Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
|
|
- Πτοοφαγος Δραγούμης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach jana.pocsova@tuke.sk
2 Euklidov priestor Každú usporiadanú n-ticu [x 1, x 2,..., x n] reálnych čísel, kde n 1, nazývame bodom n-rozmerného priestoru. Čísla x 1, x 2,..., x n nazývame súradnice tohto bodu. Dva body A = [a 1, a 2,..., a n], B = [b 1, b 2,..., b n] sa rovnajú práve vtedy, ak platí a i = b i, pre všetky i = 1, 2,..., n teda ich zodpovedajúce súradnice sa rovnajú.
3 Euklidov priestor Nech A = [a 1,..., a n] a B = [b 1,..., b n] sú dva body n-rozmerného priestoru. Definujme vzdialenosť medzi týmito bodmi nasledovne: d(a, B) = (a 1 b 1) (a n b n) 2 Množinu všetkých n-tíc reálnych čísel s takto definovanou vziadenosťou d nazývame n-rozmerný Euklidovský priestor a označíme ho E n. Základné vlastnosti vzdialenosti: 1. d(a, B) = d(b, A) pre ľubovoľné A, B (vlastnosť symetrie). 2. d(a, B) = 0 vtedy a len vtedy, ak A = B, inak d(a, B) > Pre ľubovoľné tri body A, B, C platí: d(a, C) d(a, B) + d(b, C) (trojuholníková nerovnosť). Priestory E 1, E 2, E 3 majú svoj geometrický model: 1. E 1 je číselná os, 2. E 2 je rovina, v ktorej je zavedená pravouhlá súradnicová sústava, 3. E 3 je priestor, v ktorom je zavedená pravouhlá súradnicová sústava.
4 Niektoré dôležité pojmy Množinu všetkých bodov X priestoru E n, ktoré majú od daného bodu A vzdialenosť menšiu alebo rovnajúcu sa r, r > 0, budeme nazývať guľou priestoru E n so stredom v bode A a polomerom r. Nech A je bod priestoru E n. Okolím bodu A označujeme vnútro každej gule so stredom v A. Ak polomer tejto gule bude číslo r, budeme to okolie označovať O r(a). Je to množina tých bodov priestoru E n, pre ktoré platí d(a, X) < r. Bod Z je hromadným bodom množiny M vtedy a len vtedy, ak v každom jeho okolí leží nekonečne veľa bodov množiny M. (Pozn. Hromadný bod nemusí patriť do množiny M.) Množinu, ktorá obsahuje všetky hromadné body nazývame uzavretou množinou. Hovoríme, že bod A je vnútorným bodom množiny M, ak existuje r > 0 také, že O r(a) M. Množinu všetkých vnútorných bodov množiny M nazývame vnútro množiny. Množinu, ktorej každý bod je jej vnútorným bodom nazývame otvorenou množinou.
5 Funkcia viac premenných Nech M je množina bodov priestoru E n. Funkcia n-premenných s definičným oborom M je priradenie, ktoré každej n-tici z množiny M priradí práve jedno reálne číslo. Označujeme ju f(x) alebo f(x 1,..., x n). Definičný obor funkcie dvoch premenných f(x, y) je množina všetkých usporiadaných dvojíc [x, y] E 2, pre ktoré funkcia f(x, y) nadobúda reálne hodnoty. Podobne ako pri funkcii jednej premennej môže byť funkčný predpis daný rôznymi spôsobmi, napr. slovami, tabuľkou hodnôt, analyticky pomocou matematického výrazu alebo rovnice.
6 Zložená funkcia viac premenných Nech funkcia f(x 1, x 2,..., x n) je definovaná na množine M E n. Nech x 1 = ϕ 1(t 1,..., t m),..., x n = ϕ n(t 1,..., t m) je n funkcií m premenných, ktoré sú definované na možine M t E m. Nech tieto funkcie sú také, že bod [ϕ 1(T ),..., ϕ n(t )] je z množiny M pre všetky body T = [t 1,..., t m] z množiny M t. Potom možeme utvoriť funkciu f[ϕ 1(T ),..., ϕ n(t )] = F (T ), ktorá bude definovaná na množine M t. Tejto funkcii hovoríme zložená funkcia. Funkcii f(x 1, x 2,..., x n) hovoríme hlavná zložka, funkciám ϕ 1(T )..., ϕ n(t ) vedľajšie zložky.
7 Definičný obor funkcie viac premenných Určte definičný obor nasledujúcich funkcií: 1. f(x, y) = x+y 1 x y 2. f(x, y) = log (x 2 + y 2 4) 3. f(x, y) = arcsin y 1 x 4. f(x, y) = x 2 + y ln (2 x 2 y 2 )
8 Graf funkcie viac premenných Nech funkcia f(x) je funkcia n-premenných definovaná na množine M E n. Grafom funkcie f(x) rozumieme množinu G všetkých bodov [x 1, x 2,..., x n, x n+1] priestoru E n+1, pre ktoré platí: 1. [x 1, x 2,..., x n] M 2. x n+1 = f(x 1,..., x n) Grafom funkcie dvoch premenných f(x, y) definovanej na množine M bodov priestoru E 2 je množina všetkých usporiadaných trojíc [x, y, z] priestoru E 3, pre ktoré platí: 1. [x, y] M 2. z = f(x, y) 3. teda G = {[x, y, z] E 3 : [x, y] M, z = f(x, y)}.
9 Úlohy Vyšetrite graf funkcie: 1. f(x, y) = 2 x y 2. f(x, y) = 1 x 2 y 2 3. f(x, y) = x 2 + y 2 4. f(x, y) = e x2 y 2
10 Postupnosť bodov a jej limita Nech {X 1, X 2,..., X k,... } je postupnosť bodov priestoru E n. Hovoríme, že táto postupnosť konverguje k bodu A, ak postupnosť vzdialeností {d(a, X 1),..., d(a, X k ),... } konverguje k nule. Konvergentná postupnosť má len jeden limitný bod. Postupnosť bodov konverguje k bodu A, vtedy a len vtedy, ak postupnosť prvých súradníc bodov konverguje k prvej súradnici bodu A, až postupnosť n-tých súradníc bodov konverguje k n-tej súradnici bodu A.
11 Úloha 1. Nájdite limitný bod postupnosti {X n} n=1, kde X n = [ ] 2 + 3, 3n 5 n 2 1 n 2. Dokážte, že postupnosť bodov {X n} n=1, kde X n = [ 1 n, n 1 n, 2] konverguje k bodu A = [0, 1, 2]. 3. Nájdite limitný bod postupnosti {X n} n=1, kde X n = [ n 1 n 2, n n, 1 ]. 4. Nájdite limitný bod postupnosti {X n} n=1, kde X n = [ 0, n 2, 1 n 3 ].
12 Limita funkcie dvoch premenných f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 D(f) = {[x, y] E 2; x 2 + y 2 0}, teda do definičného oboru funkcie f patria všetky body roviny okrem bodu [0, 0]. Na základe grafu funkcie sa pozrime na to, ako sa vyzerajú funkčné hodnoty funkcie f v okolí tohto bodu.
13 f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 Kvôli lepšej predstve numericky vypočítame funkčné hodnoty funkcie f v okoli bodu [0, 0]. Je zjavné, že -1,0-0,5-0,2 0,0 0,2 0,5 1,0-1,0 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759-0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 0,0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841 0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829 0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759 1,0 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455 sin(x 2 + y 2 ) lim = 1. [x,y] [0,0] x 2 + y 2
14 f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 Overenie pomocou výpočtov. sin(x 2 + y 2 ) lim [x,y] [0,0] x 2 + y 2 zavedieme substitúciu x 2 + y 2 = t, ak x 0 a y 0, tak aj t 0. Teda sin(x 2 + y 2 ) sin t lim = lim [x,y] [0,0] x 2 + y 2 t 0 t čo je limita funkcie jednej premennej. Pomocou L Hospitalovho pravidla ukážeme, že táto limita sa rovná jednej. sin t cos t lim = lim = 1. t 0 t t 0 1 sin(x 2 + y 2 ) lim = 1 [x,y] [0,0] x 2 + y 2
15 Limita funkcie dvoch premenných g(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 D(g) = {[x, y] E 2; x 2 + y 2 0}, teda do definičného oboru funkcie g patria všetky body roviny okrem bodu [0, 0]. Na základe grafu funkcie g:
16 g(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 Kvôli lepšej predstve numericky vypočítame funkčné hodnoty funkcie g v okoli bodu [0, 0]. -1,0-0,5-0,2 0,0 0,2 0,5 1,0-1,0 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000-0,5-0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000-0,600-0,2-0,923-0,724 0,000 1,000 0,000-0,724-0,923 0,0-1,000-1,000-1,000-1,000-1,000-1,000 0,2-0,923-0,724 0,000 1,000 0,000-0,724-0,923 0,5-0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000-0,600 1,0 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000 Zdá sa, že v bode [0, 0] funkcia g nemá limitu.
17 Limita funkcie viac premenných Definícia (Cauchy) Nech funkcia n-premenných f(x) je definovaná v istom okolí bodu A = [a 1, a 2,..., a n], ktorý je hromadným bodom jej oboru definície D(f). Číslo l nazývame limitou funkcie f(x) v bode A, ak pre každé ɛ > 0 existuje také δ > 0, že pre všetky X O δ (A), X A, je f(x) O ɛ(l). Ak je f(x) funkciou dvoch premenných a A = [x 0, y 0], potom môžeme písať aj lim f(x, y) = l. X [x 0,y 0 ] Veta (Heine) Funkcia n-premenných f(x) má v bode A = [a 1, a 2,..., a n] limitu číslo l práve vtedy, ak pre ľubovoľnú postupnosť bodov {X n} n=1, kde X n D(f), X n A konvergujúcu k bodu A je lim f(xn) = l. n
18 Základné vlastnosti limity funkcie viacerých premenných Nech funkcie f a g majú v bode A limitu, lim f(x) = b1, lim g(x) = b2. X A X A Potom má v bode A limitu aj funkcia: c 1 f + c 2 g, kde c 1, c 2 sú ľubovoľné konštanty a platí lim (c1 f + c2 g) = c1 b1 + c2 b2 X A f g a platí lim f(x) g(x) = b1 b2 X A f g f(x) a platí lim = b 1 X A g(x) b2, b 2 0 Vypočítajte limitu funkcie: x lim 3 [x,y] [0,0] x 2 +y 2
19 Dôkaz neexitencie limity - po krivkách Veta Ak existuje lim f(x, y), tak lim f(x, y) existuje po ľubovoľnej krivke X A X A prechádzajúcej cez bod A a je stále rovnaká. Dokážte, že nasledujúce limity neexistujú. x 1. lim 2 y 2 [x,y] [0,0] x 2 +y 2 2. lim [x,y] [0,0] 3. lim [x,y] [0,0] 2xy x 2 +y 2 x 2 y x 4 +y 2
20 Limita funkcie dvoch premenných - Dvojnásobné (opakované) limity Nech funkcia f(x, y) je definovaná na množine M E 2 a nech [x 0, y 0] je hromadným bodom množiny M. Nech pre každé x x 0 také, že [x, y] M existuje lim f(x, y) = g(x) a nech táto funkcia má v bode x 0 limitu, potom y y 0 ( ) lim g(x) = lim lim f(x, y) sa nazýva dvojnásobná (opakovaná) limita x x 0 x x 0 y y 0 funkcie f v bode [x 0, y 0] podľa y a x. Nech existuje limita funkcie f(x, y) v bode [x 0, y 0] a nech existuje ľubovoľná z dvojnásobných limít, potom sa tieto limity rovnajú.
21 Limita funkcie dvoch premenných - Opakované limity Opakované limity sa používajú na dôkaz neexistencie limity 1. ( Ak opakované limity existujú a sú rôzne, tak limita funkcie neexistuje. lim [x,y] [0, ] ) y x 1+y 2x 2. ( Ak opakované limity existujú a sú rovnaké, limita funkcie nemusí existovať. lim [x,y] [0, ] ) x 2 +y 2 1+(x y) 4 3. ( Opakované limity neexitujú, ) ale limita funkcie dvoch premenný existuje. lim x cos x [x,y] [0, ]
22 Spojitosť funkcie viac premenných Nech je funkcia f(x) definovaná na okolí bodu A = [a 1, a 2,..., a n], ktorý je hromadným bodom jej oboru definície D(f). Hovoríme, že funkcia f(x) je spojitá v bode A, ak platí lim f(x) = f(a). X A Hovoríme, že funkcia f(x) je spojitá v A vzhľadom na množinu M ak: ɛ > 0 δ > 0; x O δ A M : f(x) f(a) < ɛ Ak je funkcia f spojitá v každom bode množiny M D(f), hovoríme, že je spojitá na množine M.
23 Spojitosť funkcie viac premenných Nech funkcie f(x) a g(x) spojité v bode A. Potom 1. f(x) je spojitá v A, 2. c 1 f(x) ± c 2 g(x) je spojitá v bode A, kde c i R sú konštanty, 3. f(x) g(x) sú spojité v bode A. 4. Nech platí g(a) 0. Potom f(x) je spojitá v bode A. g(x) 1. Nájdite body nespojitosti funkcie: f : z = x+y x y. 2. Dodefinujte funkciu, ak sa dá, na spojitú v bodoch nespojitosti g : z = arctan y x 2
24 Spojitosť funkcie viac premenných Funkcia viac premenných, ktorá je spojitá na uzavretej oblasti, má podobné vlastnosti ako funkcia jednej premennej spojitá na uzavretom intervale. Ak je funkcia f spojitá na ohraničenej uzavretej oblasti M E n, potom platí: 1. funkcia f je ohraničená na M, teda existuje také číslo K > 0, že f(x) < K pre každý bod X M. 2. funkcia f nadobúda na množine M svoje maximum aj minimum, teda existuje aspoň jeden bod P 1 M a aspoň jeden bod P 2 M taký, že f(x) f(p 1), f(x) f(p 2) pre každý bod X M. 3. ak A, B sú dva rôzne body z oblasti M také, že f(a) f(b), funkcia f nadobudne každú hodnotu medzi f(a) a f(b) aspoň v jednom bode oblasti M, teda existuje aspoň jeden bod C M taký, že f(a) < f(c) < f(b).
25 Spojitosť zloženej funkcie Nech funkcie ϕ 1(X),..., ϕ m(x) sú spojité na množine M E n. Nech funkcia f(y ); kde Y = [y 1,..., y m] je spojitá na množine N E m a nech pre každý bod X M je bod Y = [ϕ 1(X),..., ϕ m(x)] z množiny N. Potom aj zložená funkcia f(ϕ 1(X),..., ϕ m(x)) je spojitá na množine M. Zdôvodnite spojitosť funkcie v E 2 f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )
26 Parciálne derivácie Nech f je funkcia n 2 premenných x 1,..., x n definovaná na nejakom okolí bodu A = [a 1,..., a n]. Hovoríme, že funkcia f má v bode A parciálnu deriváciu podla premennej x i, ak existuje limita f(a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n) f(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n) lim. x i a i x i a i Hodnotu tejto limity označujeme f(a) x i alebo f x i (A).
27 Výpočet parciálnej derivácie Ak je daná funkcia f n-premenných, tak pri počítaní jej parciálnej derivácie podľa premennej x i postupujeme rovnako, ako pri počítaní derivácie funkcie jednej premennej. (Teda použitím vzorcov pre derivovanie elementárnych funkcií a viet pre derivovanie.) Pri derivovaní funkcie f podľa premennej x i budeme funkciu f považovať za funkciu jednej premennej a to premennej x i, ostatné premenné v predpise funkcie f budeme považovať za konštanty. Parciálna derivácia funkcie f je takisto funkciou n-premenných. 1. Zderivujte nasledujúce funkcie podľa oboch premenných: a) f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2 b) g(x, y) = arctan (x 2 + y 2 ) c) h(x, y, z) = x sin (y + z) + e x+y+z 2. Určte parciálne derivácie predchádzajúcich funkcií podľa oboch premenných v bode A = [1, 2].
28 Parciálne derivácie vyšších radov Nech f je funkcia n-premenných, ktorá má na množine M parciálne derivácie f x 1,..., f x n. Parciálna derivácia druhého rádu funkcie f podľa premenných x i ( a x 2 f k je parciálna derivácia podľa x k parciálnej derivácie funkcie f podľa x i. Označenie: x i x k ) 2 f x i x k Ak x i = x k, píšeme 2 f. x 2 i
29 Zameniteľnosť parciálnych derivácií vyšších rádov Veta Nech f je funkcia n premenných, nech parciálne derivácie f x i a f x j podľa niektorých premenných x i, x j existujú na nejakom okolí bodu A a nech parciálna derivácia derivácia 2 f x j x i 2 f x i x j a platí je spojitá v A. Potom v A je definovaná aj parciálna 2 f(a) x i x j = 2 f(a) x j x i Dokážte, že funkcia z = y + e x2 y 2 vyhovuje parciálnym diferenciálnym rovniciam z xx + z xy = 1 a z xy + z yy = 1
30 Dotyková rovina Veta Ak funkcia f(x, y) je v bode A = [x 0, y 0] diferencovateľná, tak jej graf má v bode P = [x 0, y 0, f(x 0, y 0)] dotykovú rovinu. Jej rovnica je: z f(a) = f(a) x f(a) (x x0) + (y y 0) y Nájdite rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie f(x, y) = x 2 + 2y 2 v bode P 0 = [1, 1, z 0].
31
32 Lokálne extrémy Hovoríme, že funkcia f(x) n-premenných má v bode A = [a 1,..., a n] ostré lokálne maximum (lokálne maximum), ak pre každý bod z okolia bodu A platí f(x) < f(a) (f(x) f(a)). Hovoríme, že funkcia f(x) má v bode A = [a 1,..., a n] ostré lokálne minimum (lokálne minimum), ak pre každý bod z okolia bodu A platí f(x) > f(a) (f(x) f(a)). Veta (Nutná podmienka existencie extrému) Nech funkcia f(x 1,..., x n) n-premenných má v bode A = [a 1,..., a n] lokálny extrém. Nech existujú parciálne derivácie podľa všetkých premenných. Potom f(a) x i = 0 pre každé i = 1,..., n. Bod, v ktorom sa všetky parciálne derivácie rovnajú nule, nazývame stacionárnym bodom.
33 z = x 2 + y 2 V bode [0, 0] je ostré lokálne minimum.
34 z = xy V bode [0, 0] nie je extrém.
35 Lokálne extrémy - Postačujúca podmienka existencie extrému - funkcia dvoch premenných Veta Nech bod A = [a 1, a 2] je stacionárnym bodom funkcie f(x, y). Nech má funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech determinant 2 f(a) 2 f(a) D = x 2 2 f(a) y x x y 2 f(a) y 2 > 0 Potom má funkcia f(x, y) v bode A lokálny extrém, a to: 1. lokálne minimum, ak súčasne platí 2 f(a) x 2 > 0 2. lokálne maximum, ak súčasne platí 2 f(a) x 2 < 0 Ak determinant je záporny (D < 0), tak funkcia f(x, y) v bode A nemá extrém. Ak determinant rovný nule (D = 0), tak o lokálnom extréme nevieme rozhodnúť. Je potrebné vyšetrovať funkciu f(x, y) v okolí stacionárneho bodu A inými metódami (napríklad: testujeme funkčné hodnoty v okolí bodu A).
36 Lokálne extrémy - Postačujúca podmienka existencie extrému - funkcia troch premenných Nech bod A = [a 1, a 2, a 3] je stacionárnym bodom funkcie f(x, y, z). Nech má funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Nech determinant 2 f(a) 2 f(a) D = x 2 2 f(a) y x x y 2 f(a) y 2 > 0 Potom má funkcia f(x, y, z) v bode A lokálny extrém, a to: 1. lokálne minimum, ak platí 2 f(a) x 2 2 f(a) x 2 2 f(a) y x 2 f(a) z x > 0 a zároveň 2 f(a) x z 2 f(a) y z > 0 2 f(a) x y 2 f(a) y 2 2 f(a) z y 2. lokálne maximum, ak súčasne platí 2 f(a) x 2 2 f(a) 2 f(a) x 2 x y 2 f(a) 2 f(a) y x 2 f(a) z x y 2 2 f(a) z y 2 f(a) z 2 < 0 a zároveň < 0 2 f(a) x z 2 f(a) y z 2 f(a) z 2
37 Lokálne extrémy - Algoritmus 1. Nájsť stacionárne body, 2. otestovať stacionárne body na možný extrém, 3. vyšetriť body, v ktorých neexistujú parciálne derivácie podľa všetkých premenných. Nájdite lokálne extrémy funkcie (ak existujú): 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 9y 2. f(x, y) = 2x 3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 3. f(x, y) = y 2 2x 2 y + 2x 4 4. g(x, y) = x 3 + 3xy 2 51x 24y
38 Viazané extrémy Nech funkcia f(x, y) je definovaná na M E 2. Nech množina N je definovaná pomocou funkcie dvoch premenných g(x, y) t.j. N = {[x, y] M; g(x, y) = 0}. Lokálne extrémy funkcie f(x, y) na množine N nazývame viazanými lokálnymi extrémami a rovnicu g(x, y) = 0 nazývame väzbou. Funkcia má v bode A viazané lokálne maximum (minimum) vzhľadom na množinu N, N = {[x, y] M; g(x, y) = 0}, ak A N a existuje také okolie bodu A, že pre každý bod X O ɛ(a), ktorého súradnice spĺňajú rovnicu väzby platí f(x) f(a) (f(x) f(a)).
39 Hľadanie viazaných lokálnych extrémov 1. Ak rovnica väzby g(x, y) = 0 určuje jedinú funkciu y = h(x), potom viazané lokálne extrémy môžeme nájsť ako extrémy funkcie jednej premennej z = F (x) = f(x, h(x)) na množine N. 1.1 Nájdite viazané extrémy funkcie: f(x, y) = x 2 + y 2 za podmienky x + y 1 = Zo všetkých obdĺžnikov, ktorých obvod je 10 cm, nájdite ten, ktorého plošný obsah je maximálny. 2. Pomocou Lagrangeovej metódy neurčitých multiplikátorov Veta Nech funkcia F (x, y) = f(x, y) + λg(x, y) má lokálne maximum (minimum) v bode A, pričom A N. Potom funkcia f(x, y) má v bode A viazané lokálne maximum (minimum) vzhľadom na množinu A. Nájdite viazané lokálne extrémy funkcie f(x, y) = x + y pri väzbe x 2 + y 2 1 = 0.
40 Globálne extrémy Nech f(x, y) je funkcia definovaná na množine M. Maximum (minimum) množiny všetkých hodnôt f(x) funkcie f pre X M sa nazýva globálne alebo absolútne maximum (minimum) funkcie na množine M. Ak M je uzavretá ohraničená množina, tak funkcia má na nej globálne extrémy. Hľadáme ich takto: 1. Nájdeme lokálne extrémy funkcie f vo vnútri množiny M. 2. Nájdeme viazané lokálne extrémy funkcie f na hranici množiny M. 3. Potom globálne maximum (minimum) funkcie f na množine M je maximum (minimum) z lokálnych extrémov funkcie f vo vnútri množiny M a z extrémov funkcie f na hranici množiny M. Nájdite globálne extrémy funkcie f(x, y) = x 2 y 2 na množine M = {[x, y] E 2 : x 2 + y 2 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie f(x, y) = x 2 2y 2 + 4xy 6x 1 na množine M = {[x, y] E 2 : x 0; y 0; y x + 3}.
41 Derivácia v smere Nech f(x) je funkcia viac premenných, kde X = [x 1, x 2,..., x n], bod A = [a 1, a 2,..., a n] a jednotkový vektor u. Deriváciou funkcie f(x) v bode A f(a + t u) f(a) v smere vektora u nazývame limitu lim a označujeme t 0 + t df(a) d u.
42 Gradient Veta Nech f(x, y, z) je funkcia diferencovateľná v bode A = [a 1, a 2, a 3]. Gradientom funkcie f(x, y, z) v bode A nazývame vektor grad f(a), pre ktorý platí grad f(a) = f(a) x i + f(a) y j + f(a) z k Veta Nech f(x) je funkcia diferencovateľná v bode A. Potom pre deriváciu funkcie f(x) v bode A v smere určenom jednotkovým vektorom u platí: df(a) d u = grad f(a) u Derivácia funkcie v bode A v smere vektora je skalárnym súčinom jednotkového vektora a gradientu funkcie f(a).
43 Úlohy 1. Vypočítajte deriváciu funkcie f(x, y) = 6xy 2 2x 3 + y 2 + 2x 8 v bode A = [1; 2] v smere vektora l, ak ( a) l = 1 ) 3 2 ; 2 b) [ l je určený vektorom B A, kde B = 1 ] 3; 1 c) vektor l zviera s osou o x orientovaný uhol π 4 2. Nech je dané f(x, y) = 6xy 2 2x 3 + y 2 + 2x 8 a A = [1; 2]. a) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f(x, y) v bode A najväčšiu deriváciu. b) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f(x, y) v bode A najmenšiu deriváciu. c) Nájdite smer, v ktorom má funkcia f(x, y) v bode A nulovú deriváciu.
44 Zoznam použitej literatúry Eliáš J., Horváth J., Kajan J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 3, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, Bratislava, Ivan J.: Matematika 2, Alfa, Bratislava, 1989, ISBN: Kluvánek I., Mišík L., Švec M.: Matematika 1, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, Bratislava, 1959.
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Motivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Funkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Reálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Goniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Súradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Funkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Obyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Goniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Spojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Vektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Príklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Matematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Ján Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Tomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Integrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Analytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Martin Kollár, L ubica Kossaczká a Daniel Ševčovič Vysokoškolský
3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Základy matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Numerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
viacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
1.1 Zobrazenia a funkcie
1 Teória vypočítateľnosti poznámky z prednášky #1 1.1 Zobrazenia a funkcie Definícia. Čiastočné (totálne) zobrazenie trojice (A, B, f) pre ktoré platí: f A B Ku každému vstupu a A existuje najviac jeden
Príklady k Matematike 1
Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej
Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Ohraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Maturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...
ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Planárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
množiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Maturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Metódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Zložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy