ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο σημείο. Έτσι μια Τ.Μ. είναι διακριτή αν η μάζα πιθανότητας είναι κατανεμημένη πάνω στην πραγματική ευθεία έτσι ώστε σε κάθε σημείο ενός πεπερασμένου ή ενός αριθμήσιμου άπειρου συνόλου να βρίσκεται μια θετική μάζα πιθανότητας, ενώ στα άλλα σημεία δεν υπάρχει καθόλου μάζα. Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν. Δια μέσου της αντίληψης της μάζας πιθανότητας οι έννοιες που εισάγονται σ αυτή την παράγραφοι, της μέσης τιμής και της μεταβολής, αναλαμβάνουν το ρόλο του κέντρου μάζας και της ροπής αδρανείας στη μηχανική. Ορισμός.5.: Έστω Χ μια μονοδιάστατη Τ.Μ. Η μέση τιμή της Χ και η μεταβλητότητα της Χ είναι αριθμοί πραγματικοί που συμβολίζονται με Ε(X) ή μ Χ ή μ και Vr() ή σ X ή σ αντίστοιχα και ορίζονται ως εξής: (α) Για διακριτή Τ.Μ. με σ.π.π. στα σημεία,,..., k,..., Ρ k = Ρ(Χ= k ), ορίζουμε E(X) = k Vr(X) = k P k k [ E( X )] k P k (β) Για μια συνεχή Τ.Μ. με σ.π.π. f X, E(X) = t. f X ( t) dt Vr(X) = [ t E( X )] f X ( t) dt (.5.) Παράδειγμα Να κατασκευαστεί πίνακας κερδών και πιθανοτήτων κέρδους για το εξής τυχερό παιγνίδι: Σε δώδεκα ρίψεις ενός ζαριού επιτυχία θεωρείται η εμφάνιση των αριθμών και 6. Η συμμετοχή του παίκτη κοστίζει. δραχμές. Σε κάθε επιτυχία ο παίκτης κερδίζει. δραχμές. Να συμπεράνετε αν το παιχνίδι είναι δίκαιο. Στην περίπτωση όπου συμπεραίνετε ότι το παιχνίδι δεν είναι "δίκαιο", να αποφανθείτε αν ευνοεί τον παίκτη ή το καζίνο. Πίνακας κερδών Proility mss
Επιτυχίες Κέρδη k -. -9. -6. -. 4 5. 6 6. 7 9. 8. 9 5. 8.. 4. Επειδή η διαδικασία ρίψης του ζαριού δίνει πιθανότητα κ επιτυχιών, που ακολουθεί την κατανομή Bernoulli, έχουμε Ρ( ανά κ) = ( )(/) k (/) -k k Πίνακας πιθανοτήτων Επιτυ Πιθανό,77,46,77,95 4,84 5,97 6,7 7,476 8,49 9,,4,
, Η Μαθηματική Προσδοκία, είναι: Ε(Χ) = k k Ρ( ανά κ) =. Αυτό σημαίνει ότι το προτεινόμενο παιχνίδι είναι δίκαιο. Παράδειγμα Δίδεται η ομοιόμορφη κατανομή f X,... ( ),... ύ Σύμφωνα με το Θεώημα.5. η Ε[Χ] δίνεται με τη σχέση: E [ X ] ( F( )) d F( ) d, Στην ομοιόμορφη κατανομή η Α.Σ.Κ. είναι,... F ),...,... (. Οπότε η Μαθηματική προσδοκία υπολογίζεται σε
d d d d X E ) ( ) ( ) ( όπως αναμενόταν
Παράδειγμα: Η μέση τιμή της διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ, που έχει Σ.Π.Π. f ) (, χ=,,, είναι:... 8 4 ] [ X E Θέτουμε... 8 4 S και έχουμε... 6 8 4 S Οπότε με αφαίρεση κατά μέλη... 6 8 4 S Άρα Ε[Χ]=S=
Σημείωση.5.: Λέμε ότι Ε() και Vr() υπάρχουν μόνο όταν η Χ είναι συνεχούς ή διακριτού τύπου και το αντίστοιχό τους ολοκλήρωμα ή η σειρά συγκλίνουν απόλυτα. Είναι προφανές ότι για πεπερασμένους δειγματοχώρους η Ε () και Vr() πάντοτε υπάρχουν. Η σημασία της Ε() είναι σημαντική στο λογισμό των πιθανοτήτων αφού, όπως φαίνεται από τον ορισμό, η κατανομή συμπεριφέρεται ως ολόκληρη η μάζα ήταν συγκεντρωμένη στο σημείο Ε(). Περισσότερο όμως υπογραμμίζεται αυτή η σημασία στους περίφημους "νόμους των μεγάλων αριθμών". Όπως στη μηχανική η αποκλειστική γνώση του κέντρου μάζας δεν προϊδεάζει για την κατανομή της μάζας γύρω από το κέντρο της, έτσι και στην στατιστική ανάλυση η Ε() δεν δίνει αντίστοιχες πληροφορίες. Πληροφορίες για την κατανομή της μάζας πιθανότητας δίνει η Vr(). Αυτή η "δεύτερη ροπή" ή "ροπή αδράνειας", μετράει την τάση μιας κατανομής να ξεφύγει από μια προσδοκώμενη τιμή της. Μικρή τιμή της μεταβολής δείχνει ότι μεγάλες αποκλίσεις από τη μέση τιμή είναι απίθανες. Σημείωση.5.: Η θετική τετραγωνική ρίζα της μεταβολής, ονομάζεται τυπική απόκλιση και σημειώνεται με το γράμμα σ. Η σ είναι ένας σταθμικός μέσος όρος, ανάλογος της "ακτίνας περιφοράς". Είναι δηλαδή η σταθμισμένη μέση τετραγωνική ρίζα της απόστασης κάθε τιμής από τη μέση τιμή Ε(). Παράδειγμα.5.: Έστω ότι Τ.Μ. Χ κατανέμεται ομοιόμορφα, με παραμέτρους,ir Τότε Ε() = tf ( t) dt = tdt = Vr(X) = [ t E( X )] f ( t) dt = ( t ) dt =. Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής διευκολυνόμαστε με τα επόμενα θεωρήματα. stndrd devition, weighted
Θεώρημα.5.: Αν η σ.π.π. f είναι συμμετρική ως προς = 4, τότε Ε() =. Στην ειδική περίπτωση όπου f είναι άρτια 5 τότε Ε() =. Απόδειξη: Επειδή (-)f()d = - f(+)d = f(-)d = - (-)f()d, συνεπάγεται ότι: (-)f()d =. Άρα: -E(X) = f()d - f()d =. Πόρισμα.5.: Για κάθε cir, ισχύει ότι E(c ) = c Απόδειξη: Λόγω της συμμετρίας στην κατανομή της Χ(ω) = c, ωω, με f(c) =. Θεώρημα.5.: ( i ) Αν η Τ.Μ. Χ έχει α.σ.κ. F, τότε Ε() = (-F())d - F()d, δηλαδή Ε()=εμβαδόν (Α) - Εμβαδόν (Β) όπου οι περιοχές Α, Β καθορίζονται από το γράφημα της F (βλέπε Σχ..5.). 4 Συμμετρική σημαίνει ότι f(-) = f(+) 5 Άρτια σημαίνει ότι f(-) = f()
,5,5,5-5 - -8,8-7, -5,6-4 -,4 -,8,8,4 4 5,6 7, 8,8,4,6 5, ήμα.5. Σχ (ii) Αν Χ (δηλαδή, Χ(ω), ωω), τότε Ε(). Απόδειξη: (i) Στην περίπτωση που η Τ.Μ. Χ είναι συνεχούς τύπου (ανάλογα για τη διακριτή περίπτωση), η παραγοντική ολοκλήρωση δίνει: E(X) = df ( ) d) = d df X () - df X () = XF X - F X ()d + F X - F X ()d = Ε() = (ii) An X, τότε, για κάθε <, F() = Ρ{Χ<}) = Ρ() = οπότε, σύμφωνα μετο (i), (-F())d. Παράδειγμα.5.: Έστω g, g,.,g n : IR IR συναρτήσεις της Τ.Μ. Χ,, IR. Τότε: (i) Ε(g ()+...+g n ()) = Ε(g ()) +...+ Ε(g n ()) και στην ειδική περίπτωση g()=+, Ε(X+)=Ε()+, (ii) αν g () g (), IR, τότε Ε(g () ) Ε(g (Χ) (iii) Ε(g()) Ε( g() ). Τέλος, αν μας δίνεται ένα γεγονός A με Ρ(Α)> τότε μπορούμε να ορίσουμε τη δεσμευμένη μέση τιμή μιας Τ.Μ. Χ με δεσμευμένη σ. π. π. f( Α) με τη σχέση E(X A) = f( Α)d, (.5.)
Εφόσον η Τ.Μ. Χ στο χώρο πιθανοτήτων (Ω,, Ρ) είναι συνεχούς τύπου και το ολοκλήρωμα (.5.) συγκλίνει απολύτως. Ανάλογα ορίζεται η δεσμευμένη μέση τιμή για Τ.Μ. άλλου τύπου. Αν Α, Α κ είναι μα πεπερασμένη ακολουθία ασυμβίβαστων και συλεκτικά εξαντλημένων γεγονότων, τότε k Ε() = n Ε(Χ Α n )Ρ(Α n ). Αν Α είναι μια άπειρη ακολουθία ασυμβιβάστων γεγονότων, τέτοιων ώστε Ω= Α n και Ρ(Α n ) >, n=,,, τότε ο παραπάνω τύπος ισχύει παίρνοντας k= στο n άθροισμα- Σημείωση.5.: Η μέση τιμή μιας συνεχούς Τ.Μ. Χ, δίνεται από τη σχέση (.5.). Στην περίπτωση που η Τ.Μ. Χ σχετίζεται με μια δεύτερη Τ.Μ. Υ με μια σχέση της μορφής Χ=φ(Υ), η μ.τ. μπορεί να βρεθεί απ' ευθείας από τη σ.π.π. f Y χωρίς να προσδιοριστεί η σ.π.π. της Χ. Κάτι τέτοιο προκύπτει από την ισοδυναμία της σχέσης (.5.) και της Ε() = φ(t) f Y (t)dt. (.5.) Η απόδειξη της (.5.) είναι μακροσκελής και δεν θα παρατεθεί εδώ. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν μερικές ειδικές περιπτώσεις. Για παράδειγμα, όταν η φ είναι συνάρτηση παραγωγίσιμη και αυστηρά αύξουσα στον πραγματικό άξονα και παίρνει κάθε πραγματική τιμή, η σχέση (.5.) ισχύει και αυτό αποδεικνύεται εύκολα. Πράγματι για μια Τ.Μ. Υ με συνεχή κατανομή και σ.π.π. f Y έχουμε f X (t) = f Y [φ - (t)][ φ - (t)]'. (Τούτο προκύπτει από την εφαρμογή της σχέσης.4. στην παράγωγο της F X (t) = F Y (φ - (t)). Αν αντικαταστήσουμε στη σχέση (.5.) και εκτελέσουμε την αλλαγή της μεταβλητής υ = φ - (t), [t = φ(u)], βρίσκουμε, Ε() = tf X (t)dt = tf(φ - (t) [φ - (t)]'dt = φ(u)f X (u)du. Παρατήρηση: Για Χ=(Υ-m), όπου m = Ε(Υ), έχουμε σύμφωνα με τα προηγούμενα:
Ε() = (t-m) f Y (t)dt = Vr(Y). Συμπεραίνουμε, από αυτή τη σχέση, ότι η μεταβολή είναι και αυτή μια μέση τιμή και κατά συνέπεια οι ιδιότητες της M.T. καλύπτουν τη μεταβολή. Άλλες περιγραφικές παράμετροι είναι το μέτρο ασυμμετρίας ή λοξότητας της κατανομής που δίνεται από την τρίτη κεντρική ροπή, δηλαδή, Ε(Χ-μ Χ ) = olt ( i -μ X ) P X ( I ) για διακριτή Χ και Ε(Χ-μ X ) = ( (-μ ) f X ()d. για συνεχή Χ. Τέλος αναφέρουμε τις ροπογεννήτριες και τις χαρακτηρίστηκες συναρτήσεις μιας τ.μ. Χ (βλέπε σχετικό κεφάλαιο). Για τις συμμετρικές κατανομές, ο συντελεστής κύρτωσης (ή συντελεστής πλάτυνσης) είναι σύμφωνα με τον Person o αριθμός β =μ 4 /μ, ενώ ο Fisher προτιμά τον c =( β )- Ο αναμενόμενος όγκος κυκλοφορίας για έναν προτεινόμενο δρόμο έχει την Σ.Π.Π.. του Σχ... Ο συγκοινωνιολόγος μηχανικός μπορεί να σχεδιάσει το δρόμο 4 X έτσι ώστε η πραγματική του χωρητικότητα να είναι ίση με ένα από τα εξής:.την πιθανότερη τιμή της τ.μ. Χ
.Τη μέση τιμή της τ. μ. Χ.Τη διάμεσο της Χ 4.Την τιμή Χ, που ονομάζεται "9 ο εκατοστημόριο" και ορίζεται από τη σχέση 5.F X ( 9 ) =.9. α) Να υπολογιστεί η χωρητικότητα του δρόμου σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις, καθώς και η πιθανότητα ότι η χωρητικότητα αυτή δεν θα ικανοποιεί τις κυκλοφοριακές ανάγκες. Η Σ.Π.Π. έχει την μορφή f X h ( ) h h ( ), 4 όπου h=/.. H κρατούσα τιμή ή πιθανότερη τιμή είναι οχήματα.. 4 [ ] [ ] d [ 6 ( )] d 6 5 4 4 9 4 7 6 6 6. ] d,5 6 6 4. Το σκιασμένο τμήμα του τριγώνου καλύπτει το.75 της επιφάνειας. Άρα η ζητούμενη τιμή της τ.μ. Χ, είναι μεγαλύτερη του.,75.9 [ 5 ] d,9
.9 [.9 ] [ ].5 5.9.9 5 6 4 9 4.5 μεγαλύτερη.. 9 8. 9 56 με ρίζες 4+ εκ των οποίων αποκλείεται η β) Έστω η πραγματική χωρητικότητα του δρόμου (μετά την κατασκευή του) είναι ή ή 5 οχήματα/ώρα, με σχετική πιθανότητα προς 4. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο όγκος κυκλοφορίας δεν θα ικανοποιηθεί; Αφού η σχετική πιθανότητα είναι προς 4 για τα ή τα 5 μπορούμε να γράψουμε Ρ(Χ<)=. και Ρ(Χ<5)=.8 Η μέση πραγματική κίνηση είναι Ε[Χ] =, + 5.8 = 4 αυτοκίνητα. Επειδή η κατασκευή του δρόμου έγινε με βάση το σχήμα, η πιθανότητα να ικανοποιούνται οι κυκλοφοριακές ανάγκες αναφέρονται στην περιοχή του σχήματος μεταξύ των ευθειών =4 και =4. Η μέση τιμή μιας τ.μ., όπως είδαμε, δίνει ένα μέτρο της κεντρικής τάσεως. Με αυτή έχουμε μια πολύ καλή εποπτεία των τιμών της τ.μ., αλλά χωρίς την βοήθεια της μεταβολής η εποπτεία αυτή δεν είναι ικανοποιητική. Πληρέστερη γίνεται με τη βοήθεια των ροπών α- νώτερης τάξης, όπως εκείνη του μέτρου ασυμμετρίας. Δευτερεύοντα, αλλά όχι ασήμαντο, ρόλο σε αυτή την παρουσίαση έχουν δυο άλλες παράμετροι θέσεως. Αυτές είναι η πιθανότερη τιμή και η διάμεση τιμή. Πιθανότερη τιμή είναι η τιμή που έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να συμβεί. Για αυτήν την τιμή η σ.π.π. f() είναι μεγίστη. Αν αυτό συμβαίνει για μια τιμή, λέμε ότι έχουμε μονοκόρυφη κατανομή. Μερικές φορές όμως, αυτό συμβαίνει για περισσότερες τιμές της τ.μ.. Μιλούμε τότε, για δικόρυφες, τρικόρυφες κ.λ.π., κατανομές. Διάμεση τιμή ή διχοτόμος τιμή είναι εκείνη η τιμή της τ. μ., για την οποία Ρ(Χ) = Ρ(Χ) = /. Αναφέρουμε, τέλος, τις δευτερεύουσες παραμέτρους της διασποράς των πιθανοτήτων στις διάφορες τιμές της τ.μ.. Τέτοιες είναι:
Το πλάτος ή έκταση που είναι η διαφορά της μεγαλύτερης τιμής της τ.μ. μείον τη μικρότερη. Το κεντρικό πλάτος είναι η διαφορά 75-5, όπου ικανοποιεί την Ρ(Χ Y ) = y, (y-εκατοστιαίο σημείο). Μέση απόλυτη απόκλιση μιας τ.μ. Χ είναι η μέση τιμή της Χ-μ. Είναι δηλαδή Ε( Χμ ). Παράδειγμα.5.. Σαν αποτέλεσμα δοκίμων δυο οργάνων (Α και Β) βρέθηκε η πιθανότητα εμφάνισης παρεμβολών, που βαθμολογούνται με μέγιστο το. Σε περίπτωση απουσίας παρεμβολών η τιμή τους θεωρείται. Με βάση τα δεδομένα του πίνακα διαλέξτε το καλύτερο όργανο, αν θεωρήσουμε ότι το καλύτερο είναι εκείνο που κατά μέσο όρο έχει την μικρότερη τιμή παρεμβολών. Στάθμη παρεμβολών όργανο Α,,6,4 όργανο Β,6,4, ΛΥΣΗ είναι: Ας θεωρήσουμε Χ τυχαία τιμή παρεμβολών. Μέση τιμή παρεμβολών για όργανο Α M A [X] =, +,6 +,4 =,44 για όργανο Β είναι: M B [X] =,6 +,4 +, =,44 όπως βλέπουμε τα δυο όργανα είναι ίδια κατά μέσο όρο τιμής παρεμβολών. Χρησιμοποιούμαι την τυπική απόκλιση παρεμβολών για να βρούμε πια είναι η καλύτερη σ A = D A [X] = M A [X ] (χ A ) =,8,44,78 σ B = D B [X] = M B [X ] (χ B ) =,,44,96
Έτσι το όργανο Α δίνει πιο ακριβή αποτελέσματα, συνεπώς είναι καλύτερο από το Β.