ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλων
Παραδείγματα ct (): U t ( x ( t), x ( t)) 1 ct (): U t ( x ( t), x ( t), x ( t)) 3 1 3 Θέσης χρόνου ταχύτητας χρόνου Χαρακτηριστικού-χρόνου
Παραδείγματα από Γραφική ct (): U t ( x ( t), x ( t)) 1 3Δ Μοντέλα Με τη βοήθεια της καμπύλης c(t) του σκελετού του φιδιού έχουμε πετύχει 3Δ ανακατασκευή του. 3
Παραδείγματα από κινηματική/γραφική ct (): U t ( x ( t), x ( t)) 1 +:τροχιά κέντρου μάζας *: τροχιά κεφαλιού Από την ανάλυση των καμπύλων κίνησης διαφόρων σημείων μπορούμε να προχωρήσουμε σε ανακατασκευή της κίνησης και σε σύνθεση 3Δ aimatio 4
Παραδείγματα με χωροχρονικές βάσεις δεδομένων ct (): U t (, t x(), t y()) t 3 Ομαδοποίηση τροχιών- Εντοπισμός τροχιών που αναπαριστούν τη βάση 5
Ισοδιαμέριση Καμπύλης The Curve Equipartitio (EP) Problem Problem Defiitio: It is give a cotiuous curve C(t), t [0,1] startig at poit Α ad edig at poit Β. The goal is to locate N-1 cosecutive curve poits P i = C(t i ), i = 1,,N-1, so that the curve ca be divided ito N segmets with equal legth chords, P i P i+1 = P i+1 P i+, P 0 = A, P N = B. A EP example for Ν=3, ΑP 1 = P 1 P = P B Α Ρ 1 Ρ Β Whe N is higher tha two, there is ot a trivial method to compute the equal legth lie segmets. Α Ρ 1 Β A EP example for Ν=, ΑP 1 = P 1 B Whe N =, we have to locate a curve poit P 1, so that AP 1 = P 1 B. This poit ca be give as the itersectio of the curve with the AB segmet bisector. We ca ot apply this method iductively. 6
Παραδείγματα ct (): U t ( x ( t),..., x ( t)) 1 Ευθεία στο R που περνάει από το (x 0,y 0) και έχει τη διεύνθυση του v=<a,b> y y 0 x 0 x ct (): U R R t ( x + at, y + bt) 0 0 Ευθεία R που περνάει από το (x,..,x ) και έχει τη διεύνθυση του v=<a,..,a > 1 1 ct (): U R R t ( x + a t,..., x + a t) 1 1 7
Παραδείγματα 1 x + y -1 = 0 ct ():[0, π ] t (cos( t),si( t)) y 0.5 0-0.5 ct ():[0, π ] t (cos( t),si( t)) ct (): t (cos( t),si( t)) -1-1 -0.5 0 0.5 1 x Matlab: ezplot('x^ + y^-1'); x +y =1 8
Παραδείγματα ct ():[0, π ] t (cos( t), tsi( t)) y 1.8 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 x = cos(t), y = t si(t) 0.4 0. 0-1 -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 x Matlab: ezplot('cos(t)','t.*si(t)',[0 pi]); 9
Παραδείγματα ct (): 3 t (cos( t), tsi( t), t) Matlab: ezplot3('cos(t)','t.*si(t)','sqrt(t)'); 10
Παραδείγματα Εκτύπωση καμπύλης με γραμμική παρεμβολή διαδοχικών σημείων (από διακριτό σε συνεχές) y 8 7 6 5 4 3 Α1(0,1) Α(1,) Α3(1.5,3) Α4(,5) Α5(.,7) Α6(1.9,7.5) Matlab: x = [0 1 1.5. 1.9]; y = [1 3 5 7 7.5]; plot(x,y); xlabel('x'); ylabel('y'); figure; plot(x,y); hold o; plot(x,y,'r*'); 1 0 0.5 1 1.5.5 x 8 7 6 5 4 3 11 1 0 0.5 1 1.5.5
Παραδείγματα Εκτύπωση 3Δ καμπύλης με γραμμική παρεμβολή διαδοχικών σημείων (από διακριτό σε συνεχές) Α1(0,1,) Α(1,,3) Α3(1.5,3,4) Α4(,5,4) Α5(.,7,3.3) Α6(1.9,7.5,3.1) z 4 3.5 3 Matlab: x = [0 1 1.5. 1.9]; y = [1 3 5 7 7.5]; z= [ 3 4 4 3.3 3.1]; plot3(x,y,z); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');.5 8 6 4 y 1 0 0 0.5 1 x.5 1.5
Παραμετρικές εξισώσεις Οι παραμετρικές εξισώσεις δίνουν 1. τη καμπύλη ως σύνολο σημείων. τον τρόπο με οποίο διαγράφεται η καμπύλη ct (): t c( t) = ( x ( t),..., x ( t)) 1 y Παράγωγος Καμπύλης c': U t c'( t) = ( x '( t),..., x '( t)) 1 ct ( + h) ct ( ) c'( t) = lim =< x1 '( t),..., x '( t) > h 0 h c(t) c (t) x To c'( t) είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο c(t). 13
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Εφαπτόμενη Ευθεία σε σημείο της καμπύλης
Παραμετρικές εξισώσεις Οι παραμετρικές εξισώσεις δίνουν 1. τη καμπύλη ως σύνολο σημείων. τον τρόπο με οποίο διαγράφεται η καμπύλη ct (): t c( t) = ( x ( t),..., x ( t)) 1 y Παράγωγος Καμπύλης c': U t c'( t) = ( x '( t),..., x '( t)) 1 ct ( + h) ct ( ) c'( t) = lim =< x1 '( t),..., x '( t) > h 0 h c(t) c (t) x To c'( t) είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο c(t). 15
Παραμετρικές εξισώσεις To γράφημα της συνάρτησης y=f(t) δίδεται παραμετρικά από την καμπύλη: ct (): c '( t) : t (, t f ()) t t (1, f '( t)) y c (t) c(t) t 16
Εφαπτόμενη Ευθεία σε σημείο της καμπύλης Εξίσωση της ε: e( λ ) = c( t ) + λ c'( t ) 0 0 π.χ. ct = t t () (cos (),3) c'( t) = ( cos( t) si( t), 3) c(0) = (1,0) y c(t) ε c '(0) =< 0, 3 > Eφαπτόμενη ευθεία: x <x(λ),y(λ)>=<1,0>+λ<0,3> 17
Εφαπτόμενη Ευθεία σε σημείο της καμπύλης Έστω G η καμπύλη που ορίζεται από την f(x,y) = 0 και P ϵ C. Υποθέτω πως στο P μπορώ να παραμετροποιήσω την καμπύλη ct U t ( x ( t), x ( t)) ( ) : C(t 0 )=P,C(t) C 1 Eφαπτόμενο διάνυσμα: C'(t 0)=< x1'(t 0), x '(t 0) > z = f ( x, y) = 0 g(t)=f( x1( t), x( t)) = 0 dg f dx f dx = = + f i 1 0 C'(t 0 )=0 dt x1 dt x dt To C'(t 0 ) είναι κάθετο στο f ( P) f f Άρα το v=<- ( P), ( P)) είναι εφαπτόμενο της G στο P(x 0,y 0). y x f f Εξίσωση εφαπτομένης: x(t)=x 0 ( P) it, y(t)=y 0 + ( P) it, y x y c(t) ε x 18
Εφαπτόμενη Ευθεία σε σημείο της καμπύλης Παράδειγμα f x y x xy y P 3 5 (, ) = + 3 + 7 = 0 (3,0) Eξίσωση εφαπτομένης στο P. Γενικότερα Αν f ( x, y, z) = 0 είναι η επιφάνεια S του χώρου και P(x,y,z ) S. 0 0 0 Τότε f ( P) είναι το κάθετο διάνυσμα στο εφαπτόμενο επίπεδο στο P. Απόδειξη: Όμοια με πριν (κανόνας αλυσίδας) Παράδειγμα f ( x, y, z) = x + y + 3xz = 0 P(1,, ) 3 Εφαπτόμενο επίπεδο επιφάνειας στο P. 1 19
Εφαπτόμενη Ευθεία σε σημείο της καμπύλης Το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης που προκύπτει από τη τομή επιφανειών f1( x, y, z) = 0 και f( x, y, z) = 0 στο P. v = f ( P) f ( P) 1 Παράδειγμα x + y + z = 4 x + ( y 1) = 1 P(1,1, ) 0
Υπολογισμός ταχύτητας και επιτάχυνσης Άσκηση ct ():[0, π ] t (cos t,si t) Υπολογισμός εφαπτομένης, ταχύτητας και επιτάχυνσης για t=0. Άσκηση 8 &3.1 Ζητάμε τις καμπύλες c(t) που περιγράφουν τις τροχιές: x (a){(x,y): y=e } (b){(x,y): 4x +y =1} ( c)ευθεία που περνάει από το (0,0,0) και το (a,b,c) 1
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μήκος Καμπύλων σε Παραμετρικές Εξισώσεις
Μήκος σε παραμετρικές εξισώσεις y ct (): U t ( x( t), y( t)) c(t) c(t+ t) c(t) To ΔS το προσεγγίζω από το C(t+Δt)-C(t) = x = ( xt ( t) xt ( )) ( yt ( t) yt ( )) X Y +Δ + +Δ = Δ +Δ = ΔX ΔY = ( ( ) + ( ) ) iδt Δt Δt dx dy Δt dt + idt dt dt με τότε ds=( ( ) ( ) ) Άρα αθροίζοντας τα ds καθώς a t b b έχουμε S= ( ) + ( ) x t y t dt a 3
Παράδειγμα: Μήκος σε παραμετρικές εξισώσεις ct ():[0, π ] t ( r cos t, rsi t) κύκλος κέντρου (0,0) και ακτίνας r x () t + y () t = r (si t + cos t) = r π π S= x () t + y () t dt = rdt = π r 0 0 Άσκηση 4 &3. ct ():[0, π ] R 3 t (, t tsi t, tcos t) Μήκος τόξου ανάμεσα στα σημεία (0,0,0) και (π,0,-π). 4
Υπολογισμός ταχύτητας και επιτάχυνσης ds Μέτρο Tαχύτητας v= = x () t + y () t = c'() t dt ds Αν ct (): U R R η ταχύτητα v= = x 1 ( t) +... + x ( t) = c'( t) dt Διάνυσμα ταχύτητας: c'( t) Μέτρο ταχύτητας: c'( t) Διάνυσμα επιτάχυνσης: c''( t) Μέτρο Επιτάχυνσης: c ''( t) b Μήκος καμπύλης (διαδρομή) S= c'( t) dt a 5
Ασκήσεις Άσκηση 7 &3.1 c'( t) : t t ( t, e, t ) Υπολογισμός του c(t) αν c(0)=(0,-5,1). 6
Υπολογισμός ταχύτητας και επιτάχυνσης Άσκηση 11 &3.1 st = t t t 3 Ένα σώμα εγκαταλείπει τη τροχιά () (, 3,0) για t=. Υπολογισμός της θέσης του για t=3. Άσκηση 6 &3. 3 Έστω σ:[a,b] R με σ'(t) 0 t. Εφαπτόμενο μοναδιαίο διάνυσμα της σ(t) : T(t)= σ'(t) σ'(t) ( a)t(t) it'(t) = 0 ( b)t'(t)=... Άσκηση &3. st () = (cos,si t tt,), t 0 Συνάρτηση μήκους=; 7