ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΤΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ BLACK-SCHOLES ΚΑΙ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΤΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ BLACK-CHOLE ΚΑΙ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΟΥ 9.. Γενικά Η προσέγγιση Black-choles για την αποτίµηση δικαιωµάτων, προσφέρει µια αναλυτική λύση σε ένα πολύ σηµαντικό πρόβληµα. Αναλυτική λύση σηµαίνει ότι παρέχονται εξισώσεις οι ο- ποίες µας δίνουν την τιµή του δικαιώµατος. Έτσι δεν απαιτείται η χρήση υπολογιστή όπως στη προσέγγιση του διωνυµικού δένδρου που θα εξετάσουµε στο επόµενο κεφάλαιο (όταν χρησιµοποιούνται αρκετά βήµατα). Επίσης, είναι σχετικά εύκολο να χρησιµοποιήσουµε τις εξισώσεις Black-choles για υπολογισµούς µε το χέρι. Από την άλλη αφορούν µόνον δικαιώµατα αγοράς και πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου και δικαιώµατα αγοράς Αµερικανικού τύπου σε µετοχές που δεν διανέµουν µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος. Για δικαιώµατα Ευρωπαϊκού τύπου σε µετοχές που διανέµουν µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος, µπορούµε να προσαρµόσουµε τις εξισώσεις Black-choles σχετικά εύκολα. Για τα δικαιώµατα αγοράς Αµερικανικού τύπου όµως, τα αποτελέσµατα γίνονται τόσο περισσότερο ανακριβή, όσο αυξάνει η πιθανότητα πρόωρης άσκησης. Με δεδοµένο ότι τα δικαιώµατα πάνω σε χρηµατιστηριακούς δείκτες είναι συνήθως Ευρωπαϊκού τύπου ενώ τα δικαιώµατα µετοχών είναι Αµερικανικού τύπου, αυτό σηµαίνει ότι η προσέγγιση Black-choles είναι ιδιαίτερα χρήσιµη κυρίως για την πρώτη κατηγορία. Επιπλέον, οι εξισώσεις Black-choles στηρίζονται σε ένα αριθµό υποθέσεων. Η σηµαντικότερη ίσως από αυτές αφορά στον υποκείµενο µηχανισµό που δηµιουργεί τις τιµές των µετοχών. Συγκεκριµένα η υπόθεση είναι ότι πρόκειται για µια στοχαστική διαδικασία και ειδικότερα για την γεωµετρική κίνηση Brown όπως είναι γνωστή. 97

9.. Η γεωµετρική κίνηση Brown για τις τιµές των µετοχών Οποιαδήποτε µεταβλητή παίρνει τιµές οι οποίες καθορίζονται µε αβέβαιο τρόπο λέµε ότι ακολουθεί µία στοχαστική διαδικασία. Οι στοχαστικές διαδικασίες διακρίνονται σε διακριτού χρόνου και σε συνεχούς χρόνου. Όταν µία µεταβλητή ακολουθεί στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου τότε µπορεί να αλλάξει τιµές µόνο σε συγκεκριµένα χρονικά σηµεία ενώ όταν η στοχαστική διαδικασία είναι συνεχούς χρόνου µπορεί να αλλάξει τιµές οποτεδήποτε. Οι στοχαστικές διαδικασίες επίσης διακρίνονται σε διαδικασίες διακριτής µεταβλητής και σε διαδικασίες συνεχούς µεταβλητής. Στην πρώτη κατηγορία η µεταβλητή µπορεί να µόνον συγκεκριµένες τιµές µέσα σε ένα δεδοµένο εύρος τιµών ενώ στην δεύτερη κατηγορία η µεταβλητή µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή µέσα σε ένα δεδοµένο εύρος τιµών. Η διαδικασία Markov είναι µία στοχαστική διαδικασία, συνεχούς χρόνου, συνεχούς µεταβλητής, που χρησιµοποιείται πολύ συχνά για να περιγράψει την χρονική εξέλιξη των τιµών των µετοχών. Η κατανόηση αυτής της διαδικασίας είναι το πρώτο βήµα για την κατανόηση της αποτίµησης των δικαιωµάτων προαίρεσης αλλά και άλλων περισσότερο περίπλοκων παράγωγων χρηµατοοικονοµικών προϊόντων. Θέλουµε να επισηµάνουµε ότι στην πράξη οι τιµές των µετοχών δεν ακολουθούν διαδικασίες συνεχούς χρόνου, συνεχούς µεταβλητής. Οι τιµές των µετοχών περιορίζονται σε διακριτές τιµές (π.χ., πολλαπλάσια των 5 δρχ στο ΧΑΑ) και οι µεταβολές παρατηρούνται µόνον όταν το χρηµατιστήριο είναι ανοικτό. Παρόλο αυτά όµως, ότι οι διαδικασίες συνεχούς χρόνου, συνεχούς µεταβλητής αποτελούν ένα πολύ χρήσιµο υπόδειγµα για την αποτίµηση των παραγώγων. Στα πλαίσια µιας διαδικασίας Markov, µόνον η τρέχουσα τιµή µιας µεταβλητής έχει σχέση µε την πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών. Η χρονική εξέλιξη των τιµών της µετοχής (δηλαδή το συγκεκριµένη µονοπάτι που ακολούθησε για να φθάσει µέχρι την σηµερινή της τιµή) είναι αδιάφορη. Όπως ήδη αναφέραµε, συνήθως υποθέτουµε ότι οι τιµές των µετοχών ακολουθούν µία διαδικασία Markov. Υποθέστε για παράδειγµα, ότι η τιµή της µετοχής ΑΒΓ σήµερα είναι 0 Ευρώ. Εάν η τιµή της µετοχής ΑΒΓ ακολουθεί µία διαδικασία Markov, τότε οι προβλέψεις µας για το µέλλον δεν επηρεάζονται από την τιµή της µετοχής ΑΒΓ µία εβδοµάδα νωρίτερα, ή ένα χρόνο νωρίτερα. Σηµειώστε, ότι οι στατιστικές ιδιότητες της τιµής της Εθνικής πιθανόν να είναι χρήσιµες στον καθορισµό των χαρακτηριστικών της στοχαστικής διαδικασίας που ακολουθείται από την τιµή της µετοχής (π.χ. η τυπική της απόκλιση). Αυτό που εννοούµε εδώ πέρα είναι ότι η συγκεκριµένη πορεία που ακολουθήθηκε από την τιµή της µετοχής στο παρελθόν είναι αδιάφορη. Οι προβλέψεις για το µέλλον είναι αβέβαιες και πρέπει να εκφραστούν ως κατανοµές πυκνότητας πιθανότητας. Η ιδιότητα αυτή (θα την ονοµάσουµε ιδιότητα Markov) υπονοεί ότι η κατανοµή πυκνότητας πιθανότητας της τιµής σε οποιαδήποτε συ- 98

γκεκριµένη χρονική στιγµή στο µέλλον εξαρτάται αποκλειστικά από την σηµερινή τιµής των 0 Ευρώ. Η υπόθεση ότι η ιδιότητα Markov ισχύει για τις τιµές των µετοχών, είναι συνεπής µε την υπόθεση της ασθενούς µορφής αποτελεσµατικότητας της αγοράς. Αυτό σηµαίνει ότι η τρέχουσα τιµή της µετοχής αποτυπώνει όλη την διαθέσιµη πληροφόρηση για την µετοχή. Πρέπει να επισηµάνουµε εδώ ότι αυτό βρίσκεται σε πλήρη αντιδιαστολή µε την εµπειρική προσέγγιση της τεχνικής ανάλυσης που πρεσβεύει ότι οι επενδυτές µπορούν να επιτύχουν αποδόσεις πάνω από τον µέσο όρο αναλύοντας τα γραφήµατα της ιστορικής εξέλιξης των τιµών των µετοχών. ηλαδή, για να ισχύει η ασθενής µορφή της αποτελεσµατικότητας της αγοράς, άρα και η υπόθεση ότι η ιδιότητα Markov ισχύει για τις τιµές των µετοχών, δεν είναι δυνατόν να είναι έγκυρη η προσέγγιση της τεχνικής ανάλυσης. Οι θιασώτες της ασθενούς µορφής αποτελεσµατικότητας, ισχυρίζονται ότι το γεγονός ότι υπάρχουν πολλοί επενδυτές που παρακολουθούν στενά την χρηµατιστηριακή αγορά και προσπαθούν να επιτύχουν κέρδη, έχει ως αποτέλεσµα η τιµή της µετοχής σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή να αποτυπώνει όλη την διαθέσιµη πληροφόρηση για την µετοχή άρα και την ιστορική εξέλιξη της τιµής της. Ένας συγκεκριµένος τύπος στοχαστικής διαδικασίας Markov, είναι η διαδικασία Wiener, που χρησιµοποιείται από τους Φυσικούς για να περιγράψει την κίνηση στοιχειωδών σωµατιδίων που υπόκεινται σε ένα µεγάλο αριθµό µικρών µοριακών αναταράξεων (shocks) και µερικές φορές αποκαλείται κίνηση Brown (Brownian moion). Η συµπεριφορά µιας µεταβλητής z που ακολουθεί µία διαδικασία Wiener, µπορεί να γίνει κατανοητή εξετάζοντας τις µεταβολές στην τιµή της σε µικρά χρονικά διαστήµατα. Υποθέτουµε, ένα µικρό χρονικό διάστηµα διάρκειας και ορίζουµε ως z την µεταβολή στο z κατά την διάρκεια. Υπάρχουν δύο βασικές ιδιότητες που πρέπει να έχει το z ώστε το z να ακολουθεί µία διαδικασία Wiener: Ι ΙΟΤΗΤΑ το z συνδέεται µε το µε την σχέση z = ε (7.) όπου ε είναι µία τυχαία τιµή από την ανηγµένη κανονική κατανοµή (δηλαδή, µία κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση ). Ι ΙΟΤΗΤΑ Οι τιµές του z για δύο διαφορετικά µικρά χρονικά διαστήµατα είναι ανεξάρτητες. Συνάγεται από την ιδιότητα ότι το z ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε 99

µέση τιµή του z : 0 τυπική απόκλιση του z : διακύµανση του z : Η ιδιότητα υπονοεί ότι η µεταβλητή z ακολουθεί µία διαδικασία Markov. Θα εξετάσουµε τώρα την αύξηση στην τιµή του z µέσα σε ένα σχετικά µεγάλο χρονικό διάστηµα, Τ. Θα το συµβολίζουµε αυτό µε z(τ) - z(0). Μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισµα των αυξήσεων του z σε Ν µικρά χρονικά διαστήµατα διάρκειας, όπου N = T και έτσι N z( T ) z(0) = ε (7.) i= i όπου, τα ε ι (i =,,..., N) είναι τυχαίες τιµές από την ανηγµένη κανονική κατανοµή. Από την ιδιότητα τα ε ι είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Ακολουθεί από την εξίσωση (7.) ότι η διαφορά z(τ) - z(0) ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε: µέση τιµή του z(τ) - z(0) : 0 τυπική απόκλιση του z(τ) - z(0) : N =Τ διακύµανση του z(τ) - z(0) : = T Έτσι σε οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα διάρκειας Τ, η αύξηση της τιµής µιας µεταβλητής που ακολουθεί µία διαδικασία Wiener ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και τυπικά απόκλιση T. Θα πρέπει να είναι τώρα εµφανές ότι το z ορίζεται ως το γινόµενο του ε και του και όχι ως το γινόµενο του ε και του. Οι µεταβλητότητες είναι προσθετικές για ανεξάρτητες κανονικές κατανοµές. Όχι όµως και οι τυπικές αποκλίσεις. Είναι λογικό να ορίζουµε µια στοχαστική διαδικασία όπου η µεταβλητότητα και όχι η τυπική απόκλιση των µεταβολών είναι ανάλογη του µήκους του χρονικού διαστήµατος που εξετάζεται. Εάν µία µεταβλητή x ακολουθεί µία γενικευµένη διαδικασία Wiener τότε ισχύει ότι: 00

dx = ad + bdz (7.3) Όπου a και b είναι σταθερές. Η σταθερά a ονοµάζεται ρυθµός παρέκκλισης (drif rae) και το τετράγωνο της σταθεράς b (δηλαδή b ) ονοµάζεται ρυθµός διακύµανσης. Εάν θέσουµε b = 0 τότε: dx dx = ad = a x = x0 + a d όπου x 0 είναι η τιµή του x την χρονική στιγµή 0. Όπως βλέπουµε λοιπόν η σταθερά a, µας δίνει το σταθερό ποσό µεταβολής της µεταβλητής x σε χρονικό διάστηµα. Ο όρος bdz στο δεξί µέρος της εξίσωσης (7.3) αντιστοιχεί ουσιαστικά σε απρόβλεπτες διακυµάνσεις που προστίθενται στο µονοπάτι που ακολουθεί η µεταβλητή x. Το µέγεθος αυτής της µεταβλητότητας είναι το γινόµενο του b επί µία διαδικασία Weiner dz. Μία διαδικασία Wiener έχει τυπική απόκλιση ίση µε. Άρα το γινόµενο bdz έχει τυπική απόκλιση ίση µε b. Ο ρόλος των παραµέτρων a και b σε µια γενικευµένη διαδικασία Wiener, φαίνεται καλύτερα στην Εικόνα 7.. Για ένα µικρό χρονικό διάστηµα η εξίσωση (7.3) γίνεται: x = a + b z (7.4) ή ισοδύναµα x = a + bε (7.5) Η διαφορά x ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε: µέση τιµή του x : τυπική απόκλιση του x : διακύµανση του x : a b b Μία γενικευµένη διαδικασία Wiener όπου οι παράµετροι a και b δεν είναι σταθερές αλλά συναρτήσεις της µεταβλητής x και του χρόνου, ονοµάζεται διαδικασία Io. Σε αλγεβρική µορφή: ( x, ) d + b( x )dz dx = a, (7.6) 0

Εικόνα 7. : Μία γενικευµένη διαδικασία Wiener µε a = 0,3 και b =,5. Για ένα µικρό χρονικό διάστηµα η εξίσωση (7.6) γίνεται: x = a ( x ) + b( x, ) ε, (7.7) Στην διαδικασία Io o ρυθµός παρέκκλισης είναι σταθερός και ίσος µε a(x,) ενώ ο ρυθµός διακύµανσης είναι επίσης σταθερός και ίσος µε b(x,). Μία διαδικασία Io, όπου x =, a(x,) = µ και b(x,) = σ, όπου είναι η τιµή της µετοχής την χρονική στιγµή, µ είναι η προσδοκώµενη απόδοση της µετοχής (εκφρασµένη ως δεκαδικός αριθµός, π.χ. 0,5 = 5%) και σ η τυπική απόκλιση των αποδόσεών της ονοµάζεται γεωµετρική κίνηση Brown. Σηµειώστε ότι εδώ οι παράµετροι µ και σ είναι σταθερές. Από την Εξίσωση (7.6) έχουµε: d = µ d + σdz (7.8) ή d = µ d + σdz (7.9) 0

Η παραπάνω στοχαστική διαφορική εξίσωση, είναι ένα παράδειγµα τυχαίου περιπάτου (random walk). Ο λόγος d/ είναι προφανώς η απόδοση της µετοχής στο απειροστά µικρό χρονικό διάστηµα d. Το γινόµενο µd συµβολίζει το προβλέψιµο τµήµα της απόδοσης της µετοχής, αφού µ είναι µία µέτρηση του µέσου ρυθµού αύξησης της τιµής της µετοχής. Για να καταλάβουµε αυτό καλύτερα ας υποθέσουµε ότι σ = 0. Τότε από την Εξίσωση (7.9) έχουµε: d d = µ d = µ d Για σταθερό µ η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι: = µ ( 0 ) 0e (7.0) όπου 0 είναι η τιµή της µετοχής την χρονική στιγµή 0. Έτσι λοιπόν βλέπουµε ότι εάν σ = 0 µπορούµε να προβλέψουµε την τιµή της µετοχής µε βεβαιότητα. Από την άλλη, το γινόµενο σdz αντιστοιχεί στις τυχαίες µεταβολές της τιµής της µετοχής ως αποτέλεσµα εξωτερικών επιδράσεων, όπως για παράδειγµα απροσδόκητων νέων. Όπως ήδη αναφέραµε, η σηµαντικότερη ίσως υπόθεση πίσω από τις εξισώσεις Black-choles είναι ότι η τιµή της µετοχής ακολουθεί την στοχαστική διαδικασία που ονοµάσαµε γεωµετρική κίνηση Brown. Για ένα µικρό χρονικό διάστηµα η εξίσωση (7.9) που γίνεται: = µ + σε (7.) όπου : / : η απόδοση της µετοχής στη µονάδα του χρόνου, µ : η προσδοκώµενη απόδοση της µετοχής (σταθερή) ανά µονάδα χρόνου, σ : η τυπική απόκλιση των αποδόσεων της µετοχής (σταθερή) ανά µονάδα χρόνου, : η µονάδα του χρόνου, ε : µία τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση. Η εξίσωση (7.) δείχνει ότι η απόδοση της µετοχής στο διάστηµα ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µd και τυπική απόκλισησ, το οποίο το συµβολίζουµε ως: 03

~ N( µ, σ ) (7.) Παράδειγµα 7. Έστω µετοχή που δεν διανέµει µέρισµα, µε τυπική απόκλιση 30% ετησίως, µε αναµενόµενη απόδοση 5% ετησίως, µε συνεχή ανατοκισµό. Η γεωµετρική κίνηση Brown για την µετοχή είναι: = 0,5 + 0,30ε Εάν η τρέχουσα τιµή της µετοχής είναι 00 Ευρώ τότε µετά από µία εβδοµάδα ( = /5 = 0,09 έτη) η µεταβολή στην τιµή της µετοχής θα είναι: ( 0,5 0,09 + 0,30ε 0,09 ) = 0,88 4, 6ε = 00 + ηλαδή η µεταβολή στην τιµή της µετοχής θα είναι µία τυχαία τιµή από την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0,88 και τυπική απόκλιση 4,6ε. 9.3. Η κατανοµή πυκνότητας πιθανότητας των τιµών της µετοχής Εάν η τιµή µιας µετοχής ακολουθεί µία γεωµετρική κίνηση Brown, δηλαδή για την τιµή της µετοχής ισχύει η Εξίσωση (7.8) τότε µπορεί να αποδειχθεί κάνοντας χρήση του λήµµατος του Io, ότι για τον φυσικό λογάριθµο της τιµής της µετοχής ισχύει: σ d ln = µ d + σdz (7.3) Για χρονικό διάστηµα Τ η Εξίσωση (7.) γίνεται: σ ln = µ T + σεt (7.4) και ισοδύναµα 04

ln T T σ ln µ = T + σεt 0 = ln (7.5) 0 όπου T και 0 είναι η τιµή της µετοχής στο τέλος και στην αρχή του χρονικού διαστήµατος Τ, αντίστοιχα. Από την σχέση (7.4) συνάγεται ότι: ln T 0 σ ~ N µ T, σ T (7.6) και ισοδύναµα ln T σ ~ N ln 0 + µ T, σ T (7.7) όπου Ν(m,s) είναι κανονική κατανοµή µε µέση τιµή m και τυπική απόκλιση s. Επειδή όµως, εάν ο φυσικός λογάριθµος µιας µεταβλητής ακολουθεί την κανονική κατανοµή, η ίδια η µεταβλητή ακολουθεί την λογαριθµική κανονική κατανοµή (lognormal), συνάγεται από την σχέση (7.7) ότι εφόσον ο λογάριθµος ln T ακολουθεί την κανονική κατανοµή, η τιµή της µετοχής T ακολουθεί την λογαριθµική κανονική κατανοµή. Βλέπουµε, λοιπόν ότι η υπόθεση ότι η τιµή µιας µετοχής ακολουθεί την στοχαστική διαδικασία που ονοµάσαµε γεωµετρική κίνηση Brown, συνεπάγεται ότι η τιµή της µετοχής µετά από χρόνο T από σήµερα, ακολουθεί την λογαριθµική κανονική κατανοµή. Μία µεταβλητή που ακολουθεί την λογαριθµική κανονική κατανοµή µπορεί να πάρει αποκλειστικά θετικές τιµές σε αντιδιαστολή µε µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή που µπορεί να πάρει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιµές. Η τιµή µιας µετοχής δεν µπορεί φυσικά να είναι αρνητική, άρα βλέπουµε, ότι η υπόθεση της γεωµετρικής κίνησης Brown είναι κατάλληλη για την περίπτωση των µετοχών. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η αναµενόµενη τιµή της µετοχής µετά από χρόνο T θα είναι: E µ T ( ) e T = (7.8) 0 ενώ η διακύµανσή της θα είναι: var µ T σ T ( T ) = 0 e [ e ] (7.9) 05

κανονική κατανοµή Ν(Χ) λογαριθµική κανονική κατανοµή 0 Χ Εικόνα 7. : Σύγκριση της κανονικής και της λογαριθµικής κανονικής κατανοµής. Παράδειγµα 7. Έστω µετοχή µε τρέχουσα τιµή 40 Ευρώ, αναµενόµενη απόδοση 6% ετησίως και τυπική απόκλιση 0% ετησίως. Η κατανοµή πυκνότητας πιθανότητας για την τιµή της µετοχής σε 6 µήνες είναι από σήµερα µπορεί να βρεθεί από την Εξίσωση (7.7). Συγκεκριµένα: ln T 0,0 ~ N ln 40 + 0,6 0,5, 0,0 0, 5 ln T ~ N ( 3,759, 0,4) Για µία µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή, γνωρίζουµε ότι υπάρχει 95% πιθανότητα να βρίσκεται µέσα σε απόσταση,96 τυπικών αποκλίσεων από την µέση τιµή της. Άρα το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για τον λογάριθµο ln T είναι: 3,759,96 0,4< ln < 3,759 +,96 0,4 T ή ισοδύναµα 3,759,96 0,4 3,759+,96 0,4 e < T < e 06

ή ισοδύναµα 3,55 < 56,56 < T Συνεπώς υπάρχει 95% πιθανότητα ότι η τιµή της µετοχής σε έξι µήνες θα κυµαίνεται από 3,55 έως 56,56 Ευρώ. Παράδειγµα 7.3 Για τα δεδοµένα του προηγούµενου παραδείγµατος, χρησιµοποιώντας την Εξίσωση (7.8) βρίσκουµε ότι η αναµενόµενη τιµή της µετοχής µετά από έξι µήνες είναι: 0,6 0,5 ( ) = 40e = 43, 335 E T ενώ η διακύµανσή της είναι: var 0,6 0,5 0, 0,5 ( ) = 40 e [ e ] =.600,735 [,00 ] = 37, 979 T και η τυπική απόκλιση θα είναι: ( T ) var( ) = 37,979 6, 586 s. dev. = = T 9.4. Προσοµοίωση Mone Carlo των τιµών µετοχής Η Εξίσωση (7.) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να δηµιουργήσουµε υποθετικά µονοπάτια τιµών µιας µετοχής (price pahs), µε µια διαδικασία που είναι γνωστή ως προσοµοίωση Mone Carlo. Θα εξετάσουµε αυτή την διαδικασία µε ένα παράδειγµα. Υποθέστε ότι η αναµενόµενη απόδοση µιας µετοχής είναι 5% ετησίως και η τυπική της απόκλιση 5% ετησίως µε συνεχή ανατοκισµό (δηλαδή µ = 0,5 και σ = 0,5). Εάν το χρονικό διάστηµα που θα χρησιµοποιήσουµε ως βήµα µεταβολής της τιµής είναι µία ηµέρα, τότε = /365 = 0,007 έτη. Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση (7.) έχουµε: ( 0,5 0,007, 0,5 0,007 ) ( 0,0004, 0,030) ~ N = 07

Πίνακας 7. Προσοµοίωση Mone Carlo των τιµών µετοχής Ηµέρα ω ω 00,00 -,885640-0,037350-3,73 96,7,07900 0,04530,40 3 97,67 -,345880-0,03090 -,96 4 94,7,637309 0,0836,07 5 96,78 0,80040 0,00893,05 6 97,83-0,4730-0,005760-0,56 7 97,7 -,65690-0,07930 -,7 8 94,55-0,60980-0,007580-0,7 9 93,83-0,3850-0,004630-0,43 0 93,40-0,680-0,00790-0,7 93,3 -,069060-0,03580 -,7 9,96,859 0,05048,38 3 93,34-0,530-0,00570-0,5 4 93,9 -,66670-0,0350 -,99 5 9,0 -,69840-0,080 -,99 6 89, 0,57987 0,00799 0,7 7 89,9 0,96768 0,0407, 8 9,04-0,590-0,006430-0,59 9 90,45 0,0964 0,00673 0,5 0 90,60-0,873040-0,000 -,00 89,60-0,83670-0,00990-0,8 89,4 0,6833 0,00935 0,84 3 90,6-0,449300-0,005470-0,49 4 89,77 0,00797 0,00055 0,05 5 89,8 -,33740-0,0440 -,30 6 88,5 0,6443 0,00884 0,78 7 89,30 -,38090-0,07660 -,58 8 87,7 -,336080-0,07070 -,50 9 86, 0,6360 0,008689 0,75 30 86,97,77338 0,0366,05 Μπορούµε να δηµιουργήσουµε ένα µονοπάτι τιµών της µετοχής µε διαδοχικές δειγµατοληψίες από την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0,0004 και τυπική απόκλιση 0,030. Εναλλακτικά, µπορούµε να κάνουµε δειγµατοληψία από την ανηγµένη κανονική κατανοµή (η κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση ), δηλαδή: ω ~ N (0,) και να µετατρέψουµε αυτές τις τιµές στην παραπάνω κανονική κατανοµή ως εξής: ω = µ + σ ω 08

0 05 00 ΤΙΜΗ ΜΕΤΟΧΗΣ (ΕΥΡΩ) 95 90 85 80 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 ΗΜΕΡΑ Εικόνα 7.3 : Μονοπάτια τιµών µετοχής (price pahs) µε αρχική τιµή 00 Ευρώ, αναµενόµενη απόδοση 5% ετησίως, τυπική απόκλιση 5% ετησίως µε συνεχή ανατοκισµό, για χρονικό βήµα µιας ηµέρας, και συνολική περίοδο 30 ηµερών. Οι τιµές του γραφήµατος αντιπροσωπεύουν τις τιµές της µετοχής στην αρχή της ηµέρας. Άρα για την περίπτωσή µας είναι: ( 0,0004 0, ) = ω 0 + ω =,0004 + 0,030ω = 030 Για αρχική τιµή µετοχής 00 Ευρώ στον Πίνακα 7. έχουµε δηµιουργήσει 9 νέες τιµές, χρησιµοποιώντας την διαδικασία που περιγράψαµε παραπάνω. Την πρώτη ηµέρα υπολογίζουµε ότι η µεταβολή στην τιµή της µετοχής θα είναι = -3,73 Ευρώ (στρογγυλοποιούµε στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο). Άρα στο τέλος της πρώτης ηµέρας (και συνεπώς και στην αρχή της επόµενης) η τιµή της µετοχής θα είναι 00 3,73 = 96,7. Οµοίως υπολογίζονται οι υπόλοιπες τιµές. Σηµειώστε, ότι η τρίτη στήλη περιέχει 30 τυχαίους αριθµούς από την ανηγµένη κανονική κατανοµή. Μία διαφορετική οµάδα 30 τυχαίων αριθµών θα µας έδινε ένα τελείως διαφορετικό µονοπάτι τιµών στην δεύτερη στήλη. Στην Εικόνα 7. φαίνονται 4 εναλλακτικά µονοπάτια τιµών για την µετοχή που δηµιουργήθηκαν µε προσοµοίωση Mone-Carlo. 09

9.5. Οι εξισώσεις Black-choles Το υπόδειγµα Black-choles µας δίνει µία αναλυτική λύση στο πρόβληµα της αποτίµησης δικαιωµάτων προαίρεσης Ευρωπαϊκού τύπου, σε µετοχές που δεν διανέµουν µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος. Οι υποθέσεις πάνω στις οποίες στηρίζεται είναι:. η τιµή της µετοχής ακολουθεί την γεωµετρική κίνηση Brown,. επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήσεις µετοχών (shor selling), 3. δεν υπάρχουν κόστη συναλλαγών ή φόροι, 4. η µετοχή δεν διανέµει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος, 5. δεν υπάρχουν ευκαιρίες arbirage, 6. οι συναλλαγές πάνω στη µετοχή είναι συνεχείς, 7. το επιτόκιο δανεισµού χωρίς κίνδυνο είναι σταθερό και το ίδιο για όλες τις λήξεις. Συγκεκριµένα η τιµή ενός δικαιώµατος αγοράς (call opion) είναι: rt ( d c = N d ) Xe N( ) (7.0) Ενώ η τιµή ενός δικαιώµατος πώλησης (pu opion) είναι: p = Xe rt N ( d ) N( ) d (7.) όπου d ( X ) + ( r + σ ) ln T = (7.) σ T d ln ( X ) + ( r + σ ) T = d σ T = σ T (7.3) και Ν(x) είναι η συνάρτηση αθροιστικής πυκνότητας πιθανότητας για µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µηδέν και τυπική απόκλιση µονάδα. ηλαδή είναι η συνάρτηση που µας δίνει την πιθανότητα η ανηγµένη κανονική µεταβλητή να παίρνει τιµές από - έως x. Η τιµή αυτής της συνάρτησης δίνεται από πίνακες (δες Παράρτηµα Α). Σηµειώστε επίσης ότι: Ν(-x) = - Ν(x) (7.4) 0

Παράδειγµα 7.4 Έστω η τρέχουσα τιµή µιας µετοχής είναι 5 Ευρώ, η µεταβλητότητά της είναι 5% ετησίως και το επιτόκιο δίχως κίνδυνο είναι 8% ετησίως. Θέλουµε να υπολογίσουµε την τιµή των δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου, της µετοχής µε τιµή άσκησης 50 Ευρώ και λήξη σε 6 µήνες. Είναι = 5, X = 50, r = 0,08, σ = 0,5 και Τ = 0,5. Υπολογίζουµε καταρχήν τα d και d από τις εξισώσεις (7.) και (7.3): d ) 0,5 = ln(5 50) + (0,08 + 0,5 = 0,5 0,5 0,5365 d = d + σ T = 0,5365 + 0,5 0,5 = 0,665 Από τους πίνακες του Παραρτήµατος Α βρίσκουµε ότι για x = 0,53 είναι Ν(x) = 0,709 και για x = 0,54 είναι Ν(x) = 0,7054. Με γραµµική παρεµβολή υπολογίζουµε το N(d ) = Ν(0,5365) ως εξής: για µεταβολή x = 0,54 0,53 = 0,0 η µεταβολή στην αθροιστική πιθανότητα είναι ίση µε Ν = 0,7054 0,709 = 0,0035. Άρα για µεταβολή x = 0,5365 0,53 = 0,0065 η µεταβολή στην αθροιστική πιθανότητα θα είναι ίση µε (0,0035 x 0,0065 ) / 0,0 0,003 και συνεπώς N(d ) = N(0,5365) = N(0,53) + 0,003 = 0,709 + 0,003 = 0,704. Οµοίως υπολογίζουµε ότι Ν(d ) = N(0,66) + 0,0005 = 0,7454 + 0,0005 = 0,7459, N(-d ) = Ν(-0,53) 0,003 = 0,98 0,003 = 0,958 και N(-d ) = Ν(-0,66) 0,0005 = 0,546 0,0005 = 0,54 (σηµειώστε ότι στρογγυλοποιούµε στο τέταρτο δεκαδικό γιατί η ακρίβεια των πινάκων είναι 4 δεκαδικά ψηφία). 9.6. Ο υπολογισµός των παραµέτρων των εξισώσεων Black- choles Από τις µεταβλητές που χρειάζεται να εισάγουµε στις εξισώσεις Black-choles η τιµή της µετοχής, η τιµή άσκησης του δικαιώµατος X, ο χρόνος µέχρι την λήξη του δικαιώµατος T, είναι άµεσα διαθέσιµες. Παρακάτω θα συζητήσουµε τον υπολογισµό της τυπικής απόκλισης σ, του επιτοκίου r, καθώς και τον αριθµητικό υπολογισµό της αθροιστικής πιθανότητας Ν(x).

9.6.. Πολυωνυµική προσέγγιση της αθροιστικής πιθανότητας Ν(x) Η αθροιστική πιθανότητα Ν(x) µπορεί εναλλακτικά να υπολογιστεί µε πολυωνυµικές προσεγγίσεις. Αυτό είναι χρήσιµο όταν θέλουµε να αυτοµατοποιήσουµε τον υπολογισµό των συναρτήσεων Black-choles, µε την βοήθεια Η/Υ. Μία πολυωνυµική προσέγγιση είναι η παρακάτω: N N( x) = ' 3 ( x)( a k + a k + a k ) N( x) όταν 3 όταν x < 0 x 0 (7.5) όπου ' N ( x) = e π x / και k =, γ = 0,3367, α = 0,436836, α = -0,0676, α 3 = 0,937980. + γx 9.6.. Εκτίµηση της τυπικής απόκλισης σ από ιστορικές τιµές Η τυπική απόκλιση είναι η παράµετρος µε την µεγαλύτερη ασάφεια, από τις 5 συνολικά που απαιτούνται για τον υπολογισµό των εξισώσεων Black-choles. Υπάρχουν πολλοί και διαφορετικοί τρόποι εκτίµησης της τυπικής απόκλισης, που είναι στις περισσότερες περιπτώσεις καθαρά υποκειµενικοί. Εδώ θα αναφέρουµε την βασική (και απλούστερη) µέθοδο εκτίµησης που χρησιµοποιείται στην πλειοψηφία των περιπτώσεων. Έστω λοιπόν ότι έχουµε στην διάθεσή µας n + παρατηρήσεις των τιµών µιας µετοχής για ισάριθµες περιόδους. Ο αριθµός των περιόδων αντιστοιχεί σε χρονικό διάστηµα από έως 6 µήνες, γιατί η τυπική απόκλιση του µακρινού παρελθόντος ίσως σε αρκετές περιπτώσεις δεν είναι καλή εκτίµηση της τρέχουσας τυπικής απόκλισης της µετοχής. Στην πράξη χρησιµοποιούνται είτε οι 90 µε 80 ηµερήσιες τιµές, είτε 5 µε 5 περισσότερο πρόσφατες εβδοµαδιαίες τιµές. Έστω επίσης ότι συµβολίζουµε µε την τιµή της µετοχής, και µε η την απόδοση της µετοχής στο τέλος της περιόδου. Από τις n + διαθέσιµες παρατηρήσεις µπορούµε να υπολογίσουµε n αποδόσεις ως εξής: η ln = = ln ln (7.6) Επειδή από την σχέση (7.6) είναι φανερό ότι

η = e (7.7) η απόδοση η είναι η απόδοση συνεχούς ανατοκισµού για µία περίοδο (µία ηµέρα, µία εβδο- µάδα, κτλ) και όχι σε ετήσια βάση. Η τυπική απόκλιση των αποδόσεων η υπολογίζεται ως: s = n n ( η ) = η (7.8) όπου η είναι η µέση τιµή των αποδόσεων που υπολογίζεται ως: n η = η (7.9) n = Η Εξίσωση (7.8) µας δίνει την ηµερήσια ή εβδοµαδιαία (ή µε οποιαδήποτε άλλη συχνότητα) τυπική απόκλιση των αποδόσεων. Εµείς όµως χρειαζόµαστε την τυπική απόκλιση σε ετήσια βάση, η οποία προκύπτει από την σχέση: σ = s τ (7.30) όπου τ είναι ο αριθµός των περιόδων (ηµερών, εβδοµάδων, µηνών, κτλ σε ένα έτος). Στην περίπτωση που χρησιµοποιούµε ηµερήσιες παρατηρήσεις συνήθως το τ αναφέρεται σε ηµέρες συναλλαγών και όχι σε ηµερολογιακές ηµέρες, οπότε σ αυτή την περίπτωση τ = 50 και όχι 365. Εάν χρησιµοποιούµε εβδοµαδιαίες τιµές τότε τ = 5, κτλ. Το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης του σ µε την εξίσωση (7.30) είναι: σ n (7.3) Εάν σε κάποια από τις περιόδους έχει διανεµηθεί µέρισµα D Ευρώ ανά µετοχή, στο τέλος της περιόδου η απόδοση θα είναι: + D η = ln (7.3) 3

Παράδειγµα 7.5 Ο Πίνακας 7. δίνει στην δεύτερη στήλη του, τις 6 περισσότερο πρόσφατες τιµές κλεισίµατος µιας µετοχής. Στην Τρίτη στήλη έχουµε υπολογίσει τον φυσικό λογάριθµο των τιµών. Στην τελευταία στήλη υπολογίζουµε τις 5 αποδόσεις η σύµφωνα µε την Εξίσωση (7.6). Πίνακας 7. Εκτίµηση της τυπικής απόκλισης αποδόσεων µετοχής Ηµέρα ln ln - ln - 50,00 3,903 50,8 3,98093 0,06070 3 5,06 3,93300 0,004908 4 50,33 3,9860-0,04400 5 48,89 3,889573-0,09030 6 50,74 3,9675 0,0374 7 50,67 3,95334-0,00380 8 50,65 3,94939-0,000390 9 5,3 3,955657 0,03078 0 53,4 3,97480 0,0953 5,96 3,969537-0,00570 5,9 3,9495-0,00030 3 5,5 3,96004 0,049 4 54,0 3,990834 0,0983 5 5,87 3,967836-0,03000 6 5,63 3,94403-0,03730 7 5,4 3,93650-0,007580 8 5,08 3,933393-0,00330 9 5,04 3,9360-0,000780 0 5,33 3,93875 0,005666 50,97 3,9337-0,007040 5,43 3,959479 0,084 3 5, 3,93476-0,05300 4 50,76 3,9709-0,007070 5 50,67 3,95334-0,00770 6 50,65 3,94939-0,000390 Για τα δεδοµένα του Πίνακα 7. κάνοντας χρήση της Εξίσωσης (7.7) υπολογίζουµε ότι η η- µερήσια τυπική απόκλιση είναι 0,08. Άρα η εκτίµησή µας για την ετήσια τυπική απόκλιση είναι : σ = s τ = 0,08 50 = 0,86378 ή αλλιώς 8,64% ετησίως, µε τυπικό σφάλµα: 4

σ n 0,86378 = = 0,0405 5 ή αλλιώς 4,05%. 9.6.3. Η υπονοούµενη ή τεκµαρτή τυπική απόκλιση Προηγουµένως, αναλύσαµε πώς µπορεί να εκτιµηθεί η τυπική απόκλιση από ιστορικές τιµές της µετοχής. Μία ακόµη πολύ σηµαντική προσέγγιση είναι αυτή που στηρίζεται στην έννοια της υπονοούµενης ή τεκµαρτής τυπικής απόκλισης (implied volailiy). Αυτή είναι η τυπική απόκλιση που υπονοείται από την τιµή µε την οποία διαπραγµατεύεται στην αγορά το δικαίω- µα. Με άλλα λόγια είναι η τιµή της τυπικής απόκλισης που προκύπτει από την Εξίσωση (7.0) ή (7.) εάν είναι γνωστή η τιµή του δικαιώµατος αγοράς (c) ή πώλησης (p) αντίστοιχα. Για παράδειγµα υποθέστε ότι η αξία ενός δικαιώµατος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου σε µετοχή που δεν διανέµει µέρισµα είναι c = 3,089 Ευρώ. Επίσης η τιµή της µετοχής είναι = Ευρώ, η τιµή άσκησης του δικαιώµατος είναι X = 48 Ευρώ, το επιτόκιο δίχως κίνδυνο είναι 5% ετησίως (r = 0,05) και η λήξη του δικαιώµατος είναι σε 3 µήνες (T = 0,5). Η τιµή της υπονοούµενης τυπικής απόκλισης, η οποία εάν αντικατασταθεί στην Εξίσωση (7.0) µας δίνει τιµή δικαιώµατος c = 3,089 Ευρώ, είναι 4,75%. υστυχώς, οι εξισώσεις (7.0) και (7.) δεν µπορούν να επιλυθούν αναλυτικά ως προς σ, για τον υπολογισµό της υπονοούµενης τυπικής απόκλισης. Γι αυτό τον σκοπό χρησιµοποιούµε επαναληπτικού αλγορίθµους όπως ο αλγόριθ- µος Newon-Raphson ή η προσέγγιση της διχοτόµησης (bisecion). Επίσης, είναι σηµαντικό να επισηµάνουµε ότι υπάρχει ένα προς ένα αντιστοιχία ανάµεσα στην τιµή του δικαιώµατος και στην τιµή της τυπικής απόκλισης. ηλαδή, σε κάθε τιµή δικαιώµατος αντιστοιχεί µία µόνον τιµή τυπικής απόκλισης και αντίστροφα. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που πολλοί raders δίνουν τις τιµές των δικαιωµάτων σε µονάδες τυπικής απόκλισης και όχι σε χρηµατικές µονάδες. Για παράδειγµα 4,75% για δικαίωµα αγοράς Ιουλίου στην µετοχή Α αντί του 3,089 Ευρώ για δικαίωµα αγοράς Ιουλίου στην µετοχή Α. Η υπονοούµενη τυπική απόκλιση µας δίνει ουσιαστικά την εκτίµηση της αγοράς για την τυπική απόκλιση συγκεκριµένης µετοχής. Ως εκ τούτου, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της τιµής ενός δικαιώµατος από την τιµή ενός άλλου δικαιώµατος, πάνω φυσικά στην ίδια µετοχή. Συχνά, υπολογίζονται αρκετές υπονοούµενες τυπικές αποκλίσεις διαφορετικών δικαιωµάτων πάνω στην ίδια µετοχή, και µετά υπολογίζεται η σύνθετη υπονοούµενη τυπική απόκλιση, ως ένας σταθµισµένος όρος των επιµέρους υπονοούµενων τυπικών αποκλίσεων. Η 5

στάθµιση που δίνεται σε κάθε επιµέρους υπονοούµενη τυπική απόκλιση συνήθως αντικατοπτρίζει την ευαισθησία της τιµής του δικαιώµατος στην τυπική απόκλιση. Όπως θα δούµε αργότερα η µερική παράγωγος της τιµής του δικαιώµατος ως προς την τυπική απόκλιση ονοµάζεται Βέγγα (vega) και η χρήση του για την στάθµιση των τυπικών αποκλίσεων είναι ευρέως διαδεδοµένη. Για ένα δικαίωµα αγοράς, το vega είναι Λ = c σ. Εάν έχουµε υπολογίσει τις υπονοούµενες τυπικές αποκλίσεις k δικαιωµάτων πάνω στην ίδια µετοχή (θα τις συµβολίσουµε µε σ i, όπου i =,...,k) και τα αντίστοιχα vega, τότε η σύνθετη υπονοούµενη τυπική απόκλιση για την µετοχή θα είναι: k Λ iσ i i= σ = (7.33) k Λ i= i Η παραπάνω σχέση δίνει πολύ µεγαλύτερη βαρύτητα στην τυπική απόκλιση ενός δικαιώµατος στο χρήµα (a-he-money) από την τυπική απόκλιση ενός δικαιώµατος εκτός χρήµατος (ouof-he-money). Στην πρώτη περίπτωση η τιµή του δικαιώµατος είναι πολύ περισσότερο ευαίσθητη στην µεταβολή της τυπικής απόκλισης απ ότι στην δεύτερη. Εκτός από την Εξίσωση (7.33) έχουν προταθεί παρά πολλοί εναλλακτικοί τρόποι στάθµισης. Μία επίσης διαδεδοµένη µέθοδος είναι του Beckers, ο οποίος αφού εξέτασε διάφορες προσεγγίσεις στάθµισης, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι τα καλύτερα αποτελέσµατα επιτυγχάνονται όταν χρησιµοποιείται µόνον η τυπική απόκλιση του δικαιώµατος, η τιµή του οποίου είναι περισσότερο ευαίσθητη στις µεταβολές της τυπικής απόκλισης. Παράδειγµα 7.6 Έστω µετοχή µε τρέχουσα τιµή = 60 Ευρώ. Στην διάθεσή σας έχετε τις τιµές δύο δικαιωµάτων αγοράς πάνω στην µετοχή µε λήξη σε 46 ηµέρες (δικαιώµατα Ευρωπαϊκού τύπου, η µετοχή δεν θα διανέµει µέρισµα µέχρι την λήξη τους) και τιµές άσκησης 60 και 65 Ευρώ, αντίστοιχα. Η τιµή του πρώτου δικαιώµατος είναι,3 Ευρώ και του δεύτερου 0, Ευρώ. Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο είναι 6,8% ετησίως µε συνεχή ανατοκισµό. Θέλουµε την τιµή της υπονοούµενης τυπικής απόκλισης βάση της οποίας θα υπολογίσουµε την τιµή ενός δικαιώµατος αγοράς µε τιµή άσκησης 6 Ευρώ. Καταρχήν, µε τα παραπάνω δεδοµένα µπορούµε να υπολογίσουµε την υπονοούµενη τυπική απόκλιση και το vega κάθε δικαιώµατος. Συγκεκριµένα βρίσκουµε: Τιµή άσκησης X Τιµή δικαιώµατος c Vega Λ 60,3 0,0597,94% 65 0, 0,09455 3,9% Υπονοούµενη τυπική απόκλιση σ 6

Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση (7.33) υπολογίζουµε την σύνθετη υπονοούµενη τυπική απόκλιση: σ = 0,0597,94% + 0,09455 3,9% = 3,95% 0,0597 + 0,09455 Με βάση την προσέγγιση Beckers όµως, η υπονοούµενη τυπική απόκλιση είναι,94%. Από τις εξισώσεις Black-choles υπολογίζουµε την τιµή του δικαιώµατος αγοράς µε τιµή άσκησης 6 Ευρώ, ως 0,5537 Ευρώ για υπονοούµενη τυπική απόκλιση 3,95% ή 0,545 Ευρώ για υπονοούµενη τυπική απόκλιση,94%. 9.6.4. Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο r Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο r, που υπεισέρχεται στις εξισώσεις Black-choles συνήθως το θέτουµε ίσο µε την απόδοση των Εντόκων Γραµµατίων Ελληνικού ηµοσίου (ΕΓΕ ) µε την πλησιέστερη διάρκεια σ αυτή του δικαιώµατος, ή µε το αντίστοιχο διατραπεζικό επιτόκιο. Η απόδοση ενός ΕΓΕ µε λήξη σε n ηµέρες από σήµερα δίνεται από την σχέση: VF Y 365 r = (7.34) Y n όπου V F η ονοµαστική αξία του ΕΓΕ και Υ η πληρωτέα τιµή για κάθε για κάθε V F χρηµατικές µονάδες ονοµαστικής αξίας. Η απόδοση που υπολογίζεται µε την Εξίσωση (7.34) ονοµάζεται και ισοδύναµη απόδοση οµολόγου (bond equivalen yield). Πρέπει να σηµειώσουµε ότι η συχνότητα ανατοκισµού της απόδοσης r είναι κάθε n ηµέρες. Γενικά, στις χρηµαταγορές οι αποδόσεις αντιστοιχούν σε συχνότητα ανατοκισµού ίση µε την λήξη του συγκεκριµένου εργαλείου, και γι αυτό δεν είναι απευθείας συγκρίσιµες. Για να µετατρέψουµε την απόδοση σε συνεχούς ανατοκισµού (ονοµάζεται και σύνθετη απόδοση), µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Εξίσωση (.4), θέτοντας όπου m = 365/n. Επιπλέον, επειδή πάντοτε υπάρχει διαφορά ανάµεσα στις τιµές αγοράς και πώλησης ΕΓΕ που προσφέρονται από τις τράπεζες (bid ask spread) συνήθως χρησιµοποιούµε των µέσο όρο των δύο τιµών, δηλαδή Y = (Y BID Y AK )/. Παράδειγµα 7.7 Έστω ΕΓΕ µε λήξη σε 80 ηµέρες, ονοµαστικής αξίας 00 Ευρώ, µε τιµή πώλησης 96,95 Ευρώ και τιµή αγοράς 96,5 Ευρώ. Η µέση τιµή είναι : 7

96,95 + 96,5 Y = = 96,60 η µέση απόδοση του ΕΓΕ είναι (00 96,60)/96,60 ή 3,5% κάθε 80 ηµέρες, ενώ η µέση ισοδύναµη απόδοση οµολόγου µε ανατοκισµό κάθε 80 ηµέρες είναι: 00 96,60 365 r = = 0,074 96,60 80 ή 7,4% ετησίως (µε ανατοκισµό κάθε 80 ηµέρες). Η ισοδύναµη απόδοση συνεχούς ανατοκισµού είναι: 365 r = ln 80 + 0,074 = 0,070 365 80 ή 7,0 % ετησίως µε συνεχή ανατοκισµό. 9.7. Αποτίµηση δικαιωµάτων Αµερικανικού τύπου σε µετοχές που δεν διανέµουν µέρισµα 9.7.. Η προσέγγιση Johnson για δικαιώµατα πώλησης Αµερικανικού τύπου σε µετοχές που διανέµουν µέρισµα Γνωρίζουµε ότι ένα δικαίωµα πώλησης Αµερικανικού τύπου µε τιµή άσκησης Χ, θα αξίζει πάντοτε τουλάχιστον όσο το αντίστοιχο δικαίωµα Ευρωπαϊκού τύπου, από την άλλη όµως θα αξίζει το πολύ όσο ένα δικαίωµα Ευρωπαϊκού τύπου µε τιµή άσκησης Xe rt, δηλαδή την µελλοντική τιµή του Χ, άρα: p rt ( X ) P( X ) p( Xe ) (7.35) Όπου p(x) η τιµή του δικαιώµατος Ευρωπαϊκού τύπου µε τιµή άσκησης Χ, P(X) η τιµή του δικαιώµατος Αµερικανικού τύπου µε τιµή άσκησης Χ και p(xe rt ) η τιµή του δικαιώµατος Ευρωπαϊκού τύπου µε τιµή άσκησης Xe rt. 8

Από την ανισότητα (7.35) συνάγεται, ότι η τιµή του δικαιώµατος πώλησης Αµερικανικού τύπου P(X) µπορεί να θεωρηθεί ως ο σταθµισµένος µέσος όρων δύο δικαιωµάτων Ευρωπαϊκού τύπου: P rt ( X ) ap( Xe ) + ( a) p( X ) = (7.36) όπου 0 α. Η ακριβής τιµή του α δίνεται από την παρακάτω σχέση : λ rt a = (7.37) 3,9649rT + 0,0335 ln criical λ = (7.38) X ln criical όπου criical είναι η κρίσιµη τιµή της µετοχής κάτω από την οποία το δικαίωµα πώλησης Αµερικανικού τύπου θα ασκηθεί πρόωρα, και προσεγγίζεται ως: criical r = X σ r + σ m (7.39) όπου σ T m =,04083σ T + 0,00963 (7.40) Η διαδικασία υπολογισµού της τιµής δικαιωµάτων πώλησης Αµερικανικού τύπου ξεκινά µε το υπολογισµό των m και criical από τις Εξισώσεις (7.40) και (7.4) αντίστοιχα. Εφόσον criical, τότε P = X. Αλλιώς προχωράµε στον υπολογισµό του λ και του α από τις Εξισώσεις (7.38) και (7.37) αντίστοιχα. Τέλος από την Εξίσωση (7.36) υπολογίζουµε την τιµή του δικαιώµατος πώλησης. 9

Η προσέγγιση του Johnson δίνει καλά αποτελέσµατα όταν rt 0,5. Καθώς η λήξη των δικαιωµάτων σε µετοχές είναι συνήθως µικρότερη από 8 µήνες, αυτό µεταφράζεται σε επιτόκιο µικρότερο από 8,75%. 9.8. Προσαρµογή των εξισώσεων Black-choles για την περίπτωση διανοµής µερίσµατος Μέχρι τώρα, υποθέταµε ότι η µετοχή η οποία αποτελεί και την υποκείµενη αξία του δικαιώµατος δεν διανέµει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος. Στην πράξη όµως, αυτό δεν ισχύει πάντοτε. Εδώ, επεκτείνουµε τα αποτελέσµατά µας, υποθέτοντας ότι το µέρισµα (ή τα µερίσµατα) που θα διανέµει η µετοχή έως την λήξη του δικαιώµατος µπορούν να προβλεφθούν µε ακρίβεια. Αυτό δεν είναι µία παράλογη υπόθεση, από την στιγµή που τα δικαιώµατα που διαπραγµατεύονται στο χρηµατιστήριο έχουν διάρκεια µικρότερη από οκτώ µήνες. Η υπόθεση της γεωµετρικής κίνησης Brown για τις τιµές των µετοχών, ισχύει και για τις µετοχές που διανέµουν µέρισµα αλλά πριν την ηµεροµηνία αποκοπής του µερίσµατος. Μετά από αυτή την ηµεροµηνία, η τιµή της µετοχής πέφτει κατά ποσό ίσο µε το µέρισµα που έχει διανεµηθεί. Το αποτέλεσµα είναι ότι µειώνεται η αξία του δικαιώµατος αγοράς και αυξάνεται η αξία του δικαιώµατος πώλησης. 9.8.. ικαιώµατα Ευρωπαϊκού τύπου σε µετοχές που διανέµουν µέρισµα Εάν η µετοχή διανέµει µέρισµα πριν από την λήξη του δικαιώµατος, τότε κατά τον υπολογισµό της τιµής ενός δικαιώµατος Ευρωπαϊκού τύπου, θα πρέπει να αφαιρεθεί από την τρέχουσα τιµή της µετοχής η παρούσα αξία του µερίσµατος. Ο λόγος είναι ότι η τιµή της µετοχής σήµερα είναι η παρούσα αξία όλων των µελλοντικών µερισµάτων. Η τιµή της µετοχής µετά την λήξη του δικαιώµατος είναι η παρούσα αξία όλων των µερισµάτων µετά την λήξη. Η διαφορά ανάµεσα στις δύο τιµές είναι η παρούσα αξία του µερίσµατος (ή των µερισµάτων) µέχρι την λήξη του δικαιώµατος. Άρα ένα δικαίωµα Ευρωπαϊκού τύπου σε µετοχή που διανέµει µέρισµα, είναι ένα δικαίωµα σε µετοχή που αξίζει την τρέχουσα τιµή της µείον την παρούσα αξία του µερίσµατος που θα διανεµηθεί έως την λήξη του δικαιώµατος. Η αναπροσαρµοσµένη τιµή της µετοχής * λοιπόν θα είναι: r = I = De (7.35) 0

όπου D είναι το µέρισµα που θα διανεµηθεί σε χρόνο, r είναι το επιτόκιο δίχως κίνδυνο, και I είναι η παρούσα αξία του µερίσµατος. Εφόσον µειώνουµε την τιµή της µετοχής θα πρέπει να αναπροσαρµόσουµε και την τυπική απόκλισή της, αν και στην πράξη την αφήνουµε συνήθως αµετάβλητη. Η αναπροσαρµοσµένη τυπική απόκλιση δίνεται κατά προσέγγιση από την σχέση: σ = * σ = De r σ (7.36) Η Εξίσωση (7.35) µπορεί να ξαναγραφεί εκφράζοντας το µέρισµα ως µία συνεχή µερισµατική απόδοση. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιµο όταν θέλουµε να αποτιµήσουµε δικαιώµατα πάνω σε «καλάθια» µετοχών (π.χ. warrans σε καλάθια µετοχών: OTC call opions σε καλάθια µετοχών) ή σε χρηµατιστηριακούς δείκτες. Σ αυτή την περίπτωση είναι: qt = (7.37) e όπου q είναι η συνεχής µερισµατική απόδοση και T είναι ο χρόνος µέχρι την λήξη του δικαιώ- µατος. Παράδειγµα 7.8 Έστω δικαίωµα αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου µε λήξη σε 59 ηµέρες σε µετοχή που θα διανέµει µέρισµα,5 Ευρώ σε 35 ηµέρες. Η τρέχουσα τιµή της µετοχής είναι 44 Ευρώ, η τιµή άσκησης του δικαιώµατος είναι 4 Ευρώ, η τυπική απόκλιση της µετοχής είναι 7% ετησίως, το επιτόκιο δίχως κίνδυνο είναι 8% ετησίως, µε συνεχή ανατοκισµό. Η παρούσα αξία του µερίσµατος είναι: I = De r =,5e 0,08 35 365 =,4 άρα η τιµή της µετοχής που θα χρησιµοποιήσουµε στις εξισώσεις Black-choles είναι: = 44,4 = 4,76 Οµοίως αναπροσαρµόζουµε την τιµή της τυπικής απόκλισης σ = σ = * 44 4,76 7% = 7,78%

Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις Black-choles = 4,76, σ = 0,778, Χ = 4, r = 0,08 και Τ = 59/365 = 0,66, βρίσκουµε ότι η τιµή του δικαιώµατος αγοράς είναι c =,5959 Ευρώ. Χωρίς την αναπροσαρµογή της τυπικής απόκλισης η θεωρητική τιµή του δικαιώµατος θα ήταν c =,5453 Ευρώ. 9.8.. ικαιώµατα αγοράς Αµερικανικού τύπου σε µετοχές που διανέµουν µέρισµα Αποδείξαµε προηγουµένως ότι ποτέ δεν είναι βέλτιστη η άσκηση ενός δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου (American call opion) πριν από την λήξη του δικαιώµατος, εφόσον η µετοχή δεν διανέµει µέρισµα πριν από την λήξη του δικαιώµατος. Εάν όµως, διανέµει µέρισµα τότε είναι πιθανόν να είναι βέλτιστο να ασκηθεί το δικαίωµα αµέσως πριν την ηµεροµηνία αποκοπής και σε καµία άλλη ηµεροµηνία πριν από την λήξη. Ο λόγος για τον οποίο ισχύει αυτό είναι απλός. Το µέρισµα θα µειώσει τόσο την αξία και της µετοχής όσο και την αξία και του δικαιώµατος αγοράς. Εάν το µέρισµα είναι αρκετά µεγάλο και το δικαίωµα αγοράς είναι αρκετά εντός χρήµατος (in-he-money), τότε ίσως συµφέρει να ασκηθεί το δικαίωµα (χάνοντας την χρονική αξία του δικαιώµατος) ώστε να αποφύγει ο κάτοχός του τις δυσµενείς επιπτώσεις του µερίσµατος στην τιµή της µετοχής. Παρακάτω δίνουµε τις βασικές αναλυτικές προσεγγίσεις για την αποτίµηση αυτού του είδους δικαιωµάτων. 9.8... Το ψευδο-αµερικανικό µοντέλο Μπορεί να αποδειχθεί ότι η άσκηση ενός δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου µε θετική εσωτερική αξία (εντός χρήµατος), είναι βέλτιστη ακριβώς πριν την ηµεροµηνία αποκοπής του µερίσµατος, όταν ισχύει η παρακάτω σχέση: r( T ) D > X ( e ) (7.38) όπου Τ είναι χρόνος µέχρι την λήξη του δικαιώµατος και είναι ο χρόνος µέχρι την αποκοπή του µερίσµατος. Γενικά, η ανισότητα (7.38) ικανοποιείται όταν η αποκοπή του µερίσµατος είναι πολύ κοντά στην λήξη του δικαιώµατος (η διαφορά Τ - είναι µικρή) και το µέρισµα είναι αρκετά µεγάλο. Εφόσον ισχύει η ανισότητα (7.38) η αξία του δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου, πριν την αποκοπή του δικαιώµατος, µπορεί να υπολογιστεί µε την διαδικασία που περιγράψαµε στην προηγούµενη ενότητα για τα δικαιώµατα Ευρωπαϊκού τύπου.

3 9.8... Η προσέγγιση του Black Η προσέγγιση του Black συνίσταται αρχικά στον υπολογισµό της τιµής δύο δικαιωµάτων Ευρωπαϊκού τύπου µε λήξεις σε χρόνο Τ και αντίστοιχα. Έπειτα επιλέγεται η µεγαλύτερη από τις δύο τιµές η οποία και θεωρείται ότι είναι η τιµή του δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου, σε µετοχή που διανέµει µέρισµα σε χρόνο. Η προσέγγιση αυτή έχει αποδειχθεί ότι παρέχει ικανοποιητική ακρίβεια σε αρκετές περιπτώσεις. 9.8..3. Το µοντέλο των Roll-Geske-Whaley Περισσότερο περίπλοκη αλλά και περισσότερο ακριβής είναι η προσέγγιση των Roll-Geske- Whaley. Συγκεκριµένα, σύµφωνα µε αυτή την προσέγγιση η τιµή ενός δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου C, σε µετοχή που αποδίδει µέρισµα D σε χρόνο είναι: ( ) ( ) ( ) b N D e X M Xe M b N C rt r + = (7.39) όπου r De = * = T b a M M ;, = T b a M M ;, T T r X a + + = σ σ ln T a a = σ r X b + + = σ σ ln b b = σ De r = σ σ * Η συνάρτηση Ν(b) είναι η συνάρτηση αθροιστικής πιθανότητας της ανηγµένης κανονικής κατανοµής, ενώ η συνάρτηση M(a, b; ρ) είναι η συνάρτηση αθροιστικής πιθανότητας της ανηγ-

µένης κανονικής κατανοµής των µεταβλητών α και b από κοινού, µε συντελεστή γραµµικής συσχέτισης µεταξύ των δύο µεταβλητών ίσο µε ρ. Παράδειγµα 7.9 Έστω δικαίωµα αγοράς Αµερικανικού τύπου µε λήξη σε 8 ηµέρες σε µετοχή που θα διανέµει µέρισµα Ευρώ σε 35 ηµέρες. Η τρέχουσα τιµή της µετοχής είναι 40 Ευρώ, η τιµή άσκησης του δικαιώµατος είναι 40 Ευρώ, η τυπική απόκλιση της µετοχής είναι 5,5% ετησίως, το επιτόκιο δίχως κίνδυνο είναι % ετησίως, µε συνεχή ανατοκισµό. Καταρχήν θα υπολογίσουµε το δεξί µέρος της ανισότητας (7.38). Είναι λοιπόν: 835 0, r( T ) 365 X ( e ) = 40 e = 0, 633 Άρα επειδή D = Ευρώ > 0,633 Ευρώ το δικαίωµα είναι βέλτιστο να ασκηθεί ακριβώς πριν την ηµεροµηνία αποκοπής του µερίσµατος. Θα εφαρµόσουµε τώρα την προσέγγιση του Black. Θα υπολογίσουµε καταρχήν τις τιµές των δικαιωµάτων αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου µε λήξεις σε 35 και 8 ηµέρες. Η παρούσα αξία του µερίσµατος είναι: I = De r = e 0, 35 365 = 0,9886 άρα η αναπροσαρµοσµένη τιµή της µετοχής είναι: = 40 0,9886 39,0 Οµοίως αναπροσαρµόζουµε την τιµή της τυπικής απόκλισης : σ = * σ = 40 5,5% 39,0 6,5% Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις Black-choles = 39,0, σ = 0,65, Χ = 40, r = 0, και Τ = 35/365 = 0,0959, βρίσκουµε ότι η τιµή του δικαιώµατος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου µε λήξη σε 35 ηµέρες είναι c =,0 Ευρώ. Αντικαθιστώντας και πάλι στις εξισώσεις Black-choles 4

= 40, σ = 0,55, Χ = 40, r = 0, και Τ = 8/365 = 0,0959, βρίσκουµε ότι η τιµή του δικαιώµατος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου µε λήξη σε 8 ηµέρες είναι c =,48 Ευρώ. Άρα η τιµή του δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου είναι C =,48 Ευρώ. 9.8.3. Η προσέγγιση Barone-Adesi-Whaley για δικαιώµατα Αµερικανικού τύπου σε µετοχές που διανέµουν µέρισµα Έστω δικαίωµα Αµερικανικού τύπου σε µετοχή µε συνεχή µερισµατική απόδοση q. Έστω επίσης: r a = (7.40) σ ( r q) β = (7.4) σ ζ = β (7.4) γ = ζ ζ 4 + a h (7.43) γ = ζ + ζ 4 + a h (7.44) Τότε εάν συµβολίσουµε µε C(,) την τιµή ενός δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου την χρονική στιγµή όταν η τιµή της µετοχής είναι, και µε c(,) την τιµή του αντίστοιχου δικαιώµατος Ευρωπαϊκού τύπου, τότε ισχύει: C (, ) = c(, ) + A X C γ, <, C C (7.45) όπου C είναι η κρίσιµη τιµή της µετοχής πάνω από την οποία το δικαίωµα θα ασκηθεί, και µπορεί να εκτιµηθεί λύνοντας µε κάποιο επαναληπτικό αλγόριθµο την παρακάτω εξίσωση: C [ ] q( T ) C = X + c( C, ) + e N( d( C )) (7.46) γ 5

6 Για ένα δικαίωµα πώλησης Αµερικανικού τύπου έχουµε αντίστοιχα: ( ) ( ) > + = P P P X A p P,,,, γ (7.47) όπου p είναι η κρίσιµη τιµή της µετοχής κάτω από την οποία το δικαίωµα θα ασκηθεί, και µπορεί να εκτιµηθεί λύνοντας την παρακάτω εξίσωση: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ], γ P P T q C P d N e p X + = (7.48) Οι µεταβλητές Α, Α και d δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: ( ) ( ) ( ) [ ] P T q C d N e A = γ (7.49) ( ) ( ) ( ) [ ] C T q P d N e A = γ (7.50) ( ) T T q r X d + + = σ σ ln (7.5)