συναρτήσεις ο κεφάλαιο: διαφορικός λογισμός. Δίνεται η συνάρτηση f() = +, * Î. Να υπολογίσετε τις τιμές f(), f( ), f(α+), f( α) και f(+α), για τις κατάλληλες τιμές των μεταβλητών.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α. f() = β. f() = - + + γ. f() = δ. f() = ε. f() = - 4-4 ς. f() = ln+ ζ. f() = + η. f() = -- + -4 θ. f() = ι. f() = - + - ln- κ. f() = + - + ln- 4 -(-e ) λ. f() = e + e -. -. Για ποιες τιμές του α Î, η συνάρτηση f() = ορισμού το ; - 4 + (α + ) έχει πεδίο - 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, h, με f() = -, g() = f και () h() = [f()] +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να βρείτε τους τύπους και τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων g και h. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, με f() = + και g() =. Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g, f. g, και f / g. ln 6. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() =. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της + ln συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι f() + f( ) = 0, για κάθε ÎA. Β. Καντζούρας
7. Δίνεται η συνάρτηση f() = + 6, Î. α. Να υπολογίσετε τις τιμές f(), f( ), f(α+), f( α) και f(+α) f(α). β. Να βρείτε τα σημεία τομής της C f (γρ. παράσταση της συνάρτησης f), με τους άξονες και με την ευθεία η: y =. γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f, είναι πάνω από τον άξονα. β 8. Η ευθεία η: y = και η C f, με f() = α + -, έχουν κοινά σημεία με τετμημένες και. Να βρείτε τα α,β Î και τα κοινά σημεία των δύο γραμμών. β 9. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = α + -. Να βρείτε τα α,β Î, ώστε τα σημεία Α(,) και β(, ), να ανήκουν στη C f. όρια συνέχεια 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g. Αν lim h(), 0 lim f() =- και 0 lim g() =, να βρείτε το 0 όταν: α. h() = f() + g () + και β. h() = f () g() +.. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α. δ. ζ. lim lim lim + 4-7 + 4-6 + 5- + -6 ln + -ln - + -6 β. ε. lim - lim + 5+ + + - + - η. ì - - lim ( γ. ς. lim - lim + 4-7 + 4-6 + - -4-5 + - - + - ). + - ï., ¹ Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = í -. ï î α, = Να βρείτε την τιμή του α Î, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο ο =.. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f, ορισμένη στο [0, + ), για την οποία ισχύει ( 4).f() = + 0, για κάθε ¹. Να βρείτε την τιμή f(). γελ αξιού
ì + - ï 4. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() =, ¹. í + - ï î α, = Να βρείτε την τιμή του α Î, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο ο =. 5. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f, ορισμένη στο [0, + ), για την οποία ισχύει ( ).f() = + -, για κάθε ¹. Να βρείτε την τιμή f(). η έννοια της παραγώγου 6. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f, με f() = +, στα = και =. 7. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f, με f() =, στα = 0 και =. 8. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f, με f() = +, στα σημεία = 0, =, =, 4 = α. παράγωγος συνάρτηση 9. Να βρείτε το πεδίο ορισμού, την παράγωγο και τη δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων: α. f() = β. f() = 6 γ. f() = 5 4 δ. f() = 5 ε. f() = ς. f() = 4 ζ. f() = + 5 + e + 5 η. f() = ημ + συν + ln θ. f() = ημ + ln +e 5. 0. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο των συναρτήσεων: α. f() = ημ + εφ + β. f() = ημ + + ln γ. f() = + ln + e δ. f() =.ln + ημ.e ε. f() = ημ.ln +e 5 ς. f() = ημ.ln +.e ζ. f() = 5.ημ + e.ln η. f() = (+).ημ + +.ln θ. f() = e + + e - + ι. f() = κ. f() = λ. f() = - ημ. e e + - συν Β. Καντζούρας
. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: α. f() = 8 - ημ+ 5 β. f() = 6συν - 8( + ) γ. f() = ημ( - συν) δ. f() = 4 (ημ - συν) ε. f() = ζ. f() = + ημ + συν η. f() = + + συν. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: α. f() = ( - ) 5 β. f() = δ. f() = ημ ζ. f() = + ημ η. f() = ς. f() = ημ 5 ( - ) γ. f() = ε. f() = ημ4 ς. f() = e - θ. f() = θ. f() =( + )( - ). ημ e - e + e -. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: α. f() =.ln( + ) β. f() = ln(e + ) γ. f() =.ln( + e ) δ. f() = ημ( + ln.e ) ε. f() = ln(.e ) ς. f() = ln(e + ).ημ ζ. f() = ln η. f() = ln -.. 4. Η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύει g( ) = 7. Αν f() = ( ).g( 5), να βρείτε την τιμή f (). 5. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = κ f(). κ κ f() αe βe - = +, α, β, κ, Î. Να δείξετε ότι 6. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = e α, α Î. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε να ισχύει: α. f () + f () - f() = 0, β.f () -f () - 4f() = 0, για κάθε Î. 7. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = f() = - f (), για κάθε >. + -, >. Να αποδείξετε ότι, 8. Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ (α), με α σταθερό πραγματικό αριθμό και. Î Να βρείτε το α, ώστε να ισχύει f () = 4α f(). 4 γελ αξιού
εφαπτομένη 9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f, στο σημείο της Α( o, f( o )). α. f() = +, o = β. f () =, o = γ. f() = +, o = 0 δ. f () = e, o = ε. f() = e, o = ς. f() =.ln, o = ζ. f() = ln + e -, o = η. f() = ln(e + ), o = 0. 0. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = 4 + 6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της γρ. παράστασης της συνάρτησης f, α. που είναι παράλληλη προς τον άξονα β. που είναι παράλληλη προς την ευθεία η: y = γ. που είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της γωνίας Oy ˆ δ. που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = +. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f, που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5.. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα, η εφαπτομένη της C f, με f () = +, στο σημείο της Α(0, ).. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = + 6 + 9 +. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f, οι οποίες είναι παράλληλες προς τον άξονα. 4. Να βρείτε τα σημεία της C f, με είναι παράλληλες στον άξονα. f() = - 6 + 9 + 4 στα οποία οι εφαπτόμενες 5. Να αποδείξετε ότι ο άξονας εφάπτεται στη γρ. παράσταση της συνάρτησης f, ln με f() = --. 6. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = α + β, α,β Î. Να βρείτε τους αριθμούς α, β ώστε η ευθεία y = 4 4 να είναι εφαπτομένη της C f, στο σημείο της Α(, f()). 7. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f, με παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας ˆ Oy. f() =, που είναι + Β. Καντζούρας 5
8. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = α + β +, α,β Î. Να βρείτε τους αριθμούς α, β ώστε, η ευθεία y = 4 να είναι εφαπτομένη της C f, στο σημείο της Α(, f()). 9. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = α, α Î. Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη ε της γρ. παράστασης της f, στο σημείο της Α(, f()) να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε. 40. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της C f, με f() = α( - ), στο σημείο της O(0,f(0)), να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 60 ο. 4. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = α( + ), α Î. Να βρείτε: α. το α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C f, στο σημείο της Α(, f ()) να είναι 4. β. την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης. 4. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = α + β και η ευθεία ε: y =. Να υπολογίσετε τα α,β Î, ώστε η ευθεία ε, να είναι εφαπτομένη της C f, στο σημείο της με τετμημένη. β 4. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = α +. Να υπολογίσετε τα α,β Î, ώστε η εφαπτομένη της C f, στο σημείο της Α(, 5), να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5 ο. 44. Αν f() = [g()] g() + e και g() = 4 +, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f, στο σημείο της Α(0, f(0)). 45. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () =. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης, στο σημείο Α(α, f(α)) της C f, με α¹ 0. β. Να εξετάσετε αν η ευθεία ε:y = 4 + 6 εφάπτεται της της C f. γ. Να βρείτε την εφαπτομένη της C f, που διέρχεται από το σημείο Β(,0). μονοτονία, ακρότατα συνάρτησης 46. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων: α. f() = + β. f () = 9 + 5 γ. f () = 4 δ. f () = 4 + ε. f() = 5 ς. f () = + 6 6 ζ. f () = + + ln η. f() = θ. f() = e γελ αξιού
ι. f() = e κ. f () = e - μ. f() = ν. f() = - e ο. f() = ln(e ), Î π. f() = + + + σ. f() = ( - ) ln + -. 4 λ. f() =.ln ξ. f() = (ln ). ρ. f() = ( ) e. 47. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = κ + λ +, κ,λ Î. α. Να βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη θέση ο = τοπικό ακρότατο ίσο με. β. Τι είδους ακρότατο παρουσιάζει η συνάρτηση στη θέση ο = ; 48. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = κ + λ +, κ,λ Î. α. Να βρείτε τα κ, λ, ώστε η f να έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία με τετμημένες = και =. β. Να βρείτε τις τιμές και το είδος των ακροτάτων. 49. Σε ποιο σημείο της γρ. παράστασης της συνάρτησης f() = + - - η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 50. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = κ λ +, κ, λî. α. Να βρείτε τα κ, λ, ώστε η f να έχει τοπικό ελάχιστο στο ο = την τιμή. β. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f. 5. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = ( )e. α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f. β. Να αποδείξετε ότι + e ³ e, για κάθε Î. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln, >0. α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f. β. Να αποδείξετε ότι ln, για κάθε > 0. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, με f() = + ln και g() = + + ln. α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f. β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g, δεν έχει ακρότατα. Β. Καντζούρας 7
προβλήματα 54. α. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου μιας σφαίρας, ως προς την ακτίνα. β. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ενός κύκλου, ως προς την ακτίνα. 55. Ένας πληθυσμός μικροβίων Ρ, μεταβάλλεται ως συνάρτηση του χρόνου t (ώρες) σύμφωνα με τον τύπο Ρ(t) = 0 500( + t). Να βρείτε: α. την αύξηση του πληθυσμού των μικροβίων στις 9 πρώτες ώρες, β. το ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των μικροβίων, για t = 0 και t = 9 ώρες. 56. Ο πληθυσμός Π μιας περιοχής δίνεται, συναρτήσει του χρόνου t (σε έτη) από τον τύπο Π(t) = 0 e 0,04t (σε χιλιάδες). Να βρείτε: α. το ποσοστό μεταβολής του πληθυσμού στα 5 πρώτα έτη, β. το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού της περιοχής, ως προς το χρόνο, σε 5 έτη. 57. Το βάρος Β(gr) ενός θηλυκού ποντικιού ύστερα από t(w) δίνεται προσεγγιστικά από τη συνάρτηση B(t) = + (t + ), όπου t 8. Να βρείτε: 4 α. το αρχικό βάρος του ποντικιού και το βάρος του ποντικιού μετά από,, 8 w, β. το ρυθμό ανάπτυξης του ποντικιού μετά από t εβδομάδες και μετά από,, 8 w. 58. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ() τρίτου βαθμού, τέτοιο ώστε Ρ(0) =, Ρ () = 5, Ρ (0) = και Ρ () =. 59. Ένα παράθυρο έχει το διπλανό σχήμα και αποτελείται από ένα ορθογώνιο που περικλείεται στο άνω μέρος από ένα ημικύκλιο. Το παράθυρο έχει περίμετρο 0m. Να βρείτε τις διαστάσεις που πρέπει να έχει ώστε να μπαίνει από αυτό όσο γίνεται περισσότερο φως. y y 60. Το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι ίσο με 0. Να βρείτε: α. τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενό τους και β. την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα των τετραγώνων τους. 6. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων A(0,) και B(,0), ως προς όταν = 0. 6. Να βρείτε το είδος του ορθογωνίου, ώστε: α. με σταθερό εμβαδόν, να έχει ελάχιστη περίμετρο, β. με σταθερή περίμετρο, να έχει μέγιστο εμβαδόν; 8 γελ αξιού
6. Ένα υλικό σημείο εκτελεί κατακόρυφη ευθύγραμμη κίνηση και η θέση του τη χρονική στιγμή t (sec) είναι y(t) = 5 + 0t 5t (m). Να βρείτε: α. την ταχύτητα του σημείου σε συνάρτηση με το χρόνο t, β. την επιτάχυνση του σημείου σε συνάρτηση με το χρόνο t, γ. την αρχική θέση του σημείου, το μέγιστο ύψος που θα φτάσει και δ. τη χρονική στιγμή και την ταχύτητα με την οποία συναντά το έδαφος (y = 0). 64. Να βρείτε το σημείο της ευθείας με εξίσωση y= -, που είναι πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων. 65. Να βρείτε το σημείο M(, y) της καμπύλης C με εξίσωση y=, που είναι πλησιέστερα στο σημείο Α(9/, 0). Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης C στο σημείο Μ. 66. Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 60cm, θα κατασκευαστεί ένα δοχείο, ανοικτό από πάνω, αφού κοπούν από τις γωνίες του τέσσερα ίσα τετράγωνα και στη συνέχεια διπλωθούν προς τα επάνω οι πλευρές. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του δοχείου, ώστε να έχει μέγιστο όγκο. 67. Θέλουμε να περιφράξουμε μια περιοχή 00m σχήματος ορθογωνίου με μεταβλητές διαστάσεις και να τη χωρίσουμε στη μέση. Ο φράχτης για την περίφραξη κοστίζει /m και ο φράχτης για το χώρισμα /m. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε, να έχουμε το ελάχιστο κόστος για την περίφραξη μαζί με το χώρισμα. 68. Η τιμή πώλησης ενός μηχανικού εξαρτήματος είναι. Το κόστος παραγωγής του συναρτήσει του χρόνου κατασκευής (σε ώρες) προσεγγίζεται από τον τύπο: Κ(t) = t + 0,5t. Σε πόσο χρόνο πρέπει να κατασκευαστεί το εξάρτημα, ώστε το κέρδος από την πώλησή του, να είναι μέγιστο; Πόσο είναι αυτό; 69. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 00 m, μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι, α. να εκφράσετε το εμβαδόν της περιοχής ως συνάρτηση του. β. να βρείτε την τιμή του, ώστε το εμβαδόν της περιοχής να είναι μέγιστο. 70. Η τιμή του εισιτηρίου των αστικών λεωφορείων είναι σταθερή τα τελευταία 8 χρόνια στο 0,5. Το κόστος μεταφοράς ανά επιβάτη στη διάρκεια των 8 χρόνων Β. Καντζούρας 9
προσεγγίζεται από τον τύπο: Κ (t) = 0,5t + 5t - (λεπτά), όπου tî(0, 8] ο χρόνος σε έτη. Ποια χρονιά πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος και πόσο είναι αυτό; 7. Οι πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( µ A = 90 ) μεταβάλλονται έτσι ώστε το εμβαδό του να παραμένει σταθερό και ίσο με 8 m. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου, ώστε η υποτείνουσα του να είναι ελάχιστη. 7. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ΑΒ = ΑΓ = α και ˆ BAG = (rad). Να βρείτε το είδος του τριγώνου με το μέγιστο εμβαδόν. γενικές ασκήσεις 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, με f() = και g() = ln + ln. + e α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της κάθε συνάρτησης. β. Να βρείτε την παράγωγο της κάθε συνάρτησης. γ. Να αποδείξετε ότι f() + f (- ) = και f () = f (- ), για κάθε Î. δ. Να βρείτε την τιμή f(0). ε. Να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης της f, στο σημείο της Α(0,). ς. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων f και g. ζ. Να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά τους αριθμούς f(g()), f(g()), f(g(6)). ì - - α ï 74., ¹ Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = í -. ï î β, = α. Να βρείτε τους αριθμούς α, β, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο ο = και η C f να διέρχεται από το σημείο Α(,). β. Για τις τιμές των α, β που βρήκατε, να βρείτε την παραγωγό της f. - α + 4 75. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () =, Î. e α. Να βρείτε τον αριθμό α, ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Α(, 9e). β. Για την τιμή του α, που βρήκατε, να βρείτε την παραγωγό της f. γ. Να αποδείξετε ότι ( 4)f() + ( )f () = 0, για κάθε Î. f() δ. Να βρείτε το όριο lim. f () 0 γελ αξιού
76. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = e. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης, στο σημείο Α(α, f(α)) της C f. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f, που διέρχεται από το Ο(0,0). γ. Από ένα σημείο Μ της C f, που ανήκει στο ο τεταρτημόριο, φέρνουμε παράλληλες προς τους άξονες. Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται να είναι μέγιστο. 77. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, με f() = α ln και g() = ln, >0. α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης g. β. Αν η εφαπτομένη της C f, στο σημείο της Α(,α), διέρχεται από το Ο(0,0), να βρείτε το α. γ. Για την τιμή του α που βρήκατε στο β ερώτημα, να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f. 78. Δίνονται η συνάρτηση f και η ευθεία ε: y =. Για τη συνάρτηση f ισχύει f(+) = +, για κάθε Î. α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. f() β. Να βρείτε το όριο lim 0. γ. Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f. δ. Να εξετάσετε, αν η ευθεία ε εφάπτεται στη C f. θέματα εξετάσεων 79. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = α + β + 9,. Î Αν το σημείο Α(,0) ανήκει στη C f και η εφαπτομένη στο Α έχει συντελεστή διεύθυνσης, να βρείτε τα α, β Î. 80. Αν η συνάρτηση f() = α + β έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία = -5 και =, να βρείτε τα α, β Î. Στη συνέχεια να βρείτε το είδος του κάθε 9 ακροτάτου. 8. Έστω f() = + α + β, ¹ 0 συνάρτηση η οποία μηδενίζεται στο = και έχει τοπικό ακρότατο στο =. Να βρείτε τα α, β Î, και το είδος του ακροτάτου. 8. Αν f() = [g()] g() + e και g() = 4 +, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f, στο σημείο της Α(0, f(0)). Β. Καντζούρας
8. α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f, με f() = ln(+) +. β. Να αποδείξετε ότι ln(+) ³, για κάθε ³0. γ. Αν g() είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση και για κάθε ³0 ισχύει: g 5 () + g () + g() = (+)ln(+) 4 5 + 6, να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. 84. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f, με f() = αποδείξετε ότι f() + ( +)f () = e, για κάθε Î. e, + και να 85. Μια επιχείρηση, σε t έτη έχει έσοδα E(t) = 000(t )(t+α), όπου t³0 και α Î. Το κόστος λειτουργίας της επιχείρησης είναι K(t) = 000(t+8+α). α. Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους Ρ(t), αν η επιχείρηση είχε 6000 ζημιά το πρώτο έτος λειτουργίας. β. Από πότε η επιχείρηση παρουσιάζει κέρδη; γ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους στο τέλος του 4 ου έτους; 86. Δίνεται η συνάρτηση f() = συν + ημ, Î. α. Να αποδείξετε ότι f() + f () = 0, για κάθε Î. 8μ β. Να βρείτε την εξίσωση της C f, στο σημείο της Α(0,). 8μ γ. Να βρείτε την τιμή του λ Î, για την οποία ισχύει η σχέση: π λf æ ö ç è ø æπ ö f ç è ø =. 9μ ο θ 5/00 87. Δίνεται η συνάρτηση f() = + α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. 4μ β. Να υπολογίσετε το όριο lim f(). 4μ γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. 7μ δ. Να βρείτε τις εφαπτόμενες της C f, είναι παράλληλες στην ευθεία η: y = + 5. 0μ ο θ 5/00 γελ αξιού
88. Δίνεται η συνάρτηση f, με f () = α( ), α Î. α. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε εφαπτομένη της C f, στο σημείο της Α(0, f (0)) να σχηματίζει γωνία 45 ο με τον άξονα. 0μ Για α =, να βρείτε: β. την εξίσωση της εφαπτομένης της C f, στο σημείο της Α(, f ()) και 5μ γ. τα ακρότατα της συνάρτησης. 0μ ο θ 6/00 89. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = - α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. 5μ β. Να αποδείξετε ότι f () < 0, για κάθε του πεδίου ορισμού της. 7μ γ. Να υπολογίσετε το lim éë( + ) f() ùû. 6μ - δ. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f, στο σημείο της Α(0, f(0)), με τον άξονα. 7μ ο θ 5/00 90. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = -. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. 5μ β. Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f, στο o =, είναι. 4 f() - γ. Αν g() = -, για ¹, να υπολογίσετε το lim g(). - 4+ 9. Δίνεται η συνάρτηση f, µε f()=. - α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. 0μ β. Να υπολογίσετε το lim f(). 5μ 0μ 0μ ο θ 6/00 ο θ 5/004 + 9. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() =. e α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης. 9μ β. Να αποδείξετε ότι f - () + f() = e. 8μ γ. Να βρείτε την εξίσωση της η εφαπτομένης της C f, στο σημείο της Α(0, f(0)). 8μ ο θ 6/004 Β. Καντζούρας
9. Δίνεται η συνάρτηση f() = αln β με α,βî. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. μ β. Να βρείτε την παράγωγο της f για κάθε, του πεδίου ορισμού της. 5μ γ. Να βρείτε τα α, β, ώστε η εφαπτομένη της C f, στο σημείο της Α(,), να είναι η ευθεία η: y =. 0μ δ. Να βρείτε το ( ) lim f (). 7μ ο θ 6/005 94. Δίνεται η συνάρτηση f() = e (α +β+9) με α,βî. Αν η εφαπτομένη της C f, στο σημείο της Α(,e ) είναι η ευθεία η: y = e +e, τότε: α. Να αποδείξετε ότι α = και β = 6. μ β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. μ ο θ 6/006 95. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = e +, όπου Î. α. Να αποδείξετε ότι f () = f() + e, για κάθε Î. 0μ β. Να βρείτε το όριο 0 f() -e lim. - 96. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = 5μ - +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. 5μ β. Να βρείτε το όριο lim f(). 8μ - ο θ 5/007 γ. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης. μ ο θ 6/007-97. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() =, όπου Î. e α. Να υπολογίσετε το όριο e f() lim - 7μ β. Να αποδείξετε ότι e.f () =. 9μ γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. 9μ ο θ 5/008 4 γελ αξιού
ο κεφάλαιο: στατιστική πίνακες κατανομή συχνοτήτων γραφικές παραστάσεις 98. Στον πίνακα, καταγράφονται οι ανεξεταστέοι μαθητές της Α Λυκείου: Μαθήματα i ν i f i % α i Αρχαία Ελληνικά 6 Νέα Ελληνικά 5 Αγγλικά 8 Μαθηματικά 8 Φυσική 0 5 Χημεία σύνολο Να συμπληρώσετε τον πίνακα και να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα και το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. 99. Εξετάστηκε ένα δείγμα 50 οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών τους και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας: Αριθμός Αριθμός ν i παιδιών i οικογενειών f i % Ν i F i % ν i i ν i i 0 5 0 4 8 4 7 5 6 σύνολο 50 α. Πόσες οικογένειες έχουν: ι. τουλάχιστον παιδί, ιι. πάνω από παιδιά, ιιι. από έως και 5 παιδιά, ιν. το πολύ 5 παιδιά, ν. ακριβώς 5 παιδιά. β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα και να κατασκευάσετε το διάγραμμα συχνοτήτων. 00. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνονται οι εξαγωγές της χώρας μας, ανάλογα με το μέσο μεταφοράς. Η γωνία του κυκλικού τομέα για θαλάσσιες μεταφορές είναι 80. Το 0% της αξίας των εξαγωγών έγινε σιδηροδρομικώς. Οι μεταφορές που έγιναν οδικώς ήταν τετραπλάσιες σε αξία από αυτές που έγιναν αεροπορικώς. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Β. Καντζούρας 5
0. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: i ν i f i f i % N i F i F i % ν i i ν i i 8 0 4 0, 4 5 0 σύνολο 0. Το βάρος ενός ζώου κατά τους πρώτους 0 μήνες της ζωής του φαίνεται στον πίνακα. Να κατασκευάσετε το χρονόγραμμα της εξέλιξης του βάρους του. Μήνες 0 4 5 6 7 8 9 0 Βάρος (Kg) 4,5 5, 6 7 9 0,5 5 9 0. Η βαθμολογία 50 φοιτητών στο μάθημα της Στατιστικής είναι: 4 5 8 9 7 6 8 7 0 8 7 6 5 9 8 5 6 6 6 5 6 4 9 8 7 7 6 5 8 4 5 6 7 9 0 9 8 7 6 5 α. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων ( ν i N i f i % F i % ). β. Πόσοι φοιτητές πήραν κάτω από τη βάση (<5); γ. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. 04. Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα, που δίνει την κατανομή των ημερών απουσίας από την εργασία τους λόγω ασθένειας 50 εργατών, να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των εργατών που απουσίασαν: αριθμός ημερών 0 4 5 6 7 8 9 πλήθος εργατών 8 5 4 5 8 0 5 α. τουλάχιστον ημέρα β. πάνω από 5 ημέρες γ. από έως 5 ημέρες δ. το πολύ 5 ημέρες ε. ακριβώς 5 ημέρες. 05. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η βαθμολογία των 450 μαθητών ενός Γυμνασίου σε τέσσερις κατηγορίες Άριστα, Λίαν Καλώς, Καλώς και Σχεδόν Καλώς. Το 0% των μαθητών έχουν επίδοση Λίαν Καλώς. Η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση Καλώς είναι 44 0. Οι μαθητές με βαθμό Σχεδόν Καλώς είναι διπλάσιοι των μαθητών με Άριστα. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. 6 γελ αξιού
06. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: i ν i f i f i % N i F i F i % ν i i ν i i 4 0,0 6 0,60 4 5 5 6 σύνολο 07. Τα δημοφιλέστερα μουσικά συγκροτήματα 0 αγοριών είναι Metallica, Iron Maiden, Άλλο, Scorpions, Deep Purple, Άλλο, Άλλο, Deep Purple, Metallica, Metallica, Deep Purple, Metallica, Iron Maiden, Iron Maiden, Scorpions, Scorpions, Scorpions, Metallica, Deep Purple, Scorpions. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και το κυκλικό διάγραμμα. 08. Να συμπληρώσετε τους πίνακες: i ν i f i % N i F i % i ν i f i % N i F i % 4 0 0 0 0 5 40 7 6 8 60 σύνολο σύνολο 09. Να βρείτε τις τιμές των α, β και να συμπληρώσετε τους πίνακες: i ν i f i % N i F i % i ν i f i % N i F i % 4 α α 0,5β 5 5 β 40 5 β 85 8 β 90 7 9 5α 8 0,5α 5 σύνολο σύνολο 0. Έστω,,, 4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ. α. Οι σχετικές συχνότητες των τιμών,, 4 είναι f i =, i =,, 4. Να i- υπολογίσετε την τιμή f. β. Να υπολογίσετε τις σχετικές συχνότητες, αν ισχύει f = f = f = 4f 4. Β. Καντζούρας 7
. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: i ν i f i f i % N i F i F i % ν i i ν i i 0 0 0,5 0,60 5 0 σύνολο. α. Να συμπληρώσετε το παρακάτω ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα. 50 40 0 0 0 0 α β γ δ β. Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος, αν ανήκει στο διάστημα [50, 70].. Η τιμή ενός λίτρου πετρελαίου το μήνα Μάρτιο φαίνεται στον πίνακα. Να κατασκευάσετε το αντίστοιχο χρονόγραμμα. έτος 005 006 007 008 009 00 0 τιμή /lt 0,46 0,6 0,54 0,78 0,4 0,6 0,8 ομαδοποίηση παρατηρήσεων 4. Οι υπάλληλοι μιας εταιρείας έχουν τις παρακάτω ηλικίες: 8 6 4 7 50 5 9 4 9 5 8 6 4 7 9 9 47 5 40 4 7 9 7 9 7 44 6 4 6 6 4 49 56 6 8 57 0 8 0 4 8 4 α. Να ομαδοποιήσετε τις ηλικίες αυτές σε 6 κλάσεις ίσου πλάτους. β. Να κατασκευάσετε το πολύγωνα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. γ. Να εκτιμήσετε (με τρόπους), πόσοι υπάλληλοι είναι: ι. Μεγαλύτεροι των 40 χρόνων. ιι. Μικρότεροι των 4 χρόνων. ιιι. Μεγαλύτεροι των 4 χρόνων. ιν. Μικρότεροι των 6 χρόνων. δ. Να απαντήσετε με ακρίβεια στα προηγούμενα ερωτήματα. Τι παρατηρείτε; 8 γελ αξιού
5. Σε ένα διαγώνισμα, οι μαθητές ενός τμήματος έγραψαν τους παρακάτω βαθμούς βαθμός κέντρο κλάσης i ν i f i % α i Ν i F i % ν i i ν i i [, 5) [5, 9) 4 [9, ) 5 [, 7) 6 [7, ) σύνολο 0 α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. γ. Αν οι βαθμοί παίρνουν και δεκαδικές τιμές, να εκτιμήσετε πόσοι μαθητές έγραψαν κάτω από τη βάση. Τι παρατηρείτε; 6. Ένας μαθητής έκανε το διπλανό πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων για το ύψος των αγοριών της τάξης του και ο καθηγητής το διέγραψε σαν λάθος. Γιατί; 0 50 7. α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: 70 κλάσεις κέντρο κλάσης i ν i f i % Ν i F i % ν i i [4, 6) 8 [6, 8) [8, 0) 6 [0, ) 8 [, 4) 9 [4, 6) [6, 8) 5 σύνολο β. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. γ. Να εκτιμήσετε το πλήθος των παρατηρήσεων που ανήκουν στο διάστημα [9,). 8. Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν 50 μαθητές να λύσουν ένα πρόβλημα δίνονται παρακάτω: 0 6 90 Β. Καντζούρας 9
,4 4,4,,4,,,6 9,7,5 8,7 6,7,4,0,8,8,4,4 4,4 0,4,8,,6,,9,6,8, 8,7,,0,9 7,5,9,9 6,4,9 6,9,6,8,,8 7,8 5,6,5 5,9,9,7 9,0 4, 7,0 α. Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 6 κλάσεις [, ), [, 5), β. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. γ. Να εκτιμήσετε το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν λιγότερο από 6 λεπτά, για να λύσουν το πρόβλημα. 9. Τα παρακάτω δείγματα είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις ίσου πλάτους, να συμπληρώσετε τους πίνακες: κλάσεις κέντρο κλάσης i κλάσεις κέντρο κλάσης i κλάσεις κέντρο κλάσης i [, ) 6 [5, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [,) [, ) [, ) 8 [, ) [7, ) 0. Οι μαθητές ενός τμήματος έγραψαν διαγώνισμα στα Μαθηματικά. Από το διπλανό πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, να εκτιμήσετε: α. το ποσοστό των μαθητών που έγραψαν κάτω από τη βάση β. το ποσοστό των μαθητών που έγραψαν άριστα [8, 0] γ. το βαθμό, κάτω από τον οποίο πήρε το 70% των μαθητών. F i 00 80 60 40 0 0 % 4 8 6 0 βαθμολογία. Το παρακάτω πολύγωνο συχνοτήτων παρουσιάζει τους χρόνους, που χρειάστηκαν οι μαθητές ενός τμήματος, να λύσουν μια άσκηση. α. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων ( ν i N i f i % F i % ). β. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. γ. Να εκτιμήσετε το ποσοστό των μαθητών, που χρειάστηκαν λιγότερο από 7 λεπτά, για να λύσουν την άσκηση. 0 γελ αξιού
ν i 8 5 0 4 6 8 χρόνος 0 4 μέτρα θέσης και διασποράς. α. Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα, αν η μέση τιμή,6. β. Να υπολογίσετε τη διακύμανση και το συντελεστή μεταβλητότητας. i ν i ν i i ν i i σύνολο 0. Οι αποστάσεις (σε km) των 0 δημοτικών διαμερισμάτων ενός νομού από το πλησιέστερο νοσοκομείο είναι: 5, 6, 0, 4, 8, 8, 7, 5,, 4, 0, 6, 4, 7,, 0, 9, 9, 5, 8. α. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων ( ν i N i f i % F i % ). β. Πόσες κοινότητες απέχουν από το νοσοκομείο περισσότερο από 0 km; γ. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή CV. 4. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή CV στις ασκήσεις 99, 0, 0, 06,, 5. 5. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο στις ασκήσεις 7, 8. 6. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των ηλικιών στη άσκηση 4, με δύο τρόπους: με ομαδοποίηση και χωρίς να κάνετε ομαδοποίηση. Τι παρατηρείτε; 7. Ένας επενδυτής επένδυσε το ίδιο ποσό χρημάτων σε 8 διαφορετικές μετοχές στο χρηματιστήριο. Κατά τη διάρκεια του περασμένου έτους οι μετοχές είχαν τις παρακάτω εκατοστιαίες μεταβολές: 5, 6, 0, 0, 7, 4, 0, 4. Να βρείτε τη μέση εκατοστιαία απόδοση της επένδυσης. Β. Καντζούρας
8. Έχουμε ένα δείγμα 0 παρατηρήσεων, όπου κάθε παρατήρηση μπορεί να είναι, ή. Είναι δυνατό η μέση τιμή να είναι: α. β. 4 γ.,8; 9. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η μέση τιμή, των παρατηρήσεων α, α 5, α +, α, α, να είναι. 0. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές =, = 0, =, 4 = και οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες είναι f = α%, f = 0%, f = β%, f 4 =40%. Αν η μέση τιμή είναι 0,8, να βρείτε τους αριθμούς α, β.. Η μέση τιμή 0 παρατηρήσεων βρέθηκε εσφαλμένα 60. 0 παρατηρήσεις είχαν υπερεκτιμηθεί, κατά 5 μονάδες η καθεμιά και 9 παρατηρήσεις είχαν υποεκτιμηθεί, κατά 0 μονάδες η καθεμιά. Να βρείτε τη σωστή μέση τιμή.. Ο μέσος όρος των βαθμών ενός μαθητή στο ο τετράμηνο, σε 0 μαθήματα, ήταν 5. Σε πόσα μαθήματα πρέπει, ο μαθητής να αυξήσει κατά μονάδα το βαθμό του, ώστε ο μέσος όρος, στο ο τετράμηνο να είναι 6. Η επίδοση ενός μαθητή σε πέντε μαθήματα είναι, 0, 6, 8, 4. α. Να βρείτε τη μέση επίδοση. β. Αν τα μαθήματα είχαν συντελεστές στάθμισης,,, και, ποια θα ήταν η μέση επίδοση; Σε ποια μαθήματα έπρεπε να δώσει ιδιαίτερη προσοχή ο μαθητής; 4. Η μέση ηλικία 8 αγοριών και κοριτσιών μιας τάξης είναι 5,4 έτη. Η μέση ηλικία των αγοριών είναι 5,8 έτη. Να βρείτε τη μέση ηλικία των κοριτσιών. 5. Ένα εργοστάσιο απασχολεί 5 υπαλλήλους στο Τμήμα Α με μέσο (μηνιαίο) μισθό 78, 6 υπαλλήλους στο Τμήμα Β με μέσο μισθό 680 και 4 υπαλλήλους στο Τμήμα Γ με μέσο μισθό 070. Ποιος είναι ο μέσος μισθός όλων των υπαλλήλων; 6. Η μέση τιμή και η διάμεσος πέντε αριθμών είναι 6. Οι τρεις από αυτούς είναι 5, 8, 9. Να βρείτε τους άλλους δύο και να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής. 7. Η διάμεσος και το εύρος των παρατηρήσεων 6, β,, γ, 9, α, 7 με α < β < γ, είναι και 8 αντίστοιχα. Να βρείτε τους αριθμούς α, β, γ. 8. Η διάμεσος και η μέση τιμή των παρατηρήσεων, β,, 4, 8, α, 6 με α < β, είναι. Το εύρος είναι 8. Να βρείτε τους αριθμούς α, β, γ. γελ αξιού
9. Η μέση τιμή επτά αριθμών είναι 5. Οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς είναι, 4, 5, 6,. Να βρείτε τους άλλους δύο, αν ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου και να υπολογίσετε τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής. 40. Τα ύψη 8 αθλητών μιας ομάδας καλαθοσφαίρισης είναι (σε cm): 7, 75, 8, 77, 90, 9, 89, 95. Να βρείτε: α. Το μέσο ύψος των αθλητών, τη διάμεσο και το εύρος (R) των υψών. β. Πώς μεταβάλλονται οι προηγούμενες απαντήσεις, αν: Περίπτωση : Φύγει ο αθλητής με το ύψος 7. Περίπτωση : Έρθει ακόμα ένας αθλητής με ύψος 97. Περίπτωση : Φύγει ο αθλητής με το ύψος 95 και έρθει ένας με ύψος 98. 4. Ο αριθμός των μαθητών των 0 τμημάτων ενός Λυκείου είναι: 5, 6, 4, 6, 4,,, 4,,. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής του αριθμού μαθητών ανά τμήμα. 4. Θεωρούμε τα δείγματα Α και Β, με παρατηρήσεις: Α: t, t, t,, 5 και Β: t, t, t,, 5. Να αποδείξετε ότι s Α s Β = 0,8. 4. Οι βαθμοί ενός μαθητή στα τέσσερα τεστ ενός μαθήματος ήταν 8, 67, 4, 7, με συντελεστές βαρύτητας,, και, αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέση επίδοση. 44. Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής, με τις αντίστοιχες συχνότητές τους. Να βρείτε την πέμπτη συχνότητα, αν: α. η μέση τιμή είναι 4,4 β. η διάμεσος είναι το 4,5 γ. η διάμεσος είναι το 4 δ. η διάμεσος είναι το 5. 45. Ο διπλανός πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 40 μαθητών σε διάφορα μουσεία της χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής. επισκέψεις i ν i f i % Ν i F i % ν i i i ( i ) ν i ( i ) [0, ) 0 [, 4) [4, 6) [6, 8) 5 [8, 0) σύνολο 40 i 4 5 6 7 ν i ν 5 Β. Καντζούρας
46. Η βαθμολογία 0 μαθητών σε ένα διαγώνισμα ήταν: 7,, 0,, 5,,,, 4, 4. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, το εύρος, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής. 47. Οι μαθητές του Γ ξόδεψαν σε μια μέρα κατά μέσο όρο αγοράζοντας διάφορα τρόφιμα από το κυλικείο του σχολείου. Αν ο συντελεστής μεταβολής είναι 0%, να βρείτε την τυπική απόκλιση. Αν ισχύει å i = 04, πόσοι είναι οι μαθητές του Γ ; 48. Η βαθμολογία 50 μαθητών στην Ιστορία κυμαίνεται από 0 μέχρι 0. Πέντε μαθητές έχουν βαθμό κάτω από, δεκαπέντε κάτω από 4, πέντε μεγαλύτερο ή ίσο του 8 και δεκαπέντε μεγαλύτερο ή ίσο του 6. α. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων ( ν i N i f i % F i % ). β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. 49. Η μέση τιμή και η διακύμανση των 5 τιμών ενός δείγματος είναι = 4 και s = 0, αντίστοιχα. Αν, για τις τέσσερις τιμές ισχύει την πέμπτη τιμή. 4 å i= i ( - ) = 4, να βρείτε 50. Το παρακάτω πολύγωνο συχνοτήτων παρουσιάζει τους βαθμούς των φοιτητών μιας σχολής στο μάθημα της Στατιστικής. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων ( ν i N i f i % F i % ) και να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής. φοιτητές 50 0 0 0 4 6 8 0 βαθμός 4 γελ αξιού
κανονική κατανομή Y= αx+β (εφαρμογή σελ 99) 5. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων t, t,, t ν μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν είναι και η τυπική απόκλιση s. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων: α. t + λ, t + λ,, t ν + λ β. t λ, t λ,, t ν λ γ. λt, λt,, λt ν δ. t λ, t λ,, t ν λ για λ ¹ 0 ε. λt + κ, λt + κ,, λt ν + κ Στις προηγούμενες περιπτώσεις πως μεταβάλλονται η διάμεσος και ο συντελεστής μεταβολής; 5. Ένας μαθητής αγόρασε 0 βιβλία που κόστιζαν χωρίς ΦΠΑ 5, 9, 6, 8,, 6, 9, 5, 9,, αντίστοιχα. α. Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής του κόστους των βιβλίων. β. Πώς μεταβάλλονται οι προηγούμενες τιμές, αν προσθέσουμε και το ΦΠΑ, που είναι %; γ. Αν ο μαθητής πληρώσει επί πλέον (με ΦΠΑ) για κάθε βιβλίο που θα ντύσει, πώς διαμορφώνονται οι απαντήσεις του β ερωτήματος; 5. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το CV για τα παρακάτω δείγματα δεδομένων και να σχολιάσετε τα αποτελέσματα: α. 6 β. 4 γ. 6 δ. 4. 54. Ο μέσος χρόνος που χρειάζονται οι μαθητές ενός σχολείου να πάνε το πρωί από το σπίτι τους μέχρι το σχολείο είναι 0 λεπτά με τυπική απόκλιση λεπτά. Αν η κατανομή είναι περίπου κανονική, να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που για να πάνε στο σχολείο τους χρειάζονται: α. κάτω από 8 λεπτά β. το πολύ 0 λεπτά γ. πάνω από 4 λεπτά δ. από 6 έως λεπτά 55. Να δείξετε ότι, αν από όλες τις τιμές t, t,, t ν ενός δείγματος αφαιρέσουμε τη μέση τιμή τους και διαιρέσουμε με την τυπική τους απόκλιση, τότε οι νέες τιμές που προκύπτουν έχουν μέση τιμή 0 και διασπορά. 56. Έστω η ευθεία ε: y = + και τα σημεία της Α, Α,, Α 0 με τετμημένες,,, 0, που έχουν μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση. Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των τεταγμένων των σημείων. Β. Καντζούρας 5
57. Η βαθμολογία στα 0 μαθήματα ενός μαθητή είναι:, 8, 6, 7, 5,,,,, 4. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το CV. β. Αν οι βαθμοί του μαθητή αυξηθούν κατά μονάδα, πώς μεταβάλλονται οι προηγούμενες τιμές; Ποιο δείγμα είναι πιο ομογενές; 58. Η μέση τιμή των ηλικιών των μαθητών μιας τάξης είναι 4 έτη, με τυπική απόκλιση μήνες. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση σε χρόνια. 59. Η μέση τιμή των ηλικιών μιας ομάδας ατόμων είναι 8 έτη, με τυπική απόκλιση έτη. Σε πόσα έτη το δείγμα θα γίνει ομοιογενές. 60. Η μέση τιμή των μέγιστων θερμοκρασιών, σε μια πόλη κατά το μήνα Μάιο, ήταν 0 ο C, με τυπική απόκλιση ο C. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση σε βαθμούς Fahrenheit. ( F =,8C +) 6. Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής ακολουθούν κανονική κατανομή. Αν το,5% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες του 0 και το 84% μεγαλύτερες του 5, να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων από 5 έως 5. 6. Το 5,85% των παρατηρήσεων μιας κανονικής κατανομής βρίσκεται στο διάστημα (4, 8) με άκρα του διαστήματος χαρακτηριστικές τιμές της κανονικής κατανομής ± s, ± s, ± s,. Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής. 6. Η βαθμολογία 00 μαθητών σε ένα διαγώνισμα είναι περίπου κανονική. 00 μαθητές έχουν το πολύ και 5 μαθητές τουλάχιστον 6. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές και να βρείτε το πλήθος των μαθητών που έγραψαν κάτω από τη βάση. γενικές ασκήσεις 64. Ένα δείγμα αποτελείται από δύο ομάδες Α και Β. Η ομάδα Α αποτελείται από 8 παρατηρήσεις, με μέση τιμή και τυπική απόκλιση. Η ομάδα Β αποτελείται από παρατηρήσεις, με μέση τιμή και τυπική απόκλιση. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος. 65. Ο διπλανός πίνακας δίνει τη διάρκεια ζωής δύο ειδών τηλεόρασης Α και Β σε χιλιάδες ώρες. Μια τηλεόραση Α στοιχίζει 0. α. Ποια τηλεόραση θα προτιμήσετε, αν η μία τηλεόραση Β 6 Α 4 0 6 Β 6 γελ αξιού
στοιχίζει: ι. 80 ιι. 90 ιιι. 00 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β. Ποιο είδος τηλεόρασης παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια, ως προς τη διάρκεια λειτουργίας της; 66. α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: κλάσεις i ν i N i f i % F i % ν i i ν i i [0, 4) 4 [4, 8) 6 [8, ) 7 [, 6) [6, 0) 6 σύνολο β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και το CV. γ. Να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων που ανήκει στο διάστημα (6, 0). 67. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα ύψη των πωλήσεων σε χιλιάδες, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. α. Πόσοι είναι οι πωλητές; β. Πόσοι πωλητές έκαναν πωλήσεις πάνω από 5000 ; γ. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και να υπολογίσετε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τη διάμεσο. πλήθος πολιτών 4 0 8 5 0 4 6 8 0 πωλήσεις σε χιλιάδες 4 68. Σε μια εταιρεία συνολικά εργάζονται 00 άτομα. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας τους δίνεται στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα. α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων. [0, 5) β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη 7% διάμεσο και την τυπική απόκλιση. γ. Πόσοι συνολικά υπάλληλοι θα συνταξιοδοτηθούν (συμπληρώνοντας 5-ετία) μέσα στα επόμενα 5 χρόνια, 0 χρόνια; [5, 0) 7% [5, 0) 7% [0, 5) 4% [0, 5) 8% [5, 0) 0% [0, 5) 7% Β. Καντζούρας 7
69. Οι τιμές μιας μεταβλητής X είναι: 6, 4,, 8, 0 + α, όπου αî. Ο συντελεστής μεταβολής των παρατηρήσεων αυτών είναι 0% και η τυπική απόκλισή είναι 4. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων και τον αριθμό α. β. Για την τιμή του α που υπολογίσατε, να βρείτε τη διάμεσο. γ. Το δείγμα είναι ομοιογενές; 70. Οι χρόνοι καθυστερήσεων (σε λεπτά) που παρατηρήθηκαν σε 5 δρομολόγια του Ο.Σ.Ε. δίνονται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων: ν i 0 9 8 7 6 5 4 0 4 6 8 0 t α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χρόνος καθυστέρησης i ν i N i f i % F i % ν i i [, 4 ) [ 4, 6 ) [ 6, 8 ) [ 8, 0 ) [ 0, ) σύνολο β. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των χρόνων καθυστερήσεων. γ. Πόσα δρομολόγια είχαν καθυστέρηση τουλάχιστον 7 λεπτά; 8 γελ αξιού
θέματα εξετάσεων 7. α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: i ν i f i f i % Ν i i ν i i i ν i 0 0 0 5 4 9 σύνολο 50 00 6μ β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και τη διακύμανση. 9μ. ο θ 5/000 7. Στα σχολεία ενός δήμου υπηρετούν 00 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας τους δίνεται στον πίνακα: α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια υπηρεσίας; 5μ Με την προϋπόθεση ότι, κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συμπληρώσει 5 χρόνια: β. πόσοι εκπαιδευτικοί, θα συνταξιοδοτηθούν, μέσα στα επόμενα,5 χρόνια; 0μ γ. πόσοι εκπαιδευτικοί, πρέπει να προσληφθούν στα [0 5) επόμενα 5 χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών, να παραμείνει ο ίδιος; 0μ 4 ο θ 5/000 7. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 400 εργαζομένων μιας επιχείρησης σε 4 κατηγορίες: Α: απόφοιτοι γυμνασίου Β: απόφοιτοι Λυκείου Γ: πτυχιούχοι ανώτατης εκπαίδευσης Δ: κάτοχοι Μεταπτυχιακού Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μια μόνο κατηγορία. Στην Α κατηγορία ανήκει το 5% των εργαζομένων. Η γωνία του κυκλικού τομέα, που αντιστοιχεί στη Δ κατηγορία, είναι 8 ο. Οι εργαζόμενοι της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας. Να υπολογίσετε πόσοι εργαζόμενοι ανήκουν σε κάθε κατηγορία και να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων. χρόνια υπηρεσίας f i % [0 5) 0 [5 0) 5 [0 5) [5 0) 5 [0 5) 8 [5 0) 8 0μ + 5μ ο θ 9/000 74. Οι ανώτατες θερμοκρασίες δύο πόλεων, το τελευταίο δεκαήμερο του Μαρτίου, ήταν: Πόλη Α: 0 8 0 7 8 7 6 7 6 0 ( ο C) Πόλη Β: 8 6 7 5 6 6 7 0 ( ο C) α. Να βρείτε τη μέση και τη διάμεσο θερμοκρασία των πόλεων Α και Β. 9μ β. Η τυπική απόκλιση των θερμοκρασιών των πόλεων Α και Β ήταν s A =,66 ο C και s B =,59 ο C αντίστοιχα. Σε ποια από τις δύο πόλεις οι θερμοκρασίες έχουν μεγαλύτερη διασπορά; 6μ γ. Εκ των υστέρων διαπιστώθηκε ότι το θερμόμετρο που χρησιμοποιήθηκε για τη Β. Καντζούρας 9
μέτρηση των θερμοκρασιών στην πόλη Α παρουσίαζε, λόγω ελαττωματικής κατασκευής, αυξημένη θερμοκρασία κατά 5 ο C. Σε ποια πόλη οι θερμοκρασίες παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια; 0μ 4 ο θ 9/000 75. Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης, για τον χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από λεπτά, ενώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. α. Να βρείτε το μέσο χρόνο και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής των μαθητών. 6μ β. Να εξετάσετε, αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 6μ γ. Οι μαθητές της πόλης είναι 4.000. Πόσοι μαθητές κάνουν χρόνο διαδρομής από 4 έως 6 λεπτά. 6μ δ. Μια μέρα, λόγω έργων, κάθε μαθητής άργησε κατά 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής 7μ 4 ο θ 5/00 76. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ανώτατες θερμοκρασίες των 0 πρώτων ημερών του Μαΐου: θερμοκρασία σε o C 4 5 6 7 πλήθος ημερών 4 α β Α. Αν γνωρίζουμε ότι η μέση θερμοκρασία ήταν 4,4 o C α. Να βρείτε τα α και β. 0μ β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο 5μ Β. Αν γνωρίζουμε ότι διάμεσος ήταν 4,5 o C, να βρείτε τα α και β. 0μ ο θ 6/00 77. Το βάρος των αποσκευών, καθενός εκ των 80 επιβατών μιας πτήσης, είναι τουλάχιστον Kg, αλλά μικρότερο από 6 Kg. Γνωρίζουμε ότι 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 4 Kg, το 0% των επιβατών έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 7 Kg, 48 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 0 Kg και το 5% των επιβατών έχουν αποσκευές με βάρος τουλάχιστον Kg. α. Να παραστήσετε τα δεδομένα σε ένα πίνακα συχνοτήτων. 0μ β. Να βρείτε το ποσοστό των επιβατών, που έχουν πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. (δηλαδή μεταφέρουν περισσότερο βάρος από 0 Kg). 7μ γ. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα. 8μ ο θ 6/00 78. Ένα προϊόν πωλείται σε 0 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές: 8, 0,,, 5, 6, 8, 4, 4, 9. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. 6μ 0 γελ αξιού
β. Να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής. 6μ γ. Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 0%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής. μ ο θ 5/00 79. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, που παρουσιάζει τη βαθμολογία μιας ομάδας μαθητών στο μάθημα της Ιστορίας. Η βαθμολογία κυμαίνεται από 0 μέχρι 0. Δίνεται ότι 0 μαθητές έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του και μικρότερο του 4. α. Να αποδείξετε ότι το πλήθος των γ. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα μαθητών είναι 50. 8μ β. Να βρείτε τη διάμεσο. 5μ F i 00 80 60 40 0 % συχνοτήτων. 7μ δ. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 6. 5μ 4 βαθμολογία ο θ 6/00 80. Παρακάτω παρουσιάζεται η χρηματική παροχή από τους γονείς, σε, δείγματος έξι μαθητών της πρώτης τάξης (ομάδα Α) και έξι μαθητών της δεύτερης τάξης (ομάδα Β) ενός Γυμνασίου. ΟΜΑΔΑ Α: 8 9 5 4 ΟΜΑΔΑ Β: 7 4 6 4 5 α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των τιμών κάθε ομάδας. 6μ β. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες. 5μ γ. Αν σε κάθε παρατήρηση της ομάδας Α γίνει αύξηση 0% και οι παρατηρήσεις της ομάδας Β αυξηθούν κατά 5 η κάθε μία, πώς διαμορφώνονται οι νέες μέσες τιμές; 8μ δ. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες με τις νέες τιμές. 6μ 4 ο θ 5/00 8. Το βάρος ενός δείγματος μαθητών Λυκείου ακολουθεί περίπου κανονική κατανομή. Το 50% των μαθητών του δείγματος έχουν βάρος το πολύ 65 Kg, ενώ περίπου το 47,5 Kg αυτών έχουν βάρος από 65 Kg έως 75 Kg. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση του βάρους των μαθητών του δείγματος. 6μ β. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 6μ γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό των μαθητών του δείγματος, που έχουν βάρος από 55 Kg έως 70 Kg. 6μ Β. Καντζούρας 0 0 6 8 0
δ. Ο αριθμός των μαθητών του δείγματος, που έχουν βάρος από 55 Kg έως 60Kg, είναι 7. Να υπολογίσετε το πλήθος των μαθητών. 7μ 4 ο θ 6/00 8. Στην Αττική οδό εξυπηρετούνται καθημερινά 00 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 km. Η διανυόμενη απόσταση σε km από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: απόσταση σε km i ν i (000) f i % Ν i (000) Fi% [5, 5) 60 [5, 5) 68 [5, 5) 80 [5, 45) σύνολο 00 α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα 0μ β. Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. 5μ γ. Να βρείτε τη μέση τιμή. 5μ δ. Πόσα οχήματα διανύουν απόσταση τουλάχιστον 5 km. 5μ ο θ 5/004 8. Η μέση τιμή των βαθμών, που πήραν 5 μαθητές της Γ τάξης ενός λυκείου, στα Μαθηματικά είναι 4, ενώ η μέση τιμή των βαθμών των 0 μαθητών, που παρουσίασαν τη μικρότερη βαθμολογία είναι. α. Να βρείτε τη μέση τιμή των βαθμών των υπόλοιπων 5 μαθητών. μ β. Αν το άθροισμα των τετραγώνων των βαθμών των 5 μαθητών είναι 5000, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής. μ ο θ 6/004 84. Σε ένα διαγώνισμα Βιολογίας η βαθμολογία των μαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων ν i 5 0 5 0 5 0 4 8 6 0 βαθμός α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: γελ αξιού
βαθμολογία i ν i f i % Ν i F i % [4, 8) [8, ) [, 6) [6, 0) σύνολο μ β. Να βρείτε τη μέση τιμή των βαθμών. 8μ γ. Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μέχρι και 0; 6μ ο θ 5/005 85. Σε μια περίπου κανονική κατανομή το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 0. Το 8,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (6,) με άκρα του διαστήματος χαρακτηριστικές τιμές της κανονικής κατανομής ± s, ± s, ± s, s. α. Να αποδείξετε ότι = 0 και s =. 0μ β. Να βρείτε το α * Î, αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα ( αs, αs) - + ανήκει το 95% περίπου των παρατηρήσεων. 5μ γ. Αν R είναι το εύρος της κατανομής, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης R f() = -( + 4) + 9s. ο θ 6/005 86. Ρωτήθηκαν 50 μαθητές της Γ τάξης ενός Λυκείου σχετικά με τον αριθμό βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις τους, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας: αριθμός βιβλίων 0 4 σύνολο αριθμός μαθητών α + 4 5α + 8 4α α α 50 Να υπολογίσετε: α. τον αριθμό α, τη μέση τιμή και τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων. 7μ β. πόσοι μαθητές έχουν διαβάσει τουλάχιστο βιβλία. 8μ ο θ 5/006 87. Οι απουσίες των μαθητών της Γ τάξης ενός Λυκείου κατά τους μήνες Ιανουάριο έως Απρίλιο έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων. Επιπλέον δίνεται ότι η σχετική συχνότητα της 4ης κλάσης f 4 είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της ης κλάσης f. α. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων ισούται με. 0μ β. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα σχετικών συχνοτήτων 5μ Β. Καντζούρας
απουσίες μαθητών κέντρο κλάσης i σχετική συχνότητα f i [, ) 0, [, 7 ) [, ) 0, [, ) 0 σύνολο γ. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. 4μ + 6μ 4 ο θ 6/006 88. Θεωρούμε δύο δείγματα Α και Β με παρατηρήσεις: δείγμα Α:, 8, t, t 4,..., t 5 και δείγμα B: 6, 4, t, t 4,..., t 5. 4 Δίνεται ότι t + t 4 +... + t 5 = 45. α. Να αποδείξετε ότι οι μέσες τιμές A και B των δύο δειγμάτων είναι 5. 7μ β. Αν s A και s B s Β είναι οι διακυμάνσεις των δύο δειγμάτων, να αποδείξετε 6 sa - s B =. 8μ 5 γ. Αν ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος Α είναι ίσος με, να βρείτε το 5 συντελεστή μεταβολής του δείγματος Β. 4 ο θ 5/007 89. Έστω,,..., ένα δείγμα με παρατηρήσεις: 7, 5, α,, 5, β, 8, 6, γ, 5,, όπου α, β, γ φυσικοί αριθμοί με α < β < γ. Δίνεται ότι η μέση τιμή, η διάμεσος και το εύρος των παρατηρήσεων είναι = 6, δ = 6 και R = 8 αντίστοιχα. α. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, έτσι ώστε να ισχύει α + β + γ = 7. 8μ β. Για τις τιμές των α, β, γ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι ίση με s = 58 και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 8μ γ. Έστω y, y,,y οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τις,,, επί μια θετική σταθερά c και στη συνέχεια προσθέσουμε μια σταθερά c. Aν y = 9 και s y = s, να βρείτε τις τιμές των σταθερών c και c. 9μ 4 ο θ 6/007 90. Για δύο τύπους μπαταριών Α και Β επιλέχθηκαν δύο δείγματα μεγέθους 5 το καθένα. Οι χρόνοι ζωής των μπαταριών για το κάθε δείγμα (σε χιλιάδες ώρες) δίνονται παρακάτω: μπαταρία Α: 0, 6, 4,, 8 μπαταρία Β: 6,, 9, 0, α. Να βρείτε τη μέση διάρκεια ζωής για κάθε τύπο μπαταρίας. 5μ β. Αν μια μπαταρία τύπου Α στοιχίζει 8 ευρώ και μια μπαταρία τύπου Β στοιχίζει γελ αξιού
40 ευρώ, ποιον τύπο μπαταρίας συμφέρει να αγοράσετε; 5μ γ. Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις S A και S B της διάρκειας ζωής των δύο τύπων μπαταριών. 7μ δ. Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους μπαταριών Α και Β παρουσιάζει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια. 8μ ο θ 5/008 9. Η μέση βαθμολογία των μαθητών μιας τάξης σε ένα τεστ είναι 70. Χωρίζουμε τη βαθμολογία σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: κλάσεις [, ) κεντρικές τιμές i συχνότητα ν i σχετική συχνότητα f i 0 40 40 60 60 80 80 00 σύνολο Δίνεται επιπλέον ότι το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμό από 0 έως 40 είναι ίσο με το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμό από 40 έως 60, ενώ στο κυκλικό διάγραμμα των δεδομένων, η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση από 80 έως 00 είναι 08 ο. α. Να αποδείξετε ότι f = f = 0,, f = 0,5, f 4 = 0,. 0μ β. Αν ο αριθμός των μαθητών της τάξης είναι 50: ι. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. 5μ ιι. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών που έχουν βαθμολογία τουλάχιστον 60. 5μ ιιι. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμολογία από 50 έως 70. 5μ ο θ 6/008 Β. Καντζούρας 5