Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης (γ µέρος) Αρµονικά Κύµατα Θα ξεκινήσω το τρίτο µέρος ατής της ανάρτησης για τη φάση και την αρχική φάση, µε κάποιο κοµµάτι από παλιό µο κείµενο. «... Όµως εµένα πιο πολύ από ατά τα µαθηµατικά παιχνιδίσµατα µε τροµάζει η επόµενη α- πόπειρα προσέγγισης πολύ σοβαρών φαινοµένων, όπως π.χ η σµβολή των κµάτων, µε σύνθεση δύο (απλών) αρµονικών ταλαντώσεων ίδιων χαρακτηριστικών... Αφού µια απλή πρόσθεση την κάναµε φσικό φαινόµενο, επιχειρήσαµε ατό το φαινόµενο πο ανακαλύψαµε να το εφαρµόσοµε στα κύµατα της Φύσης. Στο τέλος φτάσαµε να εξετάζοµε δικά µας κύµατα και να παράγοµε χίλια δο καινούρια φσικά δήθεν φαινόµενα πο η Φύση όµως αγνοεί. Ασκήσεις επί ασκήσεων µε πολύπλοκα ζητούµενα και ασύλληπτος πολογισµούς κάνον την εµφάνισή τος. Κύµατα µε ή χωρίς αρχικές φάσεις πηγών και διαγράµµατα αποµακρύνσεων µε κόγχες εµφανίζονται και ταχύτητες πο περιέχον ασνέχειες όλων των µαθηµατικών ειδών και ατέλειωτες σζητήσεις για το τι ακριβώς σµβαίνει µε τα κύµατά µας τα εµπλοτίζον µε καταπληκτικές ασκησιολογικές ιδιότητες... ιδάσκοµε κύµατα πο δήθεν διαδίδονται µε ταχύτητα, έχον αρχικές φάσεις, έχον πηγές πο τα παράγον και πολλές φορές δύο πηγές για να έχοµε σµβολή. Μα ατά πο διδάσκοµε ούτε κύµατα είναι, ούτε διαδίδονται, ούτε πηγές περιέχον, ούτε είναι κάπο και τρέχον να πάνε κάπο αλλού, ούτε ξεκινάνε από κάπο,ούτε...ούτε...ούτε... Στα κεφάλαια Κύµατα και Μηχανική Στερεού Σώµατος της Φσικής Κατεύθνσης Γ Λκείο, ειλικρινά µε πιάνει απελπισία... Τα πράµατα εκεί σκοτεινιάζον τόσο πολύ... Τί να πεις και από πού να αρχίσεις;...» («Θέµατα Φσικής-Παρανοήσεις και προτάσεις πέρβασής τος» σελίδα 8) Παρόλο πο είναι ορατός ο κίνδνος να προκαλέσω στον αναγνώστη αρνητικά σναισθή- µατα µε το παραπάνω κοµµάτι, νιώθω ότι ήµον ποχρεωµένος να το αναφέρω Γιατί δε θέλω να έλθω αντιµέτωπος µε τον εατό µο, παραµερίζοντας ατή τη στιγµή όλος εκείνος τος λόγος πο µέχρι τώρα δε µο επέτρεψαν να γράψω ένα βιβλίο για τα «Κύµατα», αντίστοιχο µε εκείνο για τις «Ταλαντώσεις» Για να δικαιολογήσω το γεγονός ότι θα χρησιµοποιήσω φρασεολογία πο δεν αποδέχοµαι. Θα το κάνω µόνο και µόνο γιατί πρέπει να µιλήσω µε τρόπο πο να γίνοµαι κατανοητός. Αλλιώς κινδνεύω να σας δώσω την εντύπωση ότι παραµιλάω Γιατί αν κάποτε γράψω ατό πο πραγµατικά µο βγαίνει για τα «κύµατα», να µη θεωρηθεί ότι αντιφάσκω µε το σηµερινό µο κείµενο 1

Όσα αναφερθούν παρακάτω, αφορούν τα αρµονικά «κύµατα» πο διδάσκοµε στη Φσική Κατεύθνσης Γ Λκείο (και όχι µόνο). Βοβά, θα παρακάµψω ό,τι µο είναι πολύ δύσκολο να προφέρω για ατά τα «κύµατα», µιας και µο στοιχίζει αρκετά πο το προφέρω µέσα στην τάξη. Όµως στην όλη πόθεση πάρχει κάτι αρκετά ελπιδοφόρο. Κάποια αποτελέσµατα, σµπεράσµατα και µεθοδολογίες της ανάλσής µο για τη φάση και την αρχική φάση, µπορούν εύκολα να επεκταθούν σε άλλες περιοχές, έστω κι αν γι ατό το σγκεκριµένο «αντικείµενο» πο από δω και πέρα θα λέµε «κύµα» χωρίς εισαγωγικά, δεν θα χρησιµοποιήσω ορολογία αποδεκτή, από µένα τολάχιστον. (Τη λέξη «αντικείµενο» τη χρησιµοποιώ αναγκαστικά, επειδή δε θέλω να χρησιµοποιήσω κάποια άλλη πο πιθανώς να δώσει αφορµή να περάσοµε σε σζήτηση αποκλειστικά για τα «κύµατα» και όχι για τη φάση και την αρχική φάση)... Ας αρχίσοµε λοιπόν την πορεία µας µε κάτι γενικό. Όταν πρόκειται να γράψοµε την εξίσωση το κύµατος πο διδάσκοµε και να µιλήσοµε για διάφορα στοιχεία και έννοιες πο το αφορούν, όπως φάση, αρχική φάση κ.λ.π., πάρχον δύο τρόποι πο, κατά τη γνώµη µο, είναι σλλογιστικά σνεπείς, εννοιολογικά αρκετά οµαλοί και εύκολοι στη χρήση τος. α) Να ξεκινήσομε γράφοντας την εξίσωση κίνησης το πρώτο σημείο Ο το μέσο, πο ξαφνικά μπαίνει σε αρμονική ταλάντωση, ενώ μέχρι τότε ηρεμούσε στη «μελλοντική» θέση ισορροπίας το β) Να ξεκινήσομε γράφοντας την εξίσωση κίνησης το τελεταίο σημείο Μ το μέσο, στο οποίο μόλις έχει φτάσει το κύμα Το σηµείο Ο ή Μ πο θα επιλέξοµε γι ατό το σκοπό, θα το καλούµε και σηµείο αναφοράς ( * ) Εδώ θα πρέπει να τονίσοµε, ότι τα αρµονικά κύµατα πο εξετάζοµε έχον µια αρκετά «παράξενη» ιδιότητα: Όταν κατά τη διάδοσή τος φτάνον σε κάποιο σηµείο το γραµµικού µέσο, τότε το σηµείο ατό αποκτά ακαριαία ταχύτητα µέγιστο µέτρο, ενώ µέχρι τότε ήταν ακίνητο. Έστω λοιπόν ότι σε εθύγραµµο (γραµµικό) µέσο άπειρης έκτασης, διαδίδεται προς τα θετικά µε ταχύτητα µέτρο, αρµονικό κύµα κκλικής σχνότητας ω και πλάτος Α. Τα σηµεία το µέσο εκτελούν ταλαντώσεις στο επίπεδο xoy. Στο σχήµα 1 δίνεται το στιγµιότπο το κύµατος τη χρονική στιγµή t 0 R. Εύκολα σ- µπεραίνοµε ότι το σγκεκριµένο κύµα πο µόλις έφτασε στο Μ, προσδίδει ακαριαία στο εν λόγω (λικό) σηµείο, ταχύτητα (µέγιστο µέτρο) κάθετη στον άξονα x προς τα θετικά το y. ( * ) Ο λόγος της προτίµησης των Ο ή Μ ως σηµείων αναφοράς, θα αναδειχτεί γρήγορα µόνος το Στο κείµενο ατό επιλέχτηκε το Μ ως σηµείο αναφοράς Ο λόγος πο, προσωπικά, προτίµησα το Μ και όχι στο Ο, είναι για να αποφύγω να ονοµάσω το Ο «πηγή» Αν επιλέξοµε το Ο ως σηµείο αναφοράς µπορούµε να φτάσοµε στην εξίσωση κύµατος ακολοθώντας την ίδια ακριβώς µεθοδολογία 2

Επιλέγοντας να περιγράψοµε την ταλάντωση το Μ µε εξίσωση πο περιέχει ηµίτονο, η αρχική φάση θα είναι µηδέν. Σχήµα 1: Στιγµιότπο αρµονικού κύµατος τη χρονική στιγµή t 0 Άρα: Η εξίσωση της αρµονικής ταλάντωσης το Μ είναι (βλέπε σχέσεις (28) και (29) στο β µέρος της ανάρτησης «Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης») y M =Αηµω(t t 0 ) t t 0 R Α>0 ω>0 (46) Η φάση φ Μ της αποµάκρνσης το Μ στην εξίσωση κίνησης (46) είναι φ Μ = ω(t t 0 ) t t 0 R (47) Η αρχική φάση φ Μ,ο της αποµάκρνσης το Μ στην εξίσωση κίνησης (46) θα βρεθεί θέτοντας στην σχέση πο δίνει τη φάση την αρχική τιµή το χρόνο, δηλαδή θέτοντας t=t 0. Είναι λοιπόν φ Μ,ο =0 rad Για να προχωρήσοµε τώρα από την εξίσωση κίνησης το Μ, στην παραγωγή της εξίσωσης κύµατος, πάρχον δύο εναλλακτικές «φιλοσοφίες». Τη µία από τις δύο ατές εναλλακτικές «φιλοσοφίες», την οποία ιοθετεί το σχολικό βιβλίο και θα ιοθετήσοµε κι εµείς στα παρακάτω, την είχαµε τότε κάνει παιχνίδι, πο µε την αθωότητα των παιδικών µας χρόνων το είχαµε ονοµάσει «Ό,τι κάνει η µάνα, καν κι η παραµάνα» Σύµφωνα µε ατή την αθωότητα, πρέπει να δεχτούµε ότι στο αρµονικό κύµα, ό,τι κάνει τη χρονική στιγµή t το σηµείο Μ, πο η θέση ισορροπίας το βρίσκεται στη θέση x Μ το άξονα x, το έκαναν κάποτε τα σηµεία πριν το Μ και θα το κάνον κάποτε τα σηµεία µετά το Μ.

Αν λοιπόν το Ν είναι τχαίο σηµείο το γραµµικού (εθύγραµµο) µέσο, το οποίο ση- µείο η θέση ισορροπίας έχει τετµηµένη x N, τότε το Ν απέχει από το Μ απόσταση x N x Μ και σνεπώς το τχαίο ατό σηµείο Ν, θα κάνει (αν x N >x M ) ή έκανε (αν x N <x M ) ό,τι και xn x το Μ, µετά ή πριν από χρόνο τ = M αντίστοιχα. Αφού λοιπόν, το σηµείο αναφοράς Μ ξεκίνησε τη χρονική στιγµή ym 0 t 0 R και εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση = A ηµω ( t t ) µε t t 0 R Α>0 ω>0 το σηµείο Ν, αν x N >x M, θα ξεκινήσει τη χρονική στιγµή t 0 =t 0 +τ και θα εκτελέσει αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση = A ηµω ( t t ) µε t t 0 R Α>0 ω>0 y N 0 ή πιο αναλτικά y N 0 = A ηµω( t t τ ) µε t t 0 + xn x M Α>0 ω>0 >0 (48) αν x N <x M, ξεκίνησε τη χρονική στιγµή t 0 =t 0 τ και εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση ή πιο αναλτικά N = A ηµω ( t t ) µε t t 0 R Α>0 ω>0 y 0 y N 0 = A ηµω ( t t + τ ) µε t t 0 xn x M Α>0 ω>0 >0 (49) 4

Εύκολα οι σχέσεις (48) και (49) σνδάζονται σε µια ενιαία σχέση χωρίς απόλτα: Στο αρµονικό κύµα το σχήµατος 1 πο διαδίδεται προς τα θετικά το άξονα x, το τχαίο σηµείο Ν, τη χρονική στιγµή t θα έχει εξίσωση κίνησης y N xn = A ηµω( t t0 ) µε xn t t0 + (50) Άρα: Αν η εξίσωση ταλάντωσης το σηµείο αναφοράς Μ (σηµείο µε τη βοήθεια της εξίσωσης κίνησης το οποίο, καταστρώθηκε η εξίσωση κύµατος) είναι Τότε: ym 0 = A ηµω ( t t ) µε t t 0 R Η εξίσωση αρµονικού κύµατος πο διαδίδεται προς τα θετικά είναι y = A ηµω( t t0 ) µε ( t R, x R, t 0 R, Α>0, ω>0, >0 ) t t0 + (50) Η (σνάρτηση) φάση το κύµατος στην εξίσωση (50) είναι ϕ = ω( t t0 ) µε t R, x R και t t0 + (51) Η αρχική φάση το κύµατος στην εξίσωση (50) είναι η τιµή πο µας δίνει η φάση για τη µικρότερη δεκτή τιµή το χρόνο φ 0 =0 rad Τα παραπάνω θεωρούνται ατονόητα, λόγω της φιλοσοφίας πο ιοθετήσα- µε για την κατάστρωση της εξίσωσης κύµατος: «Όλα τα σηµεία το γραµµικού µέσο έκαναν, κάνον και θα κάνον ατό πο έκανε, κάνει και θα κάνει το σηµείο αναφοράς Μ: Αρχικά ηρεµούν και όταν φτάνει η διαταραχή κινούνται ακαριαία και µε µέγιστη ταχύτητα προς τα θετικά το άξονα y. Σνεπώς, όλα τα σηµεία το µέσο πο ήδη ταλαντώνονται εξαιτίας το κύµατος πο εξετάζοµε, έχον αρχική φάση φ 0 =0 rad» 5

Σχήµα 2: Στιγµιότπο αρµονικού κύµατος τη χρονική στιγµή t 1, η οποία µπορεί να είναι προγενέστερη ή µεταγενέστερη της χρονικής στιγµής t 0, κατά την οποία αρχίσαµε να παρακολοθούµε το σηµείο αναφοράς Μ και να καταστρώνοµε την εξίσωση το κύµατος. Το κύµα έχει διαδοθεί µέχρι το σηµείο Σ. Το σηµείο αναφοράς Μ, καθώς και η αρχή των αξόνων Ο µπορούν να βρίσκονται οποδήποτε πριν ή µετά το Σ Σ Σχήµα : Η αρµονική ταλάντωση το τχαίο σηµείο Σ πο βρίσκεται στη θέση x 1, άρχισε τη χρονική στιγµή t 1 όταν το κύµα έφτασε στο Σ. Η χρονική στιγµή t 1 µπορεί να είναι προγενέστερη ή µεταγενέστερη της χρονικής στιγµής t 0, κατά την οποία αρχίσαµε να παρακολοθού- µε το σηµείο αναφοράς Μ και να καταστρώνοµε την εξίσωση το κύµατος. Οι θέσεις x M και x=0 το σηµείο αναφοράς Μ και της αρχή των αξόνων Ο αντίστοιχα, µπορούν να βρίσκονται οποδήποτε πριν ή µετά το x 1 φ(x,t 1 ) φ(x 1,t) t 1 =σταθερό x 1 =σταθερό x 1 x t 1 t Σχήµα 4: Γραφικές παραστάσεις της φάσης το κύµατος στην εξίσωση (50) 6

Ας δώσοµε ένα αριθµητικό παράδειγµα (Τα νούµερα είναι πρόχειρα, χωρίς έλεγχο αν έχον κάποια πρακτική αξία, δοσµένα µόνο και µόνο για να δούµε τη λειτοργία όσων περιγράφοµε) Αρµονικό κύµα πλάτος Α και κκλικής σχνότητας ω=5π rad/sec, «διαδίδεται προς τα θετικά το άξονα x» µε ταχύτητα µέτρο = m/sec. Τη χρονική στιγµή t 0 =6 sec η διαταραχή φτάνει στο σηµείο Μ, το οποίο, ενώ µέχρι τότε ηρεµούσε στη θέση x Μ =4 m, αποκτά ακαριαία µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης (ταχύτητα µέγιστο µέτρο προς τα θετικά το άξονα y) Θεωρώντας το σηµείο Μ (το «τελεταίο» σηµείο πο εξαιτίας το κύµατος µπήκε σε κίνηση και µάλιστα χωρίς αρχική φάση) ως σηµείο αναφοράς, η εξίσωση το (τρέχοντος) κύµατος και η φάση το δίνονται από τις σναρτήσεις (50) και (51). Αντικαθιστώντας προκύπτει Εξίσωση κύµατος 4 y = A ηµ 5π ( t 6 ) µε t R, x R και 14+ x t (52) Φάση στην εξίσωση κύµατος (52) 4 ϕ = 5π ( t 6 ) µε t R, x R και 14+ x t (5) Αρχική φάση στην εξίσωση κύµατος (52) φ 0 =0 rad Αξίζει να σηµειωθεί ότι: Το κάθε σηµείο το µέσο έχει τη δικιά το εξίσωση ταλάντωσης και τη δικιά το χρονική σνάρτηση φάσης, µε τα δικά τος πεδία ορισµού Για παράδειγµα, το σηµείο x=0 έχει εξίσωση ταλάντωσης 14 y= A ηµ 5π ( t ) µε φάση πο δίνεται από τη σνάρτηση 14 t sec (54) 14 14 ϕ = 5π ( t ) µε t sec (55) και αρχική φάση φ 0 =0 rad 7

Τη χρονική στιγµή t=6 sec κατά την οποία το κύµα φτάνει στο Μ κι εµείς αρχίζο- µε να καταστρώνοµε την εξίσωση ταλάντωσής το προκειµένο να φτάσοµε στην εξίσωση το κύµατος, όλα τα σηµεία το µέσο µε τετµηµένη x x Μ, έχον ήδη φάση. Για παράδειγµα, η φάση το x=0 τη χρονική στιγµή t=6 sec πο αρχίζοµε να παρατηρούµε το Μ και κατά σνέπεια το κύµα είναι 0 4 20π ϕ = 5π ( 6 6 ) = rad Το γεγονός ατό, ότι δηλαδή τη στιγμή t=6 sec όλα τα σημεία το μέσο πριν το Μ έχον φάση, το έχομε πάρει ήδη πόψη μας στην κατάστρωση της εξίσωσης κύματος και κατά σνέπεια και στην εξίσωση (54) πο είναι η εξίσωση ταλάντωσης το x=0. Ατή η προνοητικότητα µεταφέρθηκε και στην (55) πο είναι η εξίσωση της φάσης το x=0. Έχει σηµασία να δούµε, ότι η αρχική φάση κάποιο σηµείο το µέσο, για παράδειγµα το σηµείο x=0, δε θα προκύψει από τη σχέση (55) βάζοντας όπο t=6 sec, βάζοντας δηλαδή τη στιγµή πο αρχίσαµε να παρατηρούµε το σηµείο αναφοράς Μ και άρα τη στιγµή πο αρχίσαµε να καταστρώνοµε την εξίσωση το κύµατος, αλλά τη στιγµή πο το κύµα έφτασε στο εν λόγω σηµείο, έστω κι αν τότε δεν είχαµε αρχίσει ακόµη την παρατήρηση το κύµατος. Ατό µε τη σειρά το σηµαίνει ότι αν στη φάση το x=0 βάλοµε t=6 sec, δε θα προκύψει η αρχική φάση το x=0, αλλά η φάση το τη χρονική στιγµή πο αρχίσαµε να παρατηρούµε το κύµα. Εδώ πάρχει ένα οξύµωρο σχήµα πο σντηρεί τη «φιλοσοφία» µας και σντηρείται από ατή: Η εξίσωση το κύµατος, µπορεί να άρχισε να καταστρώνεται τη χρονική στιγµή 6 sec µε «αφορµή» την έναρξη της ταλάντωσης το σηµείο αναφοράς Μ, αλλά στην τελική της µορφή σµπεριελήφθησαν όλα τα σηµεία το µέσο, τα πριν και τα µετά το Μ, µε τον κατάλληλο όµως περιορισµό στο χρόνο t για κάθε σηµείο (το κατάλληλο πεδίο ορισµού), ώστε να εξασφαλιστεί η χρονική στιγµή πο το εν λόγω σηµείο µπήκε ή θα µπει σε ταλάντωση και άρα να εξασφαλιστεί ότι η εξίσωση κίνησής το έχει νόηµα να γραφεί. Κατά σνέπεια, η εξίσωση ταλάντωσης το x=0, φτιάχτηκε για να «αρχίσει να λειτοργεί» και άρα νοµιµοποιείται να γράφεται από τη χρονική στιγµή 14/ s και µετά (έχει δηλαδή καθορισµένο πεδίο ορισµού). Η αρχική φάση λοιπόν στην εξίσωση ταλάντωσης το x=0, θα βρεθεί όταν στη σνάρτηση πο δίνει τη φάση το βάλοµε την πρώτη επιτρεπτή, από το πεδίο ο- ρισµού της, τιµή το χρόνο. Όταν δηλαδή βάλοµε την 14/ sec. Τότε θα βγει ότι η αρχική φάση στην εξίσωση ταλάντωσης το x=0 είναι µηδέν, όπως εξάλλο ήταν και αναµενόµενο. Ατό δεν είναι τρωτό της θεωρίας µας, αλλά η «φιλοσοφία της». Είναι η παιδική αθωότητα το «ό,τι κάνει το Μ κάνει και το παραμ» (Στο ίδιο θέµα θα επανέλθοµε και παρακάτω) 8

Γενικές παρατηρήσεις α) «Η φιλοσοφία» την οποία ιοθετήσαµε κατά την παραγωγή της εξίσωσης κύµατος απαιτεί Να γράψοµε την εξίσωση ταλάντωσης ενός σηµείο το µέσο (σηµείο αναφοράς), σύµφωνα µε όσα έχοµε διδάξει στις ταλαντώσεις και σνεπώς µε προσδιορισµό αρχικής φάσης πο να περιορίζεται σε ένα τριγωνοµετρικό κύκλο Να πούµε ότι τα πόλοιπα σηµεία το µέσο έκαναν ή θα κάνον ατό πο έκανε το σηµείο αναφοράς Επιβάλλεται λοιπόν, η εξίσωση το κύµατος πο θα καταστρώσοµε, να εξασφαλίσει ότι η αρχική φάση όλων των σηµείων το µέσο θα είναι ίδια µε εκείνη το Μ και κατά σνέπεια θα πρέπει να περιορίζεται σε έναν τριγωνοµετρικό κύκλο. Αν δε σνέβαινε ατό, ή «η φιλοσοφία» µας θα ήταν ανεπαρκής ή η εξίσωση κύµατος πο θα προέκπτε θα ήταν λάθος β) Στη σελίδα 2 ανέφερα ότι ένας από τος λόγος πο δεν ιοθέτησα το Ο ως σηµείο α- ναφοράς, ήταν για να µην αναγκαστώ να το ονοµάσω «πηγή». Μπορούµε τώρα να δικαιολογήσοµε την επιλογή το Μ ως σηµείο αναφοράς και µε έ- ναν ακόµη λόγο: Καλό είναι, για να µη πω επιβάλλεται, να επιλέγοµε ως σηµείο αναφοράς κάποιο σηµείο, πο να εξασφαλίζει εύκολα ότι όλα τα σηµεία το µέσο θα κάνον ατό πο σµβαίνει στην «πραγµατικότητα πο διδάσκοµε» στος µαθητές, έστω κι αν ατή δεν είναι η πραγµατικότητα πο βλέπον γύρω τος. Να εξασφαλίζει δηλαδή, ότι αρχικά όλα τα σηµεία το µέσο ηρεµούν και ότι «όταν φτάσει το κύµα πο διδάσκοµε» µπαίνον σε κίνηση. Το Μ πο επιλέξαµε είναι «ιδανικό» σηµείο γι ατό, µιας και αρχικά ηρεµεί και µπαίνει σε κίνηση («δστχώς» ακαριαία) όταν φτάσει το κύµα. Άρα όλα τα σηµεία το µέσο, ατό το «φσιολογικό» έκαναν ή ατό το «φσιολογικό» θα κάνον. Θα είναι ή θα ήταν ακίνητα στη θέση τος και µόλις φτάνει το κύµα µπαίνον (ακαριαία) σε ταλάντωση (µε µέγιστη ταχύτητα, µε ταχύτητα δηλαδή µέγιστο µέτρο προς τα θετικά). Εποµένως η αρχική φάση στην εξίσωση ταλάντωσης όλων των ση- µείων το µέσο είναι 0 Κοντολογίς, η «φιλοσοφία» πο παράγει την εξίσωση το κύµατος για το οποίο σζητάµε, όχι απλά εξασφαλίζει ότι η αρχική φάση στην εξίσωση ταλάντωσης το κάθε σηµείο θα είναι µηδέν, αλλά το προβλέπει µε βεβαιότητα, ακόµη κι όταν δεν έχει γραφεί τίποτε µαθηµατικό. Η αρχική φάση όλων των σηµείων στο σγκεκριµένο κύµα πο εξετάσαµε είναι µηδέν. Ατό στην οσία δε το αποδείξαµε, αλλά το επιβάλλαµε εθύς εξαρχής. Το θέσαµε ως απαίτηση της σλλογιστικής πο σντηρεί την τάξη των πραγµάτων στα κύµατα. 9

Στην εξίσωση κύµατος πο διδάσκοµε, δεν προηγούνται οι εξισώσεις, αλλά η «φιλοσοφία» πο ιοθετούµε για το κύµα: «Το σηµείο Μ κάνει κάτι. Δες τι κάνει το Μ και ατό ακριβώς πριν ή µετά από το Μ θα κάνον και τα άλλα σηµεία. Αφού το Μ έχει αρχική φάση µηδέν, τότε όλα τα σηµεία το µέσο θα έχον αρχική φάση µηδέν» Η επιλογή λοιπόν ως σηµείο αναφοράς, το τελεταίο σηµείο στο οποίο έφτασε το κύ- µα, εξασφαλίζει πιο... «ήρεµα» θα έλεγα, τη σνέπεια «της παράξενης πραγµατικότητας πο διδάσκοµε στα κύµατα» (άσχετα αν ατή η «πραγµατικότητα» δεν έχει καµιά σχέση µε τη Φύση, µε την πραγµατικότητα δηλαδή της καθηµερινής µας ζωής). γ) Τα σηµεία το µέσο στα οποία δεν έχει φτάσει το κύµα, δεν κινούνται. Σνεπώς τίποτε από ότι αφορά το κύµα ή την ταλάντωση δε τα αφορά. εν πρέπει να µιλάµε γι ατά µε όρος πο δεν ανήκον στην ορολογία της... ακινησίας τος. ε λέµε ούτε ότι έχον φάση µηδέν, ούτε ότι δεν έχον φάση, ούτε ότι έχον αρνητική φάση, ούτε...,ούτε... Απλά γι ατά τα σηµεία δε λέµε τίποτε αν δεν αναφέροµε από πότε και µετά ισχύον ατά πο λέµε, αν δεν αναφέροµε δηλαδή το πεδίο ορισµού στην εξίσωση της αρµονικής τος ταλάντωσης. Δεν πρέπει να χρησιµοποιούµε τις εξισώσεις κύµατος και φάσης για σηµεία και για χρονικές στιγµές πο είναι έξω από το πεδίο ορισµού τος. Ατό δε σηµαίνει ότι δε µπορούµε να προφητεύσοµε τι θα σµβεί στο µέλλον σε κάποιο σηµείο µετά το Μ, αλλά να µην εφαρµόζοµε ορολογία και εξισώσεις κύµατος και φάσης για χρονικές στιγµές πο δεν ανήκον στο πεδίο ορισµού των σναρτήσεων. Αν είµαστε σνεπείς σε ατό (και επιβάλλεται να είµαστε), τότε καµιά φάση στην εξίσωση ταλάντωσης κανενός σηµείο δε θα µας βγει αρνητική Όπως εξηγήσαµε, τα σηµεία το µέσο τα οποία προηγούνται το Μ και άρα είναι σε ταλάντωση, έχον εξίσωση κίνησης πο πληροί τη σχέση (50). Έχον φάση πο δίνεται από την εξίσωση (51). Και αρχική φάση πο όπως εξηγήσαµε είναι µηδέν. Εκείνο πο πρέπει να προσέξοµε όµως, είναι ότι οι παραπάνω σναρτήσεις (50) και (51) πο αφορούν την εξίσωση κύµατος και τη φάση, έχον από κατασκεή τος, πεδίο ορισµού. Για σγκεκριµένο λοιπόν x, οι τιµές πο θα προκύψον από την σνάρτηση της φάσης (51) για τις διάφορες χρονικές στιγµές t το πεδίο ορισµού της, είναι φάσεις της εξίσωσης κύµατος (50) και όχι αρχικές φάσεις. Αρχική φάση είναι εκείνη πο θα προκύψει αν στη σνάρτηση (51) δώσοµε την αρχική τιµή το πεδίο ορισµού της, δηλαδή αν δώσοµε την τιµή t = t0 +. Όπως είναι προφανές, η αρχική φάση όλων των σηµείων στα οποία έφτασε ή θα φτάσει το κύµα πο εξετάζοµε είναι µηδέν. 10

Όταν το κύµα φτάνει στο Μ και αρχίζοµε την παρατήρηση το Μ και άρα τη γραφή της εξίσωσης το κύµατος, το ρολόι γράφει t 0. Τη χρονική ατή στιγµή, η φάση ενός τχαίο σηµείο x x Μ είναι ήδη ϕ = t0 t0 ϕ = 0 Ατή δεν είναι η αρχική φάση των σηµείων το µέσο. Είναι η φάση τος τη στιγµή πο ξεκινά το Μ, τη στιγµή πο παρατηρούµε το κύµα. Η αρχική τος φάση, έχει ήδη τακτοποιηθεί από τη «φιλοσοφία» µε την οποία γράψαµε την εξίσωση κύµατος. Με άλλα λόγια, γράφοντας την εξίσωση το κύµατος µε τον τρόπο πο περιγράψαµε, γράφοµε οσιαστικά την εξίσωση ταλάντωσης το κάθε σηµείο το µέσο, σνοδεόµενη όµως από τον περιορισµό, ότι η εξίσωση ατή θα αρχίσει να ισχύει από τη στιγµή πο το κύµα θα φτάσει ή έφτασε στο σηµείο ατό. Η χρονική στιγµή πο το κύµα φτάνει στο σηµείο Μ (τελεταίο το κύµατος) είναι µεταγενέστερη για όλα τα σηµεία τα προηγούµενα το Μ και άρα όλα ατά τα ση- µεία έχον ήδη ξεκινήσει τις ταλαντώσεις τος. Έχον ήδη σε λειτοργία την εξίσωση κίνησής τος. Έχον ήδη «τελειώσει» µε την αρχική τος φάση. Όλα δηλαδή τα σηµεία πριν το Μ έχον ήδη «ξεπεράσει» την αρχική τος φάση και έχον πια φάση. Να το πω κι αλλιώς. Έχομε γράψει την εξίσωση κύματος με τέτοιο τρόπο, ώστε όταν το κύμα φτάσει στο Μ ατή να έχει... ήδη λειτοργήσει. Μπορεί να αρχίζοµε την παρατήρηση τη χρονική στιγµή t 0, αλλά η εξίσωση κύµατος πο γράφοµε περιγράφει ταλαντώσεις λικών σηµείων πο έχον ήδη αρχίσει. ε µπορούµε λοιπόν να πάµε σε κάποιο σηµείο το οποίο η εξίσωση ταλάντωσής το (η εξίσωση κύµατος δηλαδή γι ατό το σγκεκριµένο σηµείο) έχει ήδη αρχίσει να λειτοργεί εδώ και δο ώρες για παράδειγµα και να το πούµε τώρα σε παρατηρώ, άρα τώρα είναι η αρχική σο φάση. Μα θα µο πει, η εξίσωση πο έγραψες για την κίνηση µο έχει πεδίο ορισµού πο έχει ήδη εξαντλήσει δο ώρες λειτοργίας και η φάση µο ήδη έχει προχωρήσει κατά δο ώρες. Ατό πο βλέπεις τώρα δεν είναι η αρχική µο φάση, αλλά η φάση... (Δες παραπάνω αριθµητικό παράδειγµα) Η χρονική στιγµή πο το κύµα φτάνει στο σηµείο Μ (τελεταίο το κύµατος) είναι προγενέστερη για όλα τα σηµεία τα επόµενα το Μ και άρα κανένα από ατά τα σηµεία δεν έχει ξεκινήσει την ταλάντωσή το. Άρα δεν έχει νόηµα να µιλάµε ούτε για φάση, ούτε για αρχική φάση για τα σηµεία ατά, αλλά µόνο για την ακινησία τος. Αν θελήσοµε να προφητεύσοµε τη φάση πο θα έχει κάποιο από ατά τα σηµεία, έστω το Σ, την τάδε χρονική στιγµή, θα πρέπει τολάχιστον ατή η χρονική στιγµή να ανήκει στο πεδίο ορισµού της εξίσωσης της φάσης πο θα έχει το Σ όταν αρχίσει να ταλαντώνεται, ώστε να εξασφαλιστεί ότι το κύµα θα έχει φτάσει στο Σ. Αλλιώς θα βγαίνον αρνητικές φάσεις πο δεν έχον νόηµα, µιας και χρησιµοποιήθηκαν τιµές χρόνο έξω από το πεδίο ορισµού των σναρτήσεων κίνησης και φάσης. 11

δ) Η αρχική φάση, ενώ είναι έννοια πο αφορά την εξίσωση µιας µεµονωµένης ταλάντωσης, επεκτείνεται και στην εξίσωση το αρµονικού κύµατος πο µόλις εξετάσαµε, γιατί οσιαστικά είναι κοινή για τις εξισώσεις κίνησης όλων των σηµείων το µέσο. Μπορούµε δηλαδή να µιλάµε για φάση (της αποµάκρνσης των σηµείων στη χρησιµοποιούµενη εξίσωση) κύµατος, καθώς και για αρχική φάση (της αποµάκρνσης στη χρησιµοποιούµενη εξίσωση) κύµατος µε τον ίδιο τρόπο πο µιλάµε και για πλάτος κύµατος, σχνότητα κύµατος κ.λ.π. Λέµε λοιπόν φάση κύµατος, καθώς και αρχική φάση κύµατος ε) Τα σηµεία το µέσο πο έχον µπει σε κίνηση, έχον φάση, πο η διαφορά της από τη φάση το σηµείο αναφοράς Μ θα εκφράσει τις επιπλέον ταλαντώσεις πο έχον κάνει από τη στιγµή πο αρχίσαµε να παρατηρούµε το Μ και να καταστρώνοµε την εξίσωση το κύµατος. Όµως όλα τα σηµεία το µέσο έχον την ίδια αρχική φάση πο λέγεται και αρχική φάση το κύµατος και είναι µέσα σε ένα τριγωνοµετρικό κύκλο, όπως όλες οι αρχικές φάσεις. Στο παράδειγµα µας ατή η αρχική φάση είναι µηδέν. στ) Τα ίδια ακριβώς µπορούν να λειτοργήσον κι αν το κύµα ήταν τέτοιο πο να έβαζε το σηµείο αναφοράς Μ σε κίνηση προς τα κάτω, οπότε η αρχική φάση στην εξίσωση κίνησής το θα ήταν π. Τότε η αρχική φάση στην εξίσωση ταλάντωσης όλων των σηµείων το µέσο θα ήταν π και σνεπώς και η αρχική φάση το κύµατος θα ήταν π. Στην περίπτωση ατή η εξίσωση το κύµατος θα είναι y = A ηµω ( t t0 + π ) µε t R, x R και t t0 + (56) ζ) Η διάδοση το κύµατος προς τα αρνητικά εξετάζεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Οι πιθανές αρχικές φάσεις το κύµατος και σε ατή την περίπτωση θα είναι 0 ή π. η) Αντί να διακρίνομε τις περιπτώσεις «κύμα πο διαδίδεται προς τα θετικά» και «κύμα πο διαδίδεται προς τα αρνητικά» μπορούμε να γράψομε όλο το κείμενο πο προηγήθηκε πιο γενικά, γ αρκεί το σύμβολο της ταχύτητας να χρησιμοποιηθεί όχι ως μέτρο, μ αλλά ως αλγεβρική τιμή: «Έστω ότι σε εθύγραµµο (γραµµικό) µέσο άπειρης έκτασης, διαδίδεται µε ταχύτητα, αρµονικό κύµα κκλικής σχνότητας ω και πλάτος Α. Τα σηµεία το µέσο εκτελούν ταλαντώσεις στο επίπεδο xoy. Το κύµα τη χρονική στιγµή t 0 R φτάνει σε σηµείο Μ, στο οποίο προσδίδει, ακαριαία, ταχύτητα (µέγιστο µέτρο) κάθετη στον άξονα x. Αν θεωρήσοµε (και έχοµε κάθε δικαίωµα αν δε µας επιβάλλον το αντίθετο) ως θετική φορά το άξονα y εκείνη προς την οποία κατεθύνεται η (αρχική) ταχύτητα το Μ κι αν επιλέξοµε να περιγράψοµε την αρµονική ταλάντωση το Μ µε εξίσωση πο περιέχει ηµίτονο, η αρχική φάση θα είναι µηδέν. 12

Τότε Η εξίσωση ταλάντωσης το σηµείο αναφοράς Μ (σηµείο µε τη βοήθεια της εξίσωσης κίνησης το οποίο, καταστρώνεται η εξίσωση κύµατος) είναι ym 0 = A ηµω ( t t ) µε t t 0 R (57) Η εξίσωση αρµονικού κύµατος πο διαδίδεται είναι y = A ηµω( t t0 ) µε ( t R, x R, t 0 R, Α>0, ω>0, R ) t t0 + (58) Η (σνάρτηση) φάση το κύµατος στην εξίσωση (58) είναι ϕ = ω( t t0 ) µε t R, x R, R, t t0 + (59) Η αρχική φάση το κύµατος στην εξίσωση (58) είναι η τιµή πο µας δίνει η φάση για τη µικρότερη δεκτή τιµή το χρόνο. Είναι φ 0 =0 rad Με τα παραπάνω πιστεύω ότι έχοµε καλύψει όλες τις περιπτώσεις εκείνες στις οποίες στο στιγµιότπο κύµατος µπορεί να βρεθεί σηµείο αναφοράς Μ, πο τη χρονική στιγµή κατά την οποία αρχίζοµε να καταστρώνοµε την εξίσωση κύµατος, το Μ είναι στη θέση ισορροπίας το. ηλαδή έχοµε καλύψει σχεδόν όλες τις περιπτώσεις. Σε όλες ατές τις περιπτώσεις, η αρχική φάση των κµάτων (η αρχική δηλαδή φάση στην εξίσωση κίνησης όλων των σηµείων το µέσο στο οποίο διαδίδεται το κύµα), θα είναι ή 0 ή π Η µόνη περίπτωση πο θέλει µια ξεχωριστή αντιµετώπιση τόσο στις εκφράσεις πο θα χρησιµοποιήσοµε όσο και στα σµπεράσµατα πο θα βγάλοµε, είναι εκείνη κατά την ο- ποία µας δώσον αρµονικό κύµα και µε το έτσι θέλω επιλέξον ως σηµείο αναφοράς κάποιο πο να µην είναι στη θέση ισορροπίας το όταν αρχίσει η κατάστρωση της εξίσωσης το κύµατος. Το θέµα ατό θα αναπτύξοµε στο δ µέρος. θ) Εδώ πρέπει να τονίσομε κάτι αρκετά γενικό πο όχι απλά θα το χρησιµοποιήσοµε στο δ µέρος της εργασίας «Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης», αλλά κριολεκτικά θα στηριχτούµε πάνω το: 1

Τόσο η διαδικασία µε την οποία προσδιορίστηκε η έννοια της αρχικής φάσης µέσα από µια διαφορική εξίσωση, έστω της απλής αρµονικής ταλάντωσης, όσο και ο καθοριστικός ρόλος πο παίζει το σηµείο αναφοράς στη διαµόρφωση της εξίσωσης ενός αρµονικού κύµατος πο διαδίδεται, είναι κοµβικά εννοιολογικά σηµεία. Η διαφορική επιβάλλει να πάρχον δύο προσδιοριστέες σταθερές, σε οποιαδήποτε µορφή εξίσωση κίνησης κι αν επιλέξοµε. Αν η µορφή της εξίσωσης κίνησης πο θα επιλέξοµε περιέχει αποκλειστικά ηµίτονο ή αποκλειστικά σνηµίτονο, τότε η µία από ατές τις δύο σταθερές, τις έτσι κι αλλιώς ποχρεωτικά βαλµένες από τη διαφορική, είναι η αρχική φάση. Για παράδειγµα, αν για να περιγράψοµε την ταλάντωση το σηµείο αναφοράς Μ επιλέξοµε την x=αηµ[ω(t-t 0 )+φ 0 ], όπως και κάναµε, πρέπει να σνειδητοποιήσοµε ότι η παροσία των σταθερών Α και φ 0 επιβλήθηκε από τη διαφορική εξίσωση. εν είναι δικιά µας πόθεση. Άρα ο ορισµός µας θα πρέπει να πάρει πόψη το πώς λειτούργησε η διαφορική και η λύση της. Ατό δε µπορούµε να το αγνοήσοµε. Πράγµατι, η µορφή της εξίσωσης κίνησης x=αηµ[ω(t-t 0 )+φ 0 ] πο επιλέξαµε µας έδωσε τη δνατότητα (το προνόµιο) να διαλέξοµε το Α>0, γιατί «έτσι µας αρέσει» και το 0 φ 0 <2π για να κάνοµε Φσική χωρίς περιττές µαθηµατικές και εννοιολογικές σπατάλες και για να χρησιµοποιήσοµε γραφή πο να είναι παγκόσµια αποδεκτή ως γλώσσα. Οι τιµές των Α και φ 0 και όχι η παροσία τος είναι πόθεση των (δύο) αρχικών σνθηκών ή γενικότερα δύο οποιωνδήποτε σνθηκών. Επειδή λοιπόν, η µορφή της εξίσωσης κίνησης πο επιλέξαµε για το Μ, µας έδωσε τη δνατότητα να επιλέξοµε, γιατί «έτσι µας αρέσει», το πλάτος να είναι θετικό και η αρχική φάση να είναι µέσα σε έναν τριγωνοµετρικό κύκλο για τη οικονοµία της Φσικής και για την παγκοσµιότητα της γραφής και των ορισµών, πρέπει, ανεξάρτητα από το πόσες ταλαντώσεις έχει ήδη κάνει ένας σγκεκριµένος ταλαντωτής όταν αρχίσοµε να τον παρατηρούµε για να γράψοµε την εξίσωση κίνησης το, εµείς να θεωρήσοµε ότι δεν έχει σµπληρώσει ούτε µία (εκτός αν µας δώσον δεδοµένα για το τι έγινε και µας επιβάλλον άλλη αρχή χρόνο. Αλλά και σε ατή την περίπτωση δεν καταργείται τίποτε από όσα έχοµε γράψει). Το πλάτος και η αρχική φάση πολογίζονται σνήθως από τις αρχικές σνθήκες, δηλαδή από τη θέση και την ταχύτητα το ταλαντωτή τη χρονική στιγµή πο αρχίζοµε να µελετά- µε την κίνησή το και από διάφορες δικές µας επιλογές (αρχής χρόνο, θετικής φοράς αξόνων κ.λ.π.). Έτσι δε µας νοιάζει ο ακριβής αριθµός των ταλαντώσεων πο έκανε το λικό σηµείο στο παρελθόν το, αλλά µόνο ατές πο θα κάνει στο µέλλον. Πολλές φορές δεν έχει νόηµα να ψάχνοµε για το πόσες ταλαντώσεις έχει κάνει ατός ο ταλαντωτής από την αρχή το Κόσµο, κάτι πο δεν είναι σίγορο ότι µπορούµε να βρούµε αν δεν έχοµε κάποιες επί πλέον πληροφορίες πέρα από τις αρχικές σνθήκες. Εκείνο πο µας ενδιαφέρει πιο πολύ είναι το µέλλον το όπως π.χ. πόσες ταλαντώσεις θα κάνει από τότε πο αρχίσαµε να τον παρατηρούµε. 14

εν έχει και µεγάλη αξία να λέµε ότι τώρα ξεκινάµε να παρατηρούµε, αλλά ο ταλαντωτής έχει κάνει και άλλες 200 ταλαντώσεις, τις οποίες πρέπει να εµφανίσοµε µέσα στην εξίσωση κίνησής το. Αν έχοµε τέτοιες πληροφορίες ή διαθέσεις (άγνωστο γιατί και από πού) και θέλοµε πέρα από τις ανάγκες της διαφορικής να τις εµφανίσοµε, θα ήταν καλύτερο να µεταφέροµε την αρχική χρονική στιγµή παρατήρησης πιο πίσω ή να βάζαµε πεδίο ορισµού µε κατάλληλες αρνητικές χρονικές τιµές. Επιβάλλεται δηλαδή από το όλο µαθηµατικό και εννοιολογικό σκηνικό, να κάνοµε τη φάση να δίνει αξηµένες τιµές. Προσοχή!!! Τη φάση πρέπει να κάνοµε να δίνει αξηµένες τιµές και όχι την αρχική φάση!!! Ατό ακριβώς κάναµε και µε την εξίσωση κύµατος. Μαθηµατική, λογική και εννοιολογική σνέπεια επέβαλλαν είτε σνειδητά είτε εν αγνοία µας να προκύπτον αξηµένες τιµές φάσης και όχι αρχικής φάσης εν πρέπει να αλλάζοµε τη λειτοργία της φ 0, την έννοιά της, τον ορισµό της και τος περιορισµούς της, πο απαιτούν έναν τριγωνοµετρικό κύκλο. Για τη σνέπεια το ορισµού µιας σγκεκριµένης έννοιας πο δε γίνεται να αλλάζει από ταλαντωτή σε ταλαντωτή, από φαινόµενο σε φαινόµενο, από φσικό µέγεθος σε φσικό µέγεθος, θα πρέπει η αρχική φάση να έχει παντού την ίδια έννοια, τος ίδιος περιορισµούς. Και βέβαια πάντα να είναι σνδεδεµένη µε την επιλεγείσα εξίσωση κίνησης (µηχανική) ή γενικότερα µε την εξίσωση πο επιλέξαµε για να περιγράψοµε το φαινόµενο (ηλεκτρικές ταλαντώσεις κ.λ.π.). Μετά από ατά µπορούµε να πούµε ότι: Η αρχική φάση το φορτίο το πκνωτή στην εξίσωση q=qσνωt µε t 0 το σχολικού βιβλίο, αβίαστα και µε σνέπεια είναι 0. Η αρχική φάση της αποµάκρνσης στην εξίσωση x=αηµ(ωt+φ) µε t 0 το σχολικού βιβλίο είναι φ. ι) Αν πρέπει την έννοια «αρχική φάση» και τος περιορισµούς πο οδήγησαν και σντηρούν τον ορισµό της να τη σνδέσοµε Μόνο µε το ηµίτονο Μόνο µε ένα ταλαντωτή και όχι µε πολλούς (όπως σµβαίνει π.χ. στα κύµατα) Μόνο µε την αποµάκρνση σε µια ταλάντωση αλλά όχι µε την ταχύτητα ή την επιτάχνση και γενικά µε ένα µόνο µέγεθος και όχι µε τα πόλοιπα φσικά µεγέθη το ίδιο φαινοµένο Μόνο µε µια µορφή εξίσωσης κίνησης και όχι µε άλλες πο µπορούν να την περιέχον Μόνο µε τη χρήση το π/2 όταν κάνοµε µετατροπή το σνηµιτόνο της ταχύτητας σε ηµίτονο, αποκλείοντας οποιαδήποτε άλλη ισοδύναµη µαθηµατικά ενέργεια (όπως π.χ το -π/2 ή και άλλες γωνίες) 15

Μόνο µε τη χρήση το π όταν επιχειρούµε απορρόφηση το πρόσηµο (-) το ηµιτόνο της επιτάχνσης αποκλείοντας οποιαδήποτε άλλη ισοδύναµη µαθηµατικά ε- νέργεια (όπως π.χ. µε το -π ή και άλλες γωνίες) κ.λ.π. νοµίζω ότι είναι καλύτερα την «αρχική φάση» να την ξεχάσο- µε ως έννοια, αν δε θέλοµε να µιλάµε τοπική διάλεκτο. Με άλλα λόγια νοµίζω ότι είναι χωρίς καµιά απολύτως αξία το να ορίσοµε µια έννοια µόνο και µόνο στην αποµάκρνση µιας µόνο µηχανικής ταλάντωσης και όχι πολλών, σε ένα µόνο τριγωνοµετρικό αριθµό µιας σγκεκριµένης µορφής εξίσωσης. Θα ήθελα να τελειώσω το γ µέρος της ανάρτησής µο «Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης» µε τούτο: Όταν η εσωτερική λειτοργία των πραγµάτων (διαφορικές κ.λ.π.) προικίζον τις έννοιες «φάση» και «αρχική φάση» µε πολύ δναµικότητα τόσο στην παροσία τος, όσο και στην σλλογιστική τος σνέπεια, είναι κρίµα να τις περιορίζοµε τόσο πολύ. Σε µια τέτοια περίπτωση, νιώθω ότι είναι καλύτερα να τις εγκαταλείψοµε. ια) Όλα τα παραπάνω ισχύον και στην περίπτωση πο δεν έχοµε εθύγραµµο γραµµικό µέσο, αλλά (σκέτο) γραµµικό µέσο. Προσαρµοσµένα όµως κατάλληλα... (σνεχίζεται) Κριακή, 24 Οκτωβρίο 2010 Θρασύβολος Κων. Μαχαίρας Άγιος Βλάσιος Πηλίο s7-kmgh@otenet.gr 16