Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη Μετοχικών Χαρτοφυλακίων... 3. Ειαγωγή... 3. Η Διαδικαία της Διαχείριης Χαρτοφυλακίων... 4.3 Η Δήλωη της Επενδυτικής Πολιτικής... 8.4 Στρατηγικές Διαχείριης Μετοχικών Χαρτοφυλακίων... 4.5 Η Προβληματική της Διαχείριης Μετοχικών Χαρτοφυλακίων.. 66.6 Το Περιβάλλον της Ελληνικής Κεφαλαιαγοράς... 68.7 Εταιρείες Παροχής Επενδυτικών Συμβουλών... 76 Κεφάλαιο 3: Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης... 79 3. Ειαγωγή... 79 3. Απόδοη και Κίνδυνος... 80 3.3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 83 3.4 Η περίπτωη χαρτοφυλακίου δυο χρεογράφων... 85 3.5 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 90 3.6 Τεχνικές Προδιοριμού Αποτελεματικών Μετώπων... 96
6 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Κεφάλαιο 4: Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων... 05 4. Ειαγωγή...05 4. Το Υπόδειγμα Ενός Δείκτη...06 4.3 Υποδείγματα Πολλαπλών Δεικτών...4 4.4 Απλοποιημένες Τεχνικές Καθοριμού Αποτελεμ. Μετώπων...0 Κεφάλαιο 5: Άλλα Υποδείγματα Επιλογής Χαρτοφυλακίου... 7 5. Ειαγωγή...7 5. Ανάλυη χρηιμότητας...7 5.3 Συναρτήεις Ανοχής Κινδύνου...36 5.4 Μέη Γεωμετρική Απόδοη...37 5.5 Κριτήρια Αφάλειας...39 5.6 Αξία τον Κίνδυνο...43 5.7 Στοχατική Κυριαρχία...47 5.8 Υποδείγματα Τριών Ροπών...48 Κεφάλαιο 6: Υποδείγματα Ιορροπίας... 5 6. Ειαγωγή...5 6. Το Υπόδειγμα Αποτίμηης Κεφαλαιακών Στοιχείων...5 6.3 Η Θεωρία Αντιταθμιτικής Αποτίμηης...58 Κεφάλαιο 7: Συμπεράματα... 6 7. Συμπεράματα...6 Βιβλιογραφία... 7
4 Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων 4. Ειαγωγή Ο προδιοριμός ενός αποτελεματικού μετώπου προϋποθέτει τον υπολογιμό ενός υνόλου χαρτοφυλακίων μέω των οποίων αυτό θα αναπαρίταται. Η διαδικαία αυτή μπορεί να είναι ιδιαίτερα δυχερής, καθώς για τον υπολογιμό της αναμενόμενης απόδοης και του κινδύνου ενός χαρτοφυλακίου χρεογράφων απαιτείται ένας αρκετά μεγάλος όγκος δεδομένων. Από την παράγραφο 3., για την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου ιχύει: Η ανάγκη για την ειαγωγή νέων υποδειγμάτων R = X R = ρ = X + XX = = = Όπως φαίνεται από τις εκφράεις αυτές, τα απαιτούμενα δεδομένα για τον υπολογιμό της αναμενόμενης απόδοης και του κινδύνου ενός χαρτοφυλακίου αφορούν τις αναμενόμενες αποδόεις των χρεογράφων που περιλαμβάνει, τις τυπικές αποκλίεις τους και τα τοιχεία του μητρώου υχετίεων (correlaton matrx). Το πρόβλημα αποκτά διατάεις ειδικά την περίπτωη του υπολογιμού του μητρώου υχετίεων. Πιο υγκεκριμένα, για ένα ύνολο χρεογράφων θα πρέπει να υπολογιτούν οι υ-
06 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ντελετές υχέτιης ρ για όλα τα δυνατά ζεύγη χρεογράφων και. Καθώς ο πρώτος δείκτης μπορεί να λάβει τιμές και ο δεύτερος τιμές (διότι ), προκύπτει ότι το ύνολο των υντελετών υχέτιης που απαιτείται να υπολογιτούν ανέρχεται ε ( ) (διότι ρ= ρ ). Με βάη τα παραπάνω και με δεδομένο ότι ε επίπεδο πρακτικής η πλειονότητα των εταιρειών διαχείριης χαρτοφυλακίου τρατηγικά ακολουθεί ένα πλήθος 50 έως 50 μετοχικών χρεογράφων (Elton et al., 007), αποδεικνύεται ότι θα πρέπει ε ταθερή βάη να υπολογίζεται ένα ύνολο.75 έως 3.5 υντελετών υχέτιης. Ο υπολογιμός αυτού του ό- γκου και τύπου των δεδομένων ε ταθερή βάη αποτελεί μια διαδικαία με πολύ μεγάλες δυκολίες. Για τον λόγο αυτό, ημαντικό πλήθος ερευνών ετιάζει την ανάπτυξη υποδειγμάτων μέω των οποίων επιτυγχάνεται, τόο ο περιοριμός του όγκου, όο και η απλοποίηη του τύπου των δεδομένων που απαιτούνται ως είοδοι για τη διαδικαία της ανάλυης χαρτοφυλακίου. Ανάπτυξη του υποδείγματος ενός δείκτη 4. Το Υπόδειγμα Ενός είκτη Το πλέον διαδεδομένο από τα υποδείγματα αυτά, είναι το υπόδειγμα του ενός δείκτη (sngle-ndex model). Το υγκεκριμένο υπόδειγμα βαίζεται την υπόθεη ότι οι αποδόεις ενός υνόλου χρεογράφων μπορεί να είναι μεταξύ τους υχετιμένες, εξαιτίας του ότι η υμπεριφορά των χρεογράφων αυτών επηρεάζεται με τον ίδιο τρόπο από τις αλλαγές που υμβαίνουν την αγορά. Πράγματι, όταν η τάη της αγοράς, όπως αυτή μετράται π.χ. από τον γενικό δείκτη του χρηματιτηρίου, είναι ανοδική, τότε οι τιμές της πλειοψηφίας των χρεογράφων είναι επίης ανοδικές. Στην αντίθετη περίπτωη, μια πτωτική τάη του γενικού δείκτη υνδυάζεται με πτώη τις τιμές των περιότερων χρεογράφων. Με βάη τα παραπάνω, η απόδοη R ενός χρεογράφου μπορεί να γραφεί ως εξής: R=+ a β R m όπου a η υνιτώα της απόδοης του χρεογράφου που είναι ανεξάρτητη της απόδοης της αγοράς (τυχαία μεταβλητή), R m η απόδοη του γενικού δείκτη της αγοράς (τυχαία μεταβλητή) και β μια ταθερά η οποία μετρά τη μεταβολή που αναμένεται να έχει η απόδοη R του χρεογράφου για δεδομένη μεταβολή της απόδοης R του γενικού δείκτη της αγοράς. m
Κεφάλαιο 4: Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων 07 Η υνιτώα της απόδοης του χρεογράφου που είναι ανεξάρτητη της απόδοης της αγοράς είναι δυνατόν να γραφεί ως εξής: a=+ α e όπου οι όροι α και e εκφράζουν την αναμενόμενη τιμή και το τυχαίο μέρος (με αναμενόμενη τιμή ίη με το μηδέν) της υνιτώας a. Με βάη τα παραπάνω, η απόδοη R ενός χρεογράφου μπορεί να γραφεί τώρα ως εξής: R=+ α β R+ e m όπου οι όροι R m και e είναι τυχαίες μεταβλητές. Οι μεταβλητές αυτές θα πρέπει να είναι αυχέτιτες μεταξύ τους, δηλαδή: ( e Rm) E ( e )( Rm Rm) cov, = 0 = 0 Πράγματι, εάν οι μεταβλητές R m και e είναι αυχέτιτες η ακρίβεια με την οποία το υπόδειγμα του ενός δείκτη περιγράφει την απόδοη ενός χρεογράφου θα είναι ανεξάρτητη της απόδοης που μπορεί να έχει η αγορά. Η βαική υπόθεη του υποδείγματος ενός δείκτη έχει να κάνει με το ότι το τυχαίο μέρος e είναι ανεξάρτητο του e για όλες τις τιμές των και : ( ) E e, e= 0 Η παραπάνω υπόθεη εκφράζει την κύρια ιδιότητα του υποδείγματος ενός δείκτη, με βάη την οποία η ομοιότητα αναφορικά τη μεταβολή των τιμών ενός υνόλου χρεογράφων οφείλεται την επίδραη του γενικού δείκτη της αγοράς και μόνο (π.χ. αποκλείονται επιδράεις από υγκεκριμένους βιομηχανικούς κλάδους κλπ.). Με βάη τα παραπάνω, το υπόδειγμα ενός δείκτη διατυπώνεται ως εξής: Βαική εξίωη R=+ α β R+ e για όλα τα χρεόγραφα =,,..., m Από κατακευή Αναμενόμενη τιμή του Από υπόθεη E e= για όλα τα χρεόγραφα =,,..., e = ( ) 0. E e( R R) = 0 m m για όλα τα χρεόγραφα =,,...,
08 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ. Ee (, e= ) 0 για όλα τα ζεύγη χρεογράφων =,,..., και =,,..., με Εξ οριμού. Διακύμανη του e = Ee () = e για όλα τα χρεόγραφα =,,...,. Διακύμανη του R m = ER ( mm R) = m για όλα τα χρεόγραφα =,,..., Στη υνέχεια εξάγονται αναλυτικά οι εκφράεις για την αναμενόμενη τιμή R, τη διακύμανη και τη υνδιακύμανη. Για την αναμενόμενη απόδοη R ενός χρεογράφου: Για τη διακύμανη ( ) = ( α + β m + ) () () α ( β m) () () = α + β R E R E R e E R = E + E R + E e E R m ενός χρεογράφου: ( R) = E R ( α β ) ( α β) = E + R + e + R m m ( ) ( ) β ( ) () ( ) () = E β R R + e m m = β E R R + E e R R + E e m m m m = β E R R + E e m m = β + m e Για τη υνδιακύμανη μεταξύ δυο χρεογράφων: ( )( ) { ( α β ) ( α β) ( α β ) ( α β ) } { β( ) β( ) } E( R R) E e( R R) E e( R R) E( e e) = E R R R R = E + R + e + R + R + e + R m m m m = E R R + e R R + e m m m m = ββ + β + β +, m m m m m m = ββ m
Κεφάλαιο 4: Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων 09 Έχοντας υπολογίει τις παραπάνω εκφράεις για κάθε χρεόγραφο, είναι δυνατόν τώρα να καθοριτεί η αναμενόμενη απόδοη και η διακύμανη για κάθε χαρτοφυλάκιο. Για την αναμενόμενη απόδοη Για τη διακύμανη R = R ενός χαρτοφυλακίου: = X R R = X α + X β R m = = ενός χαρτοφυλακίου: X XX = = = = + = Xβ m + XX ββ m + X e = = = = Με βάη τις παραπάνω εκφράεις, για τον υπολογιμό της αναμενόμενης απόδοης και της τυπικής απόκλιης ενός χαρτοφυλακίου απαιτείται να εκτιμηθούν οι τιμές των όρων α, οι τιμές των όρων β, οι τιμές των διακυμάνεων e, καθώς και οι τιμές R m και m για την αναμενόμενη απόδοη και τη διακύμανη της απόδοης του γενικού δείκτη της αγοράς. Έτι το ύνολο των απαιτούμενων παραμέτρων με βάη το υπόδειγμα του ενός δείκτη ανέρχεται ε 3+, αριθμός ημαντικά μικρότερος ε χέη με το ύνολο των ( ) παραμέτρων (υντελετών υχέτιης) που απαιτούνται με βάη τους υμβατικούς οριμούς της αναμενόμενης απόδοης και της διακύμανης ενός χαρτοφυλακίου. Για ένα πλήθος 50 έως 50 μετοχικών χρεογράφων, αποδεικνύεται ότι με βάη το υπόδειγμα του ενός δείκτη θα πρέπει να εκτιμηθεί ένα ύνολο 45 έως 75 παραμέτρων, αριθμός πολύ μικρός ε χέη με τον όγκο των δεδομένων που απαιτούνται με βάη τους υμβατικούς οριμούς (.75 έως 3.5 παράμετροι). Με βάη το υπόδειγμα ενός δείκτη, η απόδοη R ενός χρεογράφου μπορεί να γραφεί ως εξής: R=+ α β R+ e m Υπολογιμός των παραμέτρων του υποδείγματος ενός δείκτη
0 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Η παραπάνω εξίωη παριτάνει μια ευθεία γραμμή η οποία είναι δυνατόν να προδιοριτεί με παλινδρόμηη των αποδόεων κάθε χρεογράφου με τις αποδόεις του γενικού δείκτη της αγοράς, χρηιμοποιώντας χρονοειρές ιτορικών δεδομένων (Σχήμα 4.). Στην εξίωη αυτή ο όρος α αποτελεί τον υντελετή άλφα (alpha coeffcent) του χρεογράφου, ενώ αντίτοιχα ο όρος β αποτελεί τον υντελετή βήτα (beta coeffcent) αυτού. Ο υντελετής βήτα κάθε χρεογράφου για μια ειρά T περιόδων υπολογίζεται μέω της χέης: β = = m m T ( Rt Rt)( Rmt Rmt) t= T ( Rmt Rmt) t= T T Σχήμα 4.: Προδιοριμός των υντελετών άλφα και βήτα
Κεφάλαιο 4: Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων Αφού υπολογιτεί ο υντελετής βήτα κάθε χρεογράφου, ο υντελετής άλφα αυτού υπολογίζεται μέω της χέης: α = RR β t mt Εξάλλου, η υπολειμματική διακύμανη (resdual rsk) κάθε χρεογράφου υπολογίζεται μέω της χέης: ( ) α+βr T e = Rt mt T t= Όπως αποδείχθηκε, για τον κίνδυνο ενός χρεογράφου θα ιχύει: = β + m ε Δηλαδή, ο υνολικός κίνδυνος ενός χρεογράφου έχει δυο υνιτώες:. Η πρώτη υνιτώα εκφράζεται από τον όρο β m και ονομάζεται υτηματικός ή μη-διαφοροποιήιμος κίνδυνος (systematc or non-dversfable rsk).. Η δεύτερη υνιτώα εκφράζεται από τον όρο e και ονομάζεται μη-υτηματικός ή διαφοροποιήιμος κίνδυνος (non-systematc or dversfable rsk). Εξάλλου, εκτός από μεμονωμένα χρεόγραφα, οι υντελετές άλφα και βήτα είναι δυνατόν να οριτούν και για χαρτοφυλάκια χρεογράφων. Για τον υντελετή άλφα ενός χαρτοφυλακίου θα ιχύει: Συτηματικός και μηυτηματικός κίνδυνος = X α = α Αντίτοιχα, για τον υντελετή βήτα ενός χαρτοφυλακίου θα ιχύει: Η αναμενόμενη απόδοη = X β = β R ενός χαρτοφυλακίου μπορεί τώρα να γραφεί: R = α +βr m Αν θεωρηθεί ότι το χαρτοφυλάκιο είναι το χαρτοφυλάκιο της αγοράς (market portfolo), τότε θα πρέπει να ιχύει: RR = m
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Η παραπάνω χέη θα επαληθεύεται για α = 0 και β =, δηλαδή οι υντελετές άλφα και βήτα της αγοράς είναι 0 και αντίτοιχα. Για τη διακύμανη ενός χαρτοφυλακίου θα ιχύει: Xβ m XX ββ m X e = = = = = + + XX ββ m X e == = = + = Xβ X β m + Xe = = = = β m + X e = Αν υποτεθεί ότι το διαθέιμο κεφάλαιο ιοκατανέμεται μεταξύ των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου, προκύπτει: = βm + e = Στην περίπτωη χαρτοφυλακίων τα οποία περιέχουν μεγάλο αριθμό χρεογράφων, ο όρος e (μέη υπολειμματική διακύμανη) = της παραπάνω χέης, πρακτικά εξουδετερώνεται. Αντίθετα, ο όρος β m παραμένει ανεπηρέατος. Με βάη τα παραπάνω, για τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: ( ) = βm = βm = m X β = Από την παραπάνω έκφραη αποδεικνύεται ότι την περίπτωη καλά διαφοροποιημένων χαρτοφυλακίων ο υντελετής βήτα κάθε χρεογράφου αποτελεί μέτρο της υνειφοράς του χρεογράφου αυτού τον υνολικό κίνδυνο του χαρτοφυλακίου. Συμπεραματικά, όπως και την περίπτωη μεμονωμένων χρεογράφων, ο υνολικός κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου έχει δυο υνιτώες (Σχήμα 4.):
Κεφάλαιο 4: Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων 3. Η πρώτη υνιτώα, δηλαδή ο υτηματικός ή μη-διαφοροποιήιμος κίνδυνος του χαρτοφυλακίου, εκφράζεται από τον όρο β m και αποτελεί εκείνο το μέρος του κινδύνου το οποίο δεν είναι δυνατόν να εξουδετερωθεί.. Η δεύτερη υνιτώα, δηλαδή ο μη-υτηματικός ή διαφοροποιήιμος κίνδυνος του χαρτοφυλακίου, εκφράζεται από τον όρο = X e. και αποτελεί εκείνο το μέρος του κινδύνου το οποίο είναι δυνατόν να εξουδετερωθεί. Σχήμα 4.: Κίνδυνος χαρτοφυλακίου και διαφοροποίηη β m Μη-υτηματικός κίνδυνος Συνολικός κίνδυνος Συτηματικός κίνδυνος Τέλος, επιημαίνεται ότι ανάλογα με την τιμή του υντελετή βήτα, ένα χαρτοφυλάκιο ή ένα χρεόγραφο μπορεί να θεωρηθεί ως μια επικίνδυνη ή μη επένδυη. Έτι, χαρτοφυλάκια ή χρεόγραφα με υντελετή βήτα μεγαλύτερο της μονάδας αναμένεται να παρουιάουν μεγαλύτερες μεταβολές ε χέη με την αγορά και για τον λόγο αυτό οι επενδύεις αυτές θεωρούνται
4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Το υπόδειγμα της αγοράς επιθετικές. Αντίθετα χαρτοφυλάκια ή χρεόγραφα με υντελετή βήτα μικρότερο της μονάδας αναμένεται να παρουιάουν μικρότερες μεταβολές ε χέη με την αγορά και για τον λόγο αυτό οι επενδύεις αυτές θεωρούνται αμυντικές. Τέλος, χαρτοφυλάκια ή χρεόγραφα με υντελετή βήτα ίο με τη μονάδα ακολουθούν πλήρως την πορεία της αγοράς, ενώ χαρτοφυλάκια ή χρεόγραφα με υντελετή βήτα ίο με το μηδέν δεν επηρεάζονται από την πορεία της αγοράς. Μια διαφοροποιημένη και ιδιαίτερα δημοφιλής μορφή του υποδείγματος ενός δείκτη αποτελεί το υπόδειγμα της αγοράς (market model) (Sharpe, 963). Η διατύπωη του υποδείγματος της αγοράς είναι πανομοιότυπη με αυτή του υποδείγματος ενός δείκτη, με τη μόνη διαφορά ότι το υπόδειγμα της αγοράς δεν δέχεται την υπόθεη cov( ee=, ) 0, βάη της οποίας η ομοιότητα αναφορικά τη μεταβολή των τιμών ενός υνόλου χρεογράφων οφείλεται αποκλειτικά την επίδραη του γενικού δείκτη της αγοράς. Το υπόδειγμα της αγοράς, όπως και το υπόδειγμα ενός δείκτη, έχοντας ως αφετηρία την εξίωη: R=+ α β R+ e m με την οποία υχετίζεται η απόδοη ενός χρεογράφου με την απόδοη του γενικού δείκτη της αγοράς, καταλήγει τη χέη: R=+ α βr m μέω της οποίας προδιορίζονται οι αναμενόμενες αποδόεις όλων των χρεογράφων. Καθώς όμως με βάη το υπόδειγμα της αγοράς δεν ιχύει η υπόθεη cov( ee=, ) 0, οι εκφράεις που προκύπτουν για τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου είναι ιδιαίτερα πολύπλοκες. Ανάπτυξη του γενικού υποδείγματος πολλαπλών δεικτών 4.3 Υποδείγματα Πολλαπλών εικτών Σε αντίθεη με το υπόδειγμα του ενός δείκτη, με βάη τα υποδείγματα πολλαπλών δεικτών (mult-ndex models) οι αποδόεις ενός υνόλου χρεογράφων μπορεί να είναι μεταξύ τους υχετιμένες, εξαιτίας του ότι η υμπεριφορά των χρεογράφων αυτών επηρεάζεται με τον ίδιο τρόπο, όχι μόνο από τις αλλαγές που υμβαίνουν την αγορά, αλλά και από αλλαγές που υμβαίνουν ε υγκεκριμένους βιομηχανικούς κλάδους, αλλαγές τα επίπεδα των επιτοκίων κλπ.
Κεφάλαιο 4: Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων 5 Αν υποθέουμε ότι η απόδοη R ενός χρεογράφου επηρεάζεται από ένα πλήθος L δεικτών, τότε με βάη το γενικό υπόδειγμα πολλαπλών δεικτών θα ιχύει: R a b I b I b I c =+ + ++... L L+ όπου I η πραγματική (καταγραφεία) τιμή του δείκτη και b το μέτρο της ευαιθηίας της απόδοης του χρεογράφου τις αλλαγές του δείκτη. Όπως και την περίπτωη του υποδείγματος ενός δείκτη, η υνιτώα της απόδοης του χρεογράφου που δε χετίζεται με κάποιον δείκτη, εκφράζεται από τους όρους a (αναμενόμενη τιμή) και c (τυχαίο μέρος με αναμενόμενη τιμή ίη με το μηδέν). Η υπολογιτική διαδικαία θα μπορούε να απλοποιηθεί ημαντικά αν οι δείκτες το παραπάνω υπόδειγμα ήταν αυχέτιτοι (ορθογώνιοι). Το πρόβλημα αυτό είναι δυνατόν να ξεπερατεί με χρήη της ακόλουθης μεθοδολογίας: Έτω το υπόδειγμα δυο δεικτών: R=+ a b I+ b I+ c Θεωρώντας I= I, με παλινδρόμηη μεταξύ των I=++ γγ I d ο t I και I : όπου γ ο και γ είναι οι υντελετές της παλινδρόμηης και d t το τυχαίο φάλμα. Από την παραπάνω έκφραη προκύπτει: t ( γγ ) d= + I I ο Η εξίωη αυτή περιγράφει την απόδοη του δείκτη I, η οποία όμως τώρα είναι απαλλαγμένη από την επίδραη του δείκτη I. Θέτοντας dt= I προκύπτει: I=++ Iγγ I ο οπότε για την απόδοη του χρεογράφου θα ιχύει: R = a + b I + b I + bγ + bγ I + c ο ( γο) ( γ) R = a + b + b + b I + b I + c Αν a+ bγ ο = a, bb += γb και γίνεται: b = b, τότε η παραπάνω έκφραη
6 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ R=+ a b I+ b I+ c όπου πλέον οι δείκτες I, I είναι μεταξύ τους αυχέτιτοι. Επομένως, το γενικό υπόδειγμα πολλαπλών δεικτών είναι δυνατόν να γραφεί ε μορφή όπου όλοι οι δείκτες I είναι μεταξύ τους αυχέτιτοι: R=+ a b I+ b I++ b I+ c... L L Στο γενικό υπόδειγμα πολλαπλών δεικτών, υχέτιη δε θα πρέπει να υ- πάρχει ούτε μεταξύ των υπολοίπων c και των δεικτών I. Θα πρέπει δηλαδή: ( ) = 0 E c I I για κάθε Η παραπάνω υνθήκη εξαφαλίζει το ότι η ακρίβεια με την οποία το γενικό υπόδειγμα πολλαπλών δεικτών περιγράφει την απόδοη ενός χρεογράφου είναι ανεξάρτητη της τιμής που μπορεί να λάβει οποιοδήποτε δείκτης. Με βάη τα παραπάνω, το γενικό υπόδειγμα πολλαπλών δεικτών διατυπώνεται ως εξής: Βαική εξίωη R=+ a b I+ b I++ b I+ c για όλα τα χρεόγραφα =,,...,... L L Εξ οριμού. Υπολειμματική διακύμανη του χρεογράφου = c όπου =,,...,. Διακύμανη του δείκτη I = Από κατακευή όπου =,,..., L I. Αναμενόμενη τιμή του c = Ec= ( ) 0 για όλα τα χρεόγραφα =,,...,. Συνδιακύμανη μεταξύ των δεικτών και k = E[( I I )( Ik Ik)] = 0 για όλους τους δείκτες =,,..., L και k,,..., L k = ( ). Συνδιακύμανη μεταξύ των υπολοίπωνc και των δεικτών I = Ec [ ( I = I)] 0 για όλα τα χρεόγραφα και όλους τους δείκτες =,,..., και =,,..., L
Κεφάλαιο 4: Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων 7 Από υπόθεη Συνδιακύμανη μεταξύ των c και c = Ec (, c= ) 0 για όλα τα ζεύγη χρεογράφων =,,..., και =,,..., L με Στη υνέχεια εξάγονται αναλυτικά οι εκφράεις για την αναμενόμενη τιμή R, τη διακύμανη και τη υνδιακύμανη. Για την αναμενόμενη απόδοη R ενός χρεογράφου: ( ) = ( + + +... + L L + ) () () ( ) ( )... ( L L) () () = + + +... + E R E a b I b I b I c E R = E a + E b I + E b I + + E b I + E c E R a b I b I b I Για τη διακύμανη L L ( R) ενός χρεογράφου: (... ) (... ) L L L L ( ) ( )... ( ) L L L ( ) ( )( ) = E R = E a+ bi+ bi + + bi + c a+ bi+ bi + + bi = E b I I + b I I + + b I I + c = E b I I + b b I I I I +... + + + bb L( I I)( IL IL) b ( I I) c... = be( I I) b be ( I I)( I I) ( )( ) ( ) = be ( I I) +... + Ec () + +... + b ble I I IL I L b E I I c + +... = b + b +... + b + I I L IL c Για τη υνδιακύμανη { ( )( ) = E R R R R μεταξύ δυο χρεογράφων: (... ) (... ) ( a bi bi... blil c) ( a bi bi... blil) } = E a + b I + b I + b I + c a + b I + b I + + b I L L L L + + + + + + + +
8 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ { ( ) ( )... ( ) ( ) + ( ) +... + L( L L) + } ( ) ( )( )... ( )( ) + ( ) +... ( ) ( )( )... b E ( I I)( I I) b E ( I I) c + +... ( ) ( )... ( ) = E b I I + b I I + + b I I + c L L L b I I b I I b I I c = E b b I I + b b I I I I + + bb I I I I b I I c L L L = bb E I I + bb E I I I I + + b L L L I I L L IL = bb E I I + bb E I I + + bb E I I L L L L = bb + bb +... + bb Τύποι υποδειγμάτων πολλαπλών δεικτών Με βάη τις παραπάνω εκφράεις, για τον υπολογιμό της αναμενόμενης απόδοης και της τυπικής απόκλιης ενός χαρτοφυλακίου απαιτείται να εκτιμηθούν οι τιμές των όρων α, οι L τιμές των όρων b k, οι L τιμές των όρων I, οι L τιμές των διακυμάνεων I και οι τιμές των διακυμάνεων c. Έτι το ύνολο των απαιτούμενων παραμέτρων με βάη το γενικό υπόδειγμα πολλαπλών δεικτών ανέρχεται ε ++ L L, αριθμός ημαντικά μικρότερος, και ε αυτή την περίπτωη, από το ύνολο των ( ) παραμέτρων (υντελετών υχέτιης) που απαιτούνται με βάη τους υμβατικούς οριμούς της αναμενόμενης απόδοης και της διακύμανης ενός χαρτοφυλακίου. Για ένα πλήθος 50 έως 50 μετοχικών χρεογράφων, αποδεικνύεται ότι με βάη ένα υπόδειγμα π.χ. 0 δεικτών, θα πρέπει να εκτιμηθεί ένα ύνολο 80 έως 300 παραμέτρων. Ο αριθμός αυτός είναι μεν μεγαλύτερος από τον αριθμό των παραμέτρων που απαιτούνται με βάη το υπόδειγμα του ενός δείκτη (45 έως 75 παράμετροι), παραμένει ωτόο και πάλι πολύ μικρός ε χέη με τον όγκο των δεδομένων που απαιτούνται με βάη τους υμβατικούς οριμούς (.75 έως 3.5 παράμετροι). Η έρευνα πάνω τα υποδείγματα πολλαπλών δεικτών είναι ιδιαίτερα εκτεταμένη (Elton et al., 007). Δυο εκ των πλέον ημαντικών τύπων υποδειγμάτων πολλαπλών δεικτών οι οποίοι έχουν προταθεί κατά καιρούς είναι τα υποδείγματα δεικτών βιομηχανίας (ndustry ndex models) και τα υποδείγματα θεμελιωδών πολλαπλών δεικτών (fundamental mult-ndex models).
Κεφάλαιο 4: Η Απλοποίηη της ιαδικαίας Επιλογής Χαρτοφυλακίων 9 Τα υποδείγματα δεικτών βιομηχανίας έχοντας ως αφετηρία το υπόδειγμα του ενός δείκτη, ενωματώνουν επιπλέον δείκτες προκειμένου να υχετίουν τις επιδράεις υγκεκριμένων βιομηχανικών κλάδων με τις αποδόεις των μετοχών (Kng, 966; Cohen and ogue, 967; Elton et al., 999). Εξάλλου, τα υποδείγματα θεμελιωδών πολλαπλών δεικτών υχετίζουν τις αποδόεις των μετοχών, είτε με διάφορα θεμελιώδη μεγέθη των επιχειρήεων, όπως π.χ. η κεφαλαιοποίηη, η χρηματιτηριακή τιμή της μετοχής προς τη λογιτική τιμή της μετοχής, η χρηματιτηριακή τιμή της μετοχής προς τα κέρδη ανά μετοχή κλπ. (Bhandar, 988; Fama and French, 993), είτε με διάφορες μακροοικονομικές μεταβλητές, όπως π.χ. το επίπεδο των επιτοκίων, ο πληθωριμός, οι υναλλαγματικές ιοτιμίες κλπ. (Burmester and Mc Elroy, 988; Burmester et al., 994; Chen et al., 986; Sorensen et al., 989). Ένα από τα πιο διαδεδομένα υποδείγματα πολλαπλών, αποτελεί το υπόδειγμα τριών παραγόντων (three-factor model) των Fama and French (993). Σε αυτό, η απόδοη μιας μετοχής υχετίζεται: α) με την απόδοη της αγοράς, β) τη διαφορά αποδόεων μεταξύ χαρτοφυλακίων τα οποία περιέχουν μετοχές υψηλής και χαμηλής κεφαλαιοποίηης, και γ) τη διαφορά αποδόεων μεταξύ χαρτοφυλακίων που περιέχουν μετοχές με υψηλές και χαμηλές τιμές δείκτη BV/MV. Το βαικό πλεονέκτημα του υποδείγματος τριών παραγόντων ε χέη με το υπόδειγμα αποτίμηης κεφαλαιακών τοιχείων είναι ότι υνεκτιμά υγκεκριμένες ανωμαλίες της αγοράς, όπως το ύνδρομο του μεγέθους και η υπεροχή ε επίπεδο απόδοης, των μετοχών αξίας έναντι των μετοχών ανάπτυξης. Επιπλέον, χαρακτηριτικές είναι οι περιπτώεις των υποδειγμάτων πολλαπλών δεικτών της εταιρείας MSCI Barra (www.mscbarra.com), η οποία εξειδικεύεται την ανάπτυξη πληροφοριακών υτημάτων υποτήριξης επενδυτικών αποφάεων. Κύριο χαρακτηριτικό των υποδειγμάτων πολλαπλών δεικτών της Barra, είναι ότι ενωματώνουν ένα μεγάλο πλήθος δεικτών βιομηχανίας, θεμελιωδών και άλλων χαρακτηριτικών μεγεθών των εταιρειών, με τόχο την αποτύπωη των διαφόρων πηγών κινδύνου. Ως γνωτότερα εξ αυτών αναφέρονται τα Barra U.S. Equty Model E3 και Barra Europe Equty Model EUE3, τα οποία ε επίπεδο εμπορικής εκμετάλλευης, υποτηρίζονται υγχρόνως από ολοκληρωμένες βάεις δεδομένων.