) β)η επιτρόχιος επιτάχυνση, η οποία είναι ο

ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΓΕΝΙΚΑ Για την στροφική κίνηση ορίζονται δύο ταχύτητες. Η γραμμική ταχύτητα, η οποία είναι ο ρθμός μεταβής το τόξο S ds και η ιακή ταχύτητα η οποία είναι ο ρθμός μεταβής της ίας dθ ω Η σχέση μεταξύ γραμμικής και ιακής ταχύτητας είναι: ds d( θr) d θ.r ω.r ω.r Ακόμη ορίζονται α)η κεντρομόλος επιτάχνση η οποία μεταβάλλει την κατεύθνση το διανύσματος της γραμμικής ταχύτητας ( α κ r ρθμός μεταβής το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας ) β)η επιτρόχιος επιτάχνση, η οποία είναι ο d α επιτρόχιος και γ)η ιακή επιτάχνση, η οποία είναι ο ρθμός μεταβής το μέτρο της ιακής ταχύτητας α. Η επιτρόχιος επιτάχνση σνδέεται με την ιακή με τη σχέση: d d( ωr) d ω α επιτρό χιος.r α..r α επιτρό χιος α..r Όταν το μέτρο της ιακής ταχύτητας αξάνεται, το διάνσμα της ιακής επιτάχνσης έχει την ίδια κατεύθνση με το διάνσμα της ιακής ταχύτητας. Όταν το μέτρο της ιακής ταχύτητας ελαττώνεται, το διάνσμα της ιακής επιτάχνσης έχει αντίθετη κατεύθνση από το διάνσμα της ιακής ταχύτητας. Σημείωση: το μέτρο της γραμμικής επιτάχνσης α ενός λικού σημείο το στερεού πο περιστρέφεται πογίζεται από τη σχέση: α α κεντροµ όλος +α επιτρόχιος όπο α εα. και α κ. Για σώμα πο θεωρείται λικό σημείο και μάζας m και περιστρέφεται σε κκλική τροχιά m ισχύει: Σ Fr( κατά τη διεύθνση της ακτίνας) και ΣF επιτρόχιαm.α ε και α εα. Ομαλή στροφική κίνηση Ομαλή στροφική κίνηση έχομε όταν το διάνσμα της ιακής ταχύτητας διατηρείται σταθερό (ενώ μόνο το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας είναι σταθερό) Οι εξισώσεις κίνησης είναι: S.t και θω.t ω r dω

Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση κάνει ένα σώμα όταν περιστρέφεται με σταθερή ιακή επιτάχνση (προφανώς και η επιτρόχια είναι σταθερή). Αν η ιακή ταχύτητα αξάνει η κίνηση είναι ομαλά επιταχνόμενη ενώ αν ελαττώνεται ομαλά επιβραδνόμενη. Οι εξισώσεις κίνησης είναι: ωω ±α t και 0. θω 0 t± α. t ( ± ανάλογα αν είναι επιταχνόμενη η επιβραδνόμενη) Από την κλίση της εθείας στα διαγράμματα (ω,t) μπορούμε να πογίσομε το α. και από το εμβαδόν κάτω από την εθεία την ιακή μετατόπιση θ ω0 ω ω ω0 t t Κύλιση Όταν ένα σώμα κλίεται εκτελεί μια σύνθετη κίνηση: μία μεταφορική και μία περιστροφική. Ως ταχύτητα και επιτάχνση της μεταφορικής κίνησης θεωρείται η ταχύτητα και η επιτάχνση α το κέντρο μάζας το σώματος (center mass) πο είναι η ίδια για όλα τα σημεία. Όταν ένα σώμα κλίεται χωρίς να ισθαίνει το διάστημα πο διανύει είναι ίσο με το τόξο πο διαγράφει και αποδεικνύεται ότι: α) ω. δηλαδή η ταχύτητα της μεταφορικής κίνησης είναι ίση με τη γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας το σώματος(π.χ. τροχός, κύλινδρος κ.λ.) και β) α α. δηλαδή η επιτάχνση της μεταφορικής κίνησης είναι ίση με την επιτρόχιο επιτάχνση των σημείων της περιφέρειας. Από τα παραπάνω και παίρνοντας π όψιν μας την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων κάθε σημείο της περιφέρειας το σώματος πο κλίεται θα έχει ταχύτητα πο θα δίνεται από τη σχέση:

+ γρ. Όπο γρ. ω. Α ω Έτσι για τα σημεία το σώματος το διπλανού σχήματος θα έχομε: +ω Α Κ Β + ( ω ) Β ω ω ω 0 Γ Κ ω Γ Ισορροπία στερεού Μεθοδογία λύσης ασκήσεων ισορροπίας ράβδο. Σχεδιάζομε τις δνάμεις πο ασκούνται στο σώμα. Αναλύομε τις δνάμεις σε δύο άξονες: ένα παράλληλο στη ράβδο και ένα κάθετο στη ράβδο 3. Εφαρμόζομε τη σχέση Στ0 ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο της ράβδο. Σνήθως επιλέγομε ένα σημείο στο οποίο εφαρμόζεται μια άγνωστη δύναμη 4. Γράφομε τις σχέσεις ΣFx0 και ΣFy0 και αντικαθιστούμε τις δνάμεις 5. Τέλος επιλύομε το σύστημα των εξισώσεων πο δημιοργούνται Υπογισμός της ροπής αδράνειας σωμάτων. Προσδιορίζομε τις (στοιχειώδεις) μάζες πο αποτελούν το σύστημα. Υπογίζομε τη ροπή αδράνειας κάθε μιας (στοιχειώδος) μάζας περί τον άξονα περιστροφής 3. Προσθέτομε τις ροπές αδράνειας όλων των μαζών και παίρνομε την ική ροπή αδράνειας Προσοχή Σε περίπτωση στερεού σώματος πο ο άξονας περιστροφής το δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας το εφαρμόζομε το θεώρημα Steiner 3

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ x Ροπή μιας δύναμης F ως προς σημείο ή άξονα είναι το διανσματικό μέγεθος τ πο έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο της δύναμης F επί την απόσταση της δύναμης από το σημείο ή τον άξονα. Δηλ. τ F. Η ροπή είναι κάθετη στο επίπεδο της δύναμης και η φορά της καθορίζεται με τον κανόνα το δεξιού χεριού(κλείνω τα δάκτλα το δεξιού χεριού όπως πάει η δύναμη να περιστρέψει το σώμα οπότε ο τεντωμένος αντίχειρας δείχνει τη F φορά της ροπής) x Ζεύγος δνάμεων αποτελούν δύο δνάμεις ομοεπίπεδες, παράλληλες ίσο μέτρο αλλά αντίθετης φοράς. Ροπή ζεύγος Η ροπή ζεύγος είναι ίση με τf.d όπο d η μεταξύ των δνάμεων απόσταση(κάθετη). Πότε ένα στερεό σώμα ισορροπεί; Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο σώμα πρέπει α) ΣF 0 και β) Στ 0 Η πρώτη σνθήκη αποκλείει τη μεταφορική κίνηση ενώ η δεύτερη σνθήκη αποκλείει την περιστροφή. Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής K Iω Χωρίζομε το στερεό σώμα σε μικρές στοιχειώδεις μάζες m, m, m3,... x' m r r m m 3 r 3 r 4 m 4 x,mν πο απέχον από το άξονα περιστροφής αποστάσεις r, r, r3,...,rν αντίστοιχα. Αν το στερεό περιστρέφεται με σταθερή ιακή ταχύτητα τότε οι αντίστοιχες στοιχειώδεις μάζες έχον γραμμικές ταχύτητες ωr, ωr, ωr3,...,ωrν οπότε οι κινητικές ενέργειες τος πο είναι αντίστοιχα mu, mu, m3u3,..., m νuν γίνονται: mω r, mω r, m3ω r3,..., m ν ω r ν οπότε η ική κινητική ενέργεια το στερεού είναι: K mω r + mω r + m3ω r 3 +... + mνω rν K (m r + m r + m r +... +m r )ω 33 ν ν K Iω F d τ F 4

Ροπή αδράνειας Ι ως προς άξονα είναι το άθροισμα mr + mr +... + m νrν όπο m,m,...,mν πύ μικρές μάζες στις οποίες χωρίζεται νοητά το σώμα και r,r,...,rν οι αποστάσεις των μαζών από τον άξονα. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού εξαρτάται από τη θέση το άξονα περιστροφής, από το μέγεθος, το σχήμα το σώματος, και από το τρόπο με τον οποίο κατανέμεται η μάζα το σώματος, γύρω από τον άξονα περιστροφής. Στροφορμή στερεού. Απόδειξη της σχέσης L I. ω z Η στροφορμή μιας στοιχειώδος μάζας m πο περιστρέφεται σε κκλική x' Χ τροχιά γύρω από το σημείο Ο έχει μέτρο Lm..r Lm.ω.r και διεύθνση και φορά όπως στο σχήμα (αριστερά). Η στροφορμή ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα περιστροφής βρίσκεται αν προσθέσω διανσματικά όλες τις στροφορμές των στοιχειωδών μαζών στις οποίες χωρίζομε το στερεό (σχήμα δεξιά). Έτσι : L L + L + L +... + L 3 L m ω r + m ω r + m ω r +... +m ωr 3 3 ν ν L (m r + m r + m r +... +m r ) ω L I. ω 3 3 ν ν ν Αρχή διατήρησης της στροφορμής Όταν σε ένα σώμα δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές ή αν ασκούνται, έχον σνισταμένη μηδέν, τότε η στροφορμή το σστήματος παραμένει σταθερή. L L ή L L τελ L αρχ O r m µετα U πριν y m r r m m 3 r 3 r 4 m 4 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Η Σνισταμένη των ροπών πο δρον πάνω σ ένα σώμα είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας I το σώματος επί την ιακή το επιτάχνση α. Η διεύθνση και η φορά της σνισταμένης ροπής είναι ίδια με τη διεύθνση και φορά της ιακής επιτάχνσης Στ I α Η γενικότερη διατύπωση το θεμελιώδος νόμο της στροφικής κίνησης είναι: dl Στ και σνδαστικά dl I α x 5

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ )Όταν ένα σώμα κάνει μεταφορική κίνηση, το εθύγραμμο τμήμα πο σνδέει δύο τχαία σημεία το μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εατό το. )Στην κύλιση τροχού κλίνδρο κ.λ. ισχύον πάντα οι σχέσεις ω. και α α. ακόμη το dθ σε rad δίνεται από τη σχέση ds d θ ή ds.dθ 3)Δύναμη πο ο φορέας της περνά από τον άξονα περιστροφής δεν προκαλεί ροπή 4) Δύναμη πο ο φορέας της είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής δεν προκαλεί ροπή 5)Αν η δύναμη δε βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής, η ροπή της είναι ίση με τη ροπή πο δημιοργεί η σνιστώσα της πο βρίσκεται πάνω στο κάθετο επίπεδο. 6)Η ροπή το ζεύγος δνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. 7)Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο σώμα πρέπει α)σνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν : Σ F 0 ή Σ F 0 χ Σ F 0 y και β) Στ 0. Αν ισχύον οι παραπάνω σχέσεις αλλά το σώμα αρχικά κινείται τότε θα διατηρήσει σταθερή τόσο την μεταφορική το ταχύτητα όσο και την ιακή το ταχύτητα ω 8)Το θεώρημα το Steiner (Στάϊνερ) ισχύει για δύο παράλληλος άξονες (p,) πο ο ένας οπωσδήποτε περνά από το κέντρο μάζας () το σώματος. ( I I + Md ) 9)Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στ I α ισχύει και στην περίπτωση πο ο άξονας περιστροφής δεν είναι σταθερός αλλά μετατοπίζεται, αρκεί να περνά από το κέντρο μάζας το σώματος, να είναι άξονας σμμετρίας και να μην αλλάζει κατεύθνση στη διάρκεια της κίνησης (να μετατοπίζεται παράλληλα προς την αρχική το θέση). 0)Η ροπή των εσωτερικών δνάμεων ενός σστήματος είναι μηδέν, γιατί σε κάθε τέτοιο ζεύγος (δράση-αντίδραση) οι δνάμεις έχον τον ίδιο φορέα (d0) οπότε τ ζεύ γος εσωτερικών F.d F.0 0. Έτσι αν Στ εξωτερικών 0 τότε η στροφορμή το σστήματος διατηρείται σταθερή. )Το θεώρημα μεταβής κινητικής ενέργειας Θ.Μ.Κ.Ε. διατπώνεται ως εξής; Κ Wό λων των δνάμεων όπο Κ Κμεταφ. τελική Κ μεταφ. αρχική + Κπεριστ. τελική Κ περιστρ. αρχική ( ) ( ) )Όταν εφαρμόζω τον Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής για την μεταφορική κίνηση ορίζω σαν θετική φορά πάντα τη φορά το α. Ατό σημαίνει ότι αν το σώμα επιταχύνεται μεταφορικά ( α ) θεωρώ θετική φορά τη φορά της ταχύτητας, ενώ αν το σώμα επιβραδύνεται α ) θεωρώ θετική φορά την αντίθετη της. ( p 6

3) Όταν εφαρμόζω τον Θεμελιώδη Νόμο της στροφικής κίνησης ορίζω σαν θετική φορά πάντα τη φορά το α. Ατό σημαίνει ότι αν το σώμα επιταχύνεται ( ω α ) θεωρώ θετική φορά τη φορά της ταχύτητας ω, ενώ αν το σώμα επιβραδύνεται ( ω α ) θεωρώ θετική φορά την αντίθετη της ω. Έτσι αν το σώμα επιταχύνεται περιστροφικά θεωρούνται θετικές οι ροπές πο δίνον περιστροφή ομόρροπη με την περιστροφή πο πάρχει ήδη, ενώ αν επιβραδύνεται θεωρούνται θετικές οι ροπές πο δίνον περιστροφή αντίρροπη με την περιστροφή πο πάρχει ήδη. 4)Σε κεκλιμένο επίπεδο η τριβή κύλισης σχεδιάζεται πάντα προς τα πάνω είτε κατεβαίνει το σώμα είτε ανεβαίνει. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση σχεδιάζεται τχαία και εφαρμόζοντας τις Σ Fχ m. α σχέσεις: Σ F 0 y και Στ I. α, αν βρώ Τ>0 τότε έχει σχεδιαστεί σωστά ενώ αν βρώ Τ<0 τότε το μέτρο της είναι η απόλτη τιμή το αποτελέσματος αλλά η φορά είναι αντίθετη από ατή πο σχεδιάστηκε. 5)Το έργο της τριβής κύλισης είναι πάντα μηδέν γιατί η ταχύτητα στο σημείο επαφής είναι 0, οπότε η Τ δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της. 6)Όταν έχω στρεφόμενη ράβδο σε κατακόρφο επίπεδο η α δεν είναι σταθερή με αποτέλεσμα ωω 0 ±α.t θ ω 0.t ± α.t να μην μπορώ να χρησιμοποιήσω τις σχέσεις: και 0 ±α.t χ 0.t ± α.t 7)Στη τροχαλία το σχήματος Τ Τ και Τ Τ αν το νήμα θεωρηθεί Ν T αβαρές. Σχεδιάζοντας τις δνάμεις πάνω στο νήμα έχω: ' Ο T T m ν ή µατος α όμως αν η μάζα το νήματος θεωρηθεί T ' ' αμελητέα τότε T T 0 T T Βτρ T Γενικά ακόμη Τ Τ γιατί από τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης έχω ' ' T. T. I (o). α. Αν όμως η τροχαλία θεωρηθεί αβαρής (οπότε Ι(ο)0) ή η τροχαλία γρίζει με σταθερό ω (οπότε α.0) τότε T. T. 0 T T ' ' ' ' Γενικά η κάθετη αντίδραση Ν πο δέχεται η τροχαία από τον άξονα περιστροφής της είναι πλάγια δύναμη. Στο παραπάνω παράδειγμα επειδή η τροχαλία είναι μεταφορικά ακίνητη δεν πάρχει σνιστώσα Νχ οπότε η κάθετη αντίδραση είναι κατακόρφη. T m Β ω T T Β m 7

8)Στη ράβδο το διπλανού σχήματος πο περιστρέφεται γύρω από το Ο έχομε: Άξονας χ: Β N m. α χ χ επιτρό χιος() όπο. α επιτρό χιος() α. y Ny N O Nx (+) M x By οπότε Βχ Nχ m. α.. Άξονας y: (πάντα θετική φορά προς το κέντρο) Σ F α όπο y m. κεντροµ όλος Bx B Σ F N Β και α y y y κεντρομόλος m όπο η απόσταση το κέντρο μάζας της ράβδο από τον άξονα περιστροφής και η γραμμική ταχύτητα το κέντρο μάζας ω. Για την περιστροφή έχω: Στ ( ο) Ι( ο). α. Β χ. Ι( ο). α. 9)Εάν έχω την σφαίρα ακτίνας r το διπλανού σχήματος πο κατεβαίνει στο εσωτερικό κλίνδρο ακτίνας τότε: Για την κύλιση έχω: Άξονας χ: Βχ Τ στατ. m. α όπο α.r α. Για την περιστροφή της σφαίρας γύρω από τον Τστατ. r N ω + τ άξονα πο περνάει από το κέντρο της: Βy Βχ T.r I. α στατ.. Για την περιστροφή της σφαίρας μέσα στον κύλινδρο έχω: y Β (+) χ Άξονας y: (πάντα θετική φορά προς το κέντρο) m N By r όπο ω.r 8

0)Στο διπλανό σχήμα έχομε ένα κύλινδρο γύρω Δ από τον οποίο είναι τλιγμένο αβαρές μη εκτακτό νήμα. Με τη βοήθεια της F μετακινείται το σώμα και ο κύλινδρος αρχίζει να κλίεται χωρίς να ισθαίνει. Επειδή το νήμα είναι μη εκτακτό, η ταχύτητα και η επιτάχνση το σώματος είναι η ίδια με την ταχύτητα και την επιτάχνση αντίστοιχα το σημείο Δ το κλίνδρο. Όμως η ταχύτητα το σημείο Δ είναι η σνισταμένη των ταχτήτων και γραμ. δηλ. στο σγκεκριμένο σημείο + όμως ω. και γραμ.(δ)ω. άρα Δ και έτσι τελικά αδα οπότε γραµ. ασωμ.αδα σωμ. γρ.. F Άσκηση Παράδειγμα Στο σχήμα φαίνεται ένας ακίνητος ομογενής κύλινδρος μάζας Μ4Kg και ακτίνας 0,m, γύρω από τον οποίο έχομε τλίξει αβαρές, μη εκτακτό νήμα, πο καταλήγει μέσω μιας αβαρούς τροχαλίας σε μικρό σώμα μάζας m. Τη χρονική στιγμή t0 αφήνομε ελεύθερο τον κύλινδρο, οπότε αρχίζει να κλίεται χωρίς να ισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο. Κατά τη διάρκεια της κύλισης το ο κύλινδρος δέχεται από το νήμα σταθερή τάση μέτρο Τ6Ν. Να πογίσετε: α)το μέτρο της στατικής τριβής πο δέχεται ο κύλινδρος καθώς και το μέτρο της ιακής το επιτάχνσης. β)το μέτρο της ιακής το ταχύτητας τη χρονική στιγμή t0,5 sec. γ)το μέτρο της επιτάχνσης το σώματος Δίνεται η ροπή αδράνειας το κλίνδρο ως προς άξονα πο διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσεων το I M και g 0m. s Λύση: α)σχεδιάζω τις δνάμεις (φαίνονται στο παρακάτω σχήμα). Την στατική τριβή τη σχεδιάζω τχαία. Επειδή η τροχαλία είναι αβαρής Ιτροχ.0. Επομένως η σχέση ΣτΙ.α. Τ '. Τ '. 0 Τ ' Τ ' ακόμη επειδή το νήμα είναι αβαρές ' ' ' Τ Τ οπότε τελικά Τ Τ Τ Τ. Δ ' Τ Τ και 9

Για την περιστροφή το κλίνδρο έχω: Στ Ι. α. T. + T στ. M. α T + T στ M. α.. α α.. Mα T + Tστ. ().. Tστ. Δ Ν T ΒΤρ ω + τ T T T Για την μεταφορική κίνηση το τροχού B έχω: Σ F m. α T Tστ. M α () Από την () και () με πρόσθεση κατά μέλη έχω: 3 3 T M m.6 4 α α α s οπότε α α rad. 0 0, s Η σχέση () 6-Τστ.4. Τστ.-Ν Το πρόσημο σημαίνει ότι η τριβή έχει φορά αντίθετη από ατή πο σχεδιάστηκε στο σχήμα. Το μέτρο της όμως είναι Ν. β) ωα..t0.0,55rad/s Δ γρ.. γ) Επειδή το νήμα είναι μη εκτατό + σωµ. γραµ. άρα σωµ. σωμ. α... 4 m σωµ α α σωµ s )Η αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας εφαρμόζεται όταν στο πρόβλημα έχω σντηρητικές δνάμεις ή και μη σντηρητικές πο όμως δεν παράγον έργο. (εδώ να τονίσομε ξανά ότι στη κύλιση χωρίς ίσθηση κλίνδρο ή σφαίρας ή τροχού, το σημείο επαφής με το επίπεδο έχει ταχύτητα μηδέν άρα η τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της επομένως δεν παράγει έργο) Για την εφαρμογή της Α.Δ.Μ.Ε. ορίζομε την κατώτερη θέση το σώματος σαν επίπεδο δναμικής ενέργειας U0. Στον τύπο Umgh το h είναι η απόσταση το κέντρο μάζας το σώματος από το επίπεδο πο έχομε ορίσει σαν επίπεδο δναμικής ενέργειας U0. Κ αρχ.μετ. +Κ αρχ.περ. +U αρχ. Κ τελ.μετ. +Κ τελ.περ. +U τελ. 0

)Για να κάνει ανακύκλωση μια ράβδος πο περιστρέφεται περί το άκρο της πρέπει στο ψηλότερο σημεία ω 0, οριακά ω 0. Για να κάνει ανακύκλωση μια σφαίρα πο κλίεται χωρίς ίσθηση μέσα σε κλινδρική επιφάνεια πρέπει στο ψηλότερο σημείο Ν 0, οριακά Ν 0 Για να κάνει ανακύκλωση ένα σώμα δεμένο σε νήμα πο κάνει κκλική κίνηση σε κατακόρφο επίπεδο πρέπει στο ψηλότερο σημείο η τάση το νήματος Τ 0, οριακά Τ 0 3)Σε κάθε περίπτωση πο μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας ενός σστήματος σωμάτων πρέπει να εφαρμοστεί η αρχή διατήρησης της στροφορμής (εφόσον βέβαια δεν πάρχον εξωτερικές ροπές ή έχον σνισταμένη 0). Η ροπή αδράνειας μεταβάλλεται: α)όταν μεταβάλλεται η μάζα το σστήματος(προστίθεται η αφαιρείται μάζα) β)όταν μεταβάλλεται η απόσταση των μαζών από τον άξονα περιστροφής. Έτσι εργαζόμαστε ως εξής: )πογίζομε την αρχική ροπή αδράνειας το σστήματος Ι(αρχική) )πογίζομε την τελική ροπή αδράνειας το σστήματος Ι(τελική) 3)και τέλος εφαρμόζομε τη σχέση: L L ή ( αρχ) ( τελ ) Ι. ω Ι. ω ( αρχ) αρχ ( τελ ) τελ 4)Εφαρμογή της Α.Δ.Μ.Ε. (αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας) Εφαρμόζεται όταν έχομε μόνο σντηρητικές δνάμεις ή και μη σντηρητικές πο δεν παράγον έργο (μονωμένο σύστημα), ως εξής: )πογίζομε την αρχική κινητική και δναμική ενέργεια το σώματος ή το σστήματος σωμάτων ) πογίζομε την τελική κινητική και δναμική ενέργεια το σώματος ή το σστήματος σωμάτων 3)και τέλος αντικαθιστούμε στη σχέση: Κ αρχ.μετ. +Κ αρχ.περ. +U αρχ. Κ τελ.μετ. +Κ τελ.περ. +U τελ. Προσοχή Στην περίπτωση πο πάρχον τριβές ίσθησης (όχι τριβές κύλισης) η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται γιατί ένα μέρος της γίνεται θερμότητα Q μέσω το έργο των τριβών. Σε ατή την περίπτωση έχομε: Κ αρχ + Uαρχ Κ τελ + Uτελ + Q 5)όταν ένα σώμα έχει την τάση να ανατραπεί το Στ0 το παίρνομε ως προς άξονα γύρω από τον οποίο θα γίνει η περιστροφή για την ανατροπή

6)το μέτρο της μέγιστης στατικής τριβής πογίζεται από τη σχέση: Τστατ(max)μσ.Fk όπο μσ ο σντελεστής οριακής στατικής τριβής. Για να μην ισθαίνει ένα σώμα πρέπει: (ισχύει και για κύλιση χωρίς ίσθηση) T στατικ ή Τ στατ.(max) θ S 7)ο αριθμός περιστροφών για ένα στερεό δίνεται από τον τύπο N ή N π π 8) κατά την εφαρμογή το τύπο ΣτΙ.α. πρέπει να προσέχομε, ώστε η σνισταμένη ροπή Στ και η ροπή αδράνειας Ι να πογίζονται ως προς τον ίδιο άξονα περιστροφής 9)στην επιβραδνόμενη μεταφορική κίνηση ο ικός χρόνος και η αντίστοιχη σνική 0 t α μετατόπιση πογίζονται από τος τύπος: 0 S α απόδειξη: t t t 0 0 0 0 α α α α 0 α 0 0 0 0 0 S S S 0 α α α α α α 0 t S t t στην επιβραδνόμενη μεταφορική κίνηση ο ικός χρόνος και η αντίστοιχη σνική ιακή 0 t α μετατόπιση πογίζονται από τος τύπος: ω0 θ α απόδειξη: ω0 t 0 0 ω ω 0ω0 α t t t α α α θ ω0t αt ω0 ω 0 ω0 ω0 ω0 θ ω0 α θ θ α α α α α 30)ένα κινούμενο λικό σημείο έχει στροφορμή ακόμη και αν κινείται εθύγραμμα. Lmr όπο r είναι η απόσταση το <<άξονα περιστροφής>> από τον φορέα της ταχύτητας 3)το έργο δύναμης πο προκαλεί σταθερή ροπή πογίζεται από τον τύπο WFτ.θ όπο θ είναι η ία στροφής 3)ο ρθμός μεταβής της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφοράς πογίζεται ως εξής: dκ µετ. dw d( ΣF.x) ΣF.dx ΣF. ο ρθμός μεταβής της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής πογίζεται ως εξής: dκ περ. dw d( Στ. θ) Στ.dθ Στ. ω όταν το σώμα εκτελεί και περιστροφική και μεταφορική κίνηση ο ρθμός μεταβής της κινητικής ενέργειας πογίζεται ως εξής: d Κ Σ F. + Στ. ω

33)Η στιγμιαία ισχύς δύναμης λόγω μεταφοράς πογίζεται ως εξής: dw F.dx P. F. στιγ Η στιγμιαία ισχύς δύναμης λόγω περιστροφής πογίζεται ως εξής: dw τ.dθ P στιγµ. τω. w Η μέση ισχύς πογίζεται πάντα από τον τύπο: P t 3