5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα ένας αριθµός R + που καλείται ακτίνα σύγκλισης της δυναµοσειράς τέτοιος ώστε η δυναµοσειρά να συγκλίνει απόλυτα για κάθε < R και οµοιόµορφα σε κάθε κλειστό δίσκο R< R και η δυναµοσειρά να αποκλίνει για κάθε > R Για την εύρεση της ακτίνας σύγκλισης υπενθυµίζουµε την ακόλουθη: Πρόταση 5 Η ακτίνα σύγκλισης µιας δυναµοσειράς ( ) δίνεται από τη σχέση R lim a a + η R lim a υπό την προϋπόθεση ότι τα παραπάνω όρια υπάρχουν a a Σηµείωση: H οµοιόµορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων είναι µια έννοια ισχυρότερη της σύγκλισης η οποία επιτρέπει τη µεταφορά επιθυµητών ιδιοτήτων των όρων της ακολουθίας στην οριακή συνάρτηση Πιο συγκεκριµένα ισχύει: Αν µια ακολουθία f ( ) (ή σειρά f ) συνεχών συναρτήσεων 7
συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια οριακή συνάρτηση f ( ) (δηλαδή ή f f lim f f οµοιόµορφα) τότε και η οριακή συνάρτηση f είναι συνεχής Αν η σύγκλιση δεν είναι οµοιόµορφη τότε η συνέχεια «δεν κληρονοµείται» πάντα στην οριακή συνάρτηση Αν µια ακολουθία f ( ) (ή σειρά f συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια οριακή συνάρτηση f ) ολόµορφων συναρτήσεων σε κάθε κλειστό δίσκο που περιέχεται στον τόπο E τότε και η οριακή συνάρτηση f είναι ολόµορφη στον τόπο E Επιπλέον ισχύει lim f f (ή f f στον τόπο E ) οµοιόµορφα σε κάθε κλειστό δίσκο που περιέχεται Για απλότητα δε θα δώσουµε τον ακριβή ορισµό της οµοιόµορφης σύγκλισης αλλά ένα χρήσιµο κριτήριο για το πότε µια σειρά συναρτήσεων συγκλίνει οµοιόµορφα Κριτήριο Οµοιόµορφης σύγκλισης σειρών (M-test Weierstrass) Aν για µια ακολουθία f ( ) ολόµορφων συναρτήσεων σε τόπο E ισχύει: f M για κάθε E θετικών πραγµατικών αριθµών και αν M <+ τότε η σειρά συναρτήσεων f σε µια ολόµορφη συνάρτηση Εστω τώρα a ( ) όπου { M : } είναι µια ακολουθία συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα στο Ε είναι µια δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R Αν DR είναι ο ανοικτός δίσκος µε κέντρο συνάρτηση και ακτίνα R τότε ορίζεται η 8
( ) f : D : f a Γι αυτή τη συνάρτηση ισχύει το ακόλουθο: R Θεώρηµα 5 (Παραγώγισης δυναµοσειρών) Εστω a ( ) είναι µια δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R και οριακή συνάρτηση ( ) f : D : f a R Τότε η f είναι ολόµορφη στον ανοικτό δίσκο δίνονται από τη σχέση a f ( )! DR και οι συντελεστές a Επιπλέον η δυναµοσειρά παραγωγίζεται και ολοκληρώνεται όρο προς όρο και ισχύει µε την ίδια ακτίνα σύγκλισης f a Απόδειξη Εφόσον τα µερικά αθροίσµατα της σειράς είναι ολόµορφες συναρτήσεις (ως πολυώνυµα) και η δυναµοσειρά συγκλίνει οµοιόµορφα για κάθε κλειστό δίσκο R< R από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η οριακή συνάρτηση f είναι επίσης ολόµορφη στο δίσκο σύγκλισης DR ( ) και επιπλέον η σειρά παραγωγίζεται όρο προς όρο δηλαδή ισχύει Προφανώς f a f a Παραγωγίζοντας έχουµε f a 9
f a Συνεχίζοντας επαγωγικά παίρνουµε το ζητούµενο οπότε Για το αντίστροφο έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµα 5 (Taylor) Εστω f είναι µια ολόµορφη συνάρτηση σε τόπο E και E Αν Dε ( ) είναι ανοικτός δίσκος κέντρου και (οποιασδήποτε) ακτίνας ε ώστε ο δίσκος Dε ( ) να περιέχεται στον τόπο E τότε f ( ) ( ) για κάθε Dε ( ) f! Η παραπάνω καλείται σειρά Taylor της f γύρω από το σηµείο Απόδειξη Θεωρούµε ένα δίσκο D ( ) D ( ) δ και ορίζουµε τον κύκλο ε γ : ζ ε Από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy έχουµε Απ την άλλη µεριά έχουµε ( ζ ) f f dζ πi γ ζ για κάθε D ( ) δ ζ ζ ζ ζ όπου χρησιµοποιήσαµε τον τύπο λ < ζ ( ) + ζ ζ ζ λ λ < µε λ λ ζ D ενώ ζ είναι σηµεία του κύκλου γ Αρα: εφόσον δ διότι 3
( ζ ) ( ) ( ) f f dζ f ( ζ ) dζ πi γ ζ πi γ + ζ f ( ) ( ) f ( ζ ) dζ ( ) πi γ + ζ! Παρατήρηση (α) Το ανάπτυγµα Taylor της f είναι µοναδικό ηλαδή αν f a b a b (β) H δυνατότητα αναπαράστασης κάθε ολόµορφης συνάρτησης από µια σειρά Τaylor δεν ισχύει πάντα για απειροδιαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις Αυτή είναι µια σηµαντική διαφοροποίηση των ολόµορφων συναρτήσεων σε σχέση µε τις απειροδιαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις (γ) Η σειρά Taylor McLauri f της f γύρω από το καλείται σειρά! (δ) Αν a και και R τότε για το γινόµενό τους ισχύει b είναι δυο σειρές McLauri µε ακτίνες σύγκλισης R f g ab µε ακτίνα σύγκλισης R mi { R R } (ε) Tα αναπτύγµατα Taylor των στοιχειωδών συναρτήσεων θεωρούνται γνωστά < 3
e! + ηµ ( )! συν! ( ) + Log ( + ) < + Το Θεώρηµα Taylor µας εξασφαλίζει το ανάπτυγµα µιας ολόµορφης συνάρτησης f σε σηµείο σε µια συγκλίνουσα δυναµοσειρά µέσα σ ένα δίσκο κέντρου εν µπορούµε να πούµε το ίδιο όταν το είναι ανώµαλο σηµείο της f πχ αν e f Για τέτοιες συναρτήσεις υπάρχει ένα ανάπτυγµα της µορφής f a ( ) το οποίο ισχύει σε κάποιο «διάτρητο» δίσκο < < r Γενικότερα αποδεικνύεται ότι µια συνάρτηση η οποία είναι ολόµορφη σ έναν ανοικτό δακτύλιο έχει µοναδικό ανάπτυγµα της παραπάνω µορφής Εχουµε το εξής: Θεώρηµα 53 (Lauret) Έστω f είναι ολόµορφη στο δακτύλιο Τότε για κάθε G ισχύει όπου { : } ( ) G R < < R R < R a f a ( ) f πi γ ( ) + και γ είναι οποιαδήποτε απλή κλειστή θετικά προσανατολισµένη τµηµατικά λεία καµπύλη στο εσωτερικό του G Το παραπάνω καλείται ανάπτυγµα Lauret d 3
της f είναι µοναδικό και συγκλίνει απόλυτα στο G και οµοιόµορφα σε κάθε συµπαγές υποσύνολο του G Απόδειξη Είναι ένας συνδυασµός του γενικευµένου τύπου Cauchy µε την αποδεικτική µέθοδο στο Θεώρηµα Taylor Ανώµαλα σηµεία και ταξινόµηση αυτών Ορισµός 5 Ένα σηµείο όπου η f δεν ορίζεται ή δεν είναι ολόµορφη καλείται ανώµαλο σηµείο της Εστω είναι ανώµαλο σηµείο της f Αν υπάρχει κάποιος διάτρητος δίσκο < < R όπου f είναι ολόµορφη τότε λέµε ότι η f έχει αποµονωµένη ή µεµονωµένη ανωµαλία στο Τότε η f αναπτύσσεται σε σειρά Lauret f a ( ) < < R Εστω τώρα ότι το είναι ένα µεµονωµένο ανώµαλο σηµείο της f Αν υπάρχει m έτσι ώστε στο ανάπτυγµα Lauret της f να ισχύει a και a για κάθε < m δηλαδή m f a ( ) < < R m τότε το καλείται πόλος m -τάξης και µπορούµε να γράψουµε g f m όπου η g είναι ολόµορφη στο δίσκο R < µε g Στην περίπτωση που το ανάπτυγµα Lauret της f περιέχει άπειρο πλήθος µη µηδενικών συντελεστών a ( ) τότε το καλείται ουσιώδης ανωµαλία της f Τέλος εάν ισχύει a για κάθε < τότε η ανωµαλία καλείται επουσιώδης ή απαλείψιµη 33
Ορισµός 5 Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο G εκτός ενός πλήθους σηµείων που είναι πόλοι της f στον G τότε η f καλείται µερόµορφη συνάρτηση Οι ακόλουθες προτάσεις χαρακτηρίζουν τους διαφόρους τύπους ανωµαλιών: Πρόταση 5 Εάν η f είναι ολόµορφη σε τόπο G και έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο σηµείο τότε το είναι απαλείψιµη ανωµαλία αν και µόνο αν ισχύει κάποια από τις παρακάτω συνθήκες: Η f είναι φραγµένη σε κάποια διάτρητη περιοχή του υπάρχει το lim f lim f Πρόταση 53 Εάν η f είναι ολόµορφη σε τόπο G και έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο σηµείο τότε το είναι πόλος τάξης αν και µόνο αν ο είναι ο µικρότερος φυσικός ώστε να ισχύει κάποια από τις παρακάτω συνθήκες: η ( ) f είναι φραγµένη σε κάποια περιοχή του υπάρχει το lim f και είναι διάφορο του µηδενός + lim f Ολοκληρωτικά Υπόλοιπα Ορισµός 5 Εστω f είναι ολόµορφη στο διάτρητο δίσκο < < R µε ανάπτυγµα Lauret f ( ) ( ) π i γ + ( ) f a d όπου γ είναι οποιαδήποτε απλή κλειστή θετικά προσανατολισµένη τµηµατικά 34
λεία καµπύλη στο εσωτερικό του διάτρητου δίσκου < < R Ο συντελεστής a f d πi γ του αναπτύγµατος Lauret της f καλείται ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο συµβολικά Res f Θεώρηµα 54 (Ολοκληρωτικών υπολοίπων) Εστω f είναι ολόµορφη πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής κλειστής θετικά προσανατολισµένης τµηµατικά λείας καµπύλης γ µε εξαίρεση ένα πεπερασµένο πλήθος αποµονωµένων ανωµάλων σηµείων στο εσωτερικό της γ Τότε f d π i Res( f ) γ Απόδειξη Αµεση από το γενικευµένο Θεώρηµα Cauchy και τον ορισµό 5 Υπάρχουν απλές µέθοδοι για τον υπολογισµό των ολοκληρωτικών υπολοίπων µιας συνάρτησης σε πόλους Πράγµατι Αν το είναι απαλείψιµη ανωµαλία τότε a Res f οπότε ( ) f a Αν το είναι πόλος ης τάξης τότε a f a + ( ) οπότε a Res( f ) lim ( ) f Αν το είναι πόλος ης τάξης τότε 35
οπότε a a f + + a ( ) + ( ) f a + a ( ) + a ( ) και παραγωγίζοντας και τα δύο µέλη έχουµε Αρα (( ) f ) a + ( + ) a ( ) + d a Res( f ) lim ( ) f d Συνεχίζοντας επαγωγικά µε τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι Αν το είναι πόλος m-τάξης τότε Res f lim ( m )! m (( ) ) m d f m d Aν µια συνάρτηση f είναι ολόµορφη στο εξωτερικό κάποιου δίσκου τότε είναι λογικό να πούµε ότι η f έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο Στην περίπτωση που θέλουµε να εξετάσουµε µια ολόµορφη συνάρτηση στο είναι λογικό να εξετάσουµε την f στο Εστω F f a a Μελετώντας λοιπόν τη σειρά Lauret της F διαπιστώνουµε αν το είναι απαλείψιµη ανωµαλία ή πόλος ή ουσιώδης ανωµαλία Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο ορίζεται κατά τα γνωστά ως Res( f ) f d πi γ 36
όπου γ είναι απλή κλειστή και θετικά προσανατολισµένη καµπύλη ως προς το χωρίο του σχήµατος (βλέπε ακόλουθο σχήµα) Res f Res - f Πρόταση 54 Ισχύει Απόδειξη Εστω γ είναι ο κύκλος R ο οποίος διαγράφεται µε τη φορά του παραπάνω σχήµατος Τότε θέτοντας w έχουµε Res ( f ) f d f πi i w w dw γ π Γ Res - f Πρόταση 55 Εστω f είναι ολόµορφη σε δίσκο < R και έστω { } είναι µια ακολουθία σηµείων του δίσκου µε λ ( λ ) τέτοια ώστε * lim Αν f ( ) τότε ισχύει f ( ) παντού στο δίσκο < R Απόδειξη Για κάθε στο δίσκο R Αφού η f είναι συνεχής στο < ισχύει f a + a ( ) έχουµε lim f f a Αρα: οπότε f a+ a f ( ) lim f a + a a 37
Επαγωγικά µε τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι a για κάθε Πρόταση 56 Υποθέτουµε ότι µια συνάρτηση f είναι ολόµορφη σε τόπο G και ότι η ακολουθία σηµείων { } µε λ ( λ ) συγκλίνει σε σηµείο G Αν f ( ) τότε ισχύει f ( ) παντού στο G Πόρισµα 5 Οι ρίζες µιας ολόµορφης συνάρτηση σε τόπο G είναι αποµονωµένα σηµεία άρα το πλήθος τους είναι το πολύ αριθµήσιµο Θεώρηµα 55 (Αρχή ταυτισµού) Υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ολόµορφες σε τόπο G και ότι η ακολουθία σηµείων { } ( λ ) συγκλίνει σε σηµείο G Αν f ( ) g( ) f g παντού στο G Εφαρµογές των ολοκληρωτικών υπολοίπων (α) Υπολογισµός γενικευµένων ολοκληρωµάτων µε λ τότε ισχύει Θεώρηµα 56 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων εκ των οποίων κανένα δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα και έστω ότι Τότε: R ( f ) lim π lim f x dx i Res f R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Im > Ισοδύναµα R lim f ( x) dx πi Res( f ζ ) R + R όπου ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Im( ) < Σηµειώνουµε ότι η σύγκλιση των γενικευµένων ολοκληρωµάτων θεωρείται µε την έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή της s 38
ύπαρξης του lim R + R R f x dx f x dx Απόδειξη Εστω είναι όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Εξ υποθέσεως η f είναι ολόµορφη πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών Εκλέγουµε R > ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της f να περικλείονται στο εσωτερικό του ηµικυκλίου R θ [ π ] µε τη θετική φορά όπως στο σχήµα Τότε από το Θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε: γ όπου π f d i Res f R R f ( x) dx + f d π i Res( f ) R CR C είναι το άνω ηµικύκλιο Αν δείξουµε f lim d τότε το R + Θεώρηµα θα έχει αποδειχθεί Για κατάλληλα µεγάλο R έχουµε εξ υποθέσεως ότι i Rf( Re θ ) ε όπου ε αυθαίρετα µικρό οπότε π iθ iθ f d f ( Re ) Rie dθ επ ε Αρα το Θεώρηµα αποδείχθηκε C R Το παραπάνω Θεώρηµα µπορεί να γενικευθεί στην περίπτωση που η f έχει και πεπερασµένο πλήθος απλών πόλων πάνω στον πραγµατικό άξονα Αυτό συµβαίνει λόγω της ακόλουθης: Πρόταση 57 (Λήµµα Jorda) Εστω f είναι ολόµορφη στο διάτρητο δίσκο Dr { : r} < < και έχει απλό πόλο στο Αν C R < ε < r 39
+ είναι τόξο κύκλου και ακτίνας ε και γ { : i e θ ε ε : θ θ θ} τότε ( θ θ ) lim f d i Res f ε γ ε Απόδειξη Εφόσον το είναι απλός πόλος έχουµε a a f d + g d d + g d γε γε γε γε όπου η g είναι ολόµορφη στο δίσκο D Προφανώς r a θ iθ d a i e d a i ( ) i γ ε θ θ θ θ ε θ εe Απ την άλλη µεριά εφόσον η g είναι ολόµορφη στο δίσκο r ( ) συνεχής στο δίσκο Dr ( ) και άρα φραγµένη σε µια περιοχή του αρκούντως µικρό ε έχουµε f M για κάθε Αρα: γ ε και παίρνουµε το ζητούµενο Dε g d M d M θ θ ε ε D θα είναι Αρα για Θεώρηµα 57 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων και έστω ( f ) lim Αν η f έχει µόνον απλούς πόλους r r m πάνω στον πραγµατικό άξονα τότε: όπου R π + π lim f x dx i Res f i Res f r R + R είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο m 4
Im > Ισοδύναµα όπου R s π ( ζ ) π lim f x dx i Res f i Res f r R + R ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Im < Απόδειξη Συνδυασµός της Πρότασης 57 και του Θεωρήµατος 56 (β) Υπολογισµός ολοκληρωµάτων της µορφής π R ( συνθ ηµθ ) όπου R είναι ρητή συνάρτηση του ηµθ συνθ που δεν έχει ανώµαλα σηµεία επί του µοναδιαίου κύκλου dθ m Θέτουµε i e θ θ [ π ) oπότε παίρνουµε: iθ iθ e + e συνθ + iθ iθ e e ηµθ i i και d d e d ie dθ dθ Τότε: i θ i iθ d R d f d i Res f ( συνθ ηµθ ) θ π π όπου είναι όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία της ρητής συνάρτησης f εντός του µοναδιαίου κύκλου µε τη θετική φορά (η f προκύπτει από τις παραπάνω αντικαταστάσεις των συνθ ηµθ στην R και από την αντικατάσταση του dθ ) 4
(γ) Υπολογισµός ολοκληρωµάτων τύπου Fourier lim R iω x ω f ( x) e dx ω ( f : ) Φ R + R Θεώρηµα 58 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων εκ των οποίων κανένα δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα και έστω ότι Αν ω τότε: lim f για κάθε ω < ισχύει R iωx iω π ( ) lim f xe dx i Rese f R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Ι m > και για κάθε ω > ισχύει όπου s iωx iω π ( ζ ) R lim f x e dx i Res e f R R + ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Ι m < Σηµειώνουµε ότι η σύγκλιση των ολοκληρωµάτων αυτών θεωρείται µε την έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή της ύπαρξης του lim R i x f xe ω dx R + R Το Θεώρηµα αυτό µπορεί να γενικευθεί για την περίπτωση που η f έχει και πεπερασµένο πλήθος απλών πόλων πάνω στον πραγµατικό άξονα Θεώρηµα 59 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων και έστω ότι lim f 4
Αν η f έχει µόνον απλούς πόλους r r m πάνω στον πραγµατικό άξονα και αν ω τότε: για κάθε ω < ισχύει R m i ω x i i π ( ω ) + π ( ω ) lim f x e dx i Res e f i Res e f r R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Ι m > και για κάθε ω > ισχύει s m iωx iω iω π ( ζ) π ( ) f xe dx i Rese f i Rese f r ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Ι m < όπου Σηµείωση: Τα ολοκληρώµατα στα Θεωρήµατα 57 και 59 θεωρούνται ότι συγκλίνουν µε την έννοια πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή: Αν f είναι συνεχής στο τότε υπάρχει το lim R πραγµατικός αριθµός ή R i x f xe ω dx R και είναι αν η f είναι ασυνεχής σε σηµείο a και µη φραγµένη σε µια περιοχή του a τότε υπάρχει το lim a + r lim a + r iω x f xe dx + r ) a r (δ) Αντιστροφή µετασχηµατισµού Laplace γ + i t f () t e F d ( t ) π i > γ i iω x f xe dx + r (ή το a r Eστω ότι µια συνάρτηση F είναι ολόµορφη στο µιγαδικό επίπεδο εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος ανώµαλων σηµείων Για αρκετά µεγάλο R θεωρούµε 43
ένα κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα της µορφής ix ( x R) γ + το οποίο επιλέγεται έτσι ώστε το γ > να είναι αρκετά µεγάλο ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της F να περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού Αν (κάτω από κάποιες συνθήκες πάνω στην f ) η συνάρτηση F( ) είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της f δηλαδή + t F f() t e dt τότε η f () t γ ir t lim πi + e F d + R ir i e F d t γ π > γ i γ i t είναι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace της F υπό την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωµα συγκλίνει κατά Cauchy Θεώρηµα 5 Εστω ότι ο µετασχηµατισµός Laplace F( ) (µιας συνάρτησης f(t) t>) είναι ολόµορφη στο εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος ανώµαλων σηµείων και έστω γ + is ( s R) είναι κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα έτσι ώστε το γ > να είναι αρκετά µεγάλο ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της F να περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού Αν lim F τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace f της συνάρτησης F υπολογίζεται από την ισότητα γ + f() t lim ir e t F d Res( e t F ) ( t ) π i R > γ ir Λυµένες ασκήσεις Να αναπτυχθούν σε σειρά McLauri οι συναρτήσεις (α) f 5+ 6 (β) g ηµ και να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης (γ) h Log( ) Λύση (α) Χρησιµοποιώντας ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε f 5+ 6 3 3 + 44
+ 3 + < 3 3 3 συν (β) Χρησιµοποιώντας τον τύπο ηµ παίρνουµε συν ηµ!! (γ) Εχουµε + ( ) + Log + + + < Να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο η συνάρτηση f ( + ) 4 3 + 3i 6i + Λύση Mετά από διαίρεση των δύο πολυωνύµων (αριθµητή και παρονοµαστή) και στη συνέχεια µε ανάλυση σε άθροισµα µερικών κλασµάτων παίρνουµε + + + + f 3i 3i 3i+ + + 3 ( ) ( ) 3i+ 3 + 3 < ( ) ( ) < 3 + i 3 3 45
3i+ < 3 + ( ) Εστω g 3i Τότε g 3i g g > Αρα η g αναπτύσσεται σε πολυώνυµο Taylor γύρω από το σηµείο ως g g g + g ( ) + ( ) ( 3i ) + ( 3i )( ) + ( ) Ετσι έχουµε f ( 3i) + ( 3i)( ) + ( ) + ( ) ( ) + < 3 3 Χρησιµοποιώντας τα ανάπτυγµα McLauri της f υπολογισθεί η σειρά ( ) να Λύση Θεωρούµε τη γεωµετρική σειρά < + Παραγωγίζοντας παίρνουµε ( ) < + Θέτουµε στην παραπάνω παίρνουµε + 4 Να βρεθούν όλες οι ακέραιες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση f f f µε αρχικές συνθήκες f Λύση Eφόσον η f είναι ακεραία θα ισχύει f () f Από το! f f και το θεώρηµα παραγώγισης δυναµοσειρών την εξίσωση θεώρηµα µοναδικότητας για τη σειρά Taylor έχουµε: 46
f () f () f f!! ( ) ( + ) f () f ()!! f () f ()!! ( + ) ( + ) f () f () Aπό τις αρχικές συνθήκες παίρνουµε + f () άρα f! ( ) 5 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα Lauret των συναρτήσεων (α) f + i (β) g ( + ) σε όλους τους δυνατούς δακτυλίους µε κέντρο το σηµείο i Λύση (α) Η f είναι ολόµορφη στο { i} και συνεπώς η f δε µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Lauret σε δακτύλιο µε κέντρο το i Ετσι έχουµε: ( η περίπτωση): Eστω i < i ( i) Τότε i που να περιέχει το i f i ( i) i i ( i ) i i + i + + ( η περίπτωση): Eστω i > i Τότε 47
i f i i i i i + + i i (β) Η g είναι ολόµορφη στο { } ( i) + και συνεπώς η g δε µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Lauret σε δακτύλιο µε κέντρο το i που να περιέχει το ή το Με ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε: g ( + ) + i + i i + + i ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: ( η περίπτωση): Eστω i < i < Τότε προφανώς ισχύει και i i i < < οπότε στο δακτύλιο { : < i < } + i έχουµε: g i i + i i + + i + i i i ( ) ( ) i i + i + i ( i + ) + i ( + i) ( η περίπτωση): Eστω i > i > i και < i < i + i Τότε στο δακτύλιο { : < i < } έχουµε g i + i + i i + ( i) ( ) ( + i ) 48
i i ( ) ( ) i i + i + i a ( i) όπου a ( ) ( i) + ( i) + < (3 η περίπτωση): Eστω i i > i > Τότε > και στο + i i δακτύλιο { : < i } έχουµε g i + i i + ( i) ( + i) ( i ) i + i ( ) ( ) i i i i ( i ( i) )( i) + 6 Να ταξινοµηθούν τα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) + f (β) ηµ π + συν g (γ) h e (δ) ( ηµ ) (ε) l (στ) e m ( )( ) 3 ηµ ( π ) 3 και να υπολογισθούν τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα στα σηµεία αυτά Λύση (α) Η συνάρτηση f είναι ολόµορφη στο { } + + διαπιστώνουµε ότι το Εφόσον είναι πόλος ης τάξης (άµεσα 49
Res f Σηµειώνουµε ότι η f είναι από τον ορισµό) Ετσι έχουµε ολόµορφη στο διότι υπάρχει το f (β) Λύνουµε την εξίσωση παρατηρούµε ότι a lim lim + π e + i Επίσης e e άρα οι είναι απλές ρίζες Για τις τιµές των που βρήκαµε ο αριθµητής της g δε µηδενίζεται ποτέ Από τα παραπάνω συνάγουµε ότι η g είναι ολόµορφη στο { : } όπου είναι πόλοι ης τάξης της g Ετσι έχουµε lim ( ) Res g g LHosp ' ( ηµ ( π ) ) ( ) πσυν ( π ) ηµ ( π ) + + + lim e e Επειδή lim ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της g (γ) Η συνάρτηση h είναι ολόµορφη στο { } Επειδή 4 cos + + +! 4!! 4! η h έχει πόλο ης τάξης στο σηµείο και από τον ορισµό προκύπτει ότι Res( h ) Ισοδύναµα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο d! Res( h) lim ( ) h d lim συν ( π ) π limηµ ( π ) Σηµειώνουµε ότι το είναι ουσιώδες ανώµαλο σηµείο της h (δ) Κατ αρχήν λύνουµε την εξίσωση 5
π i i π + e e 6 ηµ ηµ i π π + π 6 Τα σηµεία είναι ρίζες του παρονοµαστή πολλαπλότητας ενώ ο αριθµητής δεν έχει ρίζες Αρα η είναι ολόµορφη στο { : } όπου είναι πόλοι ης τάξης οπότε d Res( ) lim ( )! d 4 ηµ συν 3 Επειδή lim ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της (ε) Κατ αρχήν λύνουµε την εξίσωση e e π i {} π i { } Η συνάρτηση µας είναι ολόµορφη στο { } : { } Προφανώς τα σηµεία είναι απλές ρίζες του παρονοµαστή ενώ το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο (είναι το όριο των αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων ) Τα σηµεία είναι απλοί πόλοι οπότε i Res( l) lim (( ) l ) 3 3 8 π Σηµειώνουµε ότι το είναι πόλος ης τάξης της l διότι το σηµείο είναι πόλος ης τάξης της l (στ) Η m δεν είναι ολόµορφη στα σηµεία που είναι ρίζες της εξίσωσης ηµ π Παρατηρούµε ότι τα σηµεία ± είναι απλές ρίζες του αριθµητή το σηµείο είναι ρίζα του αριθµητή πολλαπλότητας 5
τα σηµεία είναι ρίζες του παρονοµαστή πολλαπλότητας 3 Αρα συνδυάζοντας τα παραπάνω βρίσκουµε εύκολα ότι τα σηµεία ± είναι πόλοι ης τάξης της m οπότε το σηµείο είναι απαλείψιµη ανωµαλία της m τα υπόλοιπα σηµεία { ± } Εχουµε λοιπόν: είναι πόλοι 3 ης τάξης της m d Res( m) lim ( ) m 3 ( )! d π d 7 Res( m-) lim ( + ) m 3 ( )! d π Res( m ) () d 3 Res( m) lim ( ) m (3 )! d Επειδή lim m ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της 7 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα (α) ed 3 (β) γ γ ηµ d (γ) e ηµ d γ όπου γ είναι ο µοναδιαίος κύκλος µε θετικό προσανατολισµό Λύση: (α) H συνάρτηση f e έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε 5
Επειδή ed πi Res f γ f e! από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου Res f Tελικά και το παραπάνω ανάπτυγµα Lauret έχουµε ότι (β) H συνάρτηση 3 ed πi Res f πi πi γ g ηµ έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε a Επειδή πi Res( f) g d γ 3 g + + 3 5 7 + + 4 3! 5! 7! 3! 5! 7! από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου και το παραπάνω ανάπτυγµα Res g Tελικά a Lauret έχουµε ότι π g d i Res g πi γ (γ) H συνάρτηση h e ηµ έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε h d πi Res h Επειδή γ + + + + + 3! 3! 5! 3 3 3 5 3 h 53
από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου και το παραπάνω ανάπτυγµα Res h Tελικά a Lauret έχουµε ότι h d πi Res h πi πi γ 8 Να υπολογισθούν τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) (γ) d d (β) ( ) ( ) 4 ηµ π d (δ) d ( ) / ( ) 4 ηµ π d 3 d Λύση (α) H συνάρτηση f έχει δύο αποµονωµένα ανώµαλα ( ) σηµεία: το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης και το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης Επειδή και τα δύο ανώµαλα σηµεία είναι στο εσωτερικό του κύκλου από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Επειδή f d πi ( Res( f ) + Res( f )) d Res( f ) lim ( ) lim lim ( )! d ( ) ( ) ( ) και παίρνουµε Res( f ) lim ( ) lim ( ) π f d i + 54
(β) Οπως είδαµε παραπάνω η συνάρτηση f έχει δύο ( ) αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία: το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης και το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης Τώρα όµως µόνον το είναι στο εσωτερικό του κύκλου / οπότε από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε / (γ) Η συνάρτηση g f d πi Res f πi πi ( ) 4 ηµ π έχει στο σηµείο πόλο 3 ης τάξης (παρατηρήστε ότι το είναι απλή ρίζα και του αριθµητή) Επειδή όµως g είναι ολόµορφη στο εσωτερικό του κύκλου από το Θεώρηµα του Cauchy έχουµε g d (δ) Στην περίπτωση αυτή ο πόλος 3 ης τάξης βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου 3 οπότε από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Επειδή παίρνουµε Res g 3 πi Res( g) g d d () ( ) lim ( ) 3 3 4 ( ) ηµ π (3 )! d 3 ηµ ( π ) 5π lim ( ) 3 3 4 5π π i g d π i 3 3 9 Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα 55
dx (α) (β) 4 + x xdx ( a > ) ( x )( x + a ) Λύση (α) Θεωρούµε τη ρητή συνάρτηση 4 ισχύει lim ( f ) lim lim 4 3 + / + Η f έχει 4 απλούς πόλους που είναι ρίζες της εξίσωσης f + για την οποία ισχύει π+ π i 4 4 4 + e 3 πi 3πi 5πi 7πi 4 4 4 4 Αρα οι πόλοι της f είναι τα σηµεία e e e 3 e Από αυτούς µόνον οι βρίσκονται στο άνω ηµιεπίπεδο (και καµία πάνω στον πραγµατικό άξονα) Αρα από το Θεώρηµα 56 παίρνουµε dx πi 4 ( Res( f ) + Res( f ) ) + x Εφόσον τα είναι απλοί πόλοι έχουµε και + i Res( f ) lim( ) f lim 4 ( )( )( ) 3 i Res( f ) lim( ) f lim 4 dx π Ετσι προκύπτει 4 + x ( )( )( ) 3 (β) Θεωρούµε τη ρητή συνάρτηση f ( )( + a ) για την οποία 56
ισχύει 3 lim lim lim ( f ) ( )( + a ) ( / )( + a / ) Η f έχει: έναν απλό πόλο πάνω στον πραγµατικό άξονα και δύο πόλους ης τάξης στα σηµεία ± ai εκ των οποίων µόνον ο ai βρίσκεται στο άνω ηµιεπίπεδο Αρα από το Θεώρηµα 57 παίρνουµε Εφόσον και xdx πi Res ( f ai) + πi Res( f) ( x )( x + a ) Res f lim f lim ( + a ) ( + a ) Res f ai lim ai f lim + i a ( )( ai) + ( + a ) 4a( + a ) ai ai προκύπτει ( a ) xdx π x x + a 4a + a Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π ( + συνθ ) 3 dθ i Λύση Θέτουµε e θ θ [ π ) Τότε: iθ d d ie dθ idθ dθ i 57
iθ iθ e + e + + + συνθ και iθ iθ e e ηµθ i i i i οπότε το αρχικό ολοκλήρωµα µε αντικατάσταση των παραπάνω γίνεται Η συνάρτηση f d d i i + ( + 3+ ) 3+ ( + 3+ ) έχει πόλους δεύτερης τάξης οι οποίες είναι 3± 5 οι ρίζες της εξίσωσης + 3+ εκ των οποίων µόνον η µια βρίσκεται εντός του µοναδιαίου κύκλου Αρα από το Θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Υπολογίστε: 3+ 5 3π i 5 5 d πi Res f ( 3 ) + + i iω x xe dx (α) το ολοκλήρωµα + x (β) το ολοκλήρωµα ( 3 ) xηµ x dx ( ab > a b) ( x + a )( x + b ) (γ) τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace της συνάρτησης F + + 8 3 + 4 58
Λύση (α) Εστω h Τότε lim h Απ την άλλη µεριά η + iω e συνάρτηση g έχει δύο απλούς πόλους στα σηµεία ± i κανένας εκ + των δυο δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα Τότε απ το Θεώρηµα 58 παίρνουµε ( i) iω x ω xe dx πi Res g i ω < πie / ω < ω + x πi Res g ω > πie / ω > ω πie ω < ω πie ω > xdx Αν ω τότε βρίσκουµε άµεσα ότι (θεωρούµε τη σύγκλιση µε + x την ασθενή έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy) (β) Εστω συνάρτηση g h ( + a )( + b ) e 3i ( + a )( + b ) Τότε lim g Απ την άλλη µεριά η έχει τέσσερις απλούς πόλους στα σηµεία ± ai ± bi κανένας εκ των οποίων δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα Τότε απ το Θεώρηµα 58 (για ω 3) παίρνουµε 3ix xe dx πi ( Res( h ai) + Res( h bi) ) (ab>) ( x + a )( x + b ) 3a 3b 3a 3b e e πi e e π i ( b a ) ( b a ) b a Εξισώνοντας τα φανταστικά µέρη της παραπάνω ισότητας παίρνουµε xηµ ( 3 ) x dx ( x + a )( x + b ) 3a 3b ( e ) πie b a 59
+ + 8 (γ) Εστω F Τότε lim F Απ την άλλη µεριά η 3 + 4 συνάρτηση F( ) έχει τρεις απλούς πόλους στα σηµεία ± i Aν γ + είναι κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα έτσι ώστε το γ > τότε is ( s R) όλοι οι πόλοι της F περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού τότε απ το Θεώρηµα 5 έχουµε ότι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace f ισούται µε ( ) ( ) t t t f () t Res e F + Res e F i + Res e F i i it i it συν t + e + e + ( t > ) 4 4 Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα: (α) + ax dx x + b ( a b > ) i e (β) d όπου γ είναι η περίµετρος ορθογωνίου στο µιγαδικό επίπεδο γ + 4 µε κορυφές τα σηµεία i 3 + i 3 log a Λύση (α) Θεωρούµε τη συνάρτηση f η οποία είναι πλειονότιµη + b µε το να είναι κλαδικό σηµείο Για ευκολία θεωρούµε εκείνο τον κλάδο του π 3π λογάριθµου για τον οποίο ισχύει log ( a) ( a ) + iθ θ < και έχουµε το σχήµα απ το οποίο χρησιµοποιώντας το θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων και λαµβάνοντας υπόψη ότι η f έχει δύο απλούς πόλους στα σηµεία ± bi εκ των 6
οποίων µόνον ο πόλος bi βρίσκεται στο εσωτερικό του παραπάνω σχήµατος παίρνουµε R r R + + + π Re ( ) f d f x dx f d f x dx i s f bi C R c r Για αρκούντως µεγάλο R C R >> b έχουµε: r θ π ar+ i iθ ar+ π f d Rie dθ R π R + iθ Re + b R b διότι ar+ π lim R π + R b R (L Hospital) Eπίσης για αρκούντως µικρό r << b έχουµε: c r + iθ ar ar + π iθ f d rie dθ r π r π iθ re + b b r + διότι r ( ar) lim άρα και + r r r ar lim Τελικά παίρνουµε: + b r Αλλά + + π f x dx f x dx i Re s f bi π + ax + i ax + iπ f ( x) dx dx dx x + b x + b + ax + dx + i π dx x + b x + b Αρα + + ax + f ( x) dx + f ( x) dx dx + iπ dx πi Re s ( f bi) x + b x + b Εφόσον 6
( a) log( a) log πi Res( f bi) πi lim( bi) πi lim bi + b bi + bi τελικά έχουµε ( abi) ( ab) + i π π ( ab) π log / πi π + i bi b b b π π ax ab ax ab dx dx x + b b x + b b + + i e (β) Η συνάρτηση f έχει απλούς πόλους στα σηµεία ± i εκ των + 4 οποίων µόνον το σηµείο i υπεισέρχεται στην ολοκλήρωση και βρίσκεται πάνω στην κορυφή του ορθογωνίου Ολοκληρώνουµε την f κατά µήκος της κλειστής καµπύλης όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα Τότε από το Θεώρηµα του Cauchy έχουµε f ( ) d συνεπώς R r i + 3 i 3 f d + f d + f d + f d + f d r+ i 3+ i 3 c όπου c r τόξο µε τη φορά του σχήµατος Τότε r i + + + + 3 i 3 f d f d f d f d f d r+ i 3+ i 3 cr r i 3 Αφού cr : i re θ π + θ π από την Πρόταση 57 έχουµε διαγράφεται µε τη θετική φορά 6
3π πi ie πe lim f d i π Res( fi) + c r 4 8 r συνεπώς f πe d γ 8 Αλυτες ασκήσεις Να αναπτυχθούν σε σειρά McLauri οι συναρτήσεις (α) f ( + )( ) (β) g ηµ ( ) (γ) h Arcta h (δ) sec και να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης συν + < 3 Απάντ (α) (γ) ( ) + + (β) + 4 5 π < (δ) + + + < 4 (-) ( + )! 4+ Να βρεθούν τα αναπτύγµατα Lauret των συναρτήσεων (α) f 3 σε όλους τους δυνατούς δακτυλίους µε κέντρο το σηµείο (β) g µε κέντρο το σηµείο για κάθε < < ( ) (γ) h ηµ γύρω απ το σηµείο Απάντ (α) + 3 όταν < 3 + όταν > 3 3 63
(β) ηµ ( + π ) 4 (γ) < <! ( ) 3 Να ταξινοµηθούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) f ( + ) (β) g (γ) h ηµ sih (δ) ( e + ) (ε) l e m ηµ π (στ) (ζ) a ηµ ( π ) 4 Απάντ (α) ± 5 πόλοι ης τάξης (β) π ± ± απλοί πόλοι (γ) απαλείψιµη ανωµαλία πi ± ± απλοί πόλοι (δ) + + πi πόλοι ης τάξης (ε) ουσιώδης ανωµαλία (στ) ± π απαλείψιµες ανωµαλίες (ζ) π πόλος ης τάξης 4 Να υπολογισθούν τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα στα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) e f (β) g ηµ + (γ) h συν ηµ 5 Res f 6 Απάντ (α) Res( f ) e Res( f ) e (β) ( ) (γ) Res( f )!! ( + ) 64
5 Να ορισθεί ο χαρακτήρας του ανωµάλου σηµείου των συναρτήσεων (α) f ( + cosh) συν (β) g 7 Απάντ (α) πόλος 4 ης τάξης (β) πόλος 5 ης τάξης 6 Υπολογίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) e t d γ είναι ο κύκλος 3 γ ( + + ) µε θετικό προσανατολισµό (β) ηµ ( π ) ( ) + 3 d γ είναι το τετράγωνο µε κορυφές τα σηµεία ± 3± 3i γ µε θετικό προσανατολισµό (γ) + 5 d γ είναι ο κύκλος i 3 γ 3 ( + ) ( + 4) προσανατολισµό µε θετικό (δ) γ e d cosh γ είναι ο κύκλος 5 µε θετικό προσανατολισµό t π 3π 5πi 3πi + ηµ (β) 6π i (γ) 7 8 4 4 Απάντ (α) i ( t) ( t ) (δ) 8π i 7 Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα dx (α) (β) 6 + x xdx ( x + ) ( x + x+ ) π 7π Απάντ (α) (β) 3 5 8 Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα 65
(α) π dθ (β) 3 συνθ + ηµθ ( 3 ) π συν θ dθ 5 4συνθ π Απάντ (α) π (β) 9 Υπολογίστε: (α) το ολοκλήρωµα τύπου Fourier ηµ x e x iω x dx (β) το ολοκλήρωµα x ηµ π x dx x + x+ 5 Απάντ (α) ( ω) π ω Φ (β) ω > πe π Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace των συναρτήσεων (α) F + ( + 9) (β) G 8 5 ( ) 4 9 3 Απάντ (α) f () t συν ( 3t) + ηµ 3t (β) g() t ( t+ ) e t Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα: (α) + x + x + dx (β) ηµ x dx (γ) x p + x dx < p < + x Απάντ (α) π ηµ π π π (β) (γ) ( p ) 66