Μαθηματικά Ο.Π. Γ Λυκείου (Θερινά) 28/12/2018. Παπαναγιώτου Παναγιώτης. ΘΕΜΑ Α Α1. Α1. Σελίδα 111 σχολικού βιβλίου ΘΕΜΑ Β. Β1. Για κάθε x1, x2 R αν

Transcript

1 Μαθηματικά Ο.Π. Γ Λυκείου (Θερινά) Παπαναγιώτου Παναγιώτης 8//8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α. Σελίδα σχολικού βιβλίου Α. Σελίδα 9 σχολικού βιβλίου Α. i) Ψ ii) Το παράδειγμα σελίδα σχολικού Σχ() Α. α. Λ β. Λ γ. Σ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. Για κάθε, R αν f ( ) f ( ) άρα η f γνήσια αύξουσα στο R Β. α) i) lim f () lim lim ii) lim f ( ) lim lim β) Το σύνολο τιμών της f είναι f ( R) lim f ( ), lim f ( ),, f συνεχής Η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική και ο αριθμός n= ανήκει στο f ( R ) άρα από Θ.Ε.Τ η f έχει ρίζα στο R. Η ρίζα είναι μοναδική αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο R, -. Β. f ύ f ( ) f f ( ) f ( ) ()

2 Το έχει διακρίνουσα δίνει Β. Η ( ) άρα f '( ) ' άρα f '() για κάθε R Τότε η () Το lim f ( ) f () άρα f() θετικό κοντά στο και f ( ) f ( ) Τότε το ζητούμενο όριο είναι: f( ) f ( ) lim lim lim f ( ) f ( ) lim lim lim lim ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη άρα απ το Θ.Μ.Ε τιμής για κάθε e, : ( ) m f M e m f M : m f ( ) M m f m f f f M e m f M e f f f e m M f f f αν m=μ η f()=c (σταθερή) και το ( ) e f για οποιοδήποτε του, e αν m M, f συνεχής τότε από Θ.Ε.Τ αφού f f f,, : e f n e f f f e n ανήκει στο Σ.Τ υπάρχει

3 Γ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,) και συνεχής στο [,] ως παραγωγίσιμη και f() f () άρα από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) : f'( ). Έστω υπάρχει και δεύτερη ρίζα ξ : ξ <ξ (όμοια με ξ<ξ ) τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο (ξ,ξ), f συνεχής στο [ξ,ξ] ως παραγωγίσιμη και f (ξ )=f (ξ)=. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) : f''( ) που είναι ΑΤΟΠΟ. Άρα η ρίζα ξ είναι μοναδική στο (,). Γ. Η εξίσωση γράφεται ( ) '( ) ) f '( Θεωρούμε την συνάρτηση g f συνεχής στο [ξ,] ως πράξεις των συνεχών -,-,f () (Οι -,- συνεχείς ως πολυωνυμικές και η f '( ) συνεχής ως παραγωγίσιμη) Είναι g( ) g() f '( ) f '() γιατί ξ (,). Άρα από Θ. Bolzano η εξίσωση g()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα ότι (ξ,) (, ) άρα στο (,) Γ. Έστω Α(α,f(α), Β(β,f(β)), Γ(γ,f(γ)) τρία συνευθειακά σημεία στην C f με α<β<γ. Τότε οι συντελεστές f ( ) f ( a) f ( ) f ( ) διεύθυνσης των, είναι ίσοι ή () Η f συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) άρα από Θ.Μ.Τ υπάρχει () f( ) f( ) f( ) f( ), (, ) : f '( ) Όμοια υπάρχει (, ) : f '( ) f '( ) f '( ).Η f ' είναι συνεχής στο [ξ,ξ ], παραγωγίσιμη στο (ξ,ξ ), f '( ) f '( ) τότε από Θ. Rolle υπάρχει (, ) : f ''( ) ΑΤΟΠΟ. ΘΕΜΑ Δ Δ. Για κάθε,, είναι f '( ) ( ) e f '( ) ( ) e f '( ) ( ) e e f e e f e '( ) ( )( )' ( )' '( ) [( ) ]' Άρα η συνάρτηση ( ) e c, f ( ), e e c, Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο =- άρα έχουμε: lim f ( ) lim f ( ) f ( ) c c e e e Απ τις τελευταίες ισότητες είναι c c άρα η f ( ) ( ) e, R Δ. α) Είναι '( ) ' ( )' e f e e e e

4 με < επίσης από () Για κάθε,, () e e e e Από (), () ( ) e ( ) e f '( ) f '( ) άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ) β) Για άρα f ( ) f () από Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) : f'( ). Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] άρα και συνεχής τότε από το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [,] άρα και συνεχής. Τότε f ( ) f ( ) f f ( ) (, ) : f'( ). Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ] και ( ) (, ) άρα και f ( ) e f f ( ) f f ( ) f '( ) f '( ) f ( ) e, () Η τελευταία σχέση () ( ) ισχύει και σαν ισότητα για = αφού f () e e e και Δ. Το lim (f() e) lim e e γιατί lim f f ( ) f f ( ) f ( ) e το lim άρα το άρα f f ( ) f f ( ) f f ( ) f f() και lim e. Αφού lim (). Είναι f f ( ) f f ( ) f f ( ) f f ( ) Το lim όπως και f f ( ) lim ( ) f f άρα από Κ.Π το lim f f ( ) Δ. Είναι e( t) ( t) ( t) ( t) y( t) ( t) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( ) t e t t t e t t (παραγωγίσιμη ως πράξεις και σύνθεση παραγωγισίμων) ( t) ( t) '( t) ( ) '(t) '(t) ( ) ( ) '( ) t e t t e t ( t) ( t) ( t) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) t e t t t e t e t t t t όταν tt t ( ) E '(t ) e '(t ) ( t) ( ) ( ) t t (t ) ( t ) ( t ) ()

5 ( t ) a a a a. Θεωρούμε συνάρτηση g( ) συνεχής στο, t ( ) αφού e, '( t ). Στην () ως πολυωνυμική με g( ) g() ( )( ) άρα από Θ. Bolzano υπάρχει a ( t) (,) ώστε να ισχύει η () ή ο ρυθμός του Ε να μηδενίζεται. M β. Στο σημείο,f() η εφαπτόμενη ευθεία (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης f '( ) e ' e e e. Τότε e ή t () ( t) ( t) e που είναι παραγωγίσιμα ως πράξεις και συνθέσεις παραγωγίσιμων. Είναι t () ( t) ' ( t) e ' ( t) ( t) ( t) ( t) '( t) ( t) '( t) e ( t) e '( t) e '( t) ( t) ( t) Αν t ( ) ( t ) '( t) e '( t) ( t) (t ) ( ) θ (t )= τότε ( t ) ( t ) () αφού ( t ), e t, '( t ). Από δευτεροβάθμια () είναι t ( ) ή t ( ) δεκτές αφού t ( ) άρα το σημείο Μ βρίσκεται στις θέσεις,f( ή,f( ). tt