8 STATIKA ZLOŽENEJ ROVINNEJ SÚSTAVY 8. ZLOŽENÉ ROVINNÉ SÚSTAVY Zložené sústavy vzniknú vzájomným spojením hmotných objektov (bodov, tuhých dosiek, tuhých telies). Môžu byť rovinné alebo priestorové. V prípade rovinných sústav sa všetky objekty, zaťaženie a reakcie väzieb nachádzajú v jednej rovine tzv. strednicovej rovine. Vzájomné spojenie hmotných objektov je uskutočnené pomocou vonkajších alebo vnútorných väzieb a reakcie sa delia na vonkajšie a vnútorné. Obr. Väzby zložených rovinných sústav: Jednonásobné hladká krivka, posuvný kĺb, kyvný prút Dvojnásobné pevný neposuvný kĺb, posuvné votknutie Trojnásobné dokonalé votknutie Okrem týchto typov väzieb možno ku spojeniu dvoch hmotných objektov použiť vnútorný kĺb. V prípade spojenia dvoch tuhých dosiek pomocou vnútorného kĺbu ide o väzbu dvojnásobnú. Vnútorné väzby - podľa princípu akcie a reakcie nahrádzame ekvivalentnými silami, ktoré majú rovnakú veľkosť a smer a opačný zmysel pôsobenia. Obr. V prípade spojenia troch tuhých dosiek pomocou vnútorného kĺbu, alebo dvoch kĺbov ležiacich veľmi blízko seba ide o väzbu štvornásobnú x = 4, v prípade spojenia štyroch dosiek pomocou vnútorného kĺbu ide o väzbu šesťnásobnú. Obr. Vo všeobecnosti platí: Vnútorný kĺb, ktorý spája n tuhých dosiek, nahrádza n- jednoduchých kĺbov, ruší sústave (n-) stupňov voľnosti, pričom sústave zostane n+ stupňov voľnosti. 40
Pozor na usporiadanie dosák (prútov) a kĺbov! KĹBOVÉ SPOJENIA PRÚTOV 4 4 jednoduché k = dvojnásobné k = trojnásobné k = k počet jednoduchých kĺbov, ktorými by bolo možné nahradiť daný kĺb Statická a kinematická (tvarová) určitosť zložených sústav Podopretie zloženej sústavy je SU (staticky určité) a KU (kinematicky určité), ak počet stupňov voľnosti zloženej sústavy m = b + d sa rovná počtu stupňov odobratých vonkajšími a vnútornými väzbami r = a + a + a + a(n-). b + d = a + a + a + a(n-) b počet hmotných bodov d počet tuhých dosák a počet -násobných väzieb a počet -násobných väzieb a počet -násobných väzieb a počet vnútorných pevných kĺbov n počet prútov spojených v kĺbe Výnimkové prípady podopretia nastanú v prípade, keď determinant sústavy statických podmienok rovnováhy je rovný nule D=0. 8. STATICKÁ A KINEMATICKÁ URČITOSŤ s = m - r = (b + d) [ a + a + a + a(n-) ] Statická určitosť - stupne voľnosti sú viazané vonkajšími a vnútornými väzbami. Kinematická určitosť - usporiadanie väzieb zloženej sústavy zabezpečuje nepohyblivosť. (determinant rovníc rovnováhy je rôzny od nuly) s = 0 sústava je staticky určitá stupne voľnosti sú zrušené vonkajšími a vnútornými väzbami s < 0 sústava je staticky neurčitá a kinematicky preurčitá má viac väzieb ako stupňov voľnosti, treba písať doplňujúce deformačné podmienky s > 0 sústava je staticky preurčitá a kinematicky (tvarovo) neurčitá má menej väzieb ako stupňov voľnosti - je len čiastočne viazaná, preto je pohyblivá => nevhodná. 4
8. ZÁKLADNÉ TYPY ZLOŽENÝCH ROVINNÝCH SÚSTAV / trojkĺbová dosková sústava / trojkĺbová dosková sústava s ťahadlom / staticky určitý spojitý nosník Gerberov nosník 4/ všeobecná zložená dosková sústava 4
5/ rovinná kĺbová dosková sústava priehradové sústavy 9 TROJĹBOVÁ DOSKOVÁ SÚSTAVA 9. TROJKĹBOVÝ LOMENÝ NOSNÍK (RÁM) s = d ( a + a (-)) =. (. +..(-)) = 0 sústava je staticky aj kinematicky určitá Výpočet reakcií vo všetkých väzbách: 6 neznámych zložiek reakcií vo vonkajších a vnútorných väzbách Podmienky rovnováhy pre D a D Doska D : / / / Doska D : 4/ 5/ 6/ Kontrola: 4
Výpočet reakcií len vo vonkajších väzbách: 4 neznáme zložky reakcií Podmienky rovnováhy celej sústavy: / / / Doplňujúca podmienka ohybový moment v kĺbe je vždy nulový: Mc = 0 Mc možno počítať na ľavej aj na pravej časti konštrukcie. Príklad č.9. Kontrola: 44
9. TROJKĹBOVÝ OBLÚK STATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Výpočet reakcií ako na trojkĺbovom lomenom nosníku. Výpočet vnútorných síl ako na zakrivenom prúte. Pozor! Priebeh vnútorných síl aj na nezaťaženej časti prúta nie je konštantný (V,N) ani lineárny (M). Obr. 9.. Zaťaženie zvislou osamelou silou 45
9.. Zaťaženie zvislým spojitým zaťažením na dĺžku vodorovného priemetu parabolického oblúka Ak má trojkĺbový oblúk parabolickú strednicu a je zaťažený spojitým rovnomerným zaťažením s intenzitou udanou na jednotku vodorovne meranej dĺžky, nevzniknú v oblúku žiadne ohybové momenty ani priečne (posúvajúce) sily a zaťaženie sa prenáša do podpier len prostredníctvom normálových síl. Tento jav sa nazýva klenbový účinok a takáto strednica sa nazýva aj racionálna strednica oblúka. Budovanie klenbových konštrukcií, ktoré nemôžu prenášať ťahové napätia, bolo založené práve na tomto empiricky už dávno získanom poznatku. Z postupu výpočtu trojkĺbového oblúka vyplýva dôležitý poznatok, že aj pri samotnom zvislom zaťažení vznikajú v podperách pomerne veľké zložky vodorovných reakcií. U strešných oblúkových väzníkov, kde podpery oblúka tvoria múry alebo stĺpy, možno len ťažko zaistiť, aby podpery boli schopné tieto vodorovné sily zachytiť. Preto sa používa modifikovaná verzia trojkĺbového oblúka tojkĺbový oblúk s tiahlom. 0 TROJĹBOVÁ DOSKOVÁ SÚSTAVA S ŤAHADLOM 0. TROJKĹBOVÝ RÁM S ŤAHADLOM Stupeň statickej určitosti s = d [ α + α + α + ( n ) k n ] s =. [ +. +.0 +.. (-)] = 0 n Výpočet reakcií z podmienok rovnováhy: Kontrola reakcií: 46
Veľkosť osovej sily v ťahadle vypočítame z podmienky, že vo vnútornom kĺbe ohybový moment = 0. Priebehy vnútorných síl: 0. TROJKĹBOVÝ OBLÚK S ŤAHADLOM 47
STATICKY URČITÝ SPOJITÝ NOSNÍK GERBEROV NOSNÍK SPOJITÝ NOSNÍK S VNÚTORNÝMI KĹBMI Stupeň statickej určitosti s = m - r = (b + d) [ a + a + a + a(n-) ] Gerberov nosník je zvláštny typ spojitého nosníka podopretý na viac ako podperách, z ktorých je pevná a ostatné posuvné. Spojitý nosník s n poľami a n+ podperami je (n-)- krát staticky neurčitý. Statickú neurčitosť možno odstrániť vložením potrebného počtu vnútorných kĺbov tak, aby každá časť medzi dvoma susednými kĺbmi bola staticky a tvarove určitá. Vnútorné kĺby v Gerberovom nosníku nemôžu byť umiestňované ľubovoľne, aby v konštrukcii nevznikli nestabilné časti. Pri vkladaní vnútorných kĺbov dodržujeme preto nasledovné pravidlá: - medzi dvoma vonkajšími podperami nesmú byť vložené viac ako kĺby - v krajnom poli môže byť vložený max kĺb - medzi dvoma vnútornými kĺbmi nesmú byť viac ako vonkajšie podpery Ak je spojitý nosník na niektorom konci votknutý, jeho statická neurčitosť sa zvyšuje o stupeň. Do krajného poľa s votknutím musí byť vložený aspoň kĺb. Alternatívy vytvorenia staticky určitého Gerberovho nosníka zo staticky neurčitého spojitého nosníka: s = s = Statické pôsobenie statická schéma spojitého nosníka s kĺbmi V statickej schéme rozlišujeme nesené (jednoduché) a nosné (podperové) časti. Nesené časti sú časti nosníka medzi dvoma vnútornými kĺbmi lebo medzi vnútorným kĺbom a vonkajšou podperou. Nosné časti sú uložené aspoň sčasti na vonkajších podperách, sú to väčšinou nosníky s previslými koncami. 48
Riešenie spojitého nosníka s kĺbmi STATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I. spôsob Riešenie vyplýva zo statickej schémy, spojitý nosník s kĺbmi rozdelíme na nesené a podperové časti a výpočet reakcií a vnútorných síl robíme na jednotlivých častiach, pričom riešime najskôr nesené časti a postupne podporujúce diely. POZOR: pri výpočte podperových častí - okrem zaťaženia uvažujeme aj s vnútornými reakciami nesených častí pôsobiacimi na nosné časti s opačným zmyslom. Obrázky vnútorných síl vykresľujeme na celom nosníku.. spôsob Spojitý nosník s kĺbmi nerozdeľujeme, riešime ho ako celok tak, že reakcie vypočítame zo statických podmienok rovnováhy doplnených o podmienky, že vo vložených vnútorných kĺboch je ohybový moment vždy rovný nule. Príklad 49
VŠEOBECNÉ ZLOŽENÉ DOSKOVÉ SÚSTAVY 50