1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή συστήματα κλειστού βρόχου. Σημειώνεται ότι, πολλά συστήματα από τη φύση τους είναι ασταθή συστήματα ανοιχτού βρόχου, ενώ σε κάποιες περιπτώσεις σχεδιάζονται συστήματα που παρουσιάζουν αστάθεια ανοιχτού βρόχου, όπως για παράδειγμα πολλά σύγχρονα συστήματα που χρησιμοποιούνται σε μαχητικά αεροσκάφη τα οποία είναι ασταθή από το στάδιο της σχεδίασης. Στην περίπτωση αυτή, χωρίς τον έλεγχο ενεργών αναδράσεων που βοηθούν τον πιλότο, αυτά τα αεροσκάφη δεν είναι δυνατό να πετάξουν. Τα διάφορα ενεργά σήματα ελέγχου εισάγονται με τη βοήθεια των μηχανικών στο σύστημα, έτσι ώστε να σταθεροποιούνται ασταθείς διεργασίες. Με τη βοήθεια της ανάδρασης μπορούμε να μετατρέψουμε μια ασταθή διεργασία σε ευσταθή με την προσεκτική επιλογή των παραμέτρων του ελεγκτή του αντίστοιχου συστήματος ελέγχου και να προσαρμόσουμε την μεταβατική συμπεριφορά του συστήματος στις εκάστοτε απαιτήσεις. Η ανάδραση χρησιμοποιείται επίσης και για ευσταθείς διεργασίες ανοιχτού βρόχου με σκοπό να προσαρμόσουμε τη συμπεριφορά του αντίστοιχου συστήματος κλειστού βρόχου στις επιθυμητές λειτουργικές προδιαγραφές. Γενικά, ένα σύστημα κλειστού βρόχου χαρακτηρίζεται είτε ως ευσταθές, είτε ως ασταθές. Ο χαρακτηρισμός αυτός αφορά στη λεγόμενη απόλυτη ευστάθεια. Όμως, σε ένα ευσταθές σύστημα κλειστού βρόχου, μπορούμε να διερευνήσουμε περαιτέρω το βαθμό ευστάθειάς του. Η διαδικασία αυτή αφορά στη λεγόμενη σχετική ευστάθεια. Για παράδειγμα, στη σχεδίαση συστημάτων αεροσκαφών η σχετική ευστάθεια είναι ιδιαίτερα σημαντική: όσο περισσότερο ευσταθές είναι ένα αεροσκάφος, τόσο δυσκολότερος είναι ο χειρισμός του (π.χ. η διαδικασία στροφής). Ένα σύγχρονο μαχητικό αεροσκάφος είναι πολύ λιγότερο ευσταθές από ένα επιβατηγό αεροσκάφος, αλλά μπορεί και ανταποκρίνεται ταχύτατα στους διάφορους χειρισμούς. Αυτή η σχετική ευστάθεια των μαχητικών αεροσκαφών προσφέρει αυξημένη δυνατότητα ελιγμών, αλλά απαιτεί και αυξημένο βαθμό ικανότητας των πιλότων. Ένα σύστημα λέμε ότι βρίσκεται σε ισορροπία εάν, χωρίς να υπάρχει κάποια διαταραχή, η έξοδός του παραμένει στην ίδια κατάσταση. Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα ελέγχου λέμε ότι είναι ευσταθές εάν, μετά την εισαγωγή κάποιας διαταραχής, η έξοδος του συστήματος επανέρχεται σταδιακά στην κατάσταση ισορροπίας. Εάν μετά την εισαγωγή κάποιας διαταραχής το σύστημα δεν επιστρέφει στην αρχική κατάσταση ισορροπίας του αλλά αποκλίνει συνεχώς από αυτήν με την πάροδο του χρόνου, λέμε ότι το σύστημα είναι ασταθές. Επίσης, σε κάποιες περιπτώσεις είναι πιθανό το σύστημα, μετά την εισαγωγή της διαταραχής, να εκτελεί ταλαντώσεις, οπότε λέμε ότι το σύστημα είναι ευσταθές κατ επέκταση ή οριακά ευσταθές. Στα γραμμικά συστήματα η έννοια της ευστάθειας είναι αποκλειστικά συνδεμένη με την κατασκευή του συστήματος, επομένως, εάν το σύστημα είναι ευσταθές για μια είσοδο, θα είναι ευσταθές και για οποιαδήποτε άλλη, εκτός εάν συντονίζεται. 1
Γενικά, ως ευσταθές χαρακτηρίζεται ένα σύστημα που παρουσιάζει πεπερασμένη απόκριση. Δηλαδή, αν κάποιο σύστημα διεγερθεί από ένα φραγμένο (πεπερασμένο) σήμα εισόδου ή διαταραχής και η απόκρισή του εμφανίζει πεπερασμένο πλάτος, τότε το σύστημα αυτό χαρακτηρίζεται ως ευσταθές. Θα μπορούσαμε λοιπόν να ορίσουμε την ευστάθεια των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων ελέγχου και ως την ιδιότητα που παρουσιάζει το σύστημα να έχει φραγμένη (πεπερασμένη) έξοδο, όταν διεγείρεται από φραγμένη (πεπερασμένη) είσοδο. Συνήθως για τη μελέτη των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων ελέγχου χρησιμοποιούμε την περιγραφή του με τη συνάρτηση μεταφοράς που είναι μια σχέση εισόδου εξόδου και μέσω αυτής θα μελετήσουμε την ευστάθεια. Κάθε ρητή συνάρτηση μεταφοράς με βαθμό του πολυωνύμου του παρανομαστή μεγαλύτερο του βαθμού του πολυωνύμου του αριθμητή, αναλύεται σε άθροισμα μερικών απλών κλασμάτων που συνήθως έχουν παρανομαστές της μορφής: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος ισούται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης. Παίρνοντας λοιπόν, τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace αυτών των κλασμάτων, προκύπτει η χρονική απόκριση ως ένα άθροισμα παραγόντων της μορφής: Παρατηρούμε ότι οι χρονικές αυτές συναρτήσεις συγκλίνουν στο μηδέν τότε και μόνον τότε, όταν η σταθερά α στους εκθέτες είναι θετική ποσότητα. Αυτό σημαίνει ότι τα πραγματικά μέρη των πόλων (εκεί που μηδενίζεται ο παρανομαστής - οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου) της συνάρτησης μεταφοράς, πρέπει να είναι αρνητικοί αριθμοί. Επομένως, μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου ευσταθές, απαιτεί όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος να έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη. Δηλαδή, για να έχουμε ευστάθεια, θα πρέπει οι πόλοι του συστήματος να βρίσκονται στο αρνητικό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Μάλιστα, όσο πιο μακριά από τον φανταστικό άξονα βρίσκονται οι πόλοι, τόσο πιο γρήγορα η κρουστική απόκριση αποσβεννύεται και συνεπώς το σύστημα ηρεμεί πιο γρήγορα μετά την εισαγωγή κάποιας διαταραχής. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται οι κρουστικές αποκρίσεις για διάφορες περιπτώσεις πόλων στο μιγαδικό επίπεδο. jω Φανταστικός άξονας Πραγματικός άξονας σ tt 2
Στην περίπτωση που οι πόλοι του συστήματος βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα, εάν μεν έχουν πολλαπλότητα έχουμε αστάθεια, ενώ εάν οι πόλοι είναι απλοί ενδέχεται να έχουμε ευστάθεια ή να μην έχουμε, αναλόγως με την είσοδο που εφαρμόζουμε στο σύστημα. Παράδειγμα 1: Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = Y(s)/X(s) = s/(s 2 + 1) 2, που έχει πόλους στο s = ±j πολλαπλότητας 2, οι οποίοι βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα. Η έξοδος του συστήματος είναι Y(s) = G(s) X(s). Αν εφαρμόσουμε κρουστική διέγερση στο σύστημα, δηλαδή η είσοδος στο σύστημα είναι η συνάρτηση δ(t) και επειδή X(s) = L{δ(t)} = 1, τότε Y(s) = G(s) και το σύστημα δίνει έξοδο: Παρατηρούμε ότι η έξοδος αυτή απειρίζεται με την πάροδο του χρόνου, οπότε το σύστημα είναι ασταθές. Παράδειγμα 2: Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = Y(s)/X(s) = s/(s 2 + 1), που έχει απλούς πόλους στο s = ±j, οι οποίοι βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα. Η έξοδος του συστήματος είναι Y(s) = G(s) X(s). Αν εφαρμόσουμε κρουστική διέγερση στο σύστημα, δηλαδή η είσοδος στο σύστημα είναι η συνάρτηση δ(t) και επειδή X(s) = L{δ(t)} = 1, τότε Y(s) = G(s) και το σύστημα δίνει έξοδο: Η έξοδος αυτή είναι πεπερασμένη και παρόλο που δεν τείνει στο μηδέν με την πάροδο του χρόνου, μπορεί να θεωρηθεί ότι το σύστημα είναι ευσταθές. Αντίστοιχα, αν διεγείρουμε το σύστημα με την ημιτονική συνάρτηση x(t) = sint, τότε και Επομένως στην περίπτωση αυτή η έξοδος του συστήματος θα είναι: Παρατηρούμε ότι η έξοδος αυτή απειρίζεται με την πάροδο του χρόνου, οπότε το σύστημα είναι ασταθές. Για την περίπτωση λοιπόν που οι πόλοι του συστήματος βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα, λέμε ότι το σύστημα είναι κατ επέκταση ευσταθές (ή οριακά ευσταθές), διότι η συμπεριφορά του συστήματος εξαρτάται από το είδος της εισόδου που διεγείρει το σύστημα και είναι δυνατό να έχουμε συντονισμό εάν η συχνότητα του σήματος εισόδου είναι ίδια με τη συχνότητα των πόλων του συστήματος. 3
2. Αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας Κριτήριο Routh Όπως είδαμε, για να αποφανθούμε για την ευστάθεια ή μη ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου πρέπει να γνωρίζουμε τους πόλους του συστήματος. Οι πόλοι του συστήματος προκύπτουν από την επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί και η χαρακτηριστική εξίσωση δεν είναι μεγάλου βαθμού, αυτό είναι σχετικά εύκολο. Σε άλλες περιπτώσεις όμως ο προσδιορισμός των πόλων του συστήματος απαιτεί τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή και κατάλληλου λογισμικού. Επιπλέον, σε πολλές περιπτώσεις κάποιος συντελεστής του χαρακτηριστικού πολυωνύμου δεν είναι μια σταθερή ποσότητα αλλά μπορεί να κυμαίνεται σε κάποιο διάστημα, οπότε θα πρέπει να επιλύεται η χαρακτηριστική εξίσωση για κάθε τιμή του διαστήματος προκειμένου να προσδιοριστεί το εύρος ευστάθειας του συστήματος. Τα αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας είναι μεθοδολογίες που εφαρμόζονται για τη μελέτη της ευστάθειας γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων αυτομάτου ελέγχου και μας παρέχουν πληροφορίες για τους ασταθείς πόλους του συστήματος που βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο, χωρίς να απαιτείται η επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης και ο προσδιορισμός των πόλων του συστήματος. Ειδικότερα, το κριτήριο Routh είναι ένα αλγεβρικό κριτήριο ευστάθειας που με βάση το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος και τη συμπλήρωση ενός πίνακα (πίνακας Routh) μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια ή μη ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος. Έστω ένα σύστημα με χαρακτηριστική εξίσωση: a n s n + a n-1 s n-1 + a n-2 s n-2 + + a 1 s + a 0 = 0 Αν ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής α n είναι αρνητικός αριθμός, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με το -1. Ακολούθως συμπληρώνουμε τον πίνακα Routh, ο οποίος ορίζεται ως ακολούθως: s n a n a n-2 a n-4 s n-1 a n-1 a n-3 a n-5 s n-2 b 1 b 2 b 3 s n-3 c 1 c 2 c 3..... s 0 όπου a n, a n-1, a n-2,, a 1, a 0 είναι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης και 4
κ.ο.κ. Ο πίνακας συμπληρώνεται οριζόντια και κάθετα μέχρι τη γραμμή του s 0. Κατά τη συμπλήρωση του πίνακα μπορούμε να απλοποιούμε ολόκληρη γραμμή διαιρώντας την με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των στοιχείων της και βάζοντας την καινούργια γραμμή στη θέση της παλιάς. Σύμφωνα με το κριτήριο Routh, το σύστημα είναι ευσταθές εάν δεν εμφανίζονται εναλλαγές προσήμου στα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα. Επομένως, εάν a n >0, για να είναι ευσταθές το σύστημα θα πρέπει όλοι οι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικές ποσότητες. Εάν έχουμε εναλλαγές προσήμου στα στοιχεία της πρώτης στήλης, ο αριθμός αυτών των εναλλαγών ισούται με τον αριθμό των πόλων του συστήματος που έχουν θετικά πραγματικά μέρη (δηλαδή βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο) και είναι οι ασταθείς πόλοι του συστήματος. Το κριτήριο Routh δεν διευκρινίζει εάν οι ασταθείς πόλοι του συστήματος είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί, μας πληροφορεί μόνο για το πλήθος των ασταθών πόλων. Εάν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος είναι ελλιπές ή οι συντελεστές του είναι ετερόσημοι, τότε έχει ετερόσημες ρίζες και συνεπώς μερικοί πόλοι του συστήματος βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο και το σύστημα είναι ασταθές, οπότε δεν απαιτείται η συμπλήρωση του πίνακα Routh για να αποφανθούμε για τη ευστάθεια ή μη του συστήματος. Υπάρχουν τέσσερις πιθανές περιπτώσεις αναφορικά με την ύπαρξη μηδενικών στοιχείων στην πρώτη στήλη του πίνακα, οι οποίες αντιμετωπίζονται ξεχωριστά και απαιτούν κατάλληλες τροποποιήσεις στη διαδικασία συμπλήρωσης του πίνακα Routh: Περίπτωση 1: Κανένα στοιχείο της πρώτης στήλης δεν είναι μηδενικό. Παράδειγμα 3: Έστω ένα σύστημα δεύτερης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό P(s) = a 2 s 2 + a 1 s + a 0 Ο αντίστοιχος πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: όπου s 2 a 2 a 0 s 1 a 1 0 s 0 b 1 0 5
Επομένως, για να είναι το σύστημα ευσταθές, θα πρέπει όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου να είναι ομόσημοι (όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί). Παράδειγμα 4: Έστω ένα σύστημα τρίτης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό P(s) = a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 Ο αντίστοιχος πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: όπου s 3 a 3 a 1 s 2 a 2 a 0 s 1 b 1 0 s 0 c 1 0 και Επομένως, για να είναι το σύστημα ευσταθές, θα πρέπει όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου να είναι θετικοί και ταυτόχρονα να ισχύει a 2 a 1 > a 3 a 0. Υπενθυμίζουμε ότι, εάν ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του πολυωνύμου α 3 είναι αρνητικός αριθμός, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με το -1. Αν ισχύει a 2 a 1 = a 3 a 0, τότε b 1 = 0, δηλαδή έχουμε μηδενικό στοιχείο στην πρώτη στήλη του πίνακα Routh. Η περίπτωση αυτή εξετάζεται παρακάτω και, όπως θα δούμε το σύστημα είναι κατ επέκταση ευσταθές (οριακά ευσταθές) και ένα ζεύγος πόλων θα βρίσκεται πάνω στον φανταστικό άξονα. Παράδειγμα 5: Έστω ένα σύστημα τρίτης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό Βλέπουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι πλήρες και όλοι οι συντελεστές του είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, για να αποφανθούμε για την ευστάθεια ή μη του συστήματος θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 3 1 2 s 2 1 24 s 1-22 0 s 0 24 0 Παρατηρούμε ότι στην πρώτη στήλη του πίνακα εμφανίζονται δύο διαδοχικές εναλλαγές προσήμου, οπότε δύο πόλοι του συστήματος θα βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο και επομένως το σύστημα είναι ασταθές. Πράγματι, το παραπάνω πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί ως εξής: 6
Οπότε έχουμε μία πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες (πόλους): Περίπτωση 2: Το πρώτο στοιχείο μιας γραμμής στον πίνακα Routh είναι μηδενικό. Στην περίπτωση που το πρώτο στοιχείο οποιασδήποτε γραμμής του πίνακα Routh είναι μηδέν, αλλά όχι και τα υπόλοιπα, όλα τα στοιχεία της επόμενης γραμμής θα απειρίζονται και δεν είναι δυνατή η συνέχιση της συμπλήρωσης του πίνακα. Για την αντιμετώπιση αυτής της κατάστασης, αντικαθιστούμε το μηδενικό στοιχείο της πρώτης στήλης με έναν πολύ μικρό θετικό αριθμό ϵ και συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα. Παράδειγμα 5: Έστω ένα σύστημα τέταρτης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό P(s) = s 4 + s 3 + 2s 2 + 2s + 3 Βλέπουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι πλήρες και όλοι οι συντελεστές του είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, για να αποφανθούμε για την ευστάθεια ή μη του συστήματος θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 4 1 2 3 s 3 1 2 0 s 2 0 3 Αφού το πρώτο στοιχείο της γραμμής s 2 είναι μηδέν, θα απειρίζονται όλα τα στοιχεία της γραμμής s 1. Για την αντιμετώπιση αυτής της κατάστασης αντικαθιστούμε το μηδενικό πρώτο στοιχείο της γραμμής s 2 με έναν πολύ μικρό θετικό αριθμό ϵ και συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα. Ξεκινώντας από τη γραμμή s 2, θα έχουμε: s 2 ϵ 3 s 1 0 s 0 3 0 Επομένως, ο συνολικός πίνακας Routh του συστήματος θα είναι ο ακόλουθος: s 4 1 2 3 s 3 1 2 0 s 2 ϵ 3 s 1 0 s 0 3 0 Παρατηρούμε ότι στην πρώτη στήλη του πίνακα εμφανίζονται δύο διαδοχικές εναλλαγές προσήμου, οπότε δύο πόλοι του συστήματος θα βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο και επομένως το σύστημα είναι ασταθές. 7
Περίπτωση 3: Όλα τα στοιχεία μιας γραμμής στον πίνακα Routh είναι μηδενικά. Στην περίπτωση που όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής του πίνακα Routh είναι μηδενικά πριν την ομαλή ολοκλήρωση συμπλήρωσης του πίνακα, αυτό υποδεικνύει την ύπαρξη μιας ή περισσότερων από τις παρακάτω συνθήκες: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον ένα ζεύγος αντίθετων πραγματικών ριζών (με ίσο μέτρο αλλά αντίθετο πρόσημο) της μορφής s=+σ και s=-σ. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ένα ή περισσότερα ζεύγη φανταστικών ριζών της μορφής s=+jω και s=- jω. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ζεύγη μιγαδικών ριζών συμμετρικά τοποθετημένων ως προς την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου της μορφής s=σ±jω και s=-σ± jω. Για την αντιμετώπιση αυτής της κατάστασης, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1) Σχηματίζουμε τη βοηθητική εξίσωση Β(s)=0 χρησιμοποιώντας τους συντελεστές της γραμμής που βρίσκεται πάνω ακριβώς από τη γραμμή των μηδενικών του πίνακα Routh. 2) Παραγωγίζουμε ως προς s τη βοηθητική εξίσωση, παίρνοντας db(s)/ds=0. 3) Αντικαθιστούμε τη γραμμή των μηδενικών με τους συντελεστές της db(s)/ds=0. 4) Συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα με τον γνωστό τρόπο και εξετάζουμε την εναλλαγή προσήμων της πρώτης στήλης του πίνακα κατά το συνήθη τρόπο. Παράδειγμα 6: Έστω ένα σύστημα πέμπτης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό P(s) = s 5 + 4s 4 + 8s 3 + 8s 2 + 7s + 4 Βλέπουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι πλήρες και όλοι οι συντελεστές του είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, για να αποφανθούμε για την ευστάθεια ή μη του συστήματος θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 5 1 8 7 s 4 4 8 4 s 3 6 6 0 s 2 4 4 s 1 0 0 s 0 Επειδή προκύπτουν μηδενικά στη γραμμή s 1 του πίνακα, σχηματίζουμε τη βοηθητική εξίσωση χρησιμοποιώντας τους συντελεστές της αμέσως προηγούμενης γραμμής s 2 : και την παραγωγίζουμε ως προς s: B(s) = 4s 2 + 4 = 0 db(s)/ds=8s+0 από την οποία οι συντελεστές 8 και 0 αντικαθιστούν τα μηδενικά της γραμμής s 1 του αρχικού πίνακα. Ακολούθως συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα, οπότε προκύπτει: 8
s 5 1 8 7 s 4 4 8 4 s 3 6 6 0 s 2 4 4 s 1 8 0 s 0 4 Παρατηρούμε ότι δεν έχουμε εναλλαγές προσήμου στην πρώτη στήλη του πίνακα Routh, οπότε συμπεραίνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο δεν έχει ρίζες (πόλους) στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. Στη συνέχεια επιλύουμε τη βοηθητική εξίσωση και προκύπτουν δύο μιγαδικές ρίζες s = +j και s = -j, οι οποίες αποτελούν και ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Επομένως το σύστημα έχει δύο πόλους πάνω στον φανταστικό άξονα και για το λόγο αυτό είναι κατ επέκταση ευσταθές (οριακά ευσταθές). Αυτές οι φανταστικές ρίζες προκάλεσαν την παρουσία των μηδενικών στην γραμμή s 1 του αρχικού πίνακα. Περίπτωση 4: Δύο γραμμές τουλάχιστον στον πίνακα Routh είναι μηδενικές. Στην περίπτωση αυτή το σύστημα είναι ασταθές και έχει δύο αντίθετους πραγματικούς πόλους με πολλαπλότητα δύο. Η μεγάλη χρησιμότητα του κριτηρίου Routh οφείλεται στο γεγονός ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια ευστάθειας για κάποια παράμετρο Κ του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ενός συστήματος, απαιτώντας όλοι οι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα Routh που είναι συναρτήσεις του Κ να είναι θετικοί. Να σημειώσουμε ότι, όταν εισάγουμε κλάδο ανάδρασης σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου, είναι δυνατό να προκύψει ασταθές σύστημα κλειστού βρόχου, ακόμα και αν το αρχικό σύστημα ανοιχτού βρόχου ήταν ευσταθές. Επομένως είναι σημαντικό να γνωρίζουμε εκ των προτέρων αν το σύστημα κλειστού βρόχου που θα προκύψει από την εισαγωγή ανάδρασης σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου θα είναι ευσταθές ή όχι, καθώς και να προσδιορίζουμε το εύρος τιμών κάποιας παραμέτρου του συστήματος, ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου που θα προκύψει να είναι ευσταθές. Παράδειγμα 7: Έστω ένα σύστημα τρίτης τάξης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό P(s) = s 3 + 2s 2 + 4s + Κ όπου Κ μια ρυθμιζόμενη απολαβή. i. Να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για να είναι το σύστημα ευσταθές. ii. Να προσδιοριστεί η τιμή του Κ για την οποία το σύστημα είναι κατ επέκταση ευσταθές (οριακά ευσταθές) και να προσδιοριστούν οι πόλοι του συστήματος όταν έχουμε οριακή ευστάθεια. i. Για να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 3 1 4 s 2 2 Κ s 1 0 s 0 Κ 0 9
Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, επομένως θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα 8 - K > 0 και Κ > 0. Άρα το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < Κ < 8 ii. Για να είναι το σύστημα κατ επέκταση (οριακά) ευσταθές θα πρέπει να εξετάσουμε τη συμπεριφορά του συστήματος για Κ = 0 και Κ = 8. Εάν Κ= 0, ο πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: s 3 1 4 s 2 2 0 s 1 4 0 s 0 0 Επειδή προκύπτει μηδενικό στη θέση s 0 της πρώτης στήλης του πίνακα, σχηματίζουμε τη βοηθητική εξίσωση χρησιμοποιώντας τους συντελεστές της αμέσως προηγούμενης γραμμής s 1 : B(s) = 4s = 0 και την παραγωγίζουμε ως προς s: db(s)/ds=4 από την οποία ο συντελεστής 4 αντικαθιστά το μηδενικό της γραμμής s 0 του αρχικού πίνακα, οπότε προκύπτει: s 3 1 4 s 2 2 0 s 1 4 0 s 0 4 Ακολούθως επιλύουμε τη βοηθητική εξίσωση ως προς s και έχουμε s = 0, το οποίο αποτελεί ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (πόλο). Εάν Κ= 8, ο πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: s 3 1 4 s 2 2 8 s 1 0 0 s 0 8 0 Παρατηρούμε ότι για Κ = 8 εμφανίζεται μια γραμμή με μηδενικά στοιχεία (Περίπτωση 3) και θα έχουμε δύο ρίζες (πόλους) πάνω στον φανταστικό άξονα, οπότε το σύστημα θα είναι κατ επέκταση (οριακά) ευσταθές. Για να προσδιορίσουμε στην περίπτωση αυτή τους πόλους του συστήματος, σχηματίζουμε το βοηθητικό πολυώνυμο B(s), που αντιστοιχεί στην εξίσωση της γραμμής πριν από τη γραμμή που περιλαμβάνει τα μηδενικά στοιχεία (γραμμή που αντιστοιχεί στον όρο s 2 ): B(s) = 2s 2 + 8 = 2(s 2 + 4) = 2(s + j2)(s 2j) Επομένως, οι πόλοι του συστήματος όταν έχουμε οριακή ευστάθεια είναι: s 0 = 0, s 1 = j2 και s 2 = -j2 10
Παράδειγμα 8: Έστω ένα σύστημα τρίτης τάξης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό P(s) = s 2 + Κs + 2Κ - 1 όπου Κ μια ρυθμιζόμενη απολαβή. Να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για να είναι το σύστημα ευσταθές. Για να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 2 1 2Κ - 1 s 1 Κ 0 s 0 2Κ - 1 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, επομένως θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα Κ > 0 και 2Κ- 1 > 0, δηλαδή Κ > 0,5. Εάν συγκρίνουμε τις συνθήκες Κ > 0 και Κ > 0,5, προκύπτει ότι η δεύτερη συνθήκη (Κ > 0,5) είναι πιο αυστηρή. Άρα το σύστημα θα είναι ευσταθές για Κ > 0,5. Παράδειγμα 9: Το παρακάτω σχήμα περιγράφει το σύστημα ελέγχου ενός ρομπότ ηλεκτροσυγκόλλησης. Να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. Επιθυμητή διάμετρος ηλεκτροσυγκόλλησης μετάλλου X(s) Σ + - Ρυθμιστής G C (s)= k s Ρομπότ ηλεκτροσυγκόλλησης G R (s)= 1 (s+3)(s+2) Πραγματική διάμετρος ηλεκτροσυγκόλλησης μετάλλου Y(s) F(s)=1 Σύστημα όρασης Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: Άρα, η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: Για να προσδιορίσουμε το εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές εφαρμόζουμε το κριτήριο Routh. Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι: 11
s 3 1 6 s 2 5 k s 1 0 k Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει k > 0 και s 0 Άρα, το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 30. Παράδειγμα 10: Έστω ένα σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου: Να προσδιοριστεί η περιοχή ευστάθειας του συστήματος που ορίζεται από τις παραμέτρους Κ 1 και Κ 2. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση δίνεται από τη σχέση: Επομένως, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος είναι: Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι: s 3 1 2 + Κ 1 s 2 3 Κ 2 s 1 0 s 0 Κ 2 0 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, άρα θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα Κ 2 > 0 και 3(2 + Κ 1 ) Κ 2 > 0 ή Κ 2 > 0 και Κ 1 + 2 > Κ 2 /3. Παρατηρούμε ότι, όταν το Κ 2 τείνει οριακά στο μηδέν το Κ 1 τείνει στο -2 και όταν το Κ 1 τείνει στο μηδέν, το Κ 2 τείνει στο 6. Στο παρακάτω γράφημα φαίνεται η περιοχή ευστάθειας του συστήματος που ορίζεται από τις παραμέτρους Κ 1 και Κ 2 (σκιασμένη περιοχή). Κ 1 0-2 6 Κ 2 12
Πηγές: Για τη σύνθεση αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήθηκε υλικό από την παρακάτω βιβλιογραφία: Θεωρία και Προβλήματα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Αναλογικών και Ψηφιακών Συστημάτων, Joshef J. Distefano III, Allen R. Stubberud, Ivan J. Williams Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου - Θεωρία και προβλήματα, Πακτίτης Σπύρος Α. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Τρ. Ποιμενίδης Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Π. Ν. Παρασκευόπουλος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop 13