Υπάχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. ( ή διαφοετικά πεί ιζών εξίσωσης ) I. Για να δείξουµε ότι µια εξίσωση f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο διάστηµα (α, β) µποούµε να εγασθούµε ως εξής: 1 0ς τόπος: Με το Θεώηµα Bolzano «αν f [α, β] συνεχής και f(α)f(β) < 0 => υπάχει χ 0 (α, β): f(χ 0 )=0» 0ς τόπος: Με το Θεώηµα Rolle δηλ. αν F [α, β] είναι µια παάγουσα της f [α, β] µε F [α, β] συνεχής, F (α, β) πααγωγίσιµη και F(α)=F(β) τότε υπάχει χ 0 (α, β): F (χ 0 )=0 δηλ. υπάχει χ 0 (α, β): f(χ 0 )=0 II. Για να δείξουµε ότι µια εξίσωση f(χ)=0 έχει µία µόνο ίζα στο διάστηµα (α, β) µποούµε να εγασθούµε ως εξής: 1 0ς τόπος: Όπως ποηγούµενα αποδεικνύουµε την ύπαξη µιας τουλάχιστον ίζας και στην συνέχεια ότι η f στο (α, β) είναι γνησίως µονότονη ( δηλ. f (χ) > 0 ή f (χ) < 0 για κάθε χ (α, β) ) και έτσι εξασφαλίζουµε την ύπαξη µιας µόνο ίζας. 0ς τόπος : Αν για την f [α, β] ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωήµατος Rolle τότε µποούµε να βούµε το πλήθος των λύσεων της f(χ)=0 στο [α, β] ως εξής: 1. Βίσκουµε την f (χ)
. Λύνουµε την εξίσωση f (χ)=0 στο [α, β] και έστω ξ 1, ξ,, ξ ν οι λύσεις της µε α <ξ 1 < ξ < < ξ ν <β 3. Φτιάχνουµε την ακολουθία : lim x a f ( x) = l, f(ξ 1 1 ), f(ξ ),, f(ξ ν ), lim f ( x) β x = l Το πλήθος των εναλλαγών του ποσήµου που εµφανίζεται στην πααπάνω ακολουθία µας δίνει το πλήθος των ιζών της f(χ)=0 στο [α, β]. III. Για να δείξουµε ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει το πολύ µία ( ή δύο ή τεις κ.λ.π ) ίζες στο (α, β) εγαζόµαστε µε άτοπο. ηλ. υποθέτουµε ότι η εξίσωση έχει δύο ( ή τεις ή τέσσεις κ.λ.π ) ίζες και εφαµόζοντας το Θεώηµα Rolle σε καθένα από αυτά τα διαστήµατα των ιζών για την f καταλήγουµε σε άτοπο. Σχόλιο : Η έκφαση «η εξίσωση f(χ)=0 δεν έχει πεισσότεες από µ ίζες» είναι ισοδύναµη µε την έκφαση «η εξίσωση f(χ)=0 έχει το πολύ µ ίζες» IV. Για να δείξουµε ότι η εξίσωση f(χ)=0 δεν µποεί να έχει κ ίζες στο (α, β) εγαζόµαστε µε άτοπο, θεωώντας ότι έχει κ ίζες στο (α, β) και εφαµόζοντας το Θεώηµα Rolle για την f σε καθένα από τα διαστήµατα των ιζών. V. Για να δείξουµε ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει κ ίζες στο (α, β) χωίζουµε το (α, β) κατάλληλα σε κ διαστήµατα π.χ [α, χ 1 ], [χ 1, χ ],, [χ κ-1, β] και αποδεικνύουµε ότι σε καθένα υπάχει µία τουλάχιστον ίζα.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Αν για τη συνάτηση f [α, β] ισχύουν οι υποθέσεις του θεωήµατος Rolle τότε µεταξύ δύο ιζών 1, της f(χ)=0 υπάχει µία τουλάχιστον ίζα ( 1, ) της εξίσωσης f (χ)=0. Αν για την συνάτηση f [α, β] ισχύουν οι υποθέσεις του θεωήµατος Rolle και 1, [α, β] µε 1 < δύο διαδοχικές ίζες της f (χ)=0, τότε η εξίσωση f(χ)=0 έχει µία το πολύ ίζα ( 1, ). 3. Αν µία πολυωνυµική εξίσωση f(χ)=0 µε παγµατικούς συντελεστές έχει κ το πλήθος διαφοετικές παγµατικές ίζες, τότε η εξίσωση f (χ)=0 έχει κ-1 το πλήθος τουλάχιστον παγµατικές ίζες. 4. Κάθε πολυωνυµική εξίσωση f(χ)=0 µε παγµατικούς συντελεστές, νιοστού βαθµού έχει το πολύ ν παγµατικές ίζες. 5. Αν µία πολυωνυµική εξίσωση f(χ)=0 µε παγµατικούς συντελεστές, νιοστού βαθµού έχει ν παγµατικές διαφοετικές ίζες ξ 1, ξ,, ξ ν τότε f (ξ i ) 0 για κάθε I=1,,, ν 6. Αν είναι η µικότεη ίζα της εξίσωσης f (χ)=0, όπου f(χ)=0 είναι µια πολυωνυµική εξίσωση νιοστού βαθµού, µε παγµατικούς συντελεστές, τότε υπάχει το πολύ µία ίζα 1 της f(χ)=0 µικότεη της. 7. Αν είναι η µεγαλύτεη ίζα της εξίσωσης f (χ)=0, όπου f(χ)=0 είναι µια πολυωνυµική εξίσωση νιοστού βαθµού, µε παγµατικούς συντελεστές, τότε υπάχει το πολύ µία ίζα 1 της f(χ)=0 µεγαλύτεη της.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση χ 3-3χ+α=0 δεν µποεί να έχει δύο λύσεις στο (0,1) για κάθε α R.. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση χ 4 +4χ+1=0 έχει το πολύ δύο παγµατικές ίζες. 3. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση χ 3 -=0 έχει µία µόνο ίζα στο (0,) α β να 3 4. Αν f(χ)=αχ +βχ+γ µε α, β, γ R, α 0 και + + γ = 0 αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο (0,1). 5. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση (χ -1)συνχ+χηµχ=0 έχει δύο τουλάχιστον ίζες στο διάστηµα (-1, 1) 6. Να υπολογίσετε το ηµ44 0 µε ποσέγγιση εκατοστού. 7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ 3 +αχ+β = 0 µε α, β R έχει ι) µία µόνο παγµατική λύση αν α>0 ιι) τεις παγµατικές λύσεις αν 4α 3 +7β < 0
8. ίνεται η συνάτηση f(χ)=αχ 3 +βχ +γχ µε α, β, γ R, α 0 και 1,, 3 οι παγµατικές ίζες της εξίσωσης f(χ)=0. Να αποδείξετε ότι: x) f ( x) 1 1 1 = + + x x x 1 3 για κάθε χ R-{ 1,, 3 } 9. Αν για δύο πολυωνυµικές συνατήσεις f, g ισχύει: f (χ). g(χ)-f(x). g (χ)=0, να δείξετε ότι µεταξύ δύο ιζών της f(χ)=0 υπάχει µία τουλάχιστον ίζα της g(χ). 10. ίνεται η εξίσωση χ ν +αχ+β=0 µε α, β R, ν Ν. Να δείξετε ότι: ι) αν ο ν είναι άτιος, η εξίσωση έχει το πολύ δύο παγµατικές ίζες. ιι) αν ο ν είναι πειττός, η εξίσωση έχει το πολύ τεις παγµατικές ίζες 11. ι) είξτε ότι η εξίσωση χ 5-5χ+=0 έχει το πολύ τεις παγµατικές ίζες. ιι) είξτε ότι η εξίσωση e x =χ+1 έχει µία µόνο λύση. Ποια είναι η λύση; 1. Να δείξετε ότι µεταξύ δύο ιζών της εξίσωσης e χ.ηµχ=1 πειέχεται µία τουλάχιστον ίζα της e χ.συνχ+1=0. 13. ίνεται η συνάτηση f(χ)=χ.(χ-1).(χ+).(χ-3).(χ+1). Να δείξετε ότι η εξίσωση f (χ)=0 έχει τέσσεις λύσεις στο διάστηµα (-,3). 14. είξτε ότι η εξίσωση χ 9 +5χ 7 +3χ+1=0 έχει µία µόνο παγµατική ίζα.
15. Να δείξετε ότι η εξίσωση x.e x +1=e x, έχει µοναδική ίζα και να βεθεί. 16. είξτε ότι η εξίσωση χ =χ.ηµχ+συνχ έχει δύο λύσεις στο (-π,π) 17. Βείτε το πλήθος των παγµατικών ιζών της εξίσωσης e -x =x+α, α R. 18. Βείτε το πλήθος των παγµατικών ιζών της εξίσωσης x+1+ln(χ +1)=0 19. είξτε ότι η εξίσωση α χ =βχ+α µε α, β R έχει µία µόνο παγµατική ίζα ι) αν α>1 και β<0 ή ιι) 0<α<1 και β>0 0. ίνεται η συνάτηση f(χ)=να ν χ ν-1 + +α 1. Να αποδείξετε ότι: ι) αν α 1 +α + +α ν =0 τότε η f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο (0,1) ιι) αν α ν (-1) ν + α ν-1 (-1) ν-1 + +α +α 1 =0 τότε η f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο (-1,0) 1. ίνεται η f(χ)=χ 3 +αχ +βχ+γ µε α, β, γ R. Αν 1 < < 3 είναι οι παγµατικές ίζες της f(χ)=0 να αποδείξετε τις παακάτω σχέσεις: ι) 1 3 + + = 0 1) ) 3) ιι) 1 + + 3 1 1) ) 3) = και
4 4 4 ιιι) 1 + + 3 = a β 1) ) 3). Αν η συνάτηση f είναι δύο φοές πααγωγίσιµη στο R µε f (χ) 0 για κάθε χ R να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει το πολύ δύο ίζες στο R. 3. Έστω µία συνάτηση f δύο φοές πααγωγίσιµη στο [α, β], 0<α<β µε f(α)=f(β)=0 και f (χ) 0 για κάθε χ (α, β). ι) είξτε ότι η εξίσωση χ.f (χ)-f(χ)=0 έχει µοναδική ίζα χ 0 στο (α, β) ιι) είξτε ότι η εφαπτοµένη στο σηµείο (χ 0, f(χ 0 )) της γαφικής παάστασης της f, διέχεται από την αχή των αξόνων. 4. Έστω µία συνάτηση f συνεχής στο [0, 1], πααγωγίσιµη στο διάστηµα (0, 1) µε 1 f ( 1) = f (0) + f (χ)=χ έχει µία τουλάχιστον ίζα στο (0, 1).. Να δείξετε ότι η εξίσωση