ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα



Σχετικά έγγραφα
Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

VII. Π Ο Λ Υ Ω Ν Υ Μ Ι Κ Ο Ι Μ Ε Τ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι.

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ

Η έννοια του διανύσματος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος

Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των Θεωρηµάτων οµής. Έστω F ένα σώµα, V ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης επί του

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. . Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Ορίζουσες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Η θεωρία στα μαθηματικά της

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

για την εισαγωγή στο Λύκειο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε.

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. άθροισµα του δείκτη (θέση) του στοιχείου είναι άρτιο ή περιττό δηλαδή ( 1) = ( + ), στο στοιχείο α 32 είναι ( 1)

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

Yποθέτουμε ότι αρχικά είναι φορτισμένος ο πυκνωτής με φορτίο Q ο. Mετά το κλείσιμο του κυκλώματος και σε τυχούσα χρονική στιγμή ισχύει:

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

ΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 19 Ιανουαρίου 2019 Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Transcript:

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί την εξίσωση A (), γι κάποιο μονόμετρο Η εξίσωση () οδηγεί στο ομογενές σύστημ (A I) (), το οποίο έχει ύση διάφορο της μηδενικής, ν κι μόνον ν οι κοώνες του πίνκ A I είνι γρμμικά εξρτημένες (βέπε 5) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Η τιμή είνι ιδιοτιμή του πίνκ A ; 8 Λύση Σχημτίζουμε την εξίσωση (): Οι κοώνες του πίνκ 8 A I είνι τ δινύσμτ κι, που είνι γρμμικά εξρτημέν Το είνι, 6 οιπόν, ιδιοτιμή του πίνκ Α ) Το διάνυσμ είνι ιδιοδυάνυσμ του πίνκ A 4 ; 8 Λύση Σχημτίζουμε την εξίσωση ():, η οποί μς οδηγεί 8 4 4 στο σύστημ ή το οποίο είνι δύντο Άρ το δεν 4 4 9 4 είνι χρκτηριστικό διάνυσμ του πίνκ Α Μί συνθήκη ικνή κι νγκί γι ν είνι οι κοώνες του πίνκ () γρμμικά εξρτημένες, είνι η det ( A I) Το νάπτυγμ της det( A I) είνι έν πουώνυμο p( ), n βθμού, κούμενο χρκτηριστικό πουώνυμο του οποίου οι ρίζες (ιδιοτιμές-χρκτηριστικές ρίζες) είνι υτές που κθιστούν την προηγούμενη συνθήκη ηθή ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Έστω ο πίνκς δίδοντι πό τις ρίζες του πουωνύμου A p ( ) 6 9 Οι ιδιοτιμές του Α - - 6 - det( A - I) det - - ( )( )( 5) - 9 - Στην ρίζ, ντιστοιχεί το χρκτηριστικό διάνυσμ, όπου

6 Είνι, 9 8 Στην ρίζ, ντιστοιχεί το χρκτηριστικό διάνυσμ, όπου 6 5 Είνι, 9 8 Στην ρίζ 5, ντιστοιχεί το χρκτηριστικό διάνυσμ, όπου 6 6 8 Είνι, 5 9 5 Πρτηρούμε ότι: ) Το σύνοο {,, } είνι γρμμικά νεξάρτητο, κι συνεπώς είνι δυντόν ν χρησιμοποιηθεί ως βάση του R ) Το πουώνυμο det( A I) έχει τρεις πές ρίζες ) Κάθε χρκτηριστικό διάνυσμ πράγει μί ευθεί που διέρχετι πό την ρχή του συστήμτος νφοράς 4) R < > < > < > 5) r nk(a I) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Το χρκτηριστικό πουώνυμο του πίνκ 7 5 A 45 8 5 είνι το p( ) ( )( ) Οι ιδιοτιμές του Α είνι οι κι Η εξίσωση ( I), που ντιστοιχεί στην πή ρίζ, δίδει το χρκτηριστικό A διάνυσμ Γι την διπή ρίζ έχουμε: 5 5 5 5 ( A I) 45 5 Το σύστημ 45 5 5 5 5 5 5 5 δίδει 45 5 π όπου,

, Είνι, οιπόν, / / Στην διπή ρίζ ντιστοιχούν τ ιδιοδινύσμτ κι Πρτηρούμε ότι: ) Το σύνοο {,, } είνι γρμμικά νεξάρτητο, κι συνεπώς είνι δυντόν ν χρησιμοποιηθεί ως βάση του R ) Το πουώνυμο det( A I) έχει μί πή ρίζ κι μί διπή ρίζ ) Τ χρκτηριστικά δινύσμτ πράγουν μί ευθεί κι έν επίπεδο, που διέρχοντι πό την ρχή του συστήμτος νφοράς 4) R < > <, > 5) r nk(a I) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Το χρκτηριστικό πουώνυμο του πίνκ A είνι το p( ) ( )( ) Οι ιδιοτιμές του Α είνι οι κι Η εξίσωση ( I), που ντιστοιχεί στην πή ρίζ, δίδει το χρκτηριστικό A διάνυσμ Γι την διπή ρίζ έχουμε: ( A I) π όπου, Πρτηρούμε ότι: ) Το σύνοο {, } είνι γρμμικά νεξάρτητο, κι συνεπώς δεν είνι δυντόν ν χρησιμοποιηθεί ως βάση του R ) Το πουώνυμο det( A I) έχει μί πή ρίζ κι μί διπή ρίζ ) Τ χρκτηριστικά δινύσμτ πράγουν δύο ευθείες, που διέρχοντι πό την ρχή του συστήμτος νφοράς 4) W < > < > R, υπόχωρος που πράγετι πό τ χρκτηριστικά δινύσμτ 5) r nk(a I) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4) Το χρκτηριστικό πουώνυμο του πίνκ

4 A 4 είνι το p Ο Α έχει μί ιδιοτιμή Γι την μονδική τριπή ρίζ ( ) ( ) έχουμε: ( A I) π όπου, κι - Πρτηρούμε ότι: ) Το σύνοο {, } είνι γρμμικά νεξάρτητο, κι συνεπώς δεν είνι δυντόν ν χρησιμοποιηθεί ως βάση του R ) Το πουώνυμο det( A I) έχει μί τριπή ρίζ ) Τ δύο χρκτηριστικά δινύσμτ που προκύπτουν, πράγουν δύο ευθείες, που διέρχοντι πό την ρχή του συστήμτος νφοράς 4) W < > < > R, υπόχωρος που πράγετι πό τ χρκτηριστικά δινύσμτ 5) r nk(a I) Ορισμός Οι ιδιόχωροι του πίνκ Α, είνι εκείνοι οι υπόχωροι, οι οποίοι πράγοντι πό τ χρκτηριστικά μη μηδενικά δινύσμτ του Α Στην περίπτωση, που ο Α έχει το ως ιδιοτιμή, η εξίσωση (A I) μεττρέπετι στην A, η οποί έχει ύση διφορετική της μηδενικής, ν κι μόνον ν deta οπότε πίνκς Α δεν ντιστρέφετι Ισχύει συνεπώς η πρότση, ΠΡΟΤΑΣΗ Ο n n πίνκς Α είνι ντιστρέψιμος, ν κι μόνον ν δεν έχει ιδιοτιμή την ΠΡΟΤΑΣΗ Τ χρκτηριστικά δινύσμτ {,, Kρ} του Α, που ντιστοιχούν σε διφορετικές ιδιοτιμές, ποτεούν σύνοο γρμμικά νεξάρτητο Απόδειξη Έστω το,, K } γρμμικά εξρτημένο Μπορούμε τότε ν { ρ υποθέτουμε ότι κ γ γ K γ κ κ με γ i, i κ - κι το σύνοο {,, K κ } γρμμικά νεξάρτητο Η δράση του πίνκ Α πάνω στο κ δίδει την A κ γa γa K γ κ A κ ή κι κκ γ γ K γκ κ κ Έχουμε κι τις i κ γi γi K γκ iκ, i κ Άρ κι τις ( κ i ) κ γ( i) γ( i) K γκ ( κ i) κ Γι i κ προκύπτει η γ ( κ ) γ( κ ) K γκ ( κ κ ) κ Το σύνοο {,, K κ } είνι γρμμικά νεξάρτητο Άρ γ i ( i κ ) γι i κ Όμως πό υπόθεση i Άρ γι i κ, γ, άτοπο κ Έστω Α τριγωνικός πίνκς Τ διγώνι στοιχεί του, είνι κι οι ιδιοτιμές του, μι κι η ορίζουσ τριγωνικού πίνκ, ισούτι με το γινόμενο των διγωνίων στοιχείων του (βέπε ενότητ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ) i

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Περίπτωση πίνκ Έστω A Το χρκτηριστικό πουώνυμο είνι το p( ) det ( )( )( ) Διγωνοποίηση πίνκος Ένς n n πίνκς Α είνι διγωνοποιήσιμος, νν είνι όμοιος προς διγώνιο πίνκ D Αν, δηδή, υπάρχει ντιστρέψιμος πίνκς P, τέτοιος ώστε A PDP ΠΡΟΤΑΣΗ Ο πίνκς Α είνι διγωνοποιήσιμος, νν έχει n γρμμικά νεξάρτητ ιδιοδινύσμτ Απόδειξη Κτ ρχήν υπενθυμίζουμε ότι, (βέπε ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ), ν ο P είνι ο n n πίνκς P [ u, u, K ], τότε, AP [Au, Au, KA ] () un un L Επίσης, ν D M O M, τότε, PD [ u, u, Knun ] () L n ) Ο Α είνι διγωνοποιήσιμος Άρ A PDP, ή AP PD, ή [Au, Au, K Au n ] [ u, u, Knun ] άρ κι Au u, Au u, K Au n nun Επειδή ο P ντιστρέψιμος, τ ιδιοδινύσμτ ui, i n είνι γρμμικά νεξάρτητ β) Αν δίδοντι τ n γρμμικά νεξάρτητ ιδιοδινύσμτ u, u, Kun, μπορούμε ν κτσκευάσουμε τον ντιστρέψιμο πίνκ P [ u, u, K ] κι με τις ιδιοτιμές τον πίνκ D Λόγω των () κι () έχουμε την un AP PD, δηδή, την A PDP ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ν διγωνοποιήσετε τον πίνκ Α, ν γίνετι, όπου A 5 Λύση Το χρ/κό πουώνυμο του Α είνι το p( ) det(a I) 4 με ρίζες ( ) (πή) κι ( ) (διπή) Θ πρέπει στις ιδιοτιμές υτές ν ντιστοιχούν τρί διφορετικά γρμμικά νεξάρτητ ιδιοδινύσμτ, που ν πράγουν τον R Αν υτό δεν συμβίνει, τότε ο Α δεν διγωνοποιήτι Γι, u κι γι, u, u Είνι, οιπόν, i

6 > < > < u u u, R κι P D ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ν διγωνοποιήσετε τον πίνκ Α, ν γίνετι, όπου 6 4 4 A Λύση Το χρ/κό πουώνυμο του Α είνι το ( ) 4 I) det(a p με ρίζες (πή) κι ( ) ) ( (διπή) Θ πρέπει στις ιδιοτιμές υτές ν ντιστοιχούν τρί διφορετικά γρμμικά νεξάρτητ ιδιοδινύσμτ, που ν πράγουν τον R Γι βίνουμε το χρ/κό διάνυσμ Γι u βίνουμε το χρ/κό διάνυσμ Τ δινύσμτ υτά δεν ποτεούν βάση γι τον u R Ο πίνκς Α δεν διγωνοποιήτι ΠΡΟΤΑΣΗ Όμοιοι πίνκες έχουν το ίδιο χρκτηριστικό πουώνυμο Απόδειξη Υποθέτουμε ότι οι πίνκες Α κι Β είνι όμοιοι Τότε, με Ισχύει ότι PAP B PP I ) I det(a ) I)P det(p(a I) det(pap I) det(b ΠΡΟΤΑΣΗ Κάθε πίνκς Α, είνι όμοιος προς έν (άνω) τριγωνικό πίνκ n n Απόδειξη ) Γι, Έστω ιδιοτιμή του Α κι το ιδιοδιάνυσμ, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή Είνι ή νυτικά, Θεωρούμε τον πίνκ, που έχει ως κοώνες τ δινύσμτ κι, με n A A A ], [ det Είνι,,, με δ det δ Υποογίζουμε το γινόμενο A

7 ή A β β, όπου β, β Στην συνέχει υποογίζουμε το γινόμενο β β β γ A δ β δ β β γ ) Ερχόμστε, τώρ, στην γενική περίπτωση Έστω,, K, n οι ιδιοτιμές του πίνκ Α Σχημτίζουμε ένν πίνκ, που έχει σν πρώτη κοών το ιδιοδιάνυσμ, κι έχει det Εκτεούμε την πράξη A κι κτήγουμε σε έν πίνκ που η πρώτη κοών του έχει την μορφή γ Είνι, οιπόν A A Οι πίνκες Α κι A ως M Γ όμοιοι, έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Θεωρούμε, τώρ, τον ( n ) (n ) πίνκ Γ του οποίου οι ιδιοτιμές είνι φνερά οι, K, n, κι εφρμόζουμε κι σ υτόν την προηγούμενη διδικσί Μετά πό n βήμτ, ο Α έχει μεττρπεί σε όμοιο άνω τριγωνικό πίνκ ΘΕΩΡΗΜΑ (Cyley Hmilton) Κάθε τετργωνικός πίνκς πηροί την χρκτηριστική του εξίσωση Απόδειξη Όμοιοι πίνκες έχουν ίδιες ιδιοτιμές κι συνεπώς ίδι χρκτηριστική εξίσωση Αρκεί συνεπώς το Θεώρημ ν ισχύει γι άνω τριγωνικό πίνκ Α Όπως όμως είδμε προηγουμένως, τ διγώνι στοιχεί ενός άνω τριγωνικού πίνκ, είνι οι ιδιοτιμές του Είνι, οιπόν, (ενδεχομένως μερικές ρίζες είνι ποπές), K n K n A M M O M K n Το χρκτηριστικό πουώνυμο του πίνκ Α είνι p() ( )( ) L ( n ) Στο πουώνυμο p (), ντιστοιχεί το p(a) (A I)(A I) L (A ni) Όμως ο πίνκς A ii έχει στην θέση ii i i Άρ ο πίνκς p(a) (A i I) (Πράγμτι, γι δύο πίνκες υτής της i n μορφής,, γι τρείς πίνκες υτής της μορφής είνι,

8 κοκ) Ισχύει οιπόν ότι, p(a), n R