα στο αδρανειακό σύστηµα Πίνακας µεταφοράς ιάνυσµα στο σωµατόδετο σύστηµα x = T x, 3 1 xι 1 0 xo x 0 1 Ι o = 1 0 0 1 1 { 14243 { x Προσαύξηση διάστασης πίνακα µε 0 & 1 :3 1 T :3 3 x :3 1, A Τετραγωνικός πίνακας Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

Στροφή αξόνων σε 2 Lx 1 = x cosθ Lx 2 = sinθ L 1 = x sinθ L 2 = cosθ! Προσοχή! Ανθωρολογιακή φορά γωνίας στροφής

r Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος 2011-2012 Στροφή αξόνων σε 2 (συνέχεια) x Lx 1 Lx 2 x cosϑ sinϑ cosϑ sinϑ x = = = = L + L x sinϑ+ cosϑ sinϑ cosϑ 1 2 x = R x, Προσαύξηση διάστασης πίνακα µε 0 & 1 x R, x ιάνυσµα στο αδρανειακό σύστηµα Πίνακας στροφής ιάνυσµα στο σωµατόδετο σύστηµα x cosϑ sinϑ 0 x sinϑ cosϑ 0 = 1 0 0 1 1 { 144424443 { x :3 1 R :3 3 x :3 1, Τετραγωνικός πίνακας

R, Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος 2011-2012 Στροφή αξόνων σε 2 (συνέχεια) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) cos sin 0 = sin cos 0 0 0 1 Αποδεικνύεται ότι: 1 ( ) ( ) R = R = R,,, T x = R x, ( R ) x = R x = x,, T ιάνυσµα θέσης στο αδρανειακό σύστηµα όταν δίδεται το διάνυσµα θέσης στο σωµατόδετο σύστηµα ιάνυσµα θέσης στο σωµατόδετο σύστηµα όταν δίδεται το διάνυσµα θέσης στο αδρανειακό σύστηµα

x = T x Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος 2011-2012, x = R x, Αναπαράσταση θέσης T Συνοπτικά (σε 2 ), A 1 0 xo = 0 1 o 0 0 1 Τελεστής µεταφοράς R, ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) cos sin 0 = sin cos 0 0 0 1 Τελεστής στροφής Εύρεση διανύσµατος θέσης στο αδρανειακό σύστηµα όταν δίδεται το διάνυσµα θέσης στο σωµατόδετο σύστηµα Πώς αντιµετωπίζεται η σύνθεση ενός τελεστού µεταφοράς µε έναν τελεστή στροφής;

Οµογενής µετασχηµατισµός σε 2! ΠΡΟΣΟΧΗ! Χ Ι Ο Ι Υ Ι & Χ Β Ο Β Υ Β : Έχουν διαφορετικό προσανατολισµό! r = r + r r r o r = ro + R, r x T R r 14243 =,, H, r H, cosϑ sinϑ xo = sinϑ cosϑ o 0 0 1

Οµογενής µετασχηµατισµός σε 3 x = H x, H, n o a x n o a x x x o o = nz oz az zo 0 0 0 1

Ειδικές περιπτώσεις στροφών σε 3 Rot-x Rot- Rot-z! ΠΡΟΣΟΧΗ! R X 1 0 0 0 0 cosϑ sinϑ 0 = 0 sinϑ cosϑ 0 0 0 0 1 R Y Κανόνας δεξιάς χειρός cosϑ 0 sinϑ 0 0 1 0 0 = sinϑ 0 cosϑ 0 0 0 0 1 R Z ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) cos sin 0 0 sin cos 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1

Παράδειγµα 1 ο : Ανυψωτική διάταξη Πορεία Περιστροφή Ανύψωση Πραγµατική κατασκευή (γερανός µε βραχίονα) Μονογραµµική αναπαράσταση

Παράδειγµα 2 ο : Βραχίονας RRR Πραγµατική κατασκευή (τυχαία θέση #1) Πραγµατική κατασκευή (τυχαία θέση #2)